四川省眉山市2023屆高三數(shù)學(xué)一輪講義12零點(diǎn)函數(shù)與方程

函數(shù)與方程：知識(shí)梳理

一函數(shù)零點(diǎn)的定義

(1)對(duì)于函數(shù)丁=/(%)(%€。)，把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)(xe￡>)的零點(diǎn)；

(2)方程7(%)=0有實(shí)根0函數(shù)丁=/(%)的圖像與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。

函數(shù)零點(diǎn)的理解：①函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是同一問題的三種

不同表述形式，方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù);

②函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)使得函數(shù)的函數(shù)值為

零的實(shí)數(shù)，是方程/(x)=0的實(shí)根；

二函數(shù)零點(diǎn)的判定(即零點(diǎn)存在性定理)

如果函數(shù)y=/(尤)在區(qū)間口上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且/(a)?/3)<0,那么

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。

即存在ce(a,ZO,使得/Xc)=O,實(shí)數(shù)c就是f(x)=0的根，

注意：(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則F(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是

一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)=0的實(shí)根.

o|M-

(2)由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a,6］上有零點(diǎn)不一定能推出/1(a)?f(6)〈0,

如圖所示，所以f(a)?f(6)<0是y=f(x)在閉區(qū)間［a,6］上有零點(diǎn)的充分不必要條件.

例1.已知函數(shù)F(x)=x2+(l—l)x—A的一個(gè)零點(diǎn)在⑵3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

例2.二次函數(shù)f(x)=x2—16x+g+3.若函數(shù)在區(qū)間［―1,1］上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍；

例3.函數(shù)/1(x)=ax+l—2a在區(qū)間(一1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三用二分法求函數(shù)y=7(%)零點(diǎn)近似值的步驟

第一步：確定區(qū)間勿，驗(yàn)證/(a)?/S)<0,給定精確度￡；

第二步：求區(qū)間(a,。)的中點(diǎn)看，判斷了(七)的正負(fù)；

A若/(不)=0,則/就是函數(shù)的零點(diǎn)；

B若/(辦/(/)<0,則函數(shù)的零點(diǎn)與e(。,占)，此時(shí)把.賦值給b；

C若/伯)"(6)<0，則函數(shù)的零點(diǎn)與€(苞力)，此時(shí)把尤］賦值給a；

第三步：判斷是否達(dá)到精確度￡：若|a-匕|<￡成立，則得到零點(diǎn)近似值a(或人);

1

否則重復(fù)第二、三步；

二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的理解：二分法是求方程的根的近似值的一種計(jì)算方法，其實(shí)質(zhì)是通過不斷地

“取中點(diǎn)”來縮小零點(diǎn)所在的范圍，當(dāng)達(dá)到一定的精確度要求時(shí)，所得區(qū)間內(nèi)的

任意一點(diǎn)都是這個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的近似值。

例.用二分法研究函數(shù)f(x)=v+3x—1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算/(0)<0,A0.5)>0可得其中一個(gè)零點(diǎn)

,第二次應(yīng)計(jì)算.

四函數(shù)零點(diǎn)的求法和函數(shù)零點(diǎn)所在范圍的判斷

求函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)只需求出方程/(%)=0的根即可；

求函數(shù)零點(diǎn)所在范圍：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后用零點(diǎn)存在性定理判斷該區(qū)間上是否有零點(diǎn)

例1.方程log3x+x—3=0的解所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

例2.在下列區(qū)間中，函數(shù)/1(x)=e，+4x—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

11,11、13、

A.z0)B.z(0,-)C.(-,D.(Z-,-)

例3.已知函數(shù)F(x)=lnx—x+2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(4,4+1)(AeN*),則#的值為.

例4.設(shè)函數(shù)f(x)=e*+2x—4,g(x)=lnx+2x,—5,若實(shí)數(shù)a,6分別是f(x),g(x)的零點(diǎn)，貝！I()

A.g(a)〈0〈f(6)B./1(6)〈0〈g(a)C.0〈g(a)〈/'(6)D.f(6)〈g(a)〈0

例5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=(f—3x+2)g(x)+3x—4,其中函數(shù)y=g(x)的圖象是一條連續(xù)曲

線，則方程f(x)=0在下面哪個(gè)范圍內(nèi)必有實(shí)數(shù)根()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

五函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

y=F(x)與y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)o求方程/(%)=g(x)的實(shí)根個(gè)數(shù)

O求函數(shù)y=/(%)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)O兩新函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

1.解方程：方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

例1.(2012?湖北)函數(shù)/U)=xcos系在區(qū)間［0,4］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

2

例2.設(shè)函數(shù)f(x)=/+-(殳。0).當(dāng)a>l時(shí)，方程f(x)=f(a)的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

X

2.圖像與無(wú)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1.函數(shù)F(x)=sinx—x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是().

A.0B.1C.2D.3

x+cosx,x<0

例2.函數(shù)/(%)=《13/1八的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

J-x-4x+l,x>0

A4B3C2D無(wú)數(shù)個(gè)

例3.已知_f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0Wx<2時(shí)，f{x)=x—x,則函數(shù)尸F(xiàn)(x)的

圖象在區(qū)間［0,6］上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為().

A.6B.7C.8D.9

2

x+3,x)a

,,一,函數(shù)g(x)=F(x)—2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

{x2+6x+3,xWa

取值范圍是()

A.[—1,3)B.[—3,—1]C.[—3,3)D.[—1,1)

3.轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題判斷。

例1.方程1g下COSX的實(shí)根個(gè)數(shù)是.

例2.若定義在R上的偶函數(shù)『(X)滿足/1(x+2)=F(x),且當(dāng)xe[0,1]時(shí)，F(xiàn)(x)=x,則函數(shù)曠=/(入)一

logs|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.多于4個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

8%—8(%v1)

例3：已知函數(shù)/Xx)=,一，g(x)=lnx.則/'(X)與g(x)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

%-6x+5(%>1)

A.1B.2C.3D.4

六.已知方程根的個(gè)數(shù)求方程中待定字母的范圍

例L若方程X+左=，1一工2有且只有一個(gè)解,則左的取值范圍是()

A.[-1,1)B.左=±V2C.[-1,1]D.k=叵或ke[-1,1)

例2.已知函數(shù)f(x)=\x-2\+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍

是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+8)

例3.若函數(shù)f(x)=/—x—a(a〉0且aWl)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

例4.若函數(shù)/"(X)=f—TKOSX+以'+3m—8有唯一零點(diǎn)，則滿足條件的實(shí)數(shù)nF.

[\x\,運(yùn)也,

例5.(2016?山東)已知函數(shù)f(x)=晨其中而0,若存在實(shí)數(shù)6,使得關(guān)于x

〔才一2處￥十4/，x>m,

的方程廣(x)=6有三個(gè)不同的根，則〃的取值范圍是.

1,

例6.已知函數(shù)f(x)=<l則使方程x+F(x)=/有解的實(shí)數(shù)力的取值范圍是()

一，x>0,

A.(1,2)B.(—8,-2]C.(—8,1)u(2,+8)D.(—8,1]u[2,+oo)

例7.已知xi,X2是函數(shù)F(x)=e-'—|Inx|的兩個(gè)零點(diǎn)，則)

3

A」〈xix?〈lB.lQix,〈eC.IVzxKlOD.e〈xixK10

e

例8.設(shè)/(x)=|2—Vi，若0＜。＜6,且/(a)=/3),則?！ǖ娜≈捣秶?)

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,行)

例9.已知函數(shù)f(x)=*+3x］,xGR,若方程fU~a\x-l\=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是.

七.解方程；法一：分解因式后直接求解；法二：換元法。

例1.方程x/"—3/x/+2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是個(gè).

例2.已知對(duì)一切AGR,都有f(x)=f(2—x),且方程f(x)=O有5個(gè)不同的實(shí)根，則這五個(gè)根的

和;

例3.已知關(guān)于x的方程|9一6x|=a(a>0)的解集為八則戶中所有元素的和可能是()

A.3,6,9B.6,9,12C.9,12,15D.6,12,15

b

例4.函數(shù)/(%)=依+笈+。(〃力0)的圖象關(guān)于直線％二——對(duì)稱。據(jù)此可推測(cè)，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a,

2a

b,c,m,n,p,關(guān)于x的方程相［/(%)『+W(%)+p=0的解集都不可能是()

A.{1,2}B{1,4}C{1,2,3,4}D{1,4,16,64}

例5.已知定義在R上的奇函數(shù)/(X),滿足了(%-4)=-/(%),且在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù)，若方程

f(x)=m(m>0)在區(qū)間［-8,8］上有四個(gè)不同的根斗,公，x3，x4，則

例6.已知函數(shù)其中匚□，若函數(shù)「一|有3個(gè)不同的零點(diǎn),則0的

取值范圍是.

a

例7.已知函數(shù)f(x)=X—1,若關(guān)于X的方程HMx))=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a

JgX,￡>0

的取值范圍為.

4

例8.(2016?衡水期中)若a>l,設(shè)函數(shù)廣(x)=d+x—4的零點(diǎn)為m,函數(shù)g(x)=log/+x—4的零點(diǎn)為

n,

則的最小值為

mn

函數(shù)與方程：知識(shí)梳理

一函數(shù)零點(diǎn)的定義

(1)對(duì)于函數(shù)丁=/(%)(％€。)，把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)(xe￡>)的零點(diǎn)；

(2)方程/(x)=O有實(shí)根o函數(shù)y=/(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。

函數(shù)零點(diǎn)的理解：①函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是同一問題的三種

不同表述形式，方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù);

②函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)使得函數(shù)的函數(shù)值為

零的實(shí)數(shù)，是方程/(x)=O的實(shí)根；

二函數(shù)零點(diǎn)的判定(即零點(diǎn)存在性定理)

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間切上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且/(a)?/(0)<0,那么

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)。

即存在ce(a,。),使得:(c)=0,實(shí)數(shù)c就是/(尤)=0的根,

注意：(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)/<x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/"(X)至多有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是

一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程/5)=0的實(shí)根.

(2)由函數(shù)y=f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間［a,6］上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)?f(6)〈0,

如圖所示，所以『(a)?丹加〈0是了=/5)在閉區(qū)間［a,6］上有零點(diǎn)的充分不必要條件.

例1.已知函數(shù)F(x)=Y+(1—4)x—次的一個(gè)零點(diǎn)在⑵3)內(nèi)，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

答案：(2,3)

例2.二次函數(shù)/(x)=1—16x+g+3.若函數(shù)在區(qū)間［―1,1］上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍:

答案：［-20,12］

例3.函數(shù)/U)=ax+1—2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(I1)

解析:?函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得『(一1)『(1)〈0,.??(—3a+l)?(1—a)<0,解得

J

5

???實(shí)數(shù)a的取值范圍是七，1

三用二分法求函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)近似值的步驟

第一步：確定區(qū)間回，驗(yàn)證/(a)?FS)<0,給定精確度￡；

第二步：求區(qū)間(。,。)的中點(diǎn)修，判斷了(七)的正負(fù)；

A若/則%就是函數(shù)的零點(diǎn)；

B若/(a>/(/)<0,則函數(shù)的零點(diǎn)x()e(a,/),此時(shí)把與賦值給〃；

C若/S>/(Xi)<0,則函數(shù)的零點(diǎn)與6(國(guó)力)，此時(shí)把匹賦值給a；

第三步：判斷是否達(dá)到精確度￡：若|。-切<￡成立，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；

否則重復(fù)第二、三步；

二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的理解：二分法是求方程的根的近似值的一種計(jì)算方法，其實(shí)質(zhì)是通過不斷地

“取中點(diǎn)”來縮小零點(diǎn)所在的范圍，當(dāng)達(dá)到一定的精確度要求時(shí)，所得區(qū)間內(nèi)的

任意一點(diǎn)都是這個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的近似值。

例.用二分法研究函數(shù)/U)=x3+3x—1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)〈0,f(0.5)>0可得其中一個(gè)零點(diǎn)

x°e,第二次應(yīng)計(jì)算.

四函數(shù)零點(diǎn)的求法和函數(shù)零點(diǎn)所在范圍的判斷

求函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)只需求出方程/(%)=0的根即可；

求函數(shù)零點(diǎn)所在范圍：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后用零點(diǎn)存在性定理判斷該區(qū)間上是否有零點(diǎn)

例1.方程log3x+x—3=0的解所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案C

解析設(shè)/'(x)=log3x+x—3,則f(2)=log32—1〈0,/'(3)=log33+3—3=1>0,

.*"(x)=0在⑵3)有零點(diǎn)，

又/U)為增函數(shù)，.?"(x)=0的零點(diǎn)在⑵3)內(nèi).

例2.在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=e'+4x—3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

11Ari3、

A.z0)B.(z0,-)C.(-,D.(z-,-)

答案c

解析f(x)=e*+4x—3,f'(x)=e*+4〉0.

在其定義域上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù).

1--11-

V/(--)=e4-4<0,f(0)=e°+4X0—3=—2〈0,=e4-2<0,/(-)=e2-l>0,

6

?嗎)<0.

例3.己知函數(shù)/■(x)=lnx—x+2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為("，A+l)("GN*),則"的值為.

答案3

解析由題意知，當(dāng)x〉l時(shí)，/'(x)單調(diào)遞減，因?yàn)閒(3)=ln3—1〉0,f(4)=ln4—2〈0,所以該函數(shù)的

零點(diǎn)

在區(qū)間⑶4)內(nèi)，所以A=3.

例4.設(shè)函數(shù)f(x)=e，+2x—4,g(x)=lnx+2f—5,若實(shí)數(shù)a,人分別是/1(x),g(x)的零點(diǎn)，貝!1()

A.g(a)〈0〈f(b)B./1(6)〈0〈g(a)C.0〈g(a)</(/))D.f(6)〈g(a)〈0

答案A

解析依題意，f(0)=—3〈0,f(l)=e—2>0,且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)

內(nèi)，即0<a〈Lg⑴=—3<0,g(2)=ln2+3>0,函數(shù)g(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，即1<從2,于

是有f(6)〉f(l)〉0.又函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，因此有g(shù)(是<g(l)<0,g(a)<0<f(6),選A.

例5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=(f-3x+2)g(x)+3x—4,其中函數(shù)尸g(x)的圖象是一條連續(xù)曲

線，則方程f(x)=0在下面哪個(gè)范圍內(nèi)必有實(shí)數(shù)根()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案:B

五函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

y=F(x)與y=g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)o求方程/(x)=g(x)的實(shí)根個(gè)數(shù)

O求函數(shù)y=/(X)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)O兩新函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

1.解方程：方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

例1.(2012?湖北)函數(shù)f(x)=xcosX?在區(qū)間［0,4］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析當(dāng)x=0時(shí)，『5)=0.又因?yàn)闉?［0,4］,

11JI

所以0W/W16.因?yàn)?Ji<16<-7~,

兀3兀5兀7兀9兀

所以函數(shù)〃=。0$/在/取丁，一廠，一廠，一廠，一5一時(shí)為0,

乙乙乙乙乙

此時(shí)F(x)=0,所以_f(x)=xcosf在區(qū)間［0,4］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

2

例2.設(shè)函數(shù)_f(x)=/+-(才70).當(dāng)石>1時(shí)，方程_f(x)=/1(a)的實(shí)根個(gè)數(shù)為____.

x

答案：3

解析：令g(x)=F(x)—F口,

99

即g^X)=3+一—才一一，

xa

整理得：g(x)=—^x-a){axax—2^).

顯然g?=0,令力(x)=axax—2.

7

VA(0)=-2<0,A(a)=2(a-l)>0,

；"(x)在區(qū)間(—8,0)和(0,a)各有一個(gè)零點(diǎn).

因此，g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)=f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.

2.圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1.函數(shù)f(x)=sinx—x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是().

A.0B.1C.2D.3

答案：B

X+COSX,%<0

例2.函數(shù)=3/1c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

J-X-4x+l,尤>0

A4B3C2D無(wú)數(shù)個(gè)

答案：B

例3.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0Wx〈2時(shí)，f(x)=x3—x,則函數(shù)y=f(x)的

圖象在區(qū)間［0,6］上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為().

A.6B.7C.8D.9

答案：B

fy-I—Qo

例4.已知函數(shù)f(x)=z]?一，函數(shù)g(x)=f(x)—2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

4+6x+3,x^a

取值范圍是()

A.[—1,3)B.[—3,—1]C.［-3,3)D.［-1,1)

答案A

x+3,x>a‘所以鼠》］13-+x41+xy3a,I，又因?yàn)槿?有三個(gè)不同的

解析因?yàn)閒(x)=

x+6x+3,x^a

零點(diǎn)，則方程3—x=0,x>a有一個(gè)解，解得x=3,所以水3,方程f+4x+3=0,xWa有兩個(gè)

不同的解，解得x=—1或x=-3,又因?yàn)閤Wa,所以a》一1.所以a的取值范圍為［—1,3).

3.轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題判斷。

例1.方程1g下C0SX的實(shí)根個(gè)數(shù)是.

例2.若定義在R上的偶函數(shù)/"(X)滿足/1(x+2)=F(x),且當(dāng)XG［0,1］時(shí)，f(x)=x,則函數(shù)y=/(x)—

log31x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.多于4個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

答案B

解析：由題意知，/Xx)是周期為2的偶函數(shù).

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)及y=log31x|的圖象,如下:

8

觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)y=f(x)—log31x|有4個(gè)零點(diǎn).

例3：已知函數(shù)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

答案：C

六.已知方程根的個(gè)數(shù)求方程中待定字母的范圍

例L若方程X+左=J1—心有且只有一個(gè)解,則左的取值范圍是()

A.[-1,1)B.女=±V2C.[-1,1]D.左=叵或ke[-1,1)

例2.已知函數(shù)f(x)=|x—2|+1,g(x)=kx.若方程F(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍

是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+8)

答案：B

解析：先作出函數(shù)F(x)=|x—2|+1的圖象，如圖所示，當(dāng)直線g(x)=/x與直線46平行時(shí)斜率為1,

當(dāng)直線g(x)=履過/點(diǎn)時(shí)斜率為玄故f(x)=g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，

A的取值范圍為g,1).

例3.若函數(shù)=a，—x—a(a〉0且a#1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案：(1,+8)

解析：函數(shù)f(x)=a，—x—a(a〉0且a=l)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程x—a=0有兩個(gè)根，即函數(shù)y=a'與函

數(shù)y=x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)0〈a〈l時(shí)，圖象如圖①所示，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)a>l時(shí)，圖象如圖②所示，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).

9

，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+co).

例4.若函數(shù)F(x)=x“一底OSX+R2+3〃-8有唯一零點(diǎn)，則滿足條件的實(shí)數(shù)爐.

答案：2,偶函數(shù)，-4帶入有其他零點(diǎn)

例5.(2016?山東)已知函數(shù)f(x)=L,其中而0,若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x

[x—2/nx+4m,x>m,

的方程f(x)=6有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是.

答案(3,+8)

解析如圖，

當(dāng)后"時(shí)，/U)=|x|；當(dāng)x〉/時(shí)，f(x)=/—2〃x+4〃，在E,+8)上為增函數(shù)，若存

在實(shí)數(shù)6,使方程f(x)=6有三個(gè)不同的根，則以2—2〃?0+4成㈤.

解得ni>3.

1,

例6.已知函數(shù)則使方程x+f(x)=〃有解的實(shí)數(shù)力的取值范圍是()

一，x>0,

A.(1,2)B.(—8,-2]C.(—8,1)u(2,+8)D.(-00,1]U[2,+°O)

答案D

解析當(dāng)KO時(shí)，x+F(x)=m,即x+l=〃,解得mWl；當(dāng)x>0時(shí)，x+F(x)=m,即x+-=m,解得

x

即實(shí)數(shù)0的取值范圍是(-8,l]u[2,+8).故選D.

例7.已知荀，xz是函數(shù)f(x)=e-，一|lnx|的兩個(gè)零點(diǎn)，貝U()

A.~<X1X2<1B.l〈xiX2〈eC.1〈荀也〈10D.e〈xi；e<10

e

答案A

解析在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)尸葭'與y=|Inx|的圖象，結(jié)合圖象不難看出，它們的兩個(gè)交點(diǎn)中，

其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(0,1),另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(1,+8),即在國(guó)，X2中，

其中一個(gè)屬于區(qū)間(0,1),另一個(gè)屬于區(qū)間(1,+8).不妨設(shè)xiG(0,l),加6(1,+8),則有

-1,2-1

*'=|lnxJ=-InxiE(e1),e'—\Inx2\—ln加￡(0,e),e—吊—e—xi=ln照+lnXi

=lnxiX2^(—1,0),于是有eT<xiX2〈e°,即一〈不加<1.

e

例8.設(shè)/(x)=|2—必I，若0<。<6,且/(a)=/3),則。〃的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,2]C.(0,4]D.(0,0)

例9.已知函數(shù)f(x)=|V+3x|,xCR,若方程/U)—a|x—1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的

10

取值范圍是.

答案：(0,l)u(9,+8)

解析：設(shè)yi=f(x)=|x2+3x|,y2=a\x-l\,

在同一直角坐標(biāo)系中作出yi=\x+3x\,y2=a\x-l\的圖象如圖所示.

由圖可知『⑺一a|x—1|=0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于K=，+3X|與乃=a|x—1］的圖象有

4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1,

fy=-x_3x,

所以.有兩組不同解，

1—x

消去y得/+(3—a)x+a=0有兩個(gè)不等實(shí)根，

所以4=(3—a)2—4a〉0,即a—10a+9>0,

解得a<l或a>9.

又由圖象得a〉0,.?.(Ka?；騛>9.

七.解方程；法一：分解因式后直接求解；法二：換元法。

例1.方程x|x|—3|x|+2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是個(gè).

例2.已知對(duì)一切xeR,都有f(x)=f(2-x),且方程f(x)=0有5個(gè)不同的實(shí)根，則這五個(gè)根的

和;

例3.已知關(guān)于x的方程|丁一6x|=a(a>0)的解集為戶，則戶中所有元素的和可能是()

A.3,6,9B.6,9,12C.9,12,15D.6,12,15

答案：B

例4.函數(shù)

b,c,

答案：D

例5.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間