山東省泰安市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：解答題知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)(含答案)

山東省泰安市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編-03解答題

知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)

一．分式的混合運(yùn)算（共2小題）

1．（2023?泰安）（1）化簡(jiǎn)：（2﹣）÷；

（2）解不等式組：．

2．（2022?泰安）（1）化簡(jiǎn)：（a﹣2﹣）÷；

（2）解不等式：2﹣＞．

二．分式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）

3．（2021?泰安）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝+3；

（2）解不等式：1﹣．

三．二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）

4．（2022?泰安）泰安某茶葉店經(jīng)銷(xiāo)泰山女兒茶，第一次購(gòu)進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，

共花費(fèi)6000元；第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購(gòu)進(jìn)了A種茶

20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5100元．求第一次購(gòu)進(jìn)的A、B兩種茶每盒的價(jià)格．

四．分式方程的應(yīng)用（共2小題）

5．（2023?泰安）為進(jìn)行某項(xiàng)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)，小明到一個(gè)批發(fā)兼零售的商店購(gòu)買(mǎi)所需

工具．該商店規(guī)定一次性購(gòu)買(mǎi)該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價(jià)付款，否則按零售價(jià)

付款．小明如果給學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，只能按零售價(jià)付款，需用3600元；如

果多購(gòu)買(mǎi)60個(gè)，則可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)60個(gè)與按零

售價(jià)購(gòu)買(mǎi)50個(gè)所付款相同，求這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人？

6．（2021?泰安）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對(duì)疫苗急需問(wèn)題，某制藥廠

緊急批量生產(chǎn)，計(jì)劃每天生產(chǎn)疫苗16萬(wàn)劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時(shí)

到廠．為了應(yīng)對(duì)疫情，回廠的工人加班生產(chǎn)，由原來(lái)每天工作8小時(shí)增加到10小時(shí)，每

人每小時(shí)完成的工作量不變，這樣每天只能生產(chǎn)疫苗15萬(wàn)劑．

（1）求該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人？

（2）生產(chǎn)4天后，未到的工人同時(shí)到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時(shí)間仍為10小時(shí)．若上級(jí)

分配給該廠共760萬(wàn)劑的生產(chǎn)任務(wù)，問(wèn)該廠共需要多少天才能完成任務(wù)？

五．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）

7．（2022?泰安）如圖，點(diǎn)A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA＝2，tanA＝，反

比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D．

（1）求k值；

（2）求△OBD的面積．

六．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）

8．（2021?泰安）如圖，點(diǎn)P為函數(shù)y＝x+1與函數(shù)y＝（x＞0）圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱

坐標(biāo)為4，PB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B．

（1）求m的值；

（2）點(diǎn)M是函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BP于點(diǎn)D，若tan∠PMD

＝，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

七．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）

9．（2023?泰安）如圖，一次函數(shù)y1＝﹣2x+2的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象分別交于點(diǎn)

A，點(diǎn)B，與y軸，x軸分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，作AE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，OE＝4．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在第二象限內(nèi)，當(dāng)y1＜y2時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上，連接PA，且PA⊥AB，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

八．二次函數(shù)綜合題（共3小題）

10．（2023?泰安）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（﹣1，0），

與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△BCP面積為5，若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：位于x軸下方的拋物線上，存在一點(diǎn)D，使∠DAB與∠

ACB互為余角；你認(rèn)為他探究出的結(jié)論是否正確？若正確，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不正確，

請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．（2022?泰安）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，﹣4），其對(duì)

稱(chēng)軸為直線x＝1，與x軸的另一交點(diǎn)為C．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M在直線AB上，且在第四象限，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．

①若點(diǎn)N在線段OC上，且MN＝3NC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M

的坐標(biāo)．

12．（2021?泰安）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），

與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P

作PD⊥x軸于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；

（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理

由．

九．矩形的性質(zhì)（共1小題）

13．（2021?泰安）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．

（1）若AC＝EC，如圖1，求證：四邊形BECD為平行四邊形；

（2）若AB＝AD，點(diǎn)F是AB上的點(diǎn)，AF＝BE，EG⊥AC于點(diǎn)G，如圖2，求證：△DGF

是等腰直角三角形．

一十．圓的綜合題（共2小題）

14．（2022?泰安）問(wèn)題探究

（1）在△ABC中，BD，CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線．

①若∠A＝60°，AB＝AC，如圖1，試證明BC＝CD+BE；

②將①中的條件“AB＝AC”去掉，其他條件不變，如圖2，問(wèn)①中的結(jié)論是否成立？

并說(shuō)明理由．

遷移運(yùn)用

（2）若四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如圖

3，試探究線段AD，BC，AC之間的等量關(guān)系，并證明．

15．（2021?泰安）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且＝．連接AC

并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．

（1）求證：CD＝ED；

（2）AD與OC，BC分別交于點(diǎn)F，H．

①若CF＝CH，如圖2，求證：CF?AF＝FO?AH；

②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．

一十一．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共1小題）

16．（2023?泰安）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是DC邊上的

一點(diǎn)，連接AF，將△ADF沿直線AF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接AG并延長(zhǎng)交DC于

點(diǎn)H，連接FG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC＝AE．

（1）求證：四邊形DBEF是平行四邊形；

（2）求證：FH＝ME．

一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

17．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，

點(diǎn)E在線段AC上，BC，DE相交于點(diǎn)F，連接BE，BD，作EH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，交

BC與點(diǎn)G．

（1）若點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)，求∠BED的度數(shù)；

（2）求證：△EFG∽△BFD；

（3）求證：＝．

18．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，

BE與AC相交于點(diǎn)F．

（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；

（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說(shuō)明理由；

（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長(zhǎng)度．

一十三．列表法與樹(shù)狀圖法（共3小題）

19．（2023?泰安）2022年10月16日至10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在

北京召開(kāi)．為激勵(lì)青少年?duì)幾鳇h的事業(yè)接班人，某市團(tuán)市委在黨史館組織了“紅心永向

黨”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，依據(jù)得分情況將獲獎(jiǎng)結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)：A級(jí)為特等獎(jiǎng)，B級(jí)為

一等獎(jiǎng)，C級(jí)為二等獎(jiǎng)，D級(jí)為優(yōu)秀獎(jiǎng)．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成了如圖所示的兩幅不完整

的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息解答下列問(wèn)題：

（1）本次競(jìng)賽共有名選手獲獎(jiǎng)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù)是

度；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若該黨史館有一個(gè)入口，三個(gè)出口．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎

由館內(nèi)恰好從同一出口走出的概率．

20．（2022?泰安）2022年3月23日，“天宮課堂”第二課開(kāi)講．“太空教師”翟志剛、王亞

平、葉光富在中國(guó)空間站為廣大青少年又一次帶來(lái)了精彩的太空科普課．為了激發(fā)學(xué)生

的航天興趣，某校舉行了太空科普知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行

統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分為如下5組（滿(mǎn)分100分），A組：75≤x＜80，B組：80≤x＜85，C組：

85≤x＜90，D組：90≤x＜95，E組：95≤x≤100，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)結(jié)

合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題：

（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)分布直方圖中m＝，

所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在組；

（2）補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；

（3）若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，學(xué)校共有3000名學(xué)生，估計(jì)該校成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有

多少人？

（4）學(xué)校將從獲得滿(mǎn)分的5名同學(xué)（其中有兩名男生，三名女生）中隨機(jī)抽取兩名，參

加周一國(guó)旗下的演講，請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或列表法求抽取同學(xué)中恰有一名男生和一名女生的

概率．

21．（2021?泰安）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，落實(shí)教育部《關(guān)于在中小學(xué)組織開(kāi)展

“從小學(xué)黨史，永遠(yuǎn)跟黨走”主題教育活動(dòng)的通知》要求，某學(xué)校舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，

隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表提供的

信息，解答下列問(wèn)題：

（1）本次共調(diào)查了名學(xué)生；C組所在扇形的圓心角為度；

（2）該校共有學(xué)生1600人，若90分以上為優(yōu)秀，估計(jì)該校優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為多少？

（3）若E組14名學(xué)生中有4人滿(mǎn)分，設(shè)這4名學(xué)生為E1，E2，E3，E4，從其中抽取2

名學(xué)生代表學(xué)校參加上一級(jí)比賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求恰好抽到E1，E2的概

率．

競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表（成績(jī)滿(mǎn)分100分）

組別分?jǐn)?shù)人數(shù)

A組75＜x≤4

80

B組80＜x≤

85

C組85＜x≤10

90

D組90＜x≤

95

E組95＜x≤14

100

合計(jì)

山東省泰安市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編-03解答題

知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)

參考答案與試題解析

一．分式的混合運(yùn)算（共2小題）

1．（2023?泰安）（1）化簡(jiǎn)：（2﹣）÷；

（2）解不等式組：．

【答案】（1）；

（2）﹣2＜x＜5．

【解答】解：（1）原式＝?

＝?

＝?

＝；

（2），

解①得：x＞﹣2；

解②得：x＜5，

故不等式組的解集為：﹣2＜x＜5．

2．（2022?泰安）（1）化簡(jiǎn)：（a﹣2﹣）÷；

（2）解不等式：2﹣＞．

【答案】（1）a2+2a；（2）x＜1．

【解答】解：（1）原式＝[﹣]

＝

＝

＝a（a+2）

＝a2+2a；

（2）2﹣＞，

去分母，得：24﹣4（5x﹣2）＞3（3x+1），

去括號(hào)，得：24﹣20x+8＞9x+3，

移項(xiàng)，得：﹣20x﹣9x＞3﹣8﹣24，

合并同類(lèi)項(xiàng)，得：﹣29x＞﹣29，

系數(shù)化1，得：x＜1．

二．分式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）

3．（2021?泰安）（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝+3；

（2）解不等式：1﹣．

【答案】（1）﹣，﹣1﹣；（2）x＜1．

【解答】解：（1）原式＝[]

＝

＝﹣，

當(dāng)a＝+3時(shí)，原式＝﹣；

（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），

去括號(hào)，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，

移項(xiàng)，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，

合并同類(lèi)項(xiàng)，得：﹣13x＞﹣13，

系數(shù)化1，得：x＜1．

三．二元一次方程組的應(yīng)用（共1小題）

4．（2022?泰安）泰安某茶葉店經(jīng)銷(xiāo)泰山女兒茶，第一次購(gòu)進(jìn)了A種茶30盒，B種茶20盒，

共花費(fèi)6000元；第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%，該店又購(gòu)進(jìn)了A種茶

20盒，B種茶15盒，共花費(fèi)5100元．求第一次購(gòu)進(jìn)的A、B兩種茶每盒的價(jià)格．

【答案】第一次購(gòu)進(jìn)A種茶的價(jià)格為100元/盒，B種茶的價(jià)格為150元/盒．

【解答】解：設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)A種茶的價(jià)格為x元/盒，B種茶的價(jià)格為y元/盒，

依題意得：，

解得：．

答：第一次購(gòu)進(jìn)A種茶的價(jià)格為100元/盒，B種茶的價(jià)格為150元/盒．

四．分式方程的應(yīng)用（共2小題）

5．（2023?泰安）為進(jìn)行某項(xiàng)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)，小明到一個(gè)批發(fā)兼零售的商店購(gòu)買(mǎi)所需

工具．該商店規(guī)定一次性購(gòu)買(mǎi)該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價(jià)付款，否則按零售價(jià)

付款．小明如果給學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買(mǎi)一個(gè)，只能按零售價(jià)付款，需用3600元；如

果多購(gòu)買(mǎi)60個(gè)，則可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買(mǎi)60個(gè)與按零

售價(jià)購(gòu)買(mǎi)50個(gè)所付款相同，求這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人？

【答案】300人．

【解答】解：設(shè)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有x人，

根據(jù)題意得：×50＝×60，

解得：x＝300，

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝300是所列方程的解，且符合題意．

答：這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有300人．

6．（2021?泰安）接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對(duì)疫苗急需問(wèn)題，某制藥廠

緊急批量生產(chǎn)，計(jì)劃每天生產(chǎn)疫苗16萬(wàn)劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時(shí)

到廠．為了應(yīng)對(duì)疫情，回廠的工人加班生產(chǎn)，由原來(lái)每天工作8小時(shí)增加到10小時(shí)，每

人每小時(shí)完成的工作量不變，這樣每天只能生產(chǎn)疫苗15萬(wàn)劑．

（1）求該廠當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有多少人？

（2）生產(chǎn)4天后，未到的工人同時(shí)到崗加入生產(chǎn)，每天生產(chǎn)時(shí)間仍為10小時(shí)．若上級(jí)

分配給該廠共760萬(wàn)劑的生產(chǎn)任務(wù)，問(wèn)該廠共需要多少天才能完成任務(wù)？

【答案】（1）30人；（2）39天．

【解答】解：（1）設(shè)當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有x人，由題意可得：

，

解得：x＝30，

經(jīng)檢驗(yàn)：x＝30是原分式方程的解，且符合題意，

∴當(dāng)前參加生產(chǎn)的工人有30人；

（2）每人每小時(shí)完成的數(shù)量為：16÷8÷40＝0.05（萬(wàn)劑），

設(shè)還需要生產(chǎn)y天才能完成任務(wù)，由題意可得：

4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，

解得：y＝35，

35+4＝39（天），

∴該廠共需要39天才能完成任務(wù)．

五．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共1小題）

7．（2022?泰安）如圖，點(diǎn)A在第一象限，AC⊥x軸，垂足為C，OA＝2，tanA＝，反

比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D．

（1）求k值；

（2）求△OBD的面積．

【答案】（1）2；

（2）1.5．

【解答】解：（1）∵∠ACO＝90°，tanA＝，

∴AC＝2OC，

∵OA＝2，

由勾股定理得：（2）2＝OC2+（2OC）2，

∴OC＝2，AC＝4，

∴A（2，4），

∵B是OA的中點(diǎn)，

∴B（1，2），

∴k＝1×2＝2；

（2）當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，

∴D（2，1），

∴AD＝4﹣1＝3，

∵S△OBD＝S△OAD﹣S△ABD

＝×3×2﹣×3×1

＝1.5．

六．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）

8．（2021?泰安）如圖，點(diǎn)P為函數(shù)y＝x+1與函數(shù)y＝（x＞0）圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)P的縱

坐標(biāo)為4，PB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B．

（1）求m的值；

（2）點(diǎn)M是函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥BP于點(diǎn)D，若tan∠PMD

＝，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）m＝24；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，3）．

【解答】解：∵點(diǎn)P為函數(shù)y＝x+1圖象的點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，

∴4＝x+1，解得：x＝6，

∴點(diǎn)P（6，4），

∵點(diǎn)P為函數(shù)y＝x+1與函數(shù)y＝（x＞0）圖象的交點(diǎn)，

∴4＝，

∴m＝24；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y），

∵tan∠PMD＝，

∴＝，

①點(diǎn)M在點(diǎn)P右側(cè)，如圖，

∵點(diǎn)P（6，4），

∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，

∴＝，

∵xy＝m＝24，

∴y＝，

∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，

∵點(diǎn)M在點(diǎn)P右側(cè)，

∴x＝8，

∴y＝3，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，3）；

②點(diǎn)M在點(diǎn)P左側(cè)，

∵點(diǎn)P（6，4），

∴PD＝y(tǒng)﹣4，DM＝6﹣x，

∴＝，

∵xy＝m＝24，

∴y＝，

∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，

∵點(diǎn)M在點(diǎn)P左側(cè)，

∴此種情況不存在；

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，3）．

七．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）

9．（2023?泰安）如圖，一次函數(shù)y1＝﹣2x+2的圖象與反比例函數(shù)y2＝的圖象分別交于點(diǎn)

A，點(diǎn)B，與y軸，x軸分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，作AE⊥y軸，垂足為點(diǎn)E，OE＝4．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在第二象限內(nèi)，當(dāng)y1＜y2時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍；

（3）點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上，連接PA，且PA⊥AB，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

【答案】（1）反比例函數(shù)的關(guān)系式為y2＝﹣；

（2）﹣1＜x＜0；

（3）（﹣9，0）．

【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y1＝﹣2x+2的圖象與y軸，x軸分別交于點(diǎn)C，點(diǎn)D，

∴點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)D（1，0），

∵OE＝4，

∴OC＝CE＝2，

∵∠AEC＝∠DOC＝90°，∠ACE＝∠DCO，

∴△AEC≌△DCO（ASA），

∴AE＝OD＝1，

∴點(diǎn)A（﹣1，4），

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y2＝的圖象上，

∴k＝﹣1×4＝﹣4，

∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y2＝﹣；

（2）方程組的解為，，

∵點(diǎn)A（﹣1，4），

∴點(diǎn)B（2，﹣2），

由于是在第二象限，當(dāng)y1＜y2時(shí)，x的取值范圍為﹣1＜x＜0；

（3）由于直線PA⊥AB，可設(shè)直線PA的關(guān)系式為y＝x+b，

把點(diǎn)A（﹣1，4）代入得，4＝﹣+b，

解得b＝，

∴直線PA的關(guān)系式為y＝x+，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣9，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣9，0）．

八．二次函數(shù)綜合題（共3小題）

10．（2023?泰安）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（﹣1，0），

與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使△BCP面積為5，若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：位于x軸下方的拋物線上，存在一點(diǎn)D，使∠DAB與∠

ACB互為余角；你認(rèn)為他探究出的結(jié)論是否正確？若正確，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不正確，

請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）y＝x2+5x+4；

（2）P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；

（3）D（﹣）．

【解答】解：（1）由題意得：C（0，4），

設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+4）（x+1），

∴4＝a?4×1，

∴a＝1，

∴y＝（x+4）（x+1）＝x2+5x+4；

（2）如圖1，

過(guò)點(diǎn)P作PT∥BC，交x軸于點(diǎn)T，作BQ⊥PT于Q，

∴∠QTB＝∠CBO，∠TQB＝∠BOC＝90°，

∴△TBQ∽△BCO，

∴，

∴TB?OC＝BC?BQ，

∵B（﹣1，0），C（0，4），A（﹣4，0），

∴OC＝4，OB＝1，直線BC的解析式為：y＝4x+4，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：x＝﹣，

∴kPT＝kBC＝4，

由S△PBC＝5得，

BQ＝5，

∴BC?BQ＝10，

∴4TB＝10，

∴TB＝，

∴OA＝OB+TB＝1+，

∴T（﹣，0），

∴直線PT的解析式為y＝4x+14，

當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝4×+14＝4，

∴P1（﹣，4），

同理可得：直線T′Q′DE解析式為：y＝4x﹣6，

∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣16，

∴P2（﹣，﹣16），

∴P（﹣，4）或（﹣，﹣16）；

（3）如圖2，

存在D（﹣，﹣），使∠DAB+∠ACB＝90°，理由如下：

作BF⊥AC于F，設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)E，

∴∠BFA＝∠BFC＝90°，

∴∠ACB+∠CBF＝90°，

∵∠ACB+∠DAB＝90°，

∴∠DAB＝∠CBF，

∵∠AOC＝90°，OA＝OC＝4，

∴∠CAO＝45°，AC＝4，

∵AB＝3，

∴AF＝BF＝AB?sin45°＝AB＝，

∴CF＝AC﹣AF＝4＝，

∴tan∠DAB＝tan∠CBD＝，

∴，

∴，

∴OE＝，

∴E（0，﹣），

∴直線AD的解析式為：y＝﹣x﹣，

由得，

（舍去），，

∴D（﹣）．

11．（2022?泰安）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，﹣4），其對(duì)

稱(chēng)軸為直線x＝1，與x軸的另一交點(diǎn)為C．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M在直線AB上，且在第四象限，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．

①若點(diǎn)N在線段OC上，且MN＝3NC，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②以MN為對(duì)角線作正方形MPNQ（點(diǎn)P在MN右側(cè)），當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)M

的坐標(biāo)．

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；

（2）①M(fèi)（，﹣）；

②M（，﹣5）．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，﹣4），

∴c＝﹣4，

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣4；

（2）①如圖1中，

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n，

∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴，

解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣2x﹣4，

∵A，C關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，

∴C（4，0），

設(shè)N（m，0），

∵M(jìn)N⊥x軸，

∴M（m，﹣2m﹣4），

∴NC＝4﹣m，

∵M(jìn)N＝3NC，

∴2m+4＝3（4﹣m），

∴m＝，

∴點(diǎn)M（，﹣）；

②如圖2中，連接PQ，MN交于點(diǎn)E．設(shè)M（t，﹣2t﹣4），則點(diǎn)N（t，0），

∵四邊形MPNQ是正方形，

∴PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN，

∴PQ∥x軸，

∴E（t，﹣t﹣2），

∴NE＝t+2，

∴ON+EP＝ON+NE＝t+t+2＝2t+2，

∴P（2t+2，﹣t﹣2），

∵點(diǎn)P在拋物線y＝x2﹣x﹣4上，

∴（2t+2）2﹣（2t+2）﹣4＝﹣t﹣2，

解得t1＝，t2＝﹣2，

∵點(diǎn)P在第四象限，

∴t＝﹣2舍去，

∴t＝，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（，﹣5）．

12．（2021?泰安）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），

與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P

作PD⊥x軸于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；

（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理

由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）y＝﹣x+；

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，6）．

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，

0），

∴，

解得：，

∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，

∵PD∥y軸，

∴∠DPB＝∠OEB，

∵∠DPB＝2∠BCO，

∴∠OEB＝2∠BCO，

∴∠ECB＝∠EBC，

∴BE＝CE，

令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4），OC＝4，

設(shè)OE＝a，則CE＝4﹣a，

∴BE＝4﹣a，

在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，

∴（4﹣a）2＝a2+12，

解得：a＝，

∴E（0，），

設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y＝kx+e（k≠0），

∴，

解得：，

∴直線BP的表達(dá)式為y＝﹣x+；

（3）有最大值．

如圖，設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N，

過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M，

設(shè)直線AC表達(dá)式為y＝mx+n，

∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴，

解得：，

∴直線AC表達(dá)式為y＝x+4，

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5），

∴BM＝5，

∵BM∥PN，

∴△PNQ∽△BMQ，

∴＝＝，

2

設(shè)P（a0，﹣a0﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），則N（a0，a0+4），

∴＝＝＝，

∴當(dāng)a0＝﹣2時(shí)，有最大值，

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，6）．

九．矩形的性質(zhì)（共1小題）

13．（2021?泰安）四邊形ABCD為矩形，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．

（1）若AC＝EC，如圖1，求證：四邊形BECD為平行四邊形；

（2）若AB＝AD，點(diǎn)F是AB上的點(diǎn)，AF＝BE，EG⊥AC于點(diǎn)G，如圖2，求證：△DGF

是等腰直角三角形．

【答案】（1）證明見(jiàn)解答；（2）證明見(jiàn)解答．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，

又∵AC＝EC，

∴AB＝BE，

∴BE＝CD，BE∥CD，

∴四邊形BECD為平行四邊形；

（2）∵AB＝AD，

∴矩形ABCD是正方形，

∵EG⊥AC，

∴∠E＝∠GAE＝45°，

∴GE＝GA，

又∵AF＝BE，

∴AB＝FE，

∴FE＝AD，

在△EGF和△AGD中，

，

∴△EGF≌△AGD（SAS），

∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，

∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，

∴△DGF是等腰直角三角形．

一十．圓的綜合題（共2小題）

14．（2022?泰安）問(wèn)題探究

（1）在△ABC中，BD，CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線．

①若∠A＝60°，AB＝AC，如圖1，試證明BC＝CD+BE；

②將①中的條件“AB＝AC”去掉，其他條件不變，如圖2，問(wèn)①中的結(jié)論是否成立？

并說(shuō)明理由．

遷移運(yùn)用

（2）若四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如圖

3，試探究線段AD，BC，AC之間的等量關(guān)系，并證明．

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析部分；

②結(jié)論成立，證明見(jiàn)解析部分；

（2）結(jié)論：AC＝AD+BC．證明見(jiàn)解析部分．

【解答】（1）①證明：如圖1中，

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∵BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，

∴點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，

∴BE＝AB＝BC，CD＝AC＝BC，

∴BE+CD＝BC；

②解：結(jié)論成立．

理由：如圖2中，設(shè)BD交CE于點(diǎn)O，在BC上取一點(diǎn)G，使得BG＝BE，連接OG．

∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝60°，

∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BOE＝∠COD＝60°，

∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，

∴△EBO≌△GBO（SAS），

∴∠BOE＝∠BOG＝60°，

∴∠COD＝∠COG＝60°，

∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，

∴△OCD≌△OCG（ASA），

∴CD＝CG，

∴BE+CD＝BG+CG＝BC；

（2）解：結(jié)論：AC＝AD+BC．

理由：如圖3中，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE，EC．

∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠DAB+∠BCD＝180°，

∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，

∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，

∴∠BAC+∠ACD＝60°，

∵∠BAC＝∠EAC，

∴∠FAC+∠FCA＝60°，

∴∠AFC＝120°，

∴∠AFD＝∠EFC＝60°，

∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，

由②可知AD+EC＝AC，

∵EC＝BC，

∴AD+BC＝AC．

15．（2021?泰安）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且＝．連接AC

并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．

（1）求證：CD＝ED；

（2）AD與OC，BC分別交于點(diǎn)F，H．

①若CF＝CH，如圖2，求證：CF?AF＝FO?AH；

②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析部分．

（2）①證明見(jiàn)解析部分．

②．

【解答】（1）證明：如圖1中，連接BC．

∵＝，

∴∠DCB＝∠DBC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝∠BCE＝90°，

∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，

∴∠E＝∠DCE，

∴CD＝ED．

（2）①證明：如圖2中，

∵CF＝CH，

∴∠CFH＝∠CHF，

∵∠AFO＝∠CFH，

∴∠AFO＝∠CHF，

∵＝，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴△AFO∽△AHC，

∴＝，

∴＝，

∴CF?AF＝OF?AH．

②解：如圖3中，連接OD交BC于G．設(shè)OG＝x，則DG＝2﹣x．

∵＝，

∴∠COD＝∠BOD，

∵OC＝OB，

∴OD⊥BC，CG＝BG，

在Rt△OCG和Rt△BGD中，則有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，

∴x＝，即OG＝，

∵OA＝OB，

∴OG是△ABC的中位線，

∴OG＝AC，

∴AC＝．

一十一．翻折變換（折疊問(wèn)題）（共1小題）

16．（2023?泰安）如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是DC邊上的

一點(diǎn)，連接AF，將△ADF沿直線AF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接AG并延長(zhǎng)交DC于

點(diǎn)H，連接FG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC＝AE．

（1）求證：四邊形DBEF是平行四邊形；

（2）求證：FH＝ME．

【答案】（1）見(jiàn)解答

（2）見(jiàn)解答

【解答】證明：（1）∵△ADF沿直線AF折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，

∴△ADF≌△AGF，

∴AD＝AG，∠AGF＝∠ADF＝90°，

∴∠AGE＝∠ADC＝90°，

在Rt△ADC和Rt△AGE中：

，

∴Rt△ADC≌Rt△AGE（HL），

∴∠ACD＝∠E，

在矩形ABCD中，對(duì)角線互相平分，

∴OA＝OB，

∴∠CAB＝∠ABD，

又∵DC∥AB，

∴∠ACD＝∠CAB，

∴∠ABD＝∠ACD，

∴∠ABD＝∠E，

∴DB∥FE，

又∵DF∥BE，

∴四邊形DBEF是平行四邊形．

（2）∵四邊形DBEF是平行四邊形，

∴DF＝EB，

又∵DF＝FG，

∴FG＝EB，

∵DC∥AE，

∴∠HFG＝∠E，

在△FGH和△EBM中：

，

∴△FGH≌△EBM（ASA），

∴FH＝ME．

一十二．相似三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

17．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，

點(diǎn)E在線段AC上，BC，DE相交于點(diǎn)F，連接BE，BD，作EH⊥BD，垂足為點(diǎn)H，交

BC與點(diǎn)G．

（1）若點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)，求∠BED的度數(shù)；

（2）求證：△EFG∽△BFD；

（3）求證：＝．

【答案】（1）60°；

（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解答；

（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)解答．

【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是兩個(gè)等腰直角三角形，

∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，

∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，

∵CE＝CD，

∴EF＝DF＝DE，

∵BH＝DH，EH⊥BD，

∴BE＝DE，

∴EF＝BE，

∴cos∠BED＝，

∴∠BED＝60°；

（2）證明：由（1）得：∠CFG＝90°，

∴CF⊥DE，

∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，

∵∠BGH＝∠EGF，

∴∠DBF＝∠FEG，

∴△EFG∽△BFD；

（3）證明：如圖，

作BQ∥BC，交EH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∴△BEG∽△AQH，

∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，

∴，

設(shè)∠AEG＝BDF＝α，

由（1）知：BC是DE的垂直平分線，

∴BE＝BD，

∴∠EBF＝∠DBF，

∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，

∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，

∴∠AEB＝∠CEH，

∴∠Q＝∠QBE，

∴BE＝EQ，

∴＝．

18．（2022?泰安）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點(diǎn)O，

BE與AC相交于點(diǎn)F．

（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；

（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說(shuō)明理由；

（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長(zhǎng)度．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）與△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由見(jiàn)解答；（3）

3+．

【解答】（1）證明：如圖，

在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，

∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，

∵DE＝BE，

∴∠1＝∠2，

又∵BE平分∠DBC，

∴∠1＝∠6，

∴∠3＝∠6，

∴∠6+∠5＝90°，

∴BF⊥AC；

（2）解：與△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：

∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，

∴△ECF∽△OBF，

∵DE＝BE，

∴∠1＝∠2，

又∵∠2＝∠4，

∴∠1＝∠4，

又∵∠BFA＝∠OFB，

∴△BAF∽△OBF；

（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．

又∵∠OFB＝∠BFA，

∴△OBF∽△BAF．

∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，

∴△OBF∽△ECF．

∴，

∴，即3CF＝2BF，

∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，

∴3OC＝2BF+9

∴3OA＝2BF+9①，

∵△ABF∽△BOF，

∴，

∴BF2＝OF?AF，

∴BF2＝3（OA+3）②，

聯(lián)立①②，可得BF＝1±（負(fù)值舍去），

∴DE＝BE＝2+1+＝3+．

一十三．列表法與樹(shù)狀圖法（共3小題）

19．（2023?泰安）2022年10月16日至10月22日，中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)在

北京召開(kāi)．為激勵(lì)青少年?duì)幾鳇h的事業(yè)接班人，某市團(tuán)市委在黨史館組織了“紅心永向

黨”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，依據(jù)得分情況將獲獎(jiǎng)結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)：A級(jí)為特等獎(jiǎng)，B級(jí)為

一等獎(jiǎng)，C級(jí)為二等獎(jiǎng)，D級(jí)為優(yōu)秀獎(jiǎng)．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成了如圖所示的兩幅不完整

的統(tǒng)計(jì)圖．

請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息解答下列問(wèn)題：

（1）本次競(jìng)賽共有200名選手獲獎(jiǎng)，扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù)是108

度；

（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）若該黨史館有一個(gè)入口，三個(gè)出口．請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎

由館內(nèi)恰好從同一出口走出的概率．

【答案】（1）200、108；

（2）見(jiàn)解答；

（3）．

【解答】解：（1）本次競(jìng)賽獲獎(jiǎng)選手共有80÷＝200（名），

則B等級(jí)人數(shù)為200×25%＝50（名），

∴C等級(jí)人數(shù)為200﹣（80+50+10）＝60（名），

∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形C的圓心角度數(shù)是360°×＝108°，

故答案為：200、108；

（2）補(bǔ)全圖形如下：

（3）將三個(gè)出口分別記作A、B、C，列表如下：

A