2024高考數(shù)學一輪復習 直線和圓的方程 講義

直線和圓的方程一一講義

第01講直線的傾斜角與斜率

【知識點梳理】

知識點一：直線的傾斜角

平面直角坐標系中，對于一條與X軸相交的直線，如果把X軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最

小正角記為￡，則?叫做直線的傾斜角.

規(guī)定：當直線和X軸平行或重合時，直線傾斜角為0,所以，傾斜角的范圍是0<?<180.

知識點詮釋：

1.要清楚定義中含有的三個條件

①直線向上方向；

②x軸正向；

③小于180的角.

2.從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向旋轉到與直線重合時所成的角.

3.傾斜角口的范圍是0<(z<180.當a=0時，直線與x軸平行或與x軸重合.

4.直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應.

5.已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置.

知識點二：直線的斜率

1.定義：

傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用人表示，即左=tanc.

知識點詮釋：

⑴當直線/與x軸平行或重合時，以=0。，左=30。=0；

(2)直線/與x軸垂直時，a=90°,左不存在.

由此可知，一條直線/的傾斜角夕一定存在，但是斜率人不一定存在.

2.直線的傾斜角，與斜率人之間的關系

由斜率的定義可知，當。在(0,90)范圍內時，直線的斜率大于零；當"在(90,180)范圍內時，直線的斜率小于

零；當&=0。時，直線的斜率為零；當以=90。時，直線的斜率不存在.直線的斜率與直線的傾斜角(90除外)為一一對

應關系，且在［0,90)和(90,180)范圍內分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然.因此

若需在［0,90)或(90,180)范圍內比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然.

知識點三：斜率公式

已知點片(工”必)、鳥(無2,%)，且片△與X軸不垂直，過兩點4(尤1,%)、鳥(%,%)的直線的斜率公式七—~■

知識點詮釋：

1.對于上面的斜率公式要注意下面五點：

(1)當占=%時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角(Z=90。，直線與X軸垂直；

(2)左與片、鳥的順序無關，即為,必和玉，馬在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；

(3)斜率上可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；

(4)當必=%時，斜率左=。，直線的傾斜角戊=0。，直線與x軸平行或重合；

(5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到.

2.斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：

(1)由《、鳥點的坐標求上的值；

(2)已知%及占,%,9,%中的三個量可求第四個量；

(3)已知上及《、鳥的橫坐標(或縱坐標)可求|片心|；

(4)證明三點共線.

知識點四：兩直線平行的條件

設兩條不重合的直線，1，4的斜率分別為尢,《.若4/〃2，則與72的傾斜角％與相等?由4=。2，可得

tan%=tana2,即kt=k2.

因此，若/]/%,則左=心.

反之，若左=e，貝！J/]///

知識點詮釋：

1.公式《。勺=區(qū)成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為勺，&；②《與％不重合；

2.當兩條直線的斜率都不存在且不重合時，/1與4的傾斜角都是90。，貝”"4.

知識點五：兩直線垂直的條件

設兩條直線44的斜率分別為《論.若…，則K-k2=-\.

知識點詮釋：

1.公式/]J_4O%,左2=-1成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；

2.當一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時，兩條直線也垂直.

第02講直線的方程

【知識點梳理】

知識點一：直線的點斜式方程

方程y—%=左?！?）由直線上一定點及其斜率決定，我們把y-%=Mx-%）叫做直線的點斜式方程，簡稱

點斜式.

知識點詮釋：

1.點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在.點斜式不能表示平行于〉軸的直線，

即斜率不存在的直線；

2.當直線的傾斜角為0。時，直線方程為y=%；

3.當直線傾斜角為90°時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示.這時直線方程為：x=

4.k=-~也表示直線去掉一個點々jOo，%）；y-y0=左（％-%））表示一條直線.

x-x0

知識點二：直線的斜截式方程

如果直線/的斜率為左，且與y軸的交點為（0力），根據(jù)直線的點斜式方程可得y-6=左（％-0）,即丁=匕+4

我們把直線/與y軸的交點（0,6）的縱坐標人叫做直線/在y軸上的截距，方程y^kx+b由直線的斜率左與它在y軸

上的截距6確定，所以方程y=kx+b叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.

知識點詮釋：

Lb為直線/在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；

2.斜截式方程可由過點（0/）的點斜式方程得到；

3.當左時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式.

4.斜截式的前提是直線的斜率存在.斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線.

5.斜截式是點斜式的特殊情況，在方程y=中，左是直線的斜率，沙是直線在y軸上的截距.

知識點三：直線的兩點式方程

經過兩點片（匹,％）,￡（無，必）（其中X]/》2，乃R必）的直線方程為———=-----L（%1W%2，%W%），稱這個

為一%%2一石一

方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式.

知識點詮釋：

1.這個方程由直線上兩點確定；

2.當直線沒有斜率（再=4）或斜率為0（乃=%）時，不能用兩點式求出它的方程.

3.直線方程的表示與片（匹，必）,舄（x2，乃）選擇的順序無關.

4.在應用兩點式求直線方程時，往往把分式形式己二上=二泣（玉％W丫2）通過交叉相乘轉化為整式形

%—X%—%

式"—%）（%—玉）=（%—%）（%—為），從而得到的方程中，包含了再=%或%=%的情況，但此轉化過程不是一

個等價的轉化過程，不能因此忽略由王、九2和%、%是否相等引起的討論.要避免討論，可直接假設兩點式的整式

形式.

知識點四：直線的截距式方程

若直線/與X軸的交點為A（a,O）,與y軸的交點為5（0,。），其中則過AB兩點的直線方程為

-+2=1,這個方程稱為直線的截距式方程.。叫做直線在無軸上的截距，。叫做直線在y軸上的截距.

ab

知識點詮釋：

1.截距式的條件是a#0力w0,即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線.

2.求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令尸0得直線在x軸上的截距.

知識點五：直線方程幾種表達方式的選取

在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù).在求

直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當?shù)男问?一般地，己知一點的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再

由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距

式或兩點式.從結論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用

哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏.

知識點六：直線方程的一般式

關于尤和y的一次方程都表示一條直線.我們把方程寫為Ac+5y+C=0,這個方程（其中A、8不全為零）叫做

直線方程的一般式.

知識點詮釋：

1.A、B不全為零才能表示一條直線，若A、2全為零則不能表示一條直線.

Ar（A

當6。。時，方程可變形為y=——X--,它表示過點0,——,斜率為-一的直線.

BBvBJB

C

當B=0,AwO時，方程可變形為Ax+C=。，即％=——,它表示一條與％軸垂直的直線.

A

由上可知，關于x、y的二元一次方程，它都表示一條直線.

2.在平面直角坐標系中，一個關于％、y的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著

無數(shù)個關于％、y的一次方程.

知識點七：直線方程的不同形式間的關系

名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍

點斜式（西，月）是直線上一定點，左是斜率不垂直于X軸

斜截式y(tǒng)=kx+b左是斜率，Z?是直線在y軸上的截距不垂直于X軸

兩點式y(tǒng)r=.一=（*,%）,（%,必）是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸

%一%馬一玉

截距式二+11。是直線在X軸上的非零截距，〃是直線不垂直于x軸和y軸，

ab

在y軸上的非零截距且不過原點

2

一般式Ax+By+C=0(^+B豐0）A、B、。為系數(shù)任何位置的直線

直線方程的五種形式的比較如下表：

知識點詮釋：

在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在

斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多（X]w%，xw必），應用時若采用

（%—玉）—（馬—%）（y—兇）=。的形式，即可消除局限性.截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首

先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件.直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形

式.一般式常化為斜截式與截距式.若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同.

知識點八：直線方程的綜合應用

i.已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求.

2.根據(jù)題目所給條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程.

對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同.

（1）從斜截式考慮

已知直線4:y=kix+bi,l2:y=k2x+b2,

1〃[=>%=%=>%=k2（bxw.）；

I、_LI?14一夕21=—tanOLy-.......k、-......k\k2——1

2tana2k2

于是與直線y=區(qū)+b平行的直線可以設為y^kx+b^垂直的直線可以設為y=--x+b.

k2

（2）從一般式考慮：

:+

§:4%+gy+G=°，，2B2y+C2=0

4_L，2o44+BIB2=0

/"http://20AB2—=0且wo或31c2—耳。1WO,記憶式（4="/三）

7^B?C2

4與4重合,4不—44=。，AG—4G=°,用區(qū)2G=。

于是與直線Ax+為+C=0平行的直線可以設為Ax+6y+Q=0；垂直的直線可以設為&—Ay+0=0.

第03講直線的交點坐標與距離公式

【知識點梳理】

知識點一：直線的交點

求兩直線Ax+gy+G=o(44C片0)與Ax+^y+c2=O(AB2C2wo)的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)

立所得方程組勺'1的解即可.若有?=」=一,則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有

Ayx+B,y+C*2-0Ar,B、C?2

ABCAB

△='中二，則方程組無解，此時兩直線平行；若有3#二，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩

452G4B2

直線交點的坐標.

知識點詮釋：

求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù).

知識點二：過兩條直線交點的直線系方程

一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有尤,y以

外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù).由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系.

過兩直線的交點的直線系方程：經過兩直線/i：Ax+4y+G=0,/2：4》+32丁+02=0交點的直線方程為

A.x+B.y+q+A^x+B.y+C^^O,其中九是待定系數(shù).在這個方程中，無論幾取什么實數(shù)，都得不到

A>x+52y+C,=0?因此它不能表示直線

知識點三：兩點間的距離公式

兩點片(XQi),^^,%)間的距離公式為山￡|=—年了+(%—%了.

知識點詮釋：

此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎，點到直線的距離和兩平行直線之

間的距離均可轉化為兩點之間的距離來解決.另外在下一章圓的標準方程的推導、直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷

等內容中都有廣泛應用，需熟練掌握.

知識點四：點到直線的距離公式

I+By。+Cl

11

點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離為d=°,°.

VA2+B2

知識點詮釋：

(1)點P(x0，%)到直線Ar+為+C=0的距離為直線上所有的點到已知點尸的距離中最小距離；

(2)使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；

(3)此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關系的判斷等.

知識點五：兩平行線間的距離

本類問題常見的有兩種解法：①轉化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距

離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線Ax+3y+￡=0與直線Ax+3y+G=0的距離為仁=:|c2-c.|.

VA2+B2

知識點詮釋：

(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直

線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；

Ic-CI

(2)利用兩條平行直線間的距離公式d時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中％,y

VA2+B2

的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式.

第04講圓的方程

【知識點梳理】

知識點一：圓的標準方程

(x—a)2+(y—4=/,其中。(。力)為圓心，廠為半徑.

知識點詮釋：

(1)如果圓心在坐標原點，這時4=0力=0,圓的方程就是好+/=，.有關圖形特征與方程的轉化：如：圓心在

無軸上：。=0；圓與y軸相切時：|a|=r；圓與無軸相切時：\b\=r；與坐標軸相切時：\a\-\b\-r；過原點：a2+b2=r2

⑵圓的標準方程^—0了+⑶—/^二尸一圓心為⑺力)，半徑為廠，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點.

(3)標準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標準方程可知，確定一個圓的方程，只需要°、6、廠這三個

獨立參數(shù)，因此，求圓的標準方程常用定義法和待定系數(shù)法.

知識點二：點和圓的位置關系

如果圓的標準方程為(x—a)2+(y—6)2=/，圓心為C(a,A),半徑為廠，則有

⑴若點在圓上o|CM1=r=(%-?)2+(%-Z?)2=r~

(2)若點〃(％,%)在圓外o|CM|>r-fl)2+(%—人J>r~

(3)若點%)在圓內<?|CM\<r=(%-?)2+(%-Z?)2<r2

知識點三：圓的一般方程

當D2+E2—4F>0時，方程x?+y2+Dx+Ey+F—0叫做圓的一般方程.(——,—或］為圓心，

1?------------------------------

-yjD2+E2-4F為半徑.

2

知識點詮釋:

2

由方程/+/+瓜+￡、+歹=0得1％+￡D2+E2-4F

"4

nFDF

(1)當￡)2+石2—4尸=0時，方程只有實數(shù)解X=-y,y=-y.它表示一個點(-y,--).

(2)當。？+E?—4尸<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

(3)當加+62—4/>0時，可以看出方程表示以,為圓心，gB+E2—4F為半徑的圓.

知識點四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟

求圓的方程常用“待定系數(shù)法”用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：

(1)根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程.

(2)根據(jù)已知條件，建立關于a、b、r或。、E、E的方程組.

(3)解方程組，求出a、b、r或。、E、E的值，并把它們代入所設的方程中去，就得到所求圓的方程.

知識點五：軌跡方程

求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量羽y之

間的方程.

1.當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)

時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關點法).

2.求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等.

3.求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，?x,y)表示軌跡(曲線)上任一點/的坐標；

(2)列出關于尤,y的方程；

(3)把方程化為最簡形式；

(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；

(5)作答.

第05講直線與圓、圓與圓的位置關系

【知識點梳理】

知識點一：直線與圓的位置關系

1.直線與圓的位置關系：

(1)直線與圓相交，有兩個公共點；

(2)直線與圓相切，只有一個公共點；

(3)直線與圓相離，沒有公共點.

2.直線與圓的位置關系的判定：

(1)代數(shù)法：

判斷直線/與圓C的方程組成的方程組是否有解.如果有解，直線/與圓C有公共點.

有兩組實數(shù)解時，直線/與圓c相交；

有一組實數(shù)解時，直線/與圓C相切；

無實數(shù)解時，直線/與圓c相離.

(2)幾何法:

由圓C的圓心到直線/的距離d與圓的半徑r的關系判斷：

當d<r時，直線/與圓C相交；

當1=廠時，直線/與圓C相切；

當d>r時，直線/與圓C相離.

知識點詮釋：

(1)當直線和圓相切時，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速

度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點與圓心連線構成的直角三角形，由勾股定理解得.

(2)當直線和圓相交時，有關弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，

有時還用到垂徑定理.

(3)當直線和圓相離時，常討論圓上的點到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結合來解決.

知識點二：圓的切線方程的求法

1.點又在圓上，如圖.

法一：利用切線的斜率勺與圓心和該點連線的斜率心”

的乘積等于—1，即后1.

法二：圓心。到直線/的距離等于半徑r.

2?點(%,%)在圓