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資料整理【淘寶店鋪:向陽百分百】專題10直線和圓的方程易錯點一:使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(平行線求距離問題)距離問題技巧總結(jié)①兩點間的距離:已知則②點到直線的距離:③兩平行線間的距離:兩條平行直線與的距離公式.易錯提醒:在求兩條平行線間距離時,先將兩條直線前的系數(shù)統(tǒng)一,然后代入公式求算.例.已知直線,,則(

)A.直線過定點 B.當(dāng)時,C.當(dāng)時, D.當(dāng)時,之間的距離為【詳解】由,令,可得,所以過定點,A對時,,而,即,B對時,,而,顯然不垂直,C錯,則,可得,由上知,之間的距離為D對.故選:ABD變式1.曲線在點處的切線與其平行直線l的距離為,則直線l的方程可能為(

)A. B.C. D.【詳解】,所以曲線在點處的切線方程為,即設(shè)直線(),依題意得,解得或所以直線的方程為或故選:AB變式2.已知直線:,:,圓C:,下列說法正確的是(

)A.若經(jīng)過圓心C,則B.直線與圓C相離C.若,且它們之間的距離為,則D.若,與圓C相交于M,N,則【詳解】對于A,因為圓心在直線上,所以,解得,A正確,對于B,因為直線恒過點,且即點在圓C內(nèi),所以與圓C相交,B錯誤,對于C,因為,則故與之間的距離,所以,C正確對于D,時,直線:,即因為圓心到直線的距離,所以,D錯誤,故選:AC變式3.已知直線,則(

)A.直線過定點B.當(dāng)時,C.當(dāng)時,D.當(dāng)時,兩直線之間的距離為1【詳解】依題意,直線,由解得:,因此直線恒過定點,A不正確當(dāng)時,直線,而直線,顯然,即直線不垂直,B不正確當(dāng)時,直線,而直線,顯然,即,C正確當(dāng)時,有,解得,即直線,因此直線之間的距離,D正確故選:CD1.若直線與之間的距離為,則a的值為(

)A.4 B. C.4或 D.8或【答案】C【分析】將直線化為,再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程,求解即可.【詳解】將直線化為,則直線與直線之間的距離,根據(jù)題意可得:,即,解得或,所以a的值為或.故選:C2.若兩條直線,與圓的四個交點能構(gòu)成正方形,則(

)A. B. C. D.4【答案】B【分析】由直線方程知,由題意正方形的邊長等于直線、的距離,又,結(jié)合兩線距離公式即可求的值.【詳解】由題設(shè)知:,要使,,,四點且構(gòu)成正方形,∴正方形的邊長等于直線、的距離,則,若圓的半徑為r,,即,則,由正方形的性質(zhì)知:,∴,即有.故選:B.3.兩條平行直線和間的距離為,則,分別為(

)A., B.,C., D.,【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可得參數(shù),再利用平行線間距離公式可得.【詳解】由直線與直線平行,得,解得,所以兩直線分別為和,即和,所以兩直線間距離,故選:D.4.兩條平行直線與之間的距離(

)A. B. C. D.7【答案】C【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)的值,然后利用平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由已知兩條直線平行,得,所以,所以直線可化為,則兩平行線間的距離.故選:C5.已知直線和與圓都相切,則圓的面積的最大值是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】易得互相平行,故圓的直徑為間的距離,再表達出距離求最大值即可得圓的直徑最大值,進而得到面積最大值【詳解】由題,互相平行,且,故圓的直徑為間的距離,令,則,,故當(dāng),即時取得最大值,此時圓的面積為故選:A6.若直線與平行,則與間的距離為(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)a,應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.【詳解】∵直線與平行,∴且,解得.∴直線與間的距離.故選:B.7.已知直線:(),:,若,則與間的距離為(

)A. B. C.2 D.【答案】B【分析】由直線平行的結(jié)論列方程求,再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.【詳解】由得,解得,所以直線:,即,所以與間的距離為,故選B.8.已知直線,,若,則之間的距離為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】由,解得,時舍去,可得,再利用平行線之間的距離公式即可得出.【詳解】由于兩條直線平行,得,解得,當(dāng)時,兩直線方程都是故兩直線重合,不符合題意.當(dāng)時,,,故兩平行直線的距離為.故選A.【點睛】本題主要考查了直線平行的充要條件及其距離,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.9.若兩條平行直線與之間的距離是,則m+n=A.0 B.1 C.-2 D.-1【答案】C【分析】根據(jù)直線平行得到,根據(jù)兩直線的距離公式得到,得到答案.【詳解】由,得,解得,即直線,兩直線之間的距離為,解得(舍去),所以故答案選C.【點睛】本題考查了直線平行,兩平行直線之間的距離,意在考查學(xué)生的計算能力.10.已知直線,則兩條直線之間的距離為A. B. C. D.【答案】C【分析】利用兩平行直線距離公式即可求得.【詳解】因為,則,故選C.【點睛】本題考查了兩平行直線距離問題,運用平行直線距離公式可以求解,但要注意將兩直線一般方程的系數(shù)化為相同的值;也可以在其中一條直線中選取一個特殊點,然后利用點到直線距離公式進行求解,屬于基礎(chǔ)題.易錯點二:求有關(guān)截距相等問題時易忽略截距為零的情況(直線截距式的考點)直線方程的五種形式的比較如下表:名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點,k是斜率不垂直于x軸斜截式k是斜率,b是直線在y軸上的截距不垂直于x軸兩點式,是直線上兩定點不垂直于x軸和y軸截距式a是直線在x軸上的非零截距,b是直線在y軸上的非零截距不垂直于x軸和y軸,且不過原點一般式A、B、C為系數(shù)任何位置的直線給定一般式求截距相等時,具體方案如下:形如:第一種情況第二種情況:截距之和為0時,橫縱截距都為0也是此類模型易錯提醒:求截距相等時,往往會忽略橫縱截距為0的情況從而漏解例.已知直線過點(2,1)且在x,y軸上的截距相等(1)求直線的一般方程;(2)若直線在x,y軸上的截距不為0,點在直線上,求的最小值.【詳解】試題分析:(1)當(dāng)截距為0時,得到;當(dāng)截距不為0時設(shè)直線方程為,代入點坐標(biāo)即可得方程.(2)由第一問可得,,由不等式得到結(jié)果.⑴

①即②截距不為0時,設(shè)直線方程為,代入,計算得,則直線方程為,綜上,直線方程為⑵由題意得變式1.已知直線過點且在軸上的截距相等(1)求直線的一般方程;(2)若直線在軸上的截距不為0,點在直線上,求的最小值.【詳解】(1)因為直線過點且在軸上的截距相等,當(dāng)截距為0時,則當(dāng)截距不為0時,可設(shè),則,即,∴綜上,的一般方程:或(2)由題意得,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立的最小值為變式2.已知直線:,直線:,其中a,b均不為0.(1)若,且過點,求a,b;(2)若,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求與之間的距離.【詳解】(1)當(dāng)過點時,,所以,因為,所以,即,于是(2)由:,令,則,令,則因為在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,所以,故,又,所以,所以則:與:之間的距離,所以與之間的距離為.變式3.已知直線,直線(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求實數(shù)的值;(2)若,求直線的方程.【詳解】(1)由題意可知,,直線在軸上的截距為,在軸上的截距為,則,解得:(2)若,則且,解得:此時直線的方程為1.已知圓為圓O上位于第一象限的一點,過點M作圓O的切線l.當(dāng)l的橫縱截距相等時,l的方程為(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用過圓上點的切線的性質(zhì)可得,利用點表示出切線方程,結(jié)合l的橫縱截距相等,即得解【詳解】由題意,點在第一象限,故過點M的的切線l斜率存在;點在圓上,故,即故直線l的方程為:令令當(dāng)l的橫縱截距相等時,又解得:即,即故選:A2.“直線在坐標(biāo)軸上截距相等”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由直線在坐標(biāo)軸上截距相等得或,再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】解:由題知:,由得;由得,.因為在坐標(biāo)軸上的截距相等,所以,解得或.所以直線在坐標(biāo)軸上截距相等”是“”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題主要考查直線的截距與充分條件、必要條件,屬于基礎(chǔ)題.3.過點A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,則該直線方程為(

)A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.y=2x或x+y-3=0 D.y=2x或x-y+1=0【答案】D【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點,設(shè)出直線方程,分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過原點時,其斜率為,故直線方程為y=2x;當(dāng)直線不過原點時,設(shè)直線方程為,代入點(1,2)可得,解得a=-1,故直線方程為x-y+1=0.綜上,可知所求直線方程為y=2x或x-y+1=0,故選:D.【點睛】本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思想的應(yīng)用,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算.在利用直線方程的截距式解題時,一定要注意討論直線的截距是否為零.4.下列說法正確的是(

)A.若直線與直線互相垂直,則B.已知,,點,到直線的距離分別為和,則滿足條件的直線的條數(shù)是2C.過,兩點的所有直線的方程為D.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】B【分析】對于A,利用直線與直線垂直的條件判斷;對于B,利用點到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷;對于C,利用兩點式方程判斷;對于D,利用直線的截距式方程判斷【詳解】解:對于A,若直線與直線互相垂直,則,解得或,所以A錯誤;對于B,因為,,所以,分別以點,為圓心,2,4為半徑作圓,因為,所以兩圓相交,所以兩圓的公切線有2條,所以滿足條件的直線的條數(shù)是2,所以B正確;對于C,當(dāng)且時,過,兩點的直線方程為,所以C錯誤;對于D,當(dāng)截距為零時,設(shè)直線方程為,則,所以直線為,當(dāng)截距不為零時,設(shè)直線方程為,則,得,所以直線方程為,綜上,經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或,所以D錯誤故選:B5.過點,且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是A. B.或C. D.或【答案】D【詳解】當(dāng)直線過原點時,直線方程為y=x,即4x﹣3y=0;當(dāng)直線不過原點時,設(shè)直線方程為x+y=a.則3+4=a,得a=7.∴直線方程為x+y﹣7=0.∴過點M(3,4)且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為4x﹣3y=0或x+y﹣7=0.故選:D6.下列命題中錯誤的是(

)A.命題“”的否定是“”B.命題“若,則”的否命題為“若,則”C.“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件D.若“p或q”為假命題,則p,q均為假命題【答案】C【分析】利用含有一個量詞的命題的否定、否命題的概念、兩直線平行的充要條件以及的真假進行判斷.【詳解】對于A,命題“”的否定是“”,故A正確;對于B,命題“若,則”的否命題為“若,則”,故B正確;對于C,若兩直線斜率相等,則兩直線平行或重合;但若兩直線平行,斜率可能不存在,故C錯誤;對于D,若“p或q”為假命題,則p,q均為假命題,故D正確.故選:C.7.與圓相切,且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有(

)A.2條 B.3條 C.4條 D.6條【答案】A【分析】過原點的直線不滿足題意,當(dāng)直線不經(jīng)過原點且與圓相切時,依題意可設(shè)方程為,根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得有兩解,綜合可得結(jié)果.【詳解】圓的圓心為,半徑為1,由于原點在圓上,顯然過原點的直線不滿足題意;當(dāng)直線不經(jīng)過原點且與圓相切時,依題意可設(shè)方程為,圓心到直線的距離,解得,此時滿足條件的直線有兩條,綜上可得:滿足條件的直線有兩條,故選:A.【點睛】本題主要考查圓的切線方程,截距相等問題,學(xué)生容易疏忽過原點的直線,屬于中檔題.8.已知直線過點,且與軸、軸分別交于A,B點,則(

)A.若直線的斜率為1,則直線的方程為B.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線的方程為C.若M為的中點,則的方程為D.直線的方程可能為【答案】AC【分析】根據(jù)直線點斜式判斷A,由過原點直線滿足題意判斷B,由中點求出A,B坐標(biāo)得直線方程判斷C,由直線與坐標(biāo)軸有交點判斷D.【詳解】對于A,直線l的斜率為1,則直線l的方程為,即,故A正確;對于B,當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時,l的方程為,故B錯誤;對于C,因為中點,且A,B在軸、軸上,所以,,故AB的方程為,即,故C正確;對于D,直線與x軸無交點,與題意不符,故D錯誤.故選:AC.9.已知直線:,:,則下列結(jié)論正確的有(

)A.若,則B.若,則C.若,在x軸上的截距相等則D.的傾斜角不可能是傾斜角的2倍【答案】AB【分析】根據(jù)直線平行、垂直的條件判斷AB選項的正確性;根據(jù)直線的截距、傾斜角判斷CD選項的正確性.【詳解】若,則,得,選項A正確;若,則,得,選項B正確;若,在x軸上的截距相等,則,解得,選項C錯誤;當(dāng)時,的傾斜角恰好是的傾斜角的2倍,選項D錯誤.故選:AB【點睛】解決此題的關(guān)鍵是要弄清楚直線的點斜式和直線的一般式判斷兩直線平行和垂直的充要條件,其次還要注意斜率的存在性,一定要注意分類討論.易錯點:兩直線平行一定要注意縱截距不等和斜率的存在性.10.直線與圓相切,且在軸、軸上的截距相等,則直線的方程可能是A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由于直線在軸、軸上的截距相等,設(shè)直線為:或,利用圓心到直線的距離為半徑,即得解【詳解】由于直線在軸、軸上的截距相等,設(shè)直線為:或由于直線與圓相切,故圓心到直線的距離等于半徑或故直線的方程為:故選:ACD易錯點三:求有關(guān)圓的切線問題易混淆“在”“過”(求有關(guān)圓的切線問題)技巧總結(jié)第一類:求過圓上一點的圓的切線方程的方法正規(guī)方法:第一步:求切點與圓心的連線所在直線的斜率第二步:利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為第三步:利用點斜式求出切線方程注意:若則切線方程為,若不存在時,切線方程為秒殺方法:①經(jīng)過圓上一點的切線方程為②經(jīng)過圓上一點的切線方程為③經(jīng)過圓上一點的切線方程為第二類:求過圓外一點的圓的切線方程的方法方法一:幾何法第一步:設(shè)切線方程為,即,第二步:由圓心到直線的距離等于半徑長,可求得,切線方程即可求出方法二:代數(shù)法第一步:設(shè)切線方程為,即,第二步:代入圓的方程,得到一個關(guān)于的一元二次方程,由可求得,切線方程即可求出注意:過圓外一點的切線必有兩條,當(dāng)上面兩種方法求得的只有一個時,則另一條切線的斜率一定不存在,可得數(shù)形結(jié)合求出.第三類:求斜率為且與圓相切的切線方程的方法方法一:幾何法第一步:設(shè)切線方程為,即第二步:由圓心到直線的距離等于半徑長,可求得,切線方程即可求出.方法二:代數(shù)法第一步:設(shè)切線方程為,第二步:代入圓的方程,得到一個關(guān)于的一元二次方程,由可求得,切線方程即可求出方法三:秒殺方法已知圓的切線的斜率為,則圓的切線方程為已知圓的切線的斜率為,則圓的切線方程為工具:點與圓的位置關(guān)系判斷圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一般方程為.①點在圓上:②點在圓外:③點在圓內(nèi):易錯提醒:求切線問題時首要任務(wù)確定點與圓的位置關(guān)系并采用對應(yīng)方案進行處理例、圓的方程為,過點的切線方程解:正規(guī)方法:第一步:求切點與圓心的連線所在直線的斜率第二步:利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為第三步:利用點斜式求出切線方程秒殺方法:經(jīng)過圓上一點的切線方程為變形1、圓的方程為,過點的切線方程解:正規(guī)方法:第一步:求切點與圓心的連線所在直線的斜率圓的一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為第二步:利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為第三步:利用點斜式求出切線方程秒殺方法:經(jīng)過圓上一點的切線方程為變形2、圓的方程為,過點的切線方程解:由題意的點在圓外方法一:幾何法第一步:設(shè)切線方程為,即,第二步:由圓心到直線的距離等于半徑長,可求得,切線方程即可求出圓心為則故:,方法二:代數(shù)法第一步:設(shè)切線方程為,即,第二步:代入圓的方程,得到一個關(guān)于的一元二次方程,由可求得,切線方程即可求出故:,變形3、圓的方程為,切線斜率為方程為方法一:幾何法第一步:設(shè)切線方程為,即第二步:由圓心到直線的距離等于半徑長,可求得,切線方程即可求出.故方法二:代數(shù)法第一步:設(shè)切線方程為,第二步:代入圓的方程,得到一個關(guān)于的一元二次方程,由可求得,切線方程即可求出故方法三:秒殺方法已知圓的切線的斜率為,則圓的切線方程為故1.在平面直角坐標(biāo)系中,過直線上一點作圓的兩條切線,切點分別為,則的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,如圖,又,所以,又由圓心到直線的距離可求出的最小值,進而求解.【詳解】如下圖所示:

由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,又因為,所以,所以,又圓心到直線的距離為,所以,所以不妨設(shè),則,又因為在單調(diào)遞增,所以當(dāng)且僅當(dāng)即,即當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直已知直線時,有最大值.故選:A.2.已知點在圓上,過作圓的切線,則的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系,即可由斜率與傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】圓心為,所以,所以過的切線的斜率為,設(shè)傾斜角為,則,由于,故,故選:D3.已知圓與直線,P,Q分別是圓C和直線l上的點且直線PQ與圓C恰有1個公共點,則的最小值是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】,的最小值為圓心到直線的距離,可求的最小值.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,則圓C的圓心為,半徑,則,直線PQ與圓C相切,有,因為點Q在直線l上,所以,則.即的最小值是.故選:A4.已知直線與圓,過直線上的任意一點向圓引切線,設(shè)切點為,若線段長度的最小值為,則實數(shù)的值是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè),則,可得,而的最小值是圓心到直線的距離,然后列方程可求出實數(shù)m的值.【詳解】圓,設(shè),則,則,,則,所以圓心到直線的距離是,,得,.故選:A.5.已知圓,直線,則下列結(jié)論正確的是(

)A.存在實數(shù)k,使得直線l與圓C相切B.若直線l與圓C交于A,B兩點,則的最大值為4C.當(dāng)時,圓C上存在4個點到直線l的距離為D.當(dāng)時,對任意,曲線恒過直線與圓C的交點【答案】BCD【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】,圓心且半徑為,因為直線過定點,且點在圓上,若直線l與圓C相切,則直線l的斜率不存在,即,故A不正確;當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時,取最大值即圓的直徑,故B正確;當(dāng)時,直線,因為圓心C到直線l的距離,所以,所以圓C上有4個點到直線的距離為,故C正確;當(dāng)時,直線,曲線,即一定過直線與圓的交點,故D正確.故選:BCD.6.過圓上一點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則(

).A.B.C.D.直線AB與圓相切【答案】BCD【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì),建立直角三角形,結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù),可得答案.【詳解】由題意,作圖如下:

設(shè)圓與圓的圓心為,則,,因為與圓相切,所以,在中,,易知,所以.又,所以,故A錯誤,B、C正確.故與交于點,由與圓相切,則,由,則,易知,在中,,又圓的半徑為,所以直線與圓相切,故D正確.故選:BCD.7.已知圓的方程為,點,點是軸上的一個動點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,則(

)A.存在切點使得為直角 B.直線過定點C.的取值范圍是 D.面積的取值范圍是【答案】BD【分析】通過分析知不可能為直角,可判斷A、C錯誤;求出直線的方程,令,,即可得直線恒過的定點可判斷B;求出面積的取值范圍可判斷D.【詳解】對于A,圓的上頂點為,即點,若為直角,則為直徑,顯然同一直徑不能同時垂直兩條相交直線,所以不可能為直角,故A錯誤;同理C選項的數(shù)量積也取不到,所以C錯誤;對于B,設(shè),

因為,,,則的方程為:,因為化簡可得:,同理的方程為:,而在切線,上,所以,,因為在直線故直線的方程為,令,,即過定點,故B正確;對于D,圓心到直線的距離平方為,線段一半的平方為:,點到直線的距離的平方為:,所以面積的平方為:①,因為,所以由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時,①的分母取得最小值,所以面積平方的最大值,故面積的最大值為,故面積的取值范圍是,故D正確.故選:BD.8.已知直線與圓,下列說法正確的是(

)A.所有圓均不經(jīng)過點B.若圓關(guān)于直線對稱,則C.若直線與圓相交于、,且,則D.不存在圓與軸、軸均相切【答案】ABD【分析】A假設(shè)存在圓經(jīng)過點,將代入圓的方程判斷是否有解;B由在直線上,代入即可判斷;C幾何法先求到直線的距離,結(jié)合點線距離列方程求;D根據(jù)題設(shè),假設(shè)存在圓與數(shù)軸相切,判斷是否有解.【詳解】A:將代入,則,所以,此時,所以不存在值,使圓經(jīng)過點,對;B:若圓關(guān)于直線對稱,則在直線上,所以,則,對;C:由題意,到直線的距離,所以,則,可得或,錯;D:若圓與軸、軸均相切,則,顯然無解,即不存在這樣的圓,對;故選:ABD9.已知,過點作圓的切線,切點分別為,則下列命題中真命題是(

)A.B.直線的方程為C.圓與共有4條公切線D.若過點的直線與交于兩點,則當(dāng)面積最大時,.【答案】ABD【分析】由圓的方程確定圓心坐標(biāo)和半徑,結(jié)合切線性質(zhì)求,判斷A,求過點的圓的方程,再求其與圓的公共弦可得直線的方程,判斷B,判斷圓與圓的位置關(guān)系,判斷C,結(jié)合三角形面積公式求的面積的最大值,求,判斷D,【詳解】因為圓的方程為,所以圓心的坐標(biāo)為,半徑為,所以,又,所以,由已知,所以,A正確,因為,所以點四點共圓,且圓心為的中點,線段的中點坐標(biāo)為,所以圓的方程為,即,因為,所以圓與圓相交,又圓的方程可化為所以圓與圓的公共弦方程為,故直線的方程為,B正確,

圓的圓心的坐標(biāo)為,半徑為,因為,,所以圓與圓相交,故兩圓只有2條公切線,C錯誤;設(shè),則,的面積,所以當(dāng)時,的面積取最大值,最大值為,此時,D正確.故選:ABD.

10.已知點為直線與軸交點,為圓上的一動點,點,則(

)A.取得最小值時, B.與圓相切時,C.當(dāng)時, D.的最大值為【答案】ABD【分析】A:取得最小值時位于即軸上,根據(jù)三角形面積公式可得.B:直接在直角三角形利用勾股定理可得.C:運用向量的坐標(biāo)表示和對于坐標(biāo)運算可得.D:根據(jù)正弦定理,將求的最大值轉(zhuǎn)化為求外接圓半徑最小,此時,外接圓與圓相內(nèi)切,根據(jù)內(nèi)切半徑差等于圓心距可得外接圓半徑,進而可得.【詳解】因,令,得,故,,圓心,半徑選項A:

如圖,根據(jù)圓的性質(zhì)當(dāng)位于軸上時,取得最小值,此時,故A正確;選項B:

當(dāng)與圓相切時,,故B正確;選項C:

設(shè),則,,當(dāng)時,,故,又,得,,,若,則,又得,,,此時,這與點在圓上矛盾,故C錯誤;選項D:

設(shè)外接圓圓心為,半徑為由題意可得在中垂線上,可設(shè)其坐標(biāo)為,則,,由正弦定理知,所以,當(dāng)最小,即外接圓與圓相內(nèi)切時,的最大值,此時圓心距等于兩圓半徑之差,則,兩邊同時平方可得,,故D正確.故選:ABD.易錯點四:忽略斜率是否存在(與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題)處理此類問題宗旨:截距式與斜率式都可轉(zhuǎn)化為動直線與圓相切時取得最值①截距式:求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題②斜率式:求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題③距離式:求形如的最值轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題形如:若是定圓上的一動點,則求和這兩種形式的最值思路1:幾何法①的最值,設(shè),圓心到直線的距離為由即可解得兩個值,一個為最大值,一個為最小值②的最值:即點與原點連線的斜率,數(shù)形結(jié)合可求得斜率的最大值和最小值思路2:代數(shù)法①的最值,設(shè),與圓的方程聯(lián)立,化為一元二次方程,由判別式等于,求得的兩個值,一個為最大值,一個為最小值.②的最值:設(shè),則,與圓的方程聯(lián)立,化為一元二次方程,由判別式等于,求得的兩個值,一個為最大值,一個為最小值.易錯提醒:截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后,都可轉(zhuǎn)化為動直線與圓相切時取得最值.同時,需要注意若是斜率式,則需考慮斜率是否存在例、已知為圓:上任意一點.(1)求的最大值;(2)求的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值.解:(1)∵的圓心,半徑,設(shè),將看成直線方程,∵該直線與圓有公共點,∴圓心到直線的距離,解上式得:,∴的最大值為.(2)記點,∵表示直線的斜率,設(shè)直線的方程為:,即,由直線與圓有公共點,∴,可得,∴的最大值為,最小值為;(3)∵設(shè),等價于圓的圓心到原點的距離的平方,則,;變形1、如果實數(shù),滿足,求:(1)的最大值與最小值;(2)的最大值與最小值;(3)的最大值和最小值.解:(1)實數(shù),滿足,則設(shè)整理得,所以圓心到直線的距離,整理得,即,所以的最大值為,最小值為.(2)設(shè),所以整理直線為,圓心到直線的距離,整理得,解得,所以的最大值為,最小值為.(3)由于的表示的是,原點到圓上的任意點的距離的平方所以利用最大距離為圓心到原點的距離與半徑的和,即的平方,故最大值為.最小距離為的平方,故最小值為.變形2、已知實數(shù),滿足方程.(1)求的最大值和最小值;(2)求的最大值和最小值;(3)求的最大值和最小值.解:(1)方程表示以點為圓心,為半徑的圓,設(shè),即,當(dāng)直線與圓相切時,斜率取得最大值和最小值,此時,解得.故的最大值為,最小值為.(2)設(shè),即,當(dāng)與圓相切時,縱截距取得最大值和最小值,此時,即.故的最大值為,最小值為.(3)表示圓上的點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,它在過原點和圓心的直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值,又圓心到原點的距離為2,故,.變形3、已知實數(shù)滿足.(1)求的最大值和最小值;(2)求的最大值和最小值.解:將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,此方程表示以為圓心,2為半徑的圓.(1)表示圓上的點與定點連線的斜率,所以令,即.當(dāng)直線與已知圓相切時(如圖),取得最值,所以,解得或.因此的最小值是,最大值為0.(2),它表示圓上的點與定點的距離.因為定點到已知圓的圓心距離為,所以的最大值為,最小值為.1.可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點之間的距離.結(jié)合上述觀點,可得的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】函數(shù)變形,設(shè),,,則表示的幾何意義為的長,作出輔助線,由幾何關(guān)系得到最小值,得到答案.【詳解】,設(shè),,,故表示的幾何意義為的長,如圖所示,取點關(guān)于軸的對稱點,連接,則的長即為的最小值,即最小值為.故選:B2.已知實數(shù)滿足曲線的方程,則下列選項錯誤的是(

)A.的最大值是B.的最大值是C.的最小值是D.過點作曲線的切線,則切線方程為【答案】C【分析】選項A轉(zhuǎn)化為兩點間距離公式的平方即可求解;選項B轉(zhuǎn)化為斜率即可求解;選項C轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的倍即可求解;選項D設(shè)出切線方程,根據(jù)點到直線的距離為半徑即可求解【詳解】的方程可化為,它表示圓心,半徑為的圓.對選項A:表示圓上的點到定點的距離的平方,故它的最大值為,A正確;對選項B:表示圓上的點與點的連線的斜率,由圓心到直線的距離,可得,B正確;對選項C:表示圓上任意一點到直線的距離的倍,圓心到直線的距離,所以其最小值為,故C錯誤;對選項D:設(shè)過點作曲線的切線,則其斜率存在,故可設(shè)切線方程為,由,解得,故切線方程為,故D正確.故選:C.3.點到直線的最大距離為(

)A.2 B. C. D.1【答案】C【分析】由題意可得直線恒過定點,題意所求最大距離即為點到定點的距離,結(jié)合兩點求距離公式計算即可求解.【詳解】由題意知,直線即,所以該直線恒過定點,則點到直線的最大距離即為點到定點的距離,即.故選:C.4.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事體.”事實上,有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決,如:可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離.結(jié)合上述觀點,可得的最小值為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用兩點間距離公式可將問題轉(zhuǎn)化為軸上一點到點與點的距離之和的最小值,當(dāng)三點共線時,進而即得.【詳解】,

則可看作軸上一點到點與點的距離之和,即,則可知當(dāng)三點共線時,取得最小值,即.故選:A.5.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬事休.”事實上,有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決,如:可以轉(zhuǎn)化為點到點的距離,則的最小值為(

).A.3 B. C. D.【答案】D【分析】把目標(biāo)式進行轉(zhuǎn)化,看作動點到兩個定點距離和的最值,利用對稱性可得答案.【詳解】,

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