山西省2024屆高三八省八校第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試卷(含答案)

山西省2024屆高三八省八校第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1.命題“Vxe10,，e，+2sinx>2x”的否定是（）

A."Vxe0,5，e'+2sinx22x”B."Vxe0,1,ex+2sinx<2x”

CJUxe0,],e*+2sinx<2x”D.Fxe0，m，e*+2sinx<2x”

9

2.已知集合4={0,1,2,3},8=4%1<尤<—/,則AB=（）

2

C.\xl<x<->

A.{0,1,2}B.{2,3}D.[1,2,3）

2

3.已知z=三t@為實(shí)數(shù)，則a=（）

2+i

33

A.lB.-C.2D.--

22

4.設(shè)a,夕為不同的平面,a,。,c為三條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（）

A.若a_L/?,au。，2/?=c,a_Lc,則a_L/?

B.若all0,aua,bu分廁allb

C.若R/口,bua,則a與Z?異面

D.若oJ_/,aua,Z?u/?,則〃與〃相交

5.方程41cos?=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.10C.llD.12

6.從集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}中任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的倍數(shù)的概率為（）

D.-

5B77

7.已知cos（（z-/7）=2cos（a+/?）,tana>0,則tan（（z+p）的最小值為（）

A.-4B.-3C.V3D.2

22

8.已知雙曲線C:=-與=1（?！?力〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，過點(diǎn)1的直線與y

ab

軸交于點(diǎn)與雙曲線C的右支交于點(diǎn)P,且=]4耳?/與=0,則雙曲線C的離

心率為（）

A.—B.-C.2D.V3+1

22

二、多項(xiàng)選擇題

9.2023年10月份諾貝爾獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)名單已經(jīng)全部揭曉,某校為調(diào)研同學(xué)們對(duì)諾貝爾獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)

科學(xué)家的了解程度,隨機(jī)調(diào)查了該校不同年級(jí)的8名同學(xué)所知道的獲得過諾貝爾獎(jiǎng)的科

學(xué)家人數(shù)，得到一組樣本數(shù)據(jù)：1,1,2,4,1,4,1,2,則（）

A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1B.這組數(shù)據(jù)的極差為2

C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2D.這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為1

10.已知函數(shù)/（%）=0迎2%+/則（）

A./（X）的一個(gè)對(duì)稱中心為o]

B./（x）的圖象向右平移也個(gè)單位長度后得到的函數(shù)是偶函數(shù)

8

c.f（x）在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減

88

D.若/（x）在區(qū)間（0,附上與y=l有且只有6個(gè)交點(diǎn)，則加《2肛警

11.在正四棱臺(tái)ABCD-A4GR中,■=244=4檔,朋=廂,點(diǎn)/3在四邊形4^?！?gt;

內(nèi)，且正四棱臺(tái)ABCD-a4GA的各個(gè)頂點(diǎn)均在球。的表面上,4尸=4,則（）

A.該正四棱臺(tái)的高為3

B.該正四棱臺(tái)的側(cè)面面積是12四

C.球心。到正四棱臺(tái)底面ABCD的距離為:

D.動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長度是亞

2

三.填空題

12.二項(xiàng)式［盯展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

13.寫出一個(gè)過點(diǎn)(3,4)且與圓。:％2+/一4%+3=0相切的直線方程.

14.已知拋物線/=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F(2,0)，過點(diǎn)C(-2,0)的直線I與拋物線交于

A,B兩點(diǎn)，且xA>xB，若BF為的角平分線,則直線I的斜率為.

四、解答題

15.山西作為汾河文化的發(fā)源地，是我國文明古省，有山西老陳醋、平遙古城、杏花村汾

酒等文化資源，山西文旅局相關(guān)工作人員通過自媒體以圖片、短視頻、視頻等形式展示

了汾河文化的魅力所在,其中大同刀削面為山西飲食文化的代表某校進(jìn)行了有關(guān)是否喜

歡吃山西大同刀削面的調(diào)查問卷，并從參與調(diào)查的同學(xué)中隨機(jī)抽取了男、女各100名同

學(xué)進(jìn)行分析,從而得到如下列聯(lián)表(單位：人)：

喜歡情況

性別合計(jì)

喜歡不喜歡

男同學(xué)60

女同學(xué)20

合計(jì)60140

(I)完善列聯(lián)表并依據(jù)小概率值1=0。1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校同學(xué)對(duì)山西大同

刀削面的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)？

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法，從喜歡和不喜歡吃山西大同刀削面的同學(xué)中隨機(jī)抽取10

人,再從這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中不喜歡吃山西大同刀削面的人數(shù)為

X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附：/，其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

a0.100.010.001

Xa2.7066.63510.828

16.如圖，在四棱錐P-ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的投影為點(diǎn)

O,若△5CD為正三角形，且===

2

(1)證明：ACJ_平面P5￡);

(2)求直線PB與平面PA。所成角的正弦值.

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,且為=勺^.

(1)探究數(shù)列｛%｝的單調(diào)性；

(2)證明：4S?-9<0.

18.已知歹為橢圓C:5+y2=1的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)R2斜率為匕的直線與橢圓C交于點(diǎn)

A,B,4120且K。1.

(1)求|AB|的取值范圍；

(2)過點(diǎn)R作直線E。與橢圓C交于點(diǎn)E,。,直線的傾斜角比直線A3的傾斜角大

工求四邊形AEBD面積的最大值.

4

19.已知函數(shù)/(x)=sinx+ln(x+l)-<zr,且y=f(x)與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)a的值及f(x)的最大值；

TT1

(2)證明：當(dāng)工￡—,71時(shí),/(%)+2%>-；

62

(3)判斷關(guān)于1的方程〃x)+x=O實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并證明.

參考答案

1.答案：C

解析：依題意全稱命題“Vxe[o,]],eX+2sinx>2x”的否定為特稱命題

"Hre[o,]],e*+2sinx<2%”

2.答案：B

解析：由題意可得A5={2,3}.

3.答案：B

區(qū)刀4匚I3+ai(3+6zi)(2—i)6—3i+26zi—tzi2(6+〃)+(2〃-3)i

解刃T：田2=-----二-------------=----------------=-----------------,

2+i(2+i)(2-i)4+15

Z為實(shí)數(shù)，，如三=0,解得a=2.

52

4.答案：A

解析：對(duì)于A,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得A正確；

對(duì)于B芳all/3,aua,Z?u，,則a//Z?,或a與b異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a//cr,Z?ua,則allb或a與b異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若。J_尸,aua/u力，則a//。,或a與b異面，或a與b相交，故D錯(cuò)誤.

5.答案：C

解析：設(shè)乂=4|cos/|,%=〃.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出％=4|cos/1|與%=〃的大致

圖象，

當(dāng)/=5兀時(shí),％=4>=當(dāng)/=6兀時(shí)，％=4<YI6TI=y2.

根據(jù)圖象可得兩個(gè)函數(shù)共有11個(gè)交點(diǎn).

6.答案：D

解析：由題知和為2的倍數(shù)的有(1,3),(1,5),

(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),(2,4),(2,6),(2,8),

17a

(4,6),(4,8),(6,8)共12種可能,「.尸=葛=；

7.答案：C

解析：cos(6Z-/3)=2cos(a+/3),

cosacos/?+sinasin/?=2cosacos力一2sinasin力，

/.3sincrsin/?=coscrcos/?,

又cosacosw0,

/.tanatanZ?=—,BPtanB-——-——,

33tana

tano+tan/?tana+j(1

tan(a+〃)=---------------=---------3tana=_3tana+-------

1-tanatan]_)2[tana

-3

tana>0,3tana+--->2.3tana——--=2y/3,

tanaVtana

當(dāng)且僅當(dāng)3tana=--一，即tan。=也等號(hào)成立，

tan。3

/.tan(or+/?)的最小值為g.

8.答案：D

解析：PF^PF^Q,.-.PF21PF^

.??需=隅即閨如巾=|耳刈附|,

一3

又寫「=>，

片|

???,|耳。?|??|耳工?|2=1"^P?|尸?耳|?,

即歸用2=302,..盧周=有0,

5L\PF}\-\PF2\^2a,:.\PF2\=43c-2a,

又片「+儼閶2=閨閶2,

即3C2+(A/3C-2G)2=4C2,

:(也c-2a了=c2,A/3C-c=2a,

2

=A/3+1.

aA/3—1

9.答案：ACD

解析：數(shù)據(jù)從小到大排列為1,1,1』,2,2,4,4.對(duì)于A,該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1,故A正確;

對(duì)于B,極差為4-1=3,故B錯(cuò)誤;

Ix4+2x2+4x2

對(duì)于C,平均數(shù)為=2,故C正確;

8

對(duì)于D,18x40%=3.2,.?.這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)1,故D正確.

10.答案：AC

解析：由/]-1]=應(yīng)0?[苧-2*]兀]=0,故人正確；

/(%)向右平移忙個(gè)單位長度后得

8

=V2cos[2x+—=-V^sin2尤，為奇函數(shù)，故B錯(cuò)

2

誤;

當(dāng)xe時(shí)，則"彳，彳由’由余弦函數(shù)單調(diào)性知，/⑺在區(qū)間T，T上單

調(diào)遞減，故C正確；

對(duì)于D,由/(x)=1，得cos[2x+—，解得x=—+kn^—+kii,keZ,f(x)在區(qū)間

I4J242

(0,附上與y=l有且只有6個(gè)交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)從小到大依次為：M

424242

第7個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為史,.?.空〈根〈巨E,故D錯(cuò)誤.

424

11.答案：BC

解析：對(duì)于A,取正方形4與G2的中心。1,正方形ABCD的中心

連接4a,AO,OO1,則0,01平面ABC。,過點(diǎn)A作A.M，AO于點(diǎn)M,

則AXML平面ABCD,=OM,=OOX,

AB=2A[BX=4技明=屈,.1AB=4技=2技

^AlOi=OM=y/6,AO^2>j6,:.AM^AO-OM^^6,-=師，

由公股定理得4M==V10-6=2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,過點(diǎn)兒作AW，A3于點(diǎn)W,則AW=-)=百，故

AW=yl^-AW2=夕，正四棱臺(tái)ABCD-4耳￡口的側(cè)面面積是

4x68區(qū)"=12庖，故B正確；

2

對(duì)于C,正四棱臺(tái)ABCD-A4G2的外接球球心Q在直線上，連接AQ，AQ,則

AQ=4Q=R,如圖所示.

由勾股定理得AQ2=A02+002=24+丸2,4Q2=4。；+?02=6+(2+?2,

7

24+/?=6+(2+/I)2,解得,故C正確；

2

對(duì)于D,由勾股定理得PM=J#-A"=V16-4=2G，故點(diǎn)P的軌跡為以〃為圓心,

以為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分,如圖，

其中MT=MK=幣,故DT=BK=36又SM=ML=2?

由勾股定理得ST=KL=V12-3=3,

由于且=巫=走,ZSMT=ZLMK=->ZSML=—,

SMLM236

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度是2'2有=也，故D錯(cuò)誤.

63

12.答案：28

解析：［也+的展開式的通項(xiàng)公式為

,［、8-4升

7；+1=C；（^r^-j=C"M,

令等：=0,解得r=2,故］加+￡［的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C；=28.

13.答案：x=3或15x-8y-13=0

解析：依題意，將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得（x-2了+V=1,

則圓C表示以C（2,0）為圓心，半徑廠=1的圓，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),

過（3,4）的直線％=3正好與圓C相切；

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=左（尸3）,則d=口：4-3左|=］,

收+1

解析:由題意得拋物線方程為V=8x,故設(shè)直線I的方程為X=my-2，不妨設(shè)m>0,

聯(lián)立>2=8x,可得丁-8嗎+16=0,且A>0,設(shè)4（龍1，%）,3（%，%），則%〉。，%>。，

則%+%=8m，%%=16,

貝IjAB=yjl+m2.-%］，

2

BC=y/l+rrF-|1=y/l+m-y2,

,CFBCAFAB

由正弦定理得--------=--------,---------=--------

sinZCBFsinNCFBsinZABFsinZAFB

3尸為△?1人?的角平分線，

即NAFB=NCFB,又NCBE+NABF=兀,

CFBC

AB

即4,1+y2.|%|

y2

AFJl+蘇?〔%-為|

又由焦半徑公式可知AF=%+2=加%一2+2=相%，

貝U/-=乂，即町%=4%-4y2=4,（%+%4%%，

即16機(jī)=4,64M—64，解得m—,

3

故直線/的斜率為工=3.

m2

同理，根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)m<0時(shí)，直線/的斜率為-走.

2

綜上所述，直線/的斜率為土走.

2

15.答案：（1）認(rèn)為該校同學(xué)對(duì)山西大同刀削面的喜歡情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)

誤的概率不大于0.01

解析：（1）完善列聯(lián)表如下:

性別喜歡情況合計(jì)

喜歡不喜歡

男同學(xué)4060100

女同學(xué)2080100

合計(jì)60140200

零假設(shè)為“0：該校同學(xué)對(duì)山西大同刀削面的喜歡情況與性別無關(guān).

200x（20x60-40x80）2

則/=x9.5>6.635=%go],

60x140x100x100-

二根據(jù)小概率值l=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷/不成立，即認(rèn)為該校同學(xué)對(duì)山西大同刀削

面的喜歡情況與性別有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.

（2）按分層隨機(jī)抽樣的方法從喜歡吃山西大同刀削面和不喜歡吃山西大同刀削面中隨

機(jī)抽取10人，則抽取的人中喜歡吃山西大同刀削面的人數(shù)為3,不喜歡吃山西大同刀削

面的人數(shù)為7,故X的所有可能取值為0,1,2,3,

1

p（X=0）==^=——

/120

p（x=l）=^c2c^l=，7

C：°40

c'c221

P（X=2）=k=

Jo40

3

0（乂=3）=C*°C=’7,故乂的分布列為

Co24

X0123

p17217

120404024

1721721

則E（X）=0x——+lx—+2x—+3x—

120404024-io

16.答案：（1）見解析

⑵普

解析：證明：（1）由題意可得

jr

ZACB=ZACD=-,

6

:.COLBD^ACVBD.

又點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的投影為點(diǎn)O,

即POL平面ABCD,

又ACu平面ABC。,PO，AC,

又BDPO=O,BD,POu平面PBD,

.-.AC±￥ffiPB￡).

（2）由（1）可得08,OC,OP兩兩垂直,建立以。為原點(diǎn)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

“0,4,

303勿

22J

設(shè)平面PAD的法向量為相=（x,y,z）,

PA636c

m-PA=------y-----2=0,

則有22

on33后。

m-PD=——x----z=0,

22

直線PB與平面所成角的正弦值為

|m?PB|V39

|cos(m,PB)|=

\m\-\PB\

17.答案：（1）從第二項(xiàng)起單調(diào)遞減

（2）見解析

n+3n+2

解析：（1）由題意可得am3"+i

n2+3n+2n2+n2(l-n2

故--43“+i3"+i<0,

3"

即an+l<4,故數(shù)列｛a“｝中囚=外，且從第二項(xiàng)起單調(diào)遞減.

(2)證法一：由題意可得

。12+122+2n2+〃

S,=---+——++-----

"3323"

J_s12+122+2n2+n

-n--1-----；--F+

3〃32333,i+1'

2

有S“_gs〃=2xnn+n

+

F3用'

12nn2+n

即=3x-+—+H---

3323"2x3"

令再［+,+n

+F5

則也12n

-7TH------T+H-----,

32333"+i

1111n

則有aHuH----------

--?=-+F+3"3"+1，

1

23n11n

即有d"

3"+I22x3"3"+i'

3

即用=士1,n，

44X3"T2X3"

31nn2+n

故=3x

44X3〃T2X3〃2x3"

91n2+4〃

44x3"-22x3”

又擊n2+4Mo

+------>。，故s〃<“

2x3〃

即4s〃—9<0.

air+bn+c

證法二：不妨設(shè)么，且田，nwN*,

3"T

3an2+3m+3c-a(n+1)2-b(n+l)-c

則4-%

3"

2an2+(2b-2a)n+2c-a-b

3"

1

2tz=1,”展

貝lj<2b-2a-1,解得<b=T,

2c-a-b=0,3

ic=—.

4

123

—〃+〃+—

一,bun=2___yt_-_l__4，

那么=Q]+〃2++an

=（■—a）+（4—2）++（%—d+J=偽一%]

193

95（"+l）+（?+1）+-9

-一-----乙------------------------葉-V,-.

4304

18.答案：（1）\AB\EV2,—?—,2y/2

、3）13_

⑵正

3

V2_1

解析：（1）設(shè)4（不弘）,8（々,％）,易知尸（L。）,聯(lián)立=，

v=^（x-l）,

消去y,得（2片+1）爐-4片X+2（片-1）=0.

/\4k2

4二8（攵2+1）>0,.?.再+X2=2/1],

_2（k”l

%1%2=----7

「2r+1

.'.|AB|=Jl+k；?％|=J]+k；.

艮￡,

?1

又叫2+1€[1,3）、（3,+s）,

.-.|AB|e[V2,—f—,2A/2

I3JI3

（2）解法一：設(shè)直線AB的傾斜角為ae0,；；,引,則a=tana.

(-2、

20丁+1

20(tan2a+l)(cosa2?4后

由（1）知|AB|二1

22

2tan5a+12sina41+sina3-cos2a

K+1

直線小的傾斜角為"%

4^/2

同理可知|DE|=------------------、

3+sin2a

3—cos2ccH—

I4

S四邊形AEBL?”110口si哈+；I”1

|EF|sin-+-|BF||DF|sin-+-|5F|-|EF|sin-=—|AB||DE|,

424244

V24近40_

"四邊形AEB。一丁,3—cos2c/3+sin2a一

_________________8A/2_________________

9+3(sin2a-cos2a)-sin2acos2a

-

令r=sin2a-cos2a=A/2sin[2。一ILD(L6、，則sin2acos2a=~~~~

,16后

一四邊形A的,+6%+17'

??.當(dāng)仁-1時(shí),取最大值逑.

解法二：依題意，一匕w1,直線磯＞的傾斜角比直線AB的傾斜角大:,

二直線石。的斜率存在.

,71

+tan—1,

不妨設(shè)直線ED的方程：y=Z(x-1),且&=-------工=匕土

217+乃1一匕

1-ktan-Y

1}4

。（項(xiàng),為）,￡（和為），

_______T2,[

由(1)同理得|￡?|=爐4片-%|=2行.與一,

2k2+1

1711

S?AEBD=-\AF\\DF\sin-+-|AF\\EF\.

TT17rljr

sin-+-|BF||DF|sin-+-|BF||EF|sin-

42J42J4

1兀

=-|AB||DE|sin-

24

^2(V+1)(^2+1)

=xo,-----------r—;-----------r-

4(2片+1)(2居+1)

_20(Z/2)2+(4+宿)+1

4(4]&)2+2(6+后)+1

=2①(匕刈—1)2+(41+42)

(2左修一1)2+2(1+左2)2

Y711K+k；1+2k\—k；

又左匕=———+匕=!——L

-,k,2

、21—匕、1-^

2

‘片+2匕—1、1+2%一公丫

+

,1—K.、一勺,

?c_'1/1.2亞

一口四邊形AE8D-/°2\2

2-：+3勺一1‘1+2勺一左2

+2

、1-KJI1-41J

4四（6+1丫

6左；+4將+9將+2匕+3

2

%2+1

令f(x)=~~2------------5----------，%20,

6x4+4x3+9x2+2%+3

2(x2+1)(2X2+X+1)(X2-2X-1

/'（X）=

(6尤4+4尤3+9x2+2%+3)

解方程-2x-1=0,得x=1±A/2.

/（%）在區(qū)間［0,1+V2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1+后,+8）上單調(diào)遞增.

當(dāng)Xw1時(shí)"(x)w—.

6

/(0)=:,x-轉(zhuǎn)時(shí),/(x)—!,

3o

/(x)</(0)=1,

S四邊形AEBO-4⑸(0)=殍.

19.答案：(1)/(x)的最大值為0

(2)見解析

(3)/(x)+x=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

解析：(1)由題意知,/(0)=0且/'(0)=0,

=cosxH——---a,

x+1

.?./(0)=2_口=0,解得。=2,

f(x)=sin%+ln(x+l)-2x,

f'(x)