專題05 截長補短模型（解析版）

專題05截長補短模型【模型說明】【例題精講】例1．（基本模型）如圖①，和是等腰三角形，且，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交邊，于點、，連接．（1）探究、、之間的關(guān)系，并說明理由；（2）若點、分別在、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則、、之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．【詳解】（1）和是等腰三角形，延長AB至G，使得BG=CF，連接DG在和中，BG=CF，，在和中，DE=DE，，（2）在CA上截取CG=BE,連接DG是等腰三角形，在和中，CG=BE，在和中，F(xiàn)D=FD，例2.（培優(yōu)綜合）如圖1，在四邊形中，，，它的兩邊分別交點．且．求證：如圖2，當(dāng)?shù)膬蛇叿謩e交的延長線于點，其余條件均不變時，中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明．如果不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見解析；（2）不成立，AE=CF+EF，理由見詳解【詳解】證明：延長到，使，連接，如圖所示：，，在和中，，，，，，在和中，，；（2）不成立，AE=CF+EF，理由如下：在AE上截取AH=CF，連接BH，如圖所示：，，∵AB=CB，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，∵，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH，∴∠EBF=∠EBH，∵EB=EB，∴△EBF≌△EBH（SAS），∴CF=AH，EF=EH，∵AE=AH+HE，∴AE=CF+EF．例3．（培優(yōu)綜合）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當(dāng)點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點M使AM=AB，連接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當(dāng)點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知中，，D為上一點，且，則的度數(shù)是_________．【答案】20°【詳解】解：如圖，延長至點E使，連接．∴．∵，∴．∵，∴是等邊三角形，∴．∵，∴設(shè)，則．在與中，∵∴，∴．∵，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練2】在四邊形中，是邊的中點．

（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為______；（直接寫出答案）（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD，證明見解析．【詳解】解：（1）如圖（1），在AE上取一點F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD邊的中點，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案為：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋BD．證明：如圖（2），在AE上取點F，使AF＝AB，連結(jié)CF，在AE上取點G，使EG＝ED，連結(jié)CG．∵C是BD邊的中點，∴CB＝CD＝BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴CF＝CB，∠BCA＝∠FCA．同理可證：△ECD≌△ECG∴CD＝CG，∠DCE＝∠GCE．∵CB＝CD，∴CG＝CF．∵∠ACE＝120°，∴∠BCA＋∠DCE＝180°?120°＝60°．∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°．∴△FGC是等邊三角形．∴FG＝FC＝BD．∵AE＝AF＋EG＋FG，∴AE＝AB＋DE＋BD．【課后作業(yè)】1．如圖，為等邊三角形，若，則__________（用含的式子表示）．【答案】【詳解】解：如圖，在BD上截取BE=AD，連結(jié)CE，∵為等邊三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵，BE=AD，∴，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴是等邊三角形，∴∠BDC=60°，∴．故答案為：2．如圖，正方形中，是的中點，交外角的平分線于．

（1）求證：；（2）如圖，當(dāng)是上任意一點，而其它條件不變，是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析【詳解】（1）證明：取的中點，連接，如圖；是正方形，；，，，∴，又∵，，在和中，，；（2）解：成立．在上取，連接，如圖，為正方形，，∵BE=BH，，，又∵，∴，在和中，，．3．如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．【答案】見解析【詳解】證明：延長至點，使得，連接，四邊形中，，，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，．4．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】證明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取點F，使BF＝CE，連接AF，∵線段AC與AD關(guān)于直線AP對稱，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，在△ABF與△ACE中，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴，∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是等邊三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點D，過D作DE⊥BA于點E，點F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．【答案】（1）見解析；（2）3【詳解】解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝BM＝3，即BE的長為3．6．如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．【答案】證明見解析【詳解】證明：如圖，在上截取平分平分7．如圖，△ABC為等邊三角形，直線l過點C，在l上位于C點右側(cè)的點D滿足∠BDC＝60°（1）如圖1，在l上位于C點左側(cè)取一點E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+BD＝CF；（3）在（2）的條件下，當(dāng)A、B位于直線l兩側(cè)，其余條件不變時（如圖3），線段HG、CF、BD的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CF=EF-BD．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCD=180°-∠ACB=120°，∵∠BDC=60°，∴∠BCD+∠CBD=180°-∠BDC=120°，∴∠ACE=∠CBD，在△AEC和△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS）（2）如圖所示，在直線l上位于C點左側(cè)取一點E，使得∠AEC=60°，連接AE，由（1）可知△AEC≌△CDB，∴CE=BD，∵∠ACE=60°，∴∠AEF=120°，∴∠AEF=∠AFH=120°，∴∠AFE+∠FAE=180°-∠AEF=60°，∠AFE+∠HFG=180°-∠AFH=60°，∴∠FAE=∠HFG，在△FAE和△HFG中，，∴△FAE≌△HFG（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=GH+BD即HG+BD=CF；（3）如圖所示，在直線l上位于C點右側(cè)取一點E使得∠AED=60°，連接AE，在直線l上位于D點左側(cè)取一點M使得BM=BD，設(shè)AB與直線l交于N∵∠BDC=60°，BM=BD，∴△BDM是等邊三角形，∴∠DBM=∠DMB=60°，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°，AC=BC∴∠ABM+∠CBM=∠ABM+∠ABD，∴∠ABD=∠CBM，∵∠BAC=∠BDC=60°，∠ANE=∠DNB，∴∠ACE=∠ABD=∠C