2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程本章總結(jié)提升課件新人教A版選擇性必修第一冊

第二章本章總結(jié)提升知識網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一兩直線的平行與垂直判斷兩直線平行、垂直的方法1.若不重合的直線l1與l2的斜率都存在,且分別為k1,k2,則k1=k2?l1∥l2.2.若直線l1與l2的斜率都存在,且分別為k1,k2,則k1·k2=-1?l1⊥l2.(討論兩直線平行、垂直不要遺漏直線斜率不存在的情況)【例1】

若直線l經(jīng)過點(diǎn)(a-2,-1)和(-a-2,1)且與直線2x+3y+1=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為

.

規(guī)律方法

一般式方程下兩直線的平行與垂直已知兩直線的方程為l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時(shí)為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時(shí)為0),則l1∥l2?A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.變式訓(xùn)練1已知兩直線l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,若l1∥l2,則m=

.

-1專題二兩直線的交點(diǎn)與距離問題兩條直線的位置關(guān)系的研究以兩直線的交點(diǎn)為基礎(chǔ),通過交點(diǎn)與距離涵蓋直線的所有問題.【例2】

過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)P平分,求直線l的方程.解

設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8-2a),則由題意知,點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點(diǎn)A(4,0)在直線l上,所以直線l的方程為x+4y-4=0.規(guī)律方法

變式訓(xùn)練2已知直線l過直線l1:x-2y+3=0與直線l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn),且點(diǎn)P(0,4)到直線l的距離為2,則這樣的直線l的條數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.3C專題三直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓位置關(guān)系的判斷方法:(1)幾何法:設(shè)圓心到直線的距離為d,圓的半徑長為r.若d<r,則直線和圓相交;若d=r,則直線和圓相切;若d>r,則直線和圓相離.(2)代數(shù)法:聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,其判別式為Δ.Δ=0?直線與圓相切;Δ>0?直線與圓相交;Δ<0?直線與圓相離.2.研究直線與圓的位置關(guān)系,集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例3】

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.規(guī)律方法

直線與圓問題的類型(1)求切線方程:可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得.(2)弦長問題:常用幾何法(垂徑定理),也可用代數(shù)法結(jié)合弦長公式求解.變式訓(xùn)練3已知圓C關(guān)于直線x+y+2=0對稱,且過點(diǎn)P(-2,2)和原點(diǎn)O.(1)求圓C的方程;(2)相互垂直的兩條直線l1,l2都過點(diǎn)A(-1,0),若l1,l2被圓C所截得的弦長相等,求此時(shí)直線l1的方程.解

(1)由題意知,直線x+y+2=0過圓C的圓心,設(shè)圓心C(a,-a-2).由題意,得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2,解得a=-2,且半徑為2.因?yàn)閳A心C(-2,0),半徑r=2,所以圓C的方程為(x+2)2+y2=4.專題四圓與圓的位置關(guān)系1.圓與圓的位置關(guān)系:一般利用圓心間距離與兩半徑和與差的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.2.圓與圓的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【例4】

已知圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0與圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0.(1)證明圓C1與圓C2相切,并求過切點(diǎn)的兩圓公切線的方程;(2)求過點(diǎn)(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點(diǎn)的圓的方程.規(guī)律方法

兩圓的公共弦問題(1)若圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.(2)公共弦長的求法:①代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長.②幾何法:求出公共弦所在直線的方程,利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形,根據(jù)勾股定理求解.變式訓(xùn)練4已知圓C1:x2+y2-4x+2y=0與圓C2:x2+y2-2y-4=0.(1)求證:兩圓相交;(2)求兩圓公共弦所在直線的方程.

(2)解

將兩圓的方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程,(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.專題五圓中的最值問題與圓有關(guān)的最值問題包括:(1)求圓O上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)P的最大距離、最小距離:dmax=|OP|+r,dmin=||OP|-r|.(2)求圓上的點(diǎn)到某條直線的最大、最小距離:設(shè)圓心到直線的距離為m,則dmax=m+r,dmin=|m-r|.(3)已知點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是(x-a)2+(y-b)2=r2,求

③x2+y2等式子的最值,一般是運(yùn)用幾何法求解.【例5】

圓x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0與x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦長的最大值為(

)B解析

由題意得,兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+a)2+(y+a)2=1和(x+b)2+(y+b)2=2,兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(-a,-a),(-b,-b),半徑分別為1,,則當(dāng)公共弦為圓(x+a)2+(y+a)2=1的直徑時(shí),公共弦長最大,最大值為2.規(guī)律方法

解決此類問題要多借助圖形分析,并且有時(shí)需要將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化化歸,盡量減少代數(shù)運(yùn)算.變式訓(xùn)練5已知P是直線3x+4y+8=0上的動點(diǎn),PA,PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0