2024年知名賽事圓夢(mèng)杯模擬考試數(shù)學(xué)試題

2024年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)一模擬考試（四）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試蠶指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合〃={#2一2%〈3卜N=卜卜=21，則MAN=（）

A.（-1,1）B.（0,+oo）C.[0,3]D.（0,3]

2.在復(fù)平面內(nèi)，（1—i）（2+3i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知直線/:y=x+M（加〉0）與口。：（%—1）2+丁=2交于A,B兩點(diǎn),若仙卻=2,則m=（）

A.1B.A/2C.V2—1D.>/3—1

3

4.已知命題p："tan。=2"，命題q："cos2a=——"，則命題p是命題q的（

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3

5.已知〃=log23,Z?=log35,c,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

6.已知函數(shù)〃x）=—二的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則4=（

A.1B.2C.eD.e2

2222

7.已知橢圓。]：=+3=1（。〉6〉0）與雙曲線C2：1-==1（機(jī)〉0）有公共焦點(diǎn)，記G與在x軸

abmb

上方的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,過(guò)&的右焦點(diǎn)作x軸的垂線交C2于M，N兩點(diǎn),若=則G

的離心率為（）

324

A.-B.C.D.

7352

8.已知函數(shù)/(x)=s%(0x+°)(ty>0,1同<1),如圖，A,B,C是曲線y=/(x)與坐標(biāo)軸的三

個(gè)交點(diǎn)，直線BC交曲線y=/(x)于點(diǎn)M,若直線AM,的斜率分別為一，3,則。=()

n?.

A.—B.71C.2乃D.4不

2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在某市高三年級(jí)等行的一次數(shù)學(xué)期末考試中，為了解考生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了50名考生的成績(jī)，

作出的頻率分布直方圖如圖，成績(jī)排在前10%的學(xué)生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則()

A.估計(jì)該市考生的成績(jī)低于60分的比例為16%

B.估計(jì)該市考生成績(jī)的眾數(shù)為60

C.估計(jì)該市考生成績(jī)的平均數(shù)為70.6

D.估計(jì)該市82分以上的考生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)

10.記函數(shù)工(x)的導(dǎo)函數(shù)為九](x),已知其(尤)=/1,若數(shù)列｛4｝,也｝滿足

力(耳=(》2+。/+.)],則()

A.｛4｝為等差數(shù)列B.｛〃｝為等比數(shù)列

11.已知拋物線E:/=x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A(l,0)作x軸的垂線交直線丁=依于點(diǎn)8,點(diǎn)。滿足

OB=2BC,過(guò)3作x軸的平行線交E于點(diǎn)P(P在8的右側(cè))，若NOPC=3NO84,則()

A.\BC\=\CP\B.\BP\=\CP\

C.smZCOP=-D.△OPC的面積為正

46

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量入B的夾角為若忖=2,忖+4=2療，則同=.

13.已知三棱錐尸―ABC的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球。表面上，ZAOB=ZAOC=60°,OB1OC,則

三棱錐。-ABC的內(nèi)切球半徑為；若AP=2也,則三棱錐。-PBC體積的最大值為

14.已知數(shù)列｛《,｝滿足a,"]=e""+i,函數(shù)/(x)=---的極值點(diǎn)為％,若+l)=ln%，貝厄+的二

X+1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

如圖，在三棱柱ABC—A4a中，人&，4與，ABLBC,四邊形BCQ片是菱形.

(1)證明：AQl^C；

(2)若A3=5C=￥4C,求二面角8—AC1—C的正弦值.

16.(15分)

已知數(shù)列｛a“｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，q=1,an+2an>a^+1.

1

(1)若的=3，證明：an>3"-；

(2)若％o=512,證明：當(dāng)為取得最大值時(shí)，—+—+—<2.

17.（15分）

已知函數(shù)=x"-x（x>0,awl）.

（1）討論〃x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在極值點(diǎn)5，證明：%隨著。的增大而增大.

18.（17分）

某游戲設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)了一款游戲：玩家在一局游戲內(nèi)，每點(diǎn)擊一次屏幕可以獲得一張卡片，共有“A”和“3”

兩種卡片，每位玩家的初始分?jǐn)?shù)為0,每獲得一張“A”加1分，每獲得一張“3”減1分.已知某位玩

家在一局游戲內(nèi)共點(diǎn)擊屏幕2?次，設(shè)該玩家獲得“4”的次數(shù)為X,，最終分?jǐn)?shù)為工.

（1）若玩家每次點(diǎn)擊屏幕時(shí)，獲得“A”和“B”的概率均為工，求X3的分布列與數(shù)學(xué)期望，并直接寫

23

出E（Xj的值；

（2）若該游戲系統(tǒng)通過(guò)一個(gè)計(jì)數(shù)器來(lái)控制玩家獲得“A”和“5”的概率.計(jì)數(shù)器會(huì)記錄玩家已經(jīng)點(diǎn)擊屏

幕的次數(shù)”（初始值為0）,若〃為偶數(shù)，則玩家下一次點(diǎn)擊屏幕時(shí)，獲得“A”和“3”的概率均為工，

2

21

若“為奇數(shù)，則玩家下一次點(diǎn)擊屏幕時(shí)，獲得“A”的概率為丁獲得“3”的概率為『求。（匕）.

附：若隨機(jī)變量X]和X?的取值是相互獨(dú)立的，則。（區(qū)+乂2）=。（區(qū)）+。（乂2）.

19.（17分）

2

已知雙曲線G：/—與=1與曲戟。2：2（%—根）2+（y—“了=6有4個(gè)交點(diǎn)4,B,C,D（按逆時(shí)針排

列）

（1）當(dāng)加=”=0時(shí)，判斷四邊形ABC。的形狀；

（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：|。4『+|03『+|℃『+[0￡）『為定值；

（3）求四邊形ABC。面積的最大值.

附：若方程%4+萬(wàn)九2+S+Q=0有4個(gè)實(shí)根石，x2,X3,X4，則％i+%2+%3+%4=-。，

+石￡+X1X4+X2X3+X2X4+X3X4=?

2024年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)一考試

B卷參考答案

一、單選題

1.D2.A3.C4.B5.C6.C7.D8.B

二、多選題

9.AC10.ACD11.BCD

三、填空題

12.413.272-76；14.-2

3

四、解答題

15.解:

AB±叫

（1）>nA3面BBC、CAB1BC.

AB1BCX

又Be、_LB、CnB]C_L面ABCX,,AC}_LBXC.

（2）/B1BC=120。,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則有3（0,0,0）,q（0,l,V3）,C（0,2,0）,A（2,0,0）,BA=（2,0,0）,福=卜2,1,也），

QC=（0,l,-V3）,m=（0,-V3,l）;為=（百,a1）,|cosd|=^!=^,sin，=Jl—cos?，=年.

\y

16.解：

（1）吐2也，設(shè)嗅=

4+i%an

n-1

、％=3，,=3,%%%%…qn_iNax-q「—3.

（2）Go=5122（%?%,.?./?%???/?8,

a4最大值為8,當(dāng)且僅當(dāng)價(jià)?%?7=%.%?%=%.%.%時(shí)取等號(hào)?

而％，%=%=…=%=2而〃》10時(shí)，qn>qn_1>--->q9=2,

=2"T,—+—+—”=2(1——]<2.

a2

1。2n1-1I"J

2

17.解：

(1)F'(x)=-l+ax"T

?tz<0,r(x)<0,/(x)0.

1

1a-\

@a>0,x=—,

Qa

(i、(1

-11工I

(i)a>l,/(%)在0,-"□,+8□.

a

I7

Cj_A(1、

(ii)0<6/<l,/(x)在0,—"i□,+8□;

a

I7

rJ_A

/c、詼、Ti1\In”xa\na-a+1

(2)要證In—□n，即證。(〃)=----□n，(b(a)=------------

v7

a1-av7a("l)2

I7

=alna-tz+1,=]na,>w(l)=0,

,「aw—1,再證：〃>1時(shí)，。(〃)>一1,時(shí)，。(〃)<一1,即》(〃)=ln〃一〃+1<0,

而/(〃)=▲—1,顯然〃(〃)在(0,1)口，(1,+GO)口，.二〃(〃)V"(1)=O成立！

綜上，毛隨〃的增大而增大.

18.解：

(1)X3的可能取值為0,1,2,3,

X3的分標(biāo)列為

（2）可以將奇數(shù)次抽獎(jiǎng)和偶數(shù)次抽獎(jiǎng)看作兩個(gè)獨(dú)立的二項(xiàng)分布且X=X/（，-Xj=2Xj-，.

①當(dāng)，?為奇數(shù)時(shí)，第奇數(shù)次抽獎(jiǎng)共進(jìn)行三次，第偶數(shù)次抽獎(jiǎng)共進(jìn)行3次，

而奇數(shù)次抽獎(jiǎng)和偶數(shù)次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立,

.?.?；?。（2乂/。=4。區(qū)）=4D%+DZ”

V27

17z+l

18

/\

②當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)。（匕）=4O（Xj=4+DZ,

DYL

\27V2/

19.解：

(1)2x12—y2=2,4x2=8n元=±V2,

2x2+/=6,由％2=2=>y=+V2,

?.人5=8。=。。=。4且43,8。，...A5CZ)為正