湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個選項(xiàng)中只有一個符合題意,

請?jiān)诖痤}卷上將正確答案的代號涂黑）

1.在nABC。中，ZA=80°,ZB=100°,則NC等于（)

A.60°B.80°C.100°D.120°

2.下列二次根式中，能與7歷合并的是（)

A.V20B.412c.VsD.V4

3.下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,近,V3B.M，V4，V5C.6,7,8D.2,3,4

4.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對角線互相垂直

C.對角線相等D.對角線互相平分

5.下列計(jì)算錯誤的是（）

A.V2-V3=V6B.我=2近C.^124-73=2D.V2+73=V6

6.已知貝Ux+y的平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

7.如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)8的坐標(biāo)是（1,3）,則A、C兩點(diǎn)間的距離是（）

8.如圖，四邊形A8CD中，ZA=90°,AB=243<AO=2,點(diǎn)N分別為線段8C,A8上的動點(diǎn)（含端

點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)2重合），點(diǎn)、E,尸分別為。M,的中點(diǎn)，則跖長度的最大值為（）

A.3B.2aC.4D.2

二、細(xì)心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）

1

9.計(jì)算：耍=_____.

V3

10.比較大?。?'壓（填“>”或

11.若J市是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值為.

12.如圖，在口ABC。中，ZABC的平分線BM交CD于點(diǎn)且MC=2,^ABCD的周長是14,則0M等于.

13.如圖，已知。4=。8,那么數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是

14.一個菱形的兩條對角線長分別為和2A歷，則這個菱形的面積為.

15.觀察分析下列數(shù)據(jù)：如,-加，3,-W§，后，…，按規(guī)律第18個數(shù)據(jù)為

16.如圖，正方形42。的面積為16,對角線AC,2。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,尸分別在邊AB,BC上運(yùn)動，Z

EOF=9Q°,0G平分/￡。凡與邊BC交于點(diǎn).G.則下列結(jié)論:

①0E=0F；

②四邊形OEBF的面積保持4不變；

③BG2+CF2=GF2；

④EP的最小值為簿.

其中正確說法的序號是.（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請認(rèn)真讀題，冷靜思考.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟，請將答案寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）

17.（6分）計(jì)算-弧+（V3+1）（V3-1）

2

18.（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個面積分別為18dm2和32加2的正方形木

板，求剩余木料的面積.

32dm2

18dm2

19.（8分）如圖，點(diǎn)E在邊長為10的正方形ABC。內(nèi)，AE=6,BE=8,求陰影部分的面積.

20.（9分）中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了

數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.中，NACB=90°.AC

=b,BC=a,AB=c,請你利用這個圖形解決下列問題：

（1）試說明：a2+b2=cr；

（2）如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求（a+b）2的值.

21.（9分）如圖，在菱形ABCZ）中，AB=6,NZMB=60°,點(diǎn)E是A。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)

（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N,連接MO,AN.

（1）求證：四邊形AMDV是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AM的值為時，四邊形AMON是矩形；

②若AM=6,求證：四邊形是菱形.

3

D

22.（10分）如圖甲，筆直的公路上A,B兩點(diǎn)相距20初z,C,。為兩村莊，于點(diǎn)A,于點(diǎn)8,

已知DA=10切1,CB=5km,現(xiàn)在計(jì)劃在公路的A8段上建一個土特產(chǎn)品收購站E.

圖甲圖乙

（1）若規(guī)劃C,。兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

（2）若規(guī)劃C,。兩村到收購站E的距離的和最短，請?jiān)趫D乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計(jì)算得到

距離的和最短值為km.

23.（10分）如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美四

邊形的是（填序號）.

（2）【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等"，即，如圖甲，在四邊形ABC。中，

若ACLBD,則422+82=4。2+3。2.請判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由.

（3）【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC=3,AC=4,D,E分別是AC,BC的中點(diǎn)，連接AE,BD,

有AE_LB。，求AB.

24.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形。1BC的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（10,4）,點(diǎn)。是04的中點(diǎn)，點(diǎn)尸

在BC邊上運(yùn)動.

4

①求證：四邊形PODF為平行四邊形；

②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時，四邊形P。。尸為菱形.

（2）當(dāng)△OOP等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

湖北省咸寧市通城縣2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題

參考答案與試題解析

一、精心選一選（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，每小題給出的4個選項(xiàng)中只有一個符合題意，

請?jiān)诖痤}卷上將正確答案的代號涂黑）

1.在口48。中，乙4=80°,ZB=100°,則NC等于（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

【分析】由在口A3。中，NA=80°,NB=100°,根據(jù)平行四邊形的對角相等，即可求得答案.

【解答】解：：在DABCD中，ZA=80°,ZB=100°,

.?.NC=NA=80°.

故選:B.

【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì).此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵.

2.下列二次根式中，能與迎合并的是（）

A.V20B.Vl2C.V8D.V4

【分析】先化成最簡二次根式，再判斷即可.

【解答】解：4720=275.不能和迎合并，故本選項(xiàng)錯誤；

B、V12=273）不能和迎合并，故本選項(xiàng)錯誤；

C、V8=272）能和迎合并，故本選項(xiàng)正確；

D、返=2不能和迎合并，故本選項(xiàng)錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，同類二次根式的應(yīng)用，注意：幾個二次根式，化成最簡二次根式后,

如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式.

5

3.下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,6，MB.M，y，c.6,7,8D.2,3,4

【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，最后看看是否相等即可.

【解答】解：A,12+（V2）2=（V3）故是直角三角形，符合題意；

B、（V3）2+（JZ）2#（泥）2,故不是直角三角形，不合題意；

C、62+727^82,故不是直角三角形，不合題意；

D,V22+3V42,故不是直角三角形，不合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a,b,c滿足。2+廬=02,那么

這個三角形就是直角三角形.

4.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對角線互相垂直

C.對角線相等D.對角線互相平分

【分析】由菱形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分別對各個選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：4對角相等，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)A不符合題意；

8、對角線互相垂直，是菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)8符合題意；

C、對角線相等，是矩形具有的性質(zhì)，而菱形不具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)C不符合題意；

。、對角線互相平分，是矩形和菱形都具有的性質(zhì)，故選項(xiàng)O不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，正確區(qū)分矩形和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.下列計(jì)算錯誤的是（）

A.V2-V3=V6B.78=272c.412^^3=2D.72+73=V6

【分析】根據(jù)二次根式的乘法、二次根式的化簡、二次根式的除法及二次根式的加減運(yùn)算，進(jìn)行各選項(xiàng)的

判斷.

【解答】解：A、&乂?=加，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

B、我=2料，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

C、S叵=計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確；

D、血與我不是同類二次根式，不能直接合并，原式計(jì)算錯誤，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的加減及乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，掌握各部分的運(yùn)算法則是關(guān)鍵.

6

6.已知則x+y的平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.±1

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x,進(jìn)而求出》根據(jù)平方根的概念解答即可.

【解答】解:由題意得，x-3^0,3-x20,

解得，x=3,

貝Uy=l,

.,.無+y=4,

V4的平方根是±2,

.?.尤+y的平方根是±2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式有意義的條件、平方根的概念，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題

的關(guān)鍵.

7.如圖，在矩形04BC中，點(diǎn)2的坐標(biāo)是（1,3）,則A、C兩點(diǎn)間的距離是（）

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：在矩形OABC中，

OB^AC,

:B（1,3）,

0B=4/+32=V10,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查矩形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)以及勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型.

8.如圖，四邊形ABC。中，/A=90°,AB=2M，A￡>=2,點(diǎn)N分別為線段BC,A8上的動點(diǎn)（含端

點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)E,尸分別為。M,的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為（）

7

A.3B.2V3C.4D.2

【分析】連接。N、DB,根據(jù)勾股定理求出BD,根據(jù)三角形中位線定理得到EE=LON,結(jié)合圖形解答即

2

可.

【解答】解:連接。N、DB,

在RtZkDAB中，ZA=90°,AB=2M，AD=2,

AB￡,=VAD2+AB2=4,

?..點(diǎn)E,尸分別為。M,MN的中點(diǎn)，

;.EF=LDN,

2

由題意得，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)8重合時ON最大，最大值為4,

長度的最大值為2,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)

鍵.

二、細(xì)心填一填（本大題共8小題，每小題3分，滿分24分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）

9.計(jì)算：生=2.

V3

【分析】分子分母都乘分母有理化因數(shù)?計(jì)算即可得解.

【解答】解：①，

V3

=V12-V3

8

6

3

—2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題考查了分母有理化，是基礎(chǔ)題，確定出分母有理化因數(shù)是解題的關(guān)鍵.

10.比較大?。?>（填“>"或

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出05=4,比較J正和近的值即可.

【解答】解:4=^16，

V16>Vi5.

故答案為：>,

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)和實(shí)數(shù)的大小比較等知識點(diǎn)，關(guān)鍵是知道4=^16,題目較好，難度

也不大.

11.若J市是整數(shù)，則正整數(shù)〃的最小值為5.

【分析】J而是正整數(shù)，則20"一定是一個完全平方數(shù)，首先把20”分解因數(shù)，確定20〃是完全平方數(shù)時,

n的最小值即可.

【解答】解：：20"=22><5小

整數(shù)”的最小值為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根的定義，理解/而是正整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在口ABC。中，/ABC的平分線交C￡?于點(diǎn)且MC=2,。ABC。的周長是14,則。M等于

3.

【分析】根據(jù)BM是/ABC的平分線和AB//CD,求出BC=MC=2,根據(jù)口ABC。的周長是14,求出CD

=5,即可得到。M的長.

【解答】解：是NA8C的平分線，

9

/ABM=NCBM,

*：AB//CD,

：.ZABM=/BMC,

:?NBMC=NCBM,

:?BC=MC=2,

???□ABCD的周長是14,

：?BC+CD=7,

:?CD=5,

則0M=CD-MC=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義，根據(jù)平行四邊形的對邊相等求出BC+CD是解

題的關(guān)鍵，注意等腰三角形的性質(zhì)的正確運(yùn)用.

【分析】首先根據(jù)勾股定理得：0B=爬.即。4=泥.又點(diǎn)A在數(shù)軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是-

V5.

【解答】解：由圖可知，0c=2,作8CLLOC,垂足為C,取8c=1,

故0B=0A=7OC2+BC2=正2+[2=辰'

在x的負(fù)半軸上，

???數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)是-V5.

故答案為：-\[5-

【點(diǎn)評】熟練運(yùn)用勾股定理，同時注意根據(jù)點(diǎn)的位置以確定數(shù)的符號.

14.一個菱形的兩條對角線長分別為行和2A歷，則這個菱形的面積為，述.

【分析】直接由菱形面積公式列式計(jì)算即可.

10

【解答】解：..?菱形的兩條對角線長分別為百5和

.,?菱形面積2A/2=2V5.

2

故答案為：2娓.

【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟記菱形面積公式是解題的關(guān)鍵.

15.觀察分析下列數(shù)據(jù)：M，-娓,3,-2^3.任，…，按規(guī)律第18個數(shù)據(jù)為-3加.

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律為（-1）"I怎，寫出第18個數(shù)據(jù)即可.

【解答】解：：百，-氓,3,-麗,415,（-1）n+1V3n，

.?.第18個數(shù)據(jù)為：-3娓.

故答案為：-

【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根及數(shù)字的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

16.如圖，正方形ABCD的面積為16,對角線AC,8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別在邊AB,8C上運(yùn)動，Z

EOF=90°,0G平分/EOF,與邊BC交于點(diǎn)G.則下列結(jié)論：

?OE=OF；

②四邊形OEBF的面積保持4不變；

③BG?+CF2=GF2；

④所的最小值為簿.

其中正確說法的序號是①②③④.（把你認(rèn)為正確的序號都填上）

【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，通過推理計(jì)算即可得到正確的結(jié)論,

進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：正方形ABC。的對角線AC,2。相交于點(diǎn)。，

：.OB=OC,ZBOC=90°,ZOCF=ZOBE=45°,

又?：NEOF=90°,

：.ZBOE=ZCOF,

：./\BOE^/\COF(ASA),

11

：.OE=OF,故①正確；

.?.△80E與△(%)尸的面積相等，

...四邊形OEBF的面積與△02C的面積相等，

又???△BOC的面積等于正方形ABCD面積的四分之一,

...四邊形OE8F的面積保持4不變，故②正確；

如圖所示，連接EG,

,?0G平分NEOR

：.ZEOG=ZFOG,

又：OE=OROG=OG,

:AEOGWAFOG(SAS),

:.EG=FG,

,--△BOE^ACOF,

；.BE=CF,

'：RtABEG中，BG^+BEr=EG2,

：.BG2+CF2=GF2,故③正確；

\"OE=OF,ZEOF=90°,

AEOF是等腰直角三角形，

：.EF=42OE,

當(dāng)有最小值時，EF的值最小，

???△A08是等腰直角三角形，

當(dāng)0EL48時，0E的最小值等于AB的一半，

即OE的最小值等于2,

...斯的最小值為故④正確.

故答案為：①②③④.

BGFC

12

【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合

運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形、直角三角形解決問題.

三、專心解一解（本大題共8小題，滿分72分.請認(rèn)真讀題，冷靜思考.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

演算步驟，請將答案寫在答題卷相應(yīng)題號的位置）

17.（6分）計(jì)算式-我+（V3+D（V3-1）

【分析】直接化簡二次根式以及結(jié)合平方差公式計(jì)算得出答案.

【解答】解:原式=3&-2^2+3-1

=6+2.

【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

18.（8分）有一塊矩形木塊，木工采用如圖方式，求木板上截出兩個面積分別為18而，和32勿宗的正方形木

板，求剩余木料的面積.

32dm2

18dm2

【分析】根據(jù)兩個正方形木板的面積分別為18而，和32而？，分別求得18和32的算術(shù)平方根，則可得兩

個正方形的邊長，然后用小正方形的邊長乘以兩個正方形的邊長之差即可得出答案.

【解答】解：,兩個正方形木板的面積分別為18而2和32dm2,

.,.這兩個正方形的邊長分別為：氏=3近（dm）,732=472（dm）,

剩余木料的面積為：（46-3衣）X3我=6義3&=6（dm2）.

【點(diǎn)評】本題考查了二次根式在正方形和長方形面積計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的計(jì)算是解題的關(guān)

鍵.

19.（8分）如圖，點(diǎn)E在邊長為10的正方形ABC。內(nèi)，AE=6,BE=8,求陰影部分的面積.

【分析】利用勾股定理的逆定理可判斷AABE是直角三角形，利用正方形減去直角三角形的面積即可.

【解答】解：在△A3E中，

13

V62+82=102,

/.A￡2+BE2=AB2,

.?.△ABE是直角三角形，ZAEB=9Q°；

陰影部分的面積S=S正方形ABCD-SAABE

=102-AX6X8

2

=76.

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，也考查了勾股定理的逆定理，解本題的關(guān)鍵

就是利用勾股定理的逆定理判斷出△ABE是直角三角形.

20.(9分)中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了

數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.Rt^ABC中，NACB=90°.AC

=b,BC=a,AB=c,請你利用這個圖形解決下列問題：

(1)試說明：cr+b1=<?■■,

(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求Q+b)2的值.

【分析】(1)根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四

個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式.

(2)根據(jù)完全平方公式的變形解答即可.

【解答】解：(1)?..大正方形面積為直角三角形面積為Lb,小正方形面積為(…)2,

2

2

.*.c=4X(A-b)2=2ab+a2-2ab+b2即c2—a2+b2；

2

(2)由圖可知：

(b-a)2=3,4X_lab=13-3=10,

2

/.2ab=10,

：.(a+b)2=(b-a)2+4oZ?=3+2X10=23.

【點(diǎn)評】本題考查了對勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問

14

題的關(guān)鍵.

21.(9分)如圖，在菱形ABCD中，AB=6,/D48=60°,點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)

(不與點(diǎn)A重合)，延長ME交射線CD于點(diǎn)N,連接MD,AN.

(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)①當(dāng)AM的值為3時,四邊形AMDN是矩形；

②若AM=6,求證：四邊形AMON是菱形.

【分析】(1)由菱形的性質(zhì)可得/。監(jiān)=/40￡,再由點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，可得AE=OE,從而可證明

ANDE%AMAE(AAS),則NE=ME,根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；

(2)①當(dāng)AM的值為3時，四邊形AMDN是矩形.根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定；

②根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可判定.

【解答】(1)證明：?..四邊形A2C。是菱形，

.,.AB//CD,

：./DNE=ZAME,

:點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，

J.AE^DE,

,ZDNE=ZAME

在△NOE和△MAE中，,NDEN=NAM，

DE=AE

:.ANDE學(xué)叢MAE(AAS),

:.NE=ME,

四邊形AMDN是平行四邊形；

(2)①解：當(dāng)4W的值為3時，四邊形AMLW是矩形.理由如下：

?.?四邊形ABCD為菱形，

.\AB=AD=6,

:點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，

：.AE=1.AD=3,

2

.\AM=AE=3,

15

VZDAB=60°,

.?.△AEM是等邊三角形，

:.EM=AE,

?：NE=EM=LMN,

2

：.MN=AD,

?.,四邊形AMDN是平行四邊形,

四邊形AMDN是矩形.

故答案為：3；

②證明：'."AB=AD=6,AM=6,

：.AD=AM,

VZDAB=60°,

...△AMD是等邊三角形，

J.MELAD,

:四邊形AMDN是平行四邊形，

四邊形AMDN是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的判

定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

22.(10分)如圖甲，筆直的公路上A,2兩點(diǎn)相距20歷w,C,。為兩村莊，于點(diǎn)A,于點(diǎn)2,

已知D4=10hw,CB=5km,現(xiàn)在計(jì)劃在公路的A8段上建一個土特產(chǎn)品收購站E.

圖甲圖乙

(1)若規(guī)劃C,D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

(2)若規(guī)劃C,。兩村到收購站E的距離的和最短，請?jiān)趫D乙中通過作圖畫出收購站E的位置，計(jì)算得到

距離的和最短值為25km.

【分析】(1)設(shè)AE=xkm,則8E=(20-x)km,在與中，由勾股定理結(jié)合DE=CE

得出方程求出x的值即可求解；

(2)作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)C,連接。。交A8于點(diǎn)E,則點(diǎn)E即為所求，。。長即為距離的和最短值，

16

在RtZXDBC中由勾股定理求出。。的長即可.

【解答】解：(1)^AE=xkm,貝(20-x)km,

在RtAADE與RtABCE中,由勾股定理得，

AD2+AE2=DE1,B￡2+BC2=CE2,

"：DE=CE,

：.AD2+AE2=BE^+BC2,

102+x2=(20-x)2+52,

解得尤=箜，

8

即收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)、區(qū)km處；

8

(2)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于A8的對稱點(diǎn)C,連接。。交A8于點(diǎn)E,則點(diǎn)E即為所求，。。長即為距離的和最

短值，

''、、、C

"C

過點(diǎn)C作CFA.DA交DA的延長線于點(diǎn)F,

則DC=7DF2+FC/2=V(10+5)2+202=25(物力

故答案為：25.

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，勾股定理，軸對稱-最短路線問題，熟記勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

23.(10分)如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形，在這四種圖形中是垂美四

邊形的是②④(填序號).

(2)【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等"，即，如圖甲，在四邊形48。中，

若則4爐+82=&。2+3。2.請判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由.

(3)【問題解決】如圖乙，在△ABC中，BC=3,AC=4,D,E1分別是AC,BC的中點(diǎn)，連接AE,BD,

有AE_L8O,求AB.

17

【分析】（1）利用垂美四邊形的定義依次判斷，可求解；

（2）由勾股定理可得結(jié)論；

（3）由三角形中位線定理可得AO=LC=2,BE=LBC=S,DE=1AB,由垂美四邊形的性質(zhì)可求解.

2222

【解答】解：（1）,??菱形、正方形的對角線互相垂直，

菱形、正方形是垂美四邊形，

故答案為：②④；

（2）猜想正確，理由如下：

"/四邊形ABCD中，AC±BD,

：.ZAOB=ZCOD=ZBOC=ZAOD=90°,

:.AB2=OA2+OB2,CD1=OC1+OD1,BC1=OB2+OC2,AD1=OA2+OD1,

：.AB2+CD2=（9A2+OB2+OC2+OD2,B^+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2,

:.AB2+CD2=AD1+BC2；

（3）VBC=3,AC=4,D、E分別是AC、8c的中點(diǎn)，

:.AD=1