湖南省九校聯(lián)盟2024屆高三年級下冊第二次聯(lián)考數(shù)學試卷及答案

湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考

數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.對兩個變量x和y進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)（七,乂）,卜2，%），|~,（馬,為），下列統(tǒng)計量的數(shù)值能

夠刻畫其經(jīng)驗回歸方程的擬合效果的是（）

A.平均數(shù)B.相關(guān)系數(shù)rC.決定系數(shù)火2D.方差

2.已知｛為｝是等比數(shù)列，S”是其前〃項和.若%-q=3￡=552,則叼的值為（）

A.2B.4C.±2D.±4

3.關(guān)于復(fù)數(shù)z與其共枕復(fù)數(shù)亍，下列結(jié)論正確的是（）

A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)二和亍的點關(guān)于虛軸對稱

B.工?亍〉0

C.N+亍必為實數(shù)，2—亍必為純虛數(shù)

D.若復(fù)數(shù)二為實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的一根，則s也必是該方程的根

22

4.已知M為雙曲線（―菅二1上一動點，則M到點（3,0）和到直線x=l的距離之比為（）

A.lB.V2C.百D.2

5.如圖，在四面體尸—48C中，E4_L平面43C,/C_LC5,P4=NC=25C=2,則此四面體的外接球表

面積為（〉

A.3KB.9TIC.36TID.48TI

6.某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入大額存款“0元，按照復(fù)利計算10年后得到

的本利和為％o,下列各數(shù)中與3最接近的是（）

%

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.已知函數(shù)/（x）=sin（0x）+Gcos（@c）,若沿x軸方向平移的圖象，總能保證平移后的曲線與直線

丁=1在區(qū)間[0,可上至少有2個交點，至多有3個交點，則正實數(shù)。的取值范圍為（）

A艮\8J、B1「2c，T10J、C{FT10，4八JD[「2°,4八）

8.過點。（一1,0）的動直線與圓。：（%—。）2+（丁一2）2=45>0）交于43兩點，在線段A8上取一點Q,使

112,,廣

得網(wǎng)+西=西，己知線段|尸。|的最小值為血，則。的值為（）

A.lB.2C.3D.4

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.下列函數(shù)的圖象與直線y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=Inx

C.y=sinx+lD.y=x3+1

10.在VA3C中，角A,B,C所對的邊分別為a,0,c,且c=6（2cosA+l）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.A=2B

B.若。=揚，則VA5C為直角三角形

C,若VA3C為銳角三角形，—-------的最小值為1

tanBtanA

c{V22百

D.若V4BC為銳角三角形，則一的取值范圍為一，―

a23

11.如圖，點尸是棱長為2的正方體幺5。2）-481GA的表面上一個動點，廠是線段4片的中點，則

A.若點尸滿足則動點尸的軌跡長度為4J5

B.三棱錐力-尸44體積的最大值為與

C.當直線AP與AB所成的角為45°時，點P的軌跡長度為TT+4>/2

D.當尸在底面N3CD上運動，且溶足尸尸〃平面51cA時，線段尸尸長度最大值為2a

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

—]》任p

12.對于非空集合尸，定義函數(shù)力>（x）=〈‘八'已知集合/={x[0<x<l},8={x|f<x<2?,若存在

1”產(chǎn)，

xeR,使得力（x）+力（x）>0,則實數(shù)，的取值范圍為.

22221

13.已知橢圓二+4=1（a>?！?）與雙曲線:?-[=1，橢圓的短軸長與長軸長之比大于一，則雙曲線離

abab2

心率的取值范圍為.

14.函數(shù)/（x）=esinx—e00sx在（0,271）范圍內(nèi)極值點的個數(shù)為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（木小題滿分15分）

如圖所示，半圓柱的軸截面為平面5CG4，3C是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，為一條母線，E

為CG的中點，且4B=/C=44i=4.

(1)求證：0E，A4；

(2)求平面與平面夾角的余弦值.

16.(本小題滿分15分)

猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A,B,C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游

戲，需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且

獲得本歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的

獎勵基金如下表：

歌曲ABC

猜對的概率0.80.50.5

獲得的獎勵基金金額/元100020003000

(1)求甲按“4昆C”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率;

(2)甲決定按“A,B,C”或者“C,B,A”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期

望；為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.

17.(本小題滿分15分)

已函數(shù)/(x)=x3+ax1+bx+c(a,b,c&R),其圖象的對稱中心為(L-2).

(1)求a-6-c的值；

(2)判斷函數(shù)“X)的零點個數(shù).

18.(本小題滿分17分)

已知數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，滿足2s“+a“=3；數(shù)列也｝滿足“+&1=2”+1,其中4=1.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛"｝的通項公式；

(2)對于給定的正整數(shù)，(i=l,2,L,〃)，在弓和勾+i之間插入i個數(shù)qc,L,%?,使

。2，＞~,%嗎+1成等差數(shù)列?

m2

(ii)是否存在正整數(shù)加，使得--------守—恰好是數(shù)列｛4｝或｛2｝中的項？若存在，求出所有滿足條

11乙，11IJ

b-1-------

皿27；一3

件的冽的值；若不存在，說明理由.

19.(本小題滿分17分)

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x="+l表示過點(1,0)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義

為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某

條直線.

(1)若圓。1：%2+/=1是直線族如+孫=1(機,〃€11)的包絡(luò)曲線，求根，”滿足的關(guān)系式；

(2)若點P(X0,%)不在線族：Q(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(aeR)的任意一條直線上，求為的取值范

和直線族。的包絡(luò)曲線E；

(3)在(2)的條件下，過曲線E上43兩點作曲線E的切線//,其交點為尸.已知點C((M),若

43,C三點不共線，探究=是否成立？請說明理由.

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數(shù)學參考答案

命題學校：長沙市一中審題學校：雙峰縣一中

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的每個這項中，只有一項

是符合題目要求的)

題號12345678

答案CCDCBDAA

1.C【解析】平均致與方差是用來反饋數(shù)據(jù)集中趨勢與波動程度大小的就計量：變量1，和x之間的相關(guān)系

數(shù)”的絕對值總大，則變量y和x之間線性相關(guān)關(guān)系越強；用決定系數(shù)我來刻畫回歸效果，R越大說明擬合效

果總好：綜上選C

2.C【解析】QS4=5$2,化簡得—4)，整理得1+/=5,，4=土2,又

\-q\-q

a

~\——q=3,ax—1,.*.a2-1夕—±2.故選C.

3.D【解析】對于選項4表示復(fù)數(shù)二和亍的點關(guān)于實軸對稱，故錯誤：對于選項夙選項C,當z=0時均

不成立，故錯誤.故選。

4.C【解析】取雙曲線上一點(百,0),則d==百，故選c.

yJ3—1

5.B【解析】將四面體尸。補形成長方體，長、寬、高分別為2,1,2,外接球直徑等于體對角線長故

2R=,所以外接球表面積為S=4就2=9式.故選B.

6.D【解析】存入大額存款/元，按照復(fù)利計算，可得每年末本利和是以為一首項，1+3%為公比的等比

數(shù)列，，所認的(1+3%)1°=%。，可得

10210

=(1+3%)=C104-Cox0.034-CQx0.03+L+C}?xO.O3?1.34,故選D

a。

7.A【解析】由題知，/(x)=2sin]ox+；),若沿*軸方向平移，考點其任意性，不妨設(shè)得到的函數(shù)

g(x)=2sin?x+°),令g(x)=l,即sin?x+0)=；,由正弦曲線性質(zhì)知，sinx=；至少有2解，至

多有3解，則自變量x的區(qū)間長度在2兀到一之間，耶2?！眘<——，那2”o<一,選A.

333

8.A【解析】圓心C(a,2),半徑為2,所以圓與x解相切，設(shè)切點為M.則〃(凡。)，連接則

PM=a+l,貝1PMl2=歸川歸邳=3+1）2.

設(shè)AB的中點為。，連接CD,則CDLA5,

語圓心C列直線AB的距離為d,則0?d<2,\PA\+\PB\=\PD\+\AD\+\PD\-\AD\=2\PD\.

11_2|?,_伍+1）2_（a+l）2

由網(wǎng)+網(wǎng)—西可得做DJJPC2_/一口+1）2+4d'

因為0?d<2.所以/\PQ\</伍？:.

V（a+1）+4-0J（a+iy+4-4

（a+1）2仄

因止匕i,^==（2,解得：。=1,故選A.

V（a+l）2+4-0

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

題號91011

答案ACABDCD

9.AC【解析】選項A中，y=e"與y=x+l相切于點（0,1）；選項B中，y=與y=x+1沒有交點;

選項C中，y=sinx+l與y=x+l相切于點（0,1）；選項。中，y=￡+1與y=x+1有三個交點，

（0,1）,（1,2）,（-1,0）,均不是切點.

10.ABD【解析】對于A,VABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB,由sinC=sin（A+3）,得

sinAcosB-cosAsinB=sinB.即sin（A—3）=sinB,由0<A,3<TT,則sinB〉0,故0<A-5<7r,所

以A-8=5或A-_B+_B=x,即A=23或A=7i（舍去），即A=23,A正確：

對于8,結(jié)合4=23和正弦定理知，一=百%=上,（：055=立，又0<43<兀，數(shù)

sinAsin2BsinB2

jrjr

2B=-,C=-8正確；

A=32f

TTTTJT

對于C,在銳角VA3C中，0<B<—,0<A=23<—,O<C=71—33<一,即

222

71nR73,n[

一<B<一.—<tsinB<1?

643

111l-tan2B1+tan25

----------=--------------=-------->I1,

tanBtanAtanB2taiiB2tanB

對于D,在銳角VA5C中，由.<B<?,旦<cosB<?.

6422

csinCsin3Bsin2BcosB+cos2BsinB一八I

—=——=-----=---------；-----------=2cos8-------

asinAsin2Bsin2B2cos3

c(4220

由對勾函數(shù)性質(zhì)知，一e—,D正確；故選ABD.

aI23J

ILCD【解析】對A,易知平面平面ABGR,故動點尸的軌跡為矩形，動

點P的軌跡長度為4亞+4,所認A錯誤;

對8因為匕=%_明4，而VA4R的面積為定值2#，要使三棱錐P-A4R的體積最大，當且僅當

點P到平面A4R距離最大，易知，點C是正方體意向到平面A4R距離最大的點，

（匕—PBiJax=匕-的口=|，§錯誤；

對C：連接AC,ABX,以8為圓心，8片為半徑畫弧既，如圖I所示，

當點P在線段AC,A4和弧既上時，直線AP與A5所成的角為45°，

又AC=辦笈+叱=也+4=2叵ABi=《AB?+BB；=,4+4=2后,

弧既長度;xjrxZ?=兀，故點P的軌跡長度為兀+4血，故C正確；

對D-,取4。,DQ,DC,CB,BBX,A3的中點分別為Q,R,N,M,T,H,

連接QR,QF,FT,TM,MN,NR,FH,HN,HM,如圖2所示,

因為尸T〃D.C,尸T<Z面DiBiCQCu面D.B.C,故尸T〃面D.B.C,

TM//BXC,7^/.面24。，4。匚面44。，故TM〃面Di"C；

又FTcTM=T,尸T.TMu面FTM,故平面尸TM〃面Q/。；

又。尸〃NM,QR//TM,RN//FT,故平面b7MW?0與平面尸刀1/是同一個平面.

則點尸的軌跡為線段兒W：

在三角形FNM中,

FN=^FH2+HN2=[4+4=25/2;FM=y/FH2+HM2=〃+2=?NM=五;

則FM2+MN2=8=FN?，故三角形FNM是以NFMN為直角的直角三角形；

故FPa=FN=2近,故我長度的最大值為2JI，故D正確.故選：CD.

三、填空題（本大題共3小題，年小題5分，共15分）

12.（0,1）【解析】由題知：力（?+八（不可取±2,0,若力⑴+力（x）〉0.則人（x）+力（x）=2,即

集合/c3w0,得0＜1＜1,郎，的取值范圍為（0」）.

當XC嗚時，/'（x）＞0：當xen,—時，/,（x）＜0；

當xe（W，7rJ時，〃=sim■和〃=cosx均為單調(diào)減函數(shù)，又.曠=/在〃e（―1,1）上是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合

cinVcosx\37r1

函數(shù)單調(diào)性可知夕行）=-^7+飛F為減函數(shù).丫=。皿Z皿＞0,又廣石＜oj，（2兀）＞0,故函數(shù)/'（X）

在該區(qū)間上存在一個零點，該零點為函數(shù)/（X）的極值點;

從而函數(shù)/（X）在（0,2兀）內(nèi)一共有2個極值點.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.【解析】（1）由5c是直徑可知則V/5C是是等腰直角三角形，故/O_L3C,

由圓柱的特征可知區(qū)4，平面Z8C,又NOC平面N5C,所以A8iJ.NO,

因為BB[CBC=B,BB[,BCu平面BCC^,則NO，平面BCCR,

而OEu平面5CG4,則4O_LQ￡,

因為幺3=幺。=曰=4,則BC=42AB=4A/2,.-.BQ?=B^+BO2=24,

222222

OE=OC+CE=12,B[E?=EC；+B^C=36=BXO+OE,

所以用OJ_QE,

因為50J_O￡,NO_LOE,NOc5Q=O,力0,4。u平面ABQ,

所以O(shè)EJ.平面盟O,又44u平面皿。，故OE工AB「

（2）由題意及（1）易知N4,4B,4。兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系，

VX4UlA一早11I」上,

則4（4,0,4）/（0,4,2）,。（2,2,0）,所以皿=（4,0,4）,慫=（0,4,2）,40=

（2,2,0）,

I上上,

由（1）知幺OJ_平面與。七，故平面5QE的一個法向量是/0=（2.2,0）,

設(shè)）=（x/,二）是平面皿石的一個法向量，

（ruuLi

〃?AB.=4x+4z=0,r、

則有〈「inn取z=—2=>x=2,y=1,所以〃二z（2,1,—2）,

n-AE-4y+2二=0,

設(shè)平面ABXE與平面夾角為6,

/r叫

所以cos￡=cosb?,AO）=

則平面ABXE與平面BQE夾角的余弦值為注.

2

16.【解析】1)設(shè)“甲按/,B,。的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E,

則P(E)=0.8x0.5x0.5+0.8x0.5x0.5=0.4；

則X的所有可能取值為0,1000,3000,6000,

p(x=0)=1-0.8=0.2,

尸(X=1000)=0.8x(1—0.5)=04,

尸(X=3000)=0.8x0,5x(1—0.5)=0.2

P(X=6000)=0.8x0,5x0,5=0.2

所以E(X)=0x0.2+1000x0.4+3000x0.2+6000x0.2=2200；

則Y的所有可能取值為0,3000,5000,6000,

p(y=0)=0.5,

P(y=3000)=0.5x(1-0.5)=0.25,

P(y=5000)=0.5x0,5x(1-0.8)=0.05

P(Y=6000)=0.5x0,5x0,8=0.2

所以E(y)=0x0,5+3000x0,25+5000x0,05+6000x0,2=2200.

參考答案一：由于。(X)=22002x0.2+12002x0.4+8002x0.2+38002x0.2=4560000,

D(y)=22002X0.5+8002x0.25+28002x0.05+38002x0.2=5860000,

由于。(y)〉o(x),所以應(yīng)該安裝“43,?！钡捻樞虿赂杳?

參考答案二：甲按“C,B,A”的順序猜歌名時，獲得0元的概率為0.5,大于按照“A,B,。，的順序猜歌名時

獲得0元的概率，所以應(yīng)孩按照“A,B,。的順序猜歌名.

其他合理答案均給分，

17.【解析】(1)圖為函教的圖象關(guān)于點。,一2)中心付稱，故y=/(x+l)+2為奪函數(shù),

從而有/(x+l)+2+/(—x+l)+2=0,即/(x+l)+/(—x+l)=—4.

/(x+1)=(x+1)3++1)?+6(x+])+c=x3+(a+3)x2+(2a+Z?+3)x+a+6+c+l,

/(l—x)=(1—x)3+tz(l—x)~+Z?(1—x)+c=—%3+(a+3)—(2a+Z?+3)x+a+6+c+l.

2〃+6=0,a=-3,

所以《CC7CC4解得<i^La-b-c=-3；

2a+2b+2c+2——4,b+c=O,

(2)法一：由(1)可知，/(x)=x3-3x2-ex+c,f'[x^=3x2-6x-c,A=36+12c,

當G,—3時，為單調(diào)增函教，/(l)=-2<0,

/(o'=c4-3c4-c3+c...9c4-3c4-c3+c=6c4-c3+c=4c4+(</-<?)+,+°)>0,

函數(shù)/(x)有且僅有一個零點；

當-3<c<0時，/'(x)=0有兩個正根X]</，滿足為+七=2??/=—；〉0，且3x；一6%-c=0,

數(shù)在區(qū)間(-上單調(diào)遞增，在區(qū)間(為％)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(％，+。)上單調(diào)遞增，

/(%1)=X；—3x；_(芭-0(3x：—6xJ=-2x1(x：-3x；+3)<0"(3)=—2〉0,

函數(shù)/(x)有且僅有一個零點；

當c=0時，=3/有兩個零點

當C〉0時，/'(X)=0有兩個根X[<0<%2，滿足X[+刀2=2,不?工2=—gvO，

函數(shù)“X)在區(qū)間(-8,%)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(七,%)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(％2，+°°)上單調(diào)遞增，

/(X1)>/(0)=C>0,/(X2)</(1)=-2<0.

函致/(x)有且僅有三個零點；

綜上，當c〉0時，函數(shù)/(%)有三個零點；當c=0時，函數(shù)/(力有兩個零點；當c<0時，函數(shù)/(x)有

一個零點

法二：由⑴可知，/(X)=X3-3X2-CX+C,/(1)=-2^0,今〃X)=0,則.=-尸—3犬

x-1

32

可以轉(zhuǎn)化為y=C與y=Xr-3x兩個這數(shù)圖象交點的個數(shù),

x-1

今(XW])，則〃(x)=2'(：+3),

九一1(X—1)

故丸(X)在區(qū)間(一叫0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增在區(qū)間。,+")上單調(diào)遞增,

當x單調(diào)遞增時，A(x)=*(\3)〉一,可可趁于+“；力⑼=o；

當尤趨于1且比1小時，丸(x)趨于+oo：當尤趨于1且比1大時，〃(x)趨于-孫

當x單調(diào)遞增+”時，丸丸(％)趨于+:

所以，當c〉0時，有三個交點；當c=0時，有兩個交點；當c<0時，有一個交點.

綜上，當c〉0時，函數(shù)/(%)有三個零點；當c=0時，函數(shù)/(x)有兩個零點；當c<0時，函數(shù)/(x)有

一個零點.

注意，如果是保留參數(shù)b,則答案為：

當6〉0時，函數(shù)/(x)有一個零點；當6=0時，函數(shù)/(%)有兩個零點；當6<0時，函數(shù)/(x)有三個零

點.

18.【解析】(1)由2S.+a,=3①，當幾.2時,2s“T+4T=3②，

①-②得2a.+a,—%=0..也=；q_1(幾,2),

當〃=1時，2〃[+〃]=3,q=1,

.??｛?！保鞘醉棡?,公比為g的等比數(shù)列，故("eN)

由勿+"+i=2"+1③.由乙=1

得%=2,又%+%2=2"+3④.

④-③得或+2—2=2，

｛〃｝的所有奇數(shù)項構(gòu)成首項為1，公差為2的等差數(shù)列：所有偶數(shù)項構(gòu)成首項為2,公差為2的等差數(shù)列.

得b2f2一1=l+(〃一l)x2=2〃一1,Z?2n=2+(n-1)x2=2n,bn-n\nGN

n-l

綜上：a|,b=n(neN

nIn

(2)(i)在a“和4+i之間新入幾個數(shù)%,c“2，L,%，使a“,4,c〃2，L,c“〃,a.+i成等差數(shù)列,

設(shè)公差為4,則,

+2)-13"5+1)

n—1

2k,7n2n{n+1)2n

則3"(〃+1)'一之‘成

3"(〃+1)2r

12.n

—+F+L+—⑤

3323"

1+W+L+

則⑥

3233

⑤-⑥得：門22(卜1”1n12〃+3

+=i-L，

332

7

n-l\又T=3_2"+3

(ii)由(1)a=eN*

nI也卜"22x3"

-1+—7T

4,+2m-l+3w+1

由己知

…1_”3吁1+3”

2Tm-3

_iI^m+\

假設(shè)"Li是數(shù)量列｛4｝或也｝中的一項,

根—1+3機

m_i_i_a冽+i/

不妨設(shè)=左(左>0,根eN*左一1)(加一1)=(3—左)-3"‘，

n-\

m

因為加一L,0,3>0(m￡N*，所以1＜左，3,而〃〃=I”1，

_1If+l

所以:]：3〃不可能是數(shù)列｛%｝中的項.

rJJ_1I

假設(shè)是｛4｝中的項,則左eN*.

7〃-1+3”

I,,?m口/「I1A\ni-\，/八“、mm-1-2m+3

當k=2時，有〃?_1=3M，即丁=1，令■/(7〃)=亍，/(〃/+1)一/(加)=尹一亍=3.1

當加=1時，/(1)</(2);當〃,...2時，f[m+1)-f(m)<0,/(I)</(2)>/(3)>/(4)>L,由

/。)=0，/(2)=；知工=1無解?

當左=3時，有〃-1=0,即加=1.所以存在〃1=1使得"三￡=3是數(shù)列｛4｝中的第3項.

故存在正整數(shù)m=1使得--------端行是數(shù)列｛4｝中的第3項.

瓦一]--------

刑2Tm-3

19.【解析】（1）由定義可知，7〃x+〃y=l與/+了2=1相切，則圓G的圓心（0,0）到直線“a+4曠=1的

J1,

距離等于1,則、=%再方=1,叔"J+〃2=l.

（2）點產(chǎn)（X。，%）不在直線族C：（2。-4）x+4.V+g—2）2=0（aeR）的任意一條直線上，所以無論。取何

值時，（2a—4）仆+4.%+（。-2）2=0無解.

將（2a-4）x0+4v0+（a—2）2=0整理成關(guān)于a的一元二次方程；

2*4

a+(2xo-4)a+(4+4yo-4xo)=O.

若該方程無解，則八二Q%—4）2-4（4+4%—4.%）<0,即%〉也.

4

2（2\x一

證明：在箕=土上任取一點。石,號，y=彳在該點處的切線斜率為彳土于是可以得到》=亍在

4I4J2

,2\

Q演,十點處的切線方程為：y^-x-—?即一2X]X+4y+x；=0.

<4yl

今直線族C：（2a-4）x+4.y+（a-2）2=0中2。一4=-2./，則直線為一2*/+4了+工；=0,

所以該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線，

而對任意a￡R,（2〃-4）%+4y+（〃-2）2=。那是拋物線在點2-a,-------處的切線.

所以直線族。的包絡(luò)曲線￡為丁=亍.

LAXILL1LI

（3）法一：已知C（o,l）,設(shè)人（%,%）,5（%2，%）,則CA=（石,

ILH,yn2

CA卜才+1,同1o=才+1.

由（2）知，y=亍在點A（X],yJ處的切線方程為y=”x—”；同理y=?在點3（々42）處的切線方

程為丁"三1』

-24

v-

"24'XXIUD

%+%212玉+冗2冗1冗21j

2np，所以。尸二

X,Xj2'4

y=—x——-

?24

CACPCBCP

即jtmtun.=jiimwn,,所以ZPCA=NPCB成立.

C4-CPCB-CP

法二：過45分別作準線的垂線AA',33',連接AP,3'P.

因為女尸A=y'L=%=54，尢貿(mào)

顯然％BA.k^c=—L

又由拋物線定義得：AA'=AC,故P4為線段AC的中垂線，得到PA=PC,即NPAA=/PCA.

同理可知NPB'B=NPCB,PB'=PC,

所以PA'=PC=PB',即=NPB'A.

則/PAA=/PA舊+90°=NPBW+90°=ZPB'B.

所以NPCA=NPCB成立.

湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考

數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.對兩個變量x和y進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)（事,%）,（%，％），…，（居，乂,），下列統(tǒng)計量的數(shù)值能夠

刻畫其經(jīng)驗回歸方程的擬合效果的是（）

A.平均數(shù)B.相關(guān)系數(shù)廠C.決定系數(shù)氏2D.方差

2.已知｛4｝是等比數(shù)列，是其前〃項和若%-q=3同=58，則%的值為（）

A.2B.4C.±2D.±4

3.關(guān)于復(fù)數(shù)z與其共輾復(fù)數(shù)彳，下列結(jié)論正確的是（）

A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)2和彳的點關(guān)于虛軸對稱

B.z-z>0

C.z+亍必為實數(shù)，z-亍必為純虛數(shù)

D.若復(fù)數(shù)z為實系數(shù)一元二次方程QX2+6X+C=（）的一根，則亍也必是該方程的根

22

4.已知M為雙曲線土—二=1上一動點，則M到點（3,0）和到直線x=l的距離之比為（）

36

A.lB，V2C.V3D.2

5.如圖，在四面體尸—4BC中，尸幺，平面48。,/。，。3/>/=/。=23。=2,則此四面體的外接球表面

A.3TTB.9兀C.36兀D.48兀

6.某銀行在2024年初給出的大額存款的年利率為3%,某人存入大額存款4元，按照復(fù)利計算10年后得到的

a,

本利和為％。，下列各數(shù)中與」n最接近的是（）

旬

A.1.31B.1.32C.1.33D.1.34

7.已知函數(shù)/（x）=sin（ox）+JIcos（ox）,若沿x軸方向平移/（x）的圖象，總能保證平移后的曲線與直線

了=1在區(qū)間［0,可上至少有2個交點，至多有3個交點，則正實數(shù)①的取值范圍為（）

\10、F10八八

8.過點尸（—1,0）的動直線與圓C:（x—4+⑶―2）2=4（a>0）交于48兩點，在線段48上取一點。，使得

112,,廣

|P^|+|P5|=|P2|>已知線段戶。的最小值為J5，則。的值為（）

A.lB.2C.3D.4

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.下列函數(shù)的圖象與直線y=x+l相切的有（）

A.y=exB.y=lnx

C.y=sinx+1D.y=x3+1

10.在中，角48,。所對的邊分別為見“C，且c=b（2coM+l）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.A=2B

B.若a=6b，則為直角三角形

C.若為銳角三角形，」-------的最小值為1

tanStanA

D.若A4BC為銳角三角形，則§的取值范圍為^-，―

aS3J

11.如圖，點尸是棱長為2的正方體ABCD-44GA的表面上一個動點,F是線段44的中點，則（

A.若點P滿足則動點尸的軌跡長度為4J5

B.三棱錐A-PBQi體積的最大值為y

C.當直線AP與AB所成的角為45°時，點尸的軌跡長度為兀+4后

D.當P在底面4BCQ上運動，且洛足PE〃平面4CR時，線段PE長度最大值為2夜

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

一]xep

12.對于非空集合尸，定義函數(shù)力（x）=〈"八’已知集合/={x[O<x<l},B={x[/<x<2/},若存在

[1,XeP,

xeR,使得力（x）+/（x）〉O,則實數(shù)，的取值范圍為.

22221

13.已知橢圓二+占=13>6>0）與雙曲線二—二=1，橢圓的短軸長與長軸長之比大于一，則雙曲線離

a~b~a"b~2

心率的取值范圍為.

14.函數(shù)/（X）=e9—eC°sx在（0,2兀）范圍內(nèi)極值點的個數(shù)為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（木小題滿分15分）

如圖所示，半圓柱的軸截面為平面5CG4,8c是圓柱底面的直徑，。為底面圓心，44為一條母線，E為

CG的中點，且45=/C=/4=4.

（1）求證：0E1ABX；

（2）求平面//￡與平面夾角的余弦值.

16.（本小題滿分15分）

猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有aB,c三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲,

需從三首歌曲中各隨機選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本

歌曲對應(yīng)的獎勵基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲的概率及猜對時獲得相應(yīng)的獎勵基

金如下表:

歌曲ABC

猜對的概率0.80.50.5

獲得的獎勵基金金額/元100020003000

（I）求甲按的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率;

（2）甲決定按“A,8,C”或者“C,民Z”兩種順序猜歌名，請你計算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎勵基金的期望;

為了得到更多的獎勵基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.

17.（本小題滿分15分）

已函數(shù)/（x）=x3+ax2+bx+c（a,b,ceR）,其圖象的對稱中心為（1,一2）.

（1）求。的值；

（2）判斷函數(shù)“X）的零點個數(shù).

18.（本小題滿分17分）

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為其，滿足2s“+4=3；數(shù)列也｝滿足包+&]=2〃+1,其中4=1.

（1）求數(shù)列｛%｝,｛4｝的通項公式；

（2）對于給定的正整數(shù)=在區(qū)和區(qū)+1之間插入z,個數(shù)…,4,使q.?i，ca,---,cu,ai+l

成等差數(shù)列.

（i）求（=Gi+。21+。22+?■-+C?1+C?2+…+g"；

m7

（ii）是否存在正整數(shù)加，使得-------垢a不+恰好是數(shù)列｛%｝或也｝中的項？若存在，求出所有滿足條件

b-1--------

m

2Tm-3

的加的值；若不存在，說明理由.

19.（本小題滿分17分）

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如》=沙+1表示過點（1,0）的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：

直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直

線.

(1)若圓4：/+/=1是直線族加x+即=1(加,〃eR)的包絡(luò)曲線，求加，〃滿足的關(guān)系式；

(2)若點尸(%,%)不在線族：Q(2a-4)x+47+伍—2)2=0(。eR)的任意一條直線上，求比的取值范和

直線族C的包絡(luò)曲線E；

⑶在(2)的條件下，過曲線E上48兩點作曲線￡的切線//,其交點為尸.已知點C(O,l),若4瓦。

三點不共線，探究NPC4=NPCB是否成立？請說明理由.

湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第二次聯(lián)考

數(shù)學參考答案

命題學校：長沙市一中審題學校：雙峰縣一中

一,選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的每個這項中，只有一項

是符合題目要求的)

題號12345678

答案CCDCBDAA

1.C【解析】平均致與方差是用來反饋數(shù)據(jù)集中趨勢與波動程度大小的就計量：變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)”

的絕對值總大，則變量》和x之間線性相關(guān)關(guān)系越強；用決定系數(shù)R來刻畫回歸效果，R越大說明擬合效果總

好：綜上選c

2.C【解析】-S4=5S2,化簡得“1(1—4)=5、0一4)，整理得l+q2=5,；.q=±2,又

\-q\-q

=a4—%=3,「.Q]=l,.\a2=qq=±2.故選C.

3.D【解析】對于選項4