山東省萊蕪萊城區(qū)五校聯(lián)考2024屆中考數學押題試卷含解析

山東省萊蕪萊城區(qū)五校聯(lián)考2024屆中考數學押題試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.已知關于x的二次函數y=x2-2x-2,當aWx%+2時，函數有最大值1,則a的值為（）

A.-1或1B.1或-3C.-1或3D.3或-3

2.如圖，一次函數yi=x與二次函數y2=ax?+bx+c圖象相交于P、Q兩點，則函數y=ax?+（b—1）x+c的圖象

可能是（）

3.點A（—2,5）關于原點對稱的點的坐標是（）

A.（2,5）B.（2,-5）C.（-2,-5）D.（-5,-2）

4.等腰三角形底角與頂角之間的函數關系是（）

A.正比例函數B.一次函數C.反比例函數D.二次函數

k

5.已知常數kVO,b>0,則函數y=kx+b,y=—的圖象大致是下圖中的（）

6.如圖，有一矩形紙片ABCD,AB=10,AD=6,將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE,再將AA￡E）以

DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點F,則ACEF的面積為（）

A.4B.6C.8D.10

7.下列運算正確的是()

A.a2+a3=a5B.(a3)2-ra6=lC.a2*a3=a6D.(-+-)2=5

8.目前，世界上能制造出的最小晶體管的長度只有0.00000004雨，將0.00000004用科學記數法表示為（）

A.0.4xl08B.4x108c.4x108D.-4x108

9.下列四個命題，正確的有（）個.

①有理數與無理數之和是有理數

②有理數與無理數之和是無理數

③無理數與無理數之和是無理數

④無理數與無理數之積是無理數.

A.1B.2C.3D.4

10.如圖所示，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,將AABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段AB上的點E

處，點B落在點D處，則BD兩點間的距離為（）

A.2B,2&C.回D.245

11.如圖，在矩形紙片45。中，已知43=若，BC=1,點E在邊CZ＞上移動，連接AE,將多邊形A3CE沿直線

AE折疊，得到多邊形A/GE,點5、C的對應點分別為點尸、G.在點E從點C移動到點。的過程中，則點尸運動的

路徑長為（）

A.7TB.JjltC.—7tD.

33

12.如果a—人=2,那么匕土一”2的值為（）

aa

A.1B.2C.-1D.-2

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖，在。中，AB為直徑，點C在_0上，/ACB的平分線交。于D,則ZABD=

14.數據：2,5,4,2,2的中位數是,眾數是,方差是.

15.被歷代數學家尊為“算經之首”的《九章算術》是中國古代算法的扛鼎之作.《九章算術》中記載：“今有五雀、六燕,

集稱之衡，雀俱重，燕俱輕?一雀一燕交而處，衡適平?并燕、雀重一斤?問燕、雀一枚各重幾何？”

譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕?將一只雀、一只燕交換位置而放，

重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤?問雀、燕每只各重多少斤？”設每只雀重x斤，每只燕重y斤,可列方程組為.

16.若y=Jx-3+,3-x+4>貝！1x+y=.

17.如圖，四邊形A8CD內接于。O,A5是。。的直徑，過點C作。。的切線交A5的延長線于點尸，若NP=40。，

則NAZ>C=°.

18.若一個正n邊形的每個內角為144。,則這個正n邊形的所有對角線的條數是.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）閱讀下列材料，解答下列問題：

材料1.把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫分解因式.如果把整式的乘法看成一

個變形過程，那么多項式的因式分解就是它的逆過程.

公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一種基本方法.如對于二次三項式層+2必+廬，可以逆用乘法公式

將它分解成(。+方)2的形式，我們稱層+2成+"為完全平方式.但是對于一般的二次三項式，就不能直接應用完全平

方了，我們可以在二次三項式中先加上一項，使其配成完全平方式，再減去這項，使整個式子的值不變，于是有：

x2+2ax-3a2

=x1+2ax+a2-a2-3a2

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3a)(x-a)

材料2.因式分解：(x+y)2+2(x+j)+1

解：將“x+y”看成一個整體，令x+y=A,則

原式=42+24+1=(A+1)2

再將還原，得：原式=(x+j+1)2.

上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：

(1)根據材料1,把，2-6c+8分解因式；

(2)結合材料1和材料2完成下面小題：

①分解因式：(a-b)2+2(a-b)+1；

②分解因式：(瓶+%)Qm+n-4)+3.

20.(6分)定義：對于給定的二次函數y=a(x-h)2+k(ar0),其伴生一次函數為y=a(x-h)+k,例如：二次函

數y=2(x+1)2-3的伴生一次函數為y=2(x+1)-3,即y=2x-1.

(1)已知二次函數y=(x-1)2-4,則其伴生一次函數的表達式為；

(2)試說明二次函數丫=(x-1)2-4的頂點在其伴生一次函數的圖象上；

(3)如圖，二次函數y=m(x-1)2-4m(mr0)的伴生一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于點B、A,且兩函數圖

象的交點的橫坐標分別為1和2,在NAOB內部的二次函數y=m(x-1)?一4m的圖象上有一動點P,過點P作x軸

3

的平行線與其伴生一次函數的圖象交于點Q,設點P的橫坐標為n,直接寫出線段PQ的長為萬時n的值.

21.（6分）有大小兩種貨車，3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨18噸，2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨17

噸.請問1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨多少噸？目前有33噸貨物需要運輸，貨運公司擬安排大小貨車

共計10輛，全部貨物一次運完，其中每輛大貨車一次運費花費130元，每輛小貨車一次運貨花費100元，請問貨運公

司應如何安排車輛最節(jié)省費用？

22.（8分）如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,AB^CB,以A8為直徑的。。交AC于點O,點E是AB邊上一點（點

E不與點4、5重合），OE的延長線交。。于點G,DFLDG,且交3c于點F.

（2）連接G5,EF,求證：GB/ZEFi

（3）若AE=1,EB=2,求OG的長.

23.（8分）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作。O,。。與BC邊的交點D恰好為BC的中點，過點D作。。的

切線交AC邊于點E.

（1）求證：DE±AC；

3OF

⑵連結OC交DE于點F,若sinNABC=：,求二;的值.

4FC

3

24.（10分）某紡織廠生產的產品，原來每件出廠價為80元,成本為60元.由于在生產過程中平均每生產一件產品有0.5m

的污水排出，現在為了保護環(huán)境，需對污水凈化處理后再排出.已知每處理In?污水的費用為2元，且每月排污設備損耗為

8000元.設現在該廠每月生產產品x件，每月純利潤y元：

（1）求出y與x的函數關系式.（純利潤=總收入-總支出）

（2）當y=106000時，求該廠在這個月中生產產品的件數.

25.（10分）作圖題：在/A3C內找一點P,使它到NA5C的兩邊的距離相等，并且到點A、C的距離也相等.（寫出

作法，保留作圖痕跡）

RA

26.（12分）如圖，一次函數y=-x+4的圖象與反比例函數y=K（k為常數，且厚0）的圖象交于A（1,a）,B（3,

x

b）兩點.求反比例函數的表達式在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小，求滿足條件的點P的坐標求^PAB的面積.

27.（12分）某樓盤2018年2月份準備以每平方米7500元的均價對外銷售，由于國家有關房地產的新政策出臺后，

購房者持幣觀望，為了加快資金周轉，房地產開發(fā)商對價格連續(xù)兩個月進行下調，4月份下調到每平方米6075元的均

價開盤銷售.

（1）求3、4兩月平均每月下調的百分率；

（2）小穎家現在準備以每平方米6075元的開盤均價，購買一套100平方米的房子，因為她家一次性付清購房款，開

發(fā)商還給予以下兩種優(yōu)惠方案以供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，送兩年物業(yè)管理費，物業(yè)管理費是每平方米每

月1.5元，小穎家選擇哪種方案更優(yōu)惠？

（3）如果房價繼續(xù)回落，按此平均下調的百分率，請你預測到6月份該樓盤商品房成交均價是否會跌破4800元/平方

米，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、A

【解析】

分析：

詳解：?.?當aWxWa+2時，函數有最大值1,，l=x?-2x-2,解得：%=3,々=一1,

BP-1<X<3,.*.a=-l或a+2=-l,.*.a=-l或1,故選A.

點睛：本題考查了求二次函數的最大(小)值的方法，注意：只有當自變量x在整個取值范圍內，函數值y才在頂點處

取最值，而當自變量取值范圍只有一部分時，必須結合二次函數的增減性及對稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值.

2、A

【解析】

由一次函數yi=x與二次函數y2=ax?+bx+c圖象相交于P、Q兩點，得出方程ax?+(b-1)x+c=O有兩個不相等的根，進

22

而得出函數y=ax+(b-l)x+c與x軸有兩個交點，根據方程根與系數的關系得出函數y=ax+(b-l)x+c的對稱軸x=-*

>0,即可進行判斷.

【詳解】

點P在拋物線上，設點P(x,ax2+bx+c),又因點P在直線y=x上，

x=ax2+bx+c,

ax2+(b-1)x+c=0；

由圖象可知一次函數y=x與二次函數y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點，

；?方程ax?+(b-1)x+c=0有兩個正實數根.

；?函數y=ax?+(b-1)x+c與x軸有兩個交點，

又>0

2aa

b-1b1

??-----=-------1----->0

la2a2a

b-1

二函數y=ax?+(b-1)x+c的對稱軸x=------->0,

,2a

??.A符合條件，

故選A.

3、B

【解析】

根據平面直角坐標系中任意一點P(x,y),關于原點的對稱點是(-x,-y).

【詳解】

根據中心對稱的性質，得點2(-2,5)關于原點對稱點的點的坐標是。,-5).

故選:B.

【點睛】

考查關于原點對稱的點的坐標特征，平面直角坐標系中任意一點P(x,y),關于原點的對稱點是(-X,-y).

4、B

【解析】

根據一次函數的定義，可得答案.

【詳解】

設等腰三角形的底角為y,頂角為x,由題意，得

x+2y=180,

所以，y=-Jx+90。，即等腰三角形底角與頂角之間的函數關系是一次函數關系，

故選B.

【點睛】

本題考查了實際問題與一次函數，根據題意正確列出函數關系式是解題的關鍵.

5、D

【解析】

當kVO,b>0時，直線經過一、二、四象限，雙曲線在二、四象限，由此確定正確的選項.

【詳解】

解：?.,當kVO,b>0時，直線與y軸交于正半軸，且y隨X的增大而減小，

二直線經過一、二、四象限，雙曲線在二、四象限.

故選D.

【點睛】

本題考查了一次函數、反比例函數的圖象與性質.關鍵是明確系數與圖象的位置的聯(lián)系.

6、C

【解析】

根據折疊易得BD,AB長，利用相似可得BF長，也就求得了CF的長度，△CEF的面積CF?CE.

【詳解】

解：由折疊的性質知，第二個圖中BD=AB-AD=4,第三個圖中AB=AD-BD=2,

因為BC〃DE,

所以BF：DE=AB：AD,

所以BF=2,CF=BCBF=4,

所以ACEF的面積=^CF?CE=8；

2

故選：C.

點睛：

本題利用了：①折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小

不變，位置變化，對應邊和對應角相等；②矩形的性質，平行線的性質，三角形的面積公式等知識點.

7,B

【解析】

利用合并同類項對A進行判斷；根據塞的乘方和同底數塞的除法對B進行判斷；根據同底數塞的乘法法則對C進行

判斷；利用完全平方公式對D進行判斷.

【詳解】

解：A、a?與a3不能合并，所以A選項錯誤；

B、原式=a=a6=l,所以A選項正確；

C、原式=a5,所以C選項錯誤；

D、原式=2+2=+3=5+2T,所以D選項錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查同底數塞的乘除、二次根式的混合運算,:二次根式的混合運算先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二

次根式的乘除運算，再合并即可.解題關鍵是在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性

質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍.

8、C

【解析】

科學記數法的表示形式為axlO?的形式，其中IWa卜10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少

位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞1時,n是正數;當原數的絕對值＜1時,n是負數.

【詳解】

0.00000004=4x108,

故選C

【點睛】

此題考查科學記數法，難度不大

9、A

【解析】

解：①有理數與無理數的和一定是有理數，故本小題錯誤；

②有理數與無理數的和一定是無理數，故本小題正確；

③例如-應+后=0,0是有理數，故本小題錯誤；

④例如（-0）x0=-2,-2是有理數，故本小題錯誤.

故選A.

點睛：本題考查的是實數的運算及無理數、有理數的定義，熟知以上知識是解答此題的關鍵.

10、C

【解析】

解：連接50.在AA5C中，；NC=90。，AC=4,3c=3,.?.43=2.1?將AA3C繞點A逆時針旋轉，使點C落在線段

AB上的點E處，點8落在點D：.AE=4,DE=3,：.BE=2.在RtABED中，1BE。+DE。=712+32=麗.故

選C.

點睛:本題考查了勾股定理和旋轉的基本性質，解決此類問題的關鍵是掌握旋轉的基本性質，特別是線段之間的關系.題

目整體較為簡單，適合隨堂訓練.

11、D

【解析】

點尸的運動路徑的長為弧F尸的長，求出圓心角、半徑即可解決問題.

【詳解】

如圖，點F的運動路徑的長為弧FF的長，

Be1

在RtAABC中，；tanNBAC=——=—=—

ABJ33

.\ZBAC=30°,

VZCAF=ZBAC=30°,

/.ZBAF=60°,

???ZFAFr=120°,

/.弧FF的長=12。萬x\=273萬.

1803

故選D.

【點睛】

本題考查了矩形的性質、特殊角的三角函數值、含30。角的直角三角形的性質、弧長公式等知識，解題的關鍵是判斷

出點尸運動的路徑.

12、D

【解析】

先對原分式進行化簡，再尋找化簡結果與已知之間的關系即可得出答案.

【詳解】

b1-a2a+b(b+a)(b-a)a,

----------+=x--------=b-a

aa--------aa+b

■：a—b—2

b—a=—(a—b)=—2

故選：D.

【點睛】

本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的基本性質是解題的關鍵.

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分，共24分.)

13、1

【解析】

由AB為直徑，得到NACB=90，由因為CD平分/ACB,所以NACD=45，這樣就可求出/ABD.

【詳解】

解：AB為直徑，

.?./ACB=90，

又CD平分/ACB,

.../ACD=45，

../ABD=/ACD=45.

故答案為1.

【點睛】

本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的

一半?同時考查了直徑所對的圓周角為90度.

14、221.1.

【解析】

先將這組數據從小到大排列，再找出最中間的數，即可得出中位數；找出這組數據中最多的數則是眾數；先求出這組

數據的平均數，再根據方差公式S2=L[(XI-元)2+(X2-元)2+…+(xn-%)4進行計算即可.

n

【詳解】

解：把這組數據從小到大排列為：2,2,2,4,5,最中間的數是2,

則中位數是2；

眾數為2；

??,這組數據的平均數是(2+2+2+4+5)+5=3,

二方差是：|[(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=1.1.

故答案為2,2,1.1.

【點睛】

本題考查了中位數、眾數與方差的定義，解題的關鍵是熟練的掌握中位數、眾數與方差的定義.

15、｛整圖

【解析】

設雀、燕每1只各重x斤、y斤，根據等量關系：今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重,

燕輕.將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量為1斤，列出方程組求解即可.

【詳解】

設雀、燕每1只各重x斤、y斤，根據題意，得

^x+y=5y+x

<

5%+6y=1

3x-4y=0

整理，得

5%+6y=1

3x-4y=0

故答案為

5x+6y=l

【點睛】

考查二元一次方程組得應用，解題的關鍵是分析題意，找出題中的等量關系.

16、1.

【解析】

試題解析：???原二次根式有意義，

.\x-3>0,3-x>0,

/.x=3,y=4,

:.x+y=l.

考點：二次根式有意義的條件.

17、115°

【解析】

根據過C點的切線與AB的延長線交于P點，ZP=40°,可以求得NOCP和NOBC的度數，又根據圓內接四邊形對角

互補，可以求得/D的度數，本題得以解決.

【詳解】

p解：連接OC,如右圖所示,

由題意可得，ZOCP=90°,ZP=40°,

.,.ZCOB=50°,

.\ZOCB=ZOBC=65O,

?/四邊形ABCD是圓內接四邊形，

.,.ZD+ZABC=180°,

.,.ZD=115°,

故答案為：115。.

【點睛】

本題考查切線的性質、圓內接四邊形，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

18、2

【解析】

由正n邊形的每個內角為144。結合多邊形內角和公式，即可得出關于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，將

其代入巫0中即可得出結論.

2

【詳解】

?.?一個正n邊形的每個內角為144°,

144n=180x(n-2),解得：n=l.

17(n—3)[0x7

這個正n邊形的所有對角線的條數是：-A-_L——=2.

22

故答案為2.

【點睛】

本題考查了多邊形的內角以及多邊形的對角線，解題的關鍵是求出正n邊形的邊數.本題屬于基礎題，難度不大，解

決該題型題目時，根據多邊形的內角和公式求出多邊形邊的條數是關鍵.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)(c-4)(c-2)；(2)①(a-b+1)2；②(m+n-1)(m+n-3).

【解析】

(1)根據材料1,可以對cZ6c+8分解因式；

(2)①根據材料2的整體思想可以對(a-b)2+2(a-b)+1分解因式；

②根據材料1和材料2可以對(m+n)(m+n-4)+3分解因式.

【詳解】

(1)c2-6c+8

=c2-6c+32-32+8

=(c-3)2-1

=(c-3+1)(c-3+1)

=(c-4)(c-2)；

(2)①(a-b)2+2(a-b)+1

設a-b=t,

則原式=t?+2t+l=(t+1)2,

則(a-b)2+2(a-b)+1=(a-b+1)2；

②(m+n)(m+n-4)+3

設m+n=t,

則t(t-4)+3

=t2-4t+3

=t2-4t+22-22+3

=(t-2)2-l

=(t-2+1)(t-2-1)

=(t-1)(t-3),

貝!](m+n)(m+n-4)+3=(m+n-1)(m+n-3).

【點睛】

本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是明確題意，可以根據材料中的例子對所求的式子進行因式分解.

20、y=x-5

【解析】

分析：(1)根據定義，直接變形得到伴生一次函數的解析式；

(2)求出頂點，代入伴生函數解析式即可求解；

(3)根據題意得到伴生函數解析式，根據P點的坐標，坐標表示出縱坐標，然后通過PQ與x軸的平行關系，求得Q

點的坐標，由PQ的長列方程求解即可.

詳解：(1)?.?二次函數y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函數的表達式為y=(x-1)-4=x-5,

故答案為y=x-5；

(2)?.?二次函數y=(x-1)2-4,

二頂點坐標為(1,-4),

,二次函數y=(x-1)2-4,

,其伴生一次函數的表達式為y=x-5,

當x=l時，y=l-5=-4,

(1,-4)在直線y=x-5上，

即：二次函數丫=(X-1)2-4的頂點在其伴生一次函數的圖象上；

(3),二次函數y=m(x-1)2-4m,

,其伴生一次函數為y=m(x-1)-4m=mx-5m,

點的橫坐標為n,(n>2),

.*.P的縱坐標為m(n-1)2-4m,

即：P(n,m(n-1)2-4m),

：PQ〃x軸，

；.Q((n-1)2+l,m(n-1)2-4m),

PQ=(n-1)2+l-n,

3

???線段PQ的長為5,

3

(n-1)2+1-n=—,

2

.3±V7

..n=---------.

2

點睛：此題主要考查了新定義下的函數關系式，關鍵是理解新定義的特點構造伴生函數解析式.

3

21、(1)1輛大貨車一次可以運貨4噸，1輛小貨車一次可以運貨一噸；(2)貨運公司應安排大貨車8輛時，小貨車2

2

輛時最節(jié)省費用.

【解析】

(1)設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨X噸和y噸，根據“3輛大貨車與4輛小貨車一次可以運貨18噸、

2輛大貨車與6輛小貨車一次可以運貨17噸”列方程組求解可得；

(2)因運輸33噸且用10輛車一次運完，故10輛車所運貨不低于10噸，所以列不等式，大貨車運費高于小貨車，故

用大貨車少費用就小進行安排即可.

【詳解】

(1)解：設1輛大貨車一次可以運貨x噸，1輛小貨車一次可以運貨y噸，依題可得：

3x+4y=18

2x+6y=17'

x=4

解得：13.

y=—

U2

3

答：1輛大貨車一次可以運貨4噸，1輛小貨車一次可以運貨一噸.

2

(2)解：設大貨車有m輛，則小貨車10-m輛，依題可得：

3

4m+—(10-m)>33

2一

m>0

10-m>0

36

解得：—<m<10,

m=8,9,10；

...當大貨車8輛時，則小貨車2輛；

當大貨車9輛時，則小貨車1輛；

當大貨車10輛時，則小貨車0輛；

設運費為W=130m+100(10-m)=30m+1000,

Vk=30)0,

，W隨x的增大而增大，

.,.當m=8時，運費最少，

/.W=130x8+100x2=1240(元)，

答：貨運公司應安排大貨車8輛時，小貨車2輛時最節(jié)省費用.

【點睛】

考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用，體現了數學建模思想，考查了學生用方程解實際問題的能力，解題

的關鍵是根據題意建立方程組，并利用不等式求解大貨車的數量，解題時注意題意中一次運完的含義，此類試題常用

的方法為建立方程，利用不等式或者一次函數性質確定方案.

22、(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)：

【解析】

(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形，求出NA與NC的度數，根據AB為圓的直徑，利用圓周角定理得

到NADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BDWAC,進而

確定出NA=NFBD,再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用

全等三角形對應邊相等即可得證；

(2)連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD全等，得至(JED=FD,進而得到三角形DEF為等腰直角三角形，利

用圓周角定理及等腰直角三角形性質得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證；

(3)由全等三角形對應邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用銳角三角形

函數定義求出DE的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出

GE的長，由GE+ED求出GD的長即可.

(1)證明：連接BD,

在RtAABC中，ZABC=90°,AB=BC,

.\ZA=ZC=45°,

；AB為圓O的直徑，

.\ZADB=90°,即BD_LAC,

.*.AD=DC=BD=TAC,ZCBD=ZC=45°,

:.ZA=ZFBD,

VDF±DG,

/.ZFDG=90°,

...NFDB+NBDG=90。，

VZEDA+ZBDG=90°,

/.ZEDA=ZFDB,

在小AED和4BFD中，

ZA=ZFBD,AD=BD,ZEDA=ZFDB,

/.△AED^ABFD(ASA),

；.AE=BF；

(2)證明：連接EF,BG,

BFC

,/△AED^ABFD,

.\DE=DF,

VZEDF=90°,

--.△EDF是等腰直角三角形，

/.ZDEF=45°,

,.,ZG=ZA=45°,

.\ZG=ZDEF,

；.GB〃EF；

(3)VAE=BF,AE=1,

；.BF=1,

在RtAEBF中,ZEBF=90°,

，根據勾股定理得：EF2=EB2+BF2,

;EB=2,BF=1,

;△DEF為等腰直角三角形，NEDF=90。,

，cosNDEF丹，

；EF=\3,

/.DE=,x；

)J

VZG=ZA,NGEB=NAED,

.?.△GEBs-ED,

.?.一=一，即GE?ED=AE?EB,

，m?GE=2,即GE=Y，

貝!IGD=GE+ED=.

Q

23、(1)證明見解析(2)-

7

【解析】

(1)連接OD,根據三角形的中位線定理可求出OD〃AC,根據切線的性質可證明DELOD,進而得證.

(2)連接AD,根據等腰三角形的性質及三角函數的定義用OB表示出OF、CF的長，根據三角函數的定義求解.

【詳解】

解：(1)連接OD.；DE是。O的切線，

/.DE±OD,即NODE=90°.

「AB是。O的直徑，

是AB的中點.

又是BC的中點，.

AODZ/AC.

:.ZDEC=ZODE=90°.

,\DE±AC.

(2)連接AD.VOD//AC,

.OFOP

"'~FC^~EC'

VAB為。O的直徑，；.ZADB=ZADC=90°.

又；D為BC的中點，

/.AB=AC.

AD3

sinZABC=-----=—,

AB4

設AD=3x,貝！JAB=AC=4x,OD=2x.

VDE±AC,:.ZADC=ZAED=90°.

ZDAC=ZEAD,AADC^AAED.

.AD_AC

"AE~AD'

???AD2=AE-AC.

97

：.AE=-x.：.EC=-x.

44

.OF_OP

,*FC-EC-I'

--------Kc

24、(1)y=19x-l(x>0且x是整數)(2)6000件

【解析】

(1)本題的等量關系是：純利潤=產品的出廠單價x產品的數量-產品的成本價x產品的數量-生產過程中的污水處理費-

排污設備的損耗，可根據此等量關系來列出總利潤與產品數量之間的函數關系式；

(2)根據(1)中得出的式子，將y的值代入其中，求出x即可.

【詳解】

(1)依題意得：y=80x-60x-0.5x?2-l,

化簡得：y=19x-l,

二所求的函數關系式為y=19x-L(x>0且x是整數)

(2)當y=106000時，代入得:106000=19x-l,

解得x=6000,

這個月該廠生產產品6000件.

【點睛】

本題是利用一次函數的有關知識解答實際應用題，可根據題意找出等量關系，列出函數式進行求解.

25、見解析

【解析】

先作出NA8C的角平分線，再連接AC,作出AC的垂直平分線，兩條平分線的交點即為所求點.

【詳解】

①以3為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交5C、A8于。、E兩點；

②分別以。、E為圓心，以大于為半徑畫圓，兩圓相交于F點；

2

③連接A尸，則直線AF即為NA5C的角平分線；

⑤連接AC,分別以A、C為圓心，以大于LAC為