2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課件新人教A版選擇性必修第一冊

第三章3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率等簡單幾何性質(zhì).(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.能夠根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題.(邏輯推理)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點(diǎn)

雙曲線的幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>0,b>0)(a>0,b>0)性質(zhì)圖形

焦點(diǎn)

焦距

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)|F1F2|=2c標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>0,b>0)(a>0,b>0)性質(zhì)范圍

或

y∈

或

x∈

對稱性對稱軸:

;對稱中心:

通徑過焦點(diǎn)且與對稱軸垂直的弦,長度為頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)

離心率e=

∈

,其中c2=a2+b2

漸近線y=±x

x≤-ax≥aRy≤-a

y≥aR坐標(biāo)軸

原點(diǎn)

A1(0,-a),A2(0,a)(1,+∞)名師點(diǎn)睛1.雙曲線有“四點(diǎn)”(兩個焦點(diǎn)、兩個頂點(diǎn))“四線”(兩條對稱軸、兩條漸近線),橢圓是封閉性曲線,而雙曲線是開放性曲線;雙曲線有兩支,故在應(yīng)用時要注意點(diǎn)在哪一支上;根據(jù)方程判斷焦點(diǎn)的位置時,注意雙曲線與橢圓的差異性.2.如果雙曲線的方程確定,那么其漸近線的方程是確定的.但如果雙曲線的漸近線確定,那么其對應(yīng)的雙曲線有無數(shù)條,具有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為

=λ(λ≠0).當(dāng)λ>0時,對應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在x軸上;當(dāng)λ<0時,對應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在y軸上.3.因為

,所以離心率的大小決定了漸近線斜率的大小,從而決定了雙曲線張口的大小.離心率越大,張口越大;離心率越小,張口越小.4.等軸雙曲線是指實軸長與虛軸長相等的雙曲線,其漸近線方程為y=±x,離心率等于

.微思考1.橢圓中要求a>b>0,在雙曲線中a,b是否也要滿足該條件?提示

不是,在雙曲線中,a,b沒有大小關(guān)系,只需a>0,b>0.2.如何處理直線與雙曲線的交點(diǎn)問題?提示

把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下可得:(1)Δ>0時,直線與雙曲線有兩個不同的公共點(diǎn);(2)Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn);(3)Δ<0時,直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).此外,當(dāng)直線平行于雙曲線的漸近線時,直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn),故直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要不充分條件.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1類比橢圓的研究思路,從標(biāo)準(zhǔn)方程到幾何性質(zhì).對于雙曲線,在研究了標(biāo)準(zhǔn)方程以后,該研究什么?又如何研究?問題2雙曲線有哪些幾何性質(zhì)?與橢圓比較,有何不同?探究點(diǎn)一由雙曲線的方程求幾何性質(zhì)問題3如何通過雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到其幾何性質(zhì)?【例1】

求雙曲線9y2-4x2=-36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程.思路分析將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,先求出參數(shù)a,b,c的值,再寫出各個結(jié)果.規(guī)律方法

由雙曲線方程研究幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)

一把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,確定a,b的值是關(guān)鍵二由方程可以求焦距、實(虛)軸長、離心率、漸近線方程三漸近線是雙曲線的重要性質(zhì):先畫漸近線可使圖形更準(zhǔn)確,焦點(diǎn)到漸近線的距離為虛半軸長四注意雙曲線中一些特殊線段(值)的應(yīng)用.如過雙曲線

的左焦點(diǎn)F1(-c,0)垂直于x軸的弦AB,則|AB|=五雙曲線中c2=a2+b2,易與橢圓中a2=b2+c2混淆探究點(diǎn)二根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程問題4逆向思考,通過雙曲線的幾何性質(zhì)如何求標(biāo)準(zhǔn)方程?【例2】

求滿足下列條件的雙曲線的方程.(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,實軸長與虛軸長之比為2∶3,且經(jīng)過點(diǎn)P(,2);(2)已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,且經(jīng)過點(diǎn)M(-3,2);(3)已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0,且兩頂點(diǎn)間的距離是6.規(guī)律方法

巧設(shè)雙曲線方程的四種方法與技巧

(4)漸近線為ax±by=0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).探究點(diǎn)三雙曲線的漸近線與離心率問題問題5離心率是圓錐曲線重要的幾何性質(zhì)之一,類比橢圓求離心率的基本方法,一般情況下,如何求雙曲線的離心率?問題6雙曲線相比橢圓有一條特殊的幾何性質(zhì)——漸近線,這對于求離心率有什么特別的幫助?角度1求雙曲線的離心率或取值范圍【例3】

設(shè)F為雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為(

)A規(guī)律方法

求雙曲線離心率及取值范圍的常見方法(1)求雙曲線離心率的常見方法:①若可求得a,c,則直接利用e=得解;②若已知a,b,或得到a,b的關(guān)系式,可利用

求解;③若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程,則方程兩邊同除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解.(2)求離心率取值范圍的技巧:①根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,類似于求離心率的方法轉(zhuǎn)化求解;②通過解不等式得

的取值范圍,求得離心率的取值范圍.角度2雙曲線的漸近線與離心率的綜合

B規(guī)律方法

雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系,可以借助

進(jìn)行互求.一般地,如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程,或者已知漸近線方程求離心率的值,都會有兩解(焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況),不能忘記分類討論.探究點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系問題7類比直線與橢圓的位置關(guān)系,如何判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系?問題8直線與雙曲線相切是否等價于直線與雙曲線僅有一個交點(diǎn)?【例5】

已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx-1.(1)若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點(diǎn),求實數(shù)k的取值范圍;(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積為,求實數(shù)k的值.規(guī)律方法

直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)方程思想的應(yīng)用:把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組,通過消元后化為ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情況下考查方程的判別式.①當(dāng)Δ>0時,直線與雙曲線有兩個不同的公共點(diǎn).②當(dāng)Δ=0時,直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn).③當(dāng)Δ<0時,直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).當(dāng)a=0時,直線與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線有一個公共點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用:①直線過定點(diǎn)時,根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.②直線斜率一定時,通過平行移動直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)雙曲線的幾何性質(zhì);(2)雙曲線的離心率;(3)判斷直線與雙曲線交點(diǎn)個數(shù);(4)弦長問題.2.方法歸納:定義法、待定系數(shù)法、直接法、解方程法、數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū):(1)求雙曲線方程時位置關(guān)系容易考慮不全面;(2)代數(shù)計算中容易運(yùn)算失誤.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234561.(例1對點(diǎn)題)雙曲線2x2-y2=-8的實軸長是(

)A.2 B.2

C.4 D.4D123456C1234563.(例2對點(diǎn)題)求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的

倍,且一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2);(2)雙曲線的漸近線方程為y=±x,且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3).123456123456B123456解析

∵|PF1|-|PF2|=2a,PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=4a2+2|PF1||PF2|=4c2.又b2=