2024年全國(guó)普通高中九省聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題（二）（含答案解析）

2024年全國(guó)普通高中九省聯(lián)模擬數(shù)學(xué)試題（二）

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.從小到大排列的數(shù)據(jù)1,2,3,羽4,5,6,7,8,y,9,10的第三四分位數(shù)為（）

A.3B.止C.8D.山

22

2.若橢圓C:二+]■=：!（/〃>0）上一點(diǎn)到C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2〃z,貝1]利=（）

A.1B.3C.6D.1或3

3.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為若%+%=T°，$6=-42,貝2。=（）

A.12B.10C.16D.20

4.同一個(gè)宿舍的8名同學(xué)被邀請(qǐng)去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不

去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個(gè)人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（）

A.32種B.128種C.64種D.256種

5.在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照?qǐng)D1的方式進(jìn)行拼接，然后他又

將三角板ABC折起，使得二面角少為直二面角，得圖2所示四面體A5CD.小

明對(duì)四面體ABCD中的直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①CD_L平面A3C；

②2平面ACD；③平面平面ACZ）；④平面ABDJL平面3co.其中判斷正

確的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

6.己知點(diǎn)尸在圓（x-iy+y2=i上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為卜1,退為原點(diǎn)，則AO.AP的取值

范圍是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D.[3,7]

7.若f（x）=2sinx（右cosx-sinx）,且=則,-到的最小值為（）

7171

A.兀B.—C.2TID.一

24

22

8.如圖，已知耳B是雙曲線(xiàn)c3-W=i的左、右焦點(diǎn)，P,Q為雙曲線(xiàn)C上兩點(diǎn)，滿(mǎn)

足片尸〃工。，且優(yōu)。卜怩"=3|耳尸則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）

415

丁

二、多選題

9.設(shè)復(fù)數(shù)z=」二(a,6eR且6a0),則下列結(jié)論正確的是()

a+b\

A.z可能是實(shí)數(shù)B.月=|可恒成立

C.若z2eR,則o=0D.若z+'eR,貝1z|=l

Z

4_i_D

10.在ABC中，若tan——=sinC,則下列結(jié)論正確的是()

A.叫學(xué)=1B.0<sinA+sinB<V2

tan8

C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C

11.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足/(x+y)+〃x—y)=2/(x)/(y),且/⑴=—1,

則()

A./(0)=1

B./(x)為奇函數(shù)

C./(1)+/(2)++”2024)=0

D.［小)了+|小+野=1

三、填空題

12.若關(guān)于x的不等式04依2+版+。＜2（。＞0）的解集為卜|-14尤43},則3a+b+2c的

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

取值范圍是.

13.已知直三棱柱ABC-AKG.ABLBCACnZAB.ACnZ,則三棱柱ABC-A4G的

體積的最大值為;此時(shí)棱柱的高為.

14.已知正實(shí)數(shù)4,6,C,d滿(mǎn)足油+1=0,c2+d2=\,則當(dāng)(a-c)2+(b-d)2取得最小值

時(shí)，ab-.

四、解答題

15.已知函數(shù)”無(wú))=21n_x+gar2-(2a+l)x.

⑴若曲線(xiàn)y=/(x)在(1"⑴)處切線(xiàn)與無(wú)軸平行，求。；

(2)若f(x)在x=2處取得極大值，求。的取值范圍.

16.盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個(gè)球.不放回.

(1)若盒子中有8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，從中任意摸兩次.記摸出的紅球個(gè)數(shù)為X.求

隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

⑵若A盒中有4個(gè)紅球和4個(gè)白球，8盒中在2個(gè)紅球和2個(gè)白球.現(xiàn)甲、乙、丙三人

依次從A號(hào)盒中摸出一個(gè)球并放入3號(hào)盒，然后丁從B號(hào)盒中任取一球.已知丁取到紅

球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.

7T

17.在梯形A5CD中，ABCD,ZBAD=~,AB=2AD=2CD=4,P為AB的中點(diǎn)，

線(xiàn)段AC與。P交于。點(diǎn)(如圖1).將ACD沿AC折起到416,位置，使得平面。'AC，

平面BAC(如圖2).

D'

圖1圖2

⑴求二面角A-BD'-C的余弦值；

(2)線(xiàn)段PD上是否存在點(diǎn)°,使得CQ與平面3C。所成角的正弦值為手？若存在，求

出冬的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知拋物線(xiàn)y?=4x,頂點(diǎn)為。，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn).

⑴如圖1所示，已知|相|=8|,求線(xiàn)段AB中點(diǎn)到>軸的距離；

⑵設(shè)點(diǎn)尸是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，頂點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)尸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,求四邊形OACB面積的

最小值；

(3)如圖2所示，設(shè)O為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)。作直線(xiàn)。加，交拋物線(xiàn)于M,N兩

點(diǎn)，過(guò)。作直線(xiàn)。P,。。交拋物線(xiàn)于尸，。兩點(diǎn)，且DPYDQ,設(shè)線(xiàn)段

與線(xiàn)段PQ的交點(diǎn)為T(mén),求直線(xiàn)07斜率的取值范圍.

19.已知無(wú)窮數(shù)列{q}滿(mǎn)足q=max{a“+],aa+2}-min{a“+],a“+2}(〃=l,2,3,),其中

max｛x,y｝表示x,y中最大的數(shù)，min｛x,y｝表示尤，y中最小的數(shù).

⑴當(dāng)4=1,g=2時(shí)，寫(xiě)出的的所有可能值;

(2)若數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)；

⑶若%>05=1,2,3,),是否存在正實(shí)數(shù)使得對(duì)任意的正整數(shù)”，都有44"?

如果存在，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的M；如果不存在，說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.D

【分析】由百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解即可.

【詳解】12x75%=9,??.該組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為"之.

2

故選：D.

2.B

【分析】討論焦點(diǎn)的位置利用橢圓定義可得答案.

【詳解】若加>9,則由2標(biāo)'=2機(jī)得〃1=1(舍去)；

若0<<9,則由2m=6得m=3.

故選：B.

3.B

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛《｝的公差為d，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于4、d的方程組，解出這兩

個(gè)量的值，在利用等差數(shù)列的求和公式可求得小的值.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則%+%=(%+2d)+(?1+4d)=2q+6d=-l。，①

6x5

$6=6q-------d=6q+15d=-42,(2)

聯(lián)立①②可得4=-17,J=4,

inxo

因止匕，4=10q+—^—1=10<71+451=10x(-17)+45x4=10.

故選：B.

4.C

【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類(lèi)，利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】若甲、乙都去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有25種去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每個(gè)人都可以選擇去或不去，有25種去法.

故一共有2,+2$=64種去法.

故選：C.

5.C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線(xiàn)面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于①中，因?yàn)槎娼茿-3C-D為直二面角，可得平面ABC」平面BCD,

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

又因?yàn)槠矫鍭BCc平面3cD=3C,DCLBC,且OCu平面BCD,

所以。CL平面ABC,所以①正確；

對(duì)于②中，由DC_L平面A3C,且ABu平面A5C,可得ABJ_CD,

又因?yàn)锳B1AC,且ACCD=C,AC,C￡>u平面AC。，

所以AB2平面ACD,所以②正確；

對(duì)于③中，由AB上平面ACD,且至u平面AB￡),所以平面ABD_L平面ACD,所以③正

確；

對(duì)于④，中，因?yàn)?。C_L平面ABC,且。Cu平面BCD,可得平面ABC人平面BCD,

若平面ABD_L平面3CD,且平面ABDc平面ABC=AB,可得AB2平面BCD,

又因?yàn)锽Cu平面BCD,所以ABJ.3C,

因?yàn)锳B與BC不垂直，所以矛盾，所以平面和平面3c。不垂直，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.D

【分析】設(shè)P(x,y),利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)P(x,y),因點(diǎn)A的坐標(biāo)為卜1,6),所以A0=(1,—6),AP=(x+l,y—6),

貝IAO'AP=x+l—y/3(y—y/3\=x-y/3y+4,

設(shè)%=x一百y+4,即y=+—0，

依題意，求t的范圍即求直線(xiàn)y=冬+咚(4_)與圓(XT)?+/=1有公共點(diǎn)時(shí)在y軸上截

距的范圍，

即圓心(1,0)至Ijy=[x+4(4T)的距離1=用41,解得3W/W7,

所以AO?AP的取值范圍為[3,7],

故選：D.

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

7.B

【分析】化簡(jiǎn)〃九)解析式，得函數(shù)最大最小值與周期，利用/(%)/(%)=-3條件轉(zhuǎn)化為與

最值的關(guān)系，再由最值與周期的關(guān)系可得.

【詳解】/(%)=2sin%(由cos%—sin%)

=石sin2x-2sin2x=6sin2x+cos2x-l

=2sin-1,/(x)的周期為7=兀，且

令】=sin(2尤,則問(wèn)一1』,

則/?=g。)=2-1,由g(t)的值域?yàn)椋?3,1］,

故/(勸詼=1"(幻而L-3,

-3</(%,)

故-

-3</(%2)<l

/、/、"a)=i/(/)=1

由/&)/伍)=-3知，匕；：；=_或

/(%1)=-3'

即/(再),/(%)為函數(shù)的最大與最小值，或最小與最大值，

當(dāng)占,三對(duì)應(yīng)了(X)圖象上相鄰兩最值點(diǎn)時(shí)，上-目的值最小,

故,一%,『§=/

故選：B.

8.D

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)分析可得進(jìn)而可得/月尸'。=/￡尸耳=90,結(jié)合

勾股定理運(yùn)算求解.

【詳解】延長(zhǎng)QB與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)P，

因?yàn)閷?xiě)尸〃工P,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知國(guó)H=|月尸|，

設(shè)昆尸［=|耳則區(qū)尸|=醫(yī)。|=3,,

可得怩P|—怪尸1=2/=2a,即

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

所以|P@=4=4a,則|0￡|=|°閶+2a=5匹|耳P|=|gH=3。,

即|PQ『+|4P『=|。耳『，可知/用尸'。=/片尸乙=9。，

在,尸7司中，由勾股定理得國(guó)pf+|耳P『=|月用2,

即/+（34）2=402,解得e=￡=典.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：L雙曲線(xiàn)離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線(xiàn)的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定。，b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)

系，然后把b用a,c代換，求e=￡的值；

a

2.焦點(diǎn)三角形的作用

在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線(xiàn)的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)

合起來(lái).

9.BCD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的類(lèi)型的概念求解即可.

【詳解】對(duì)于：若a-biab

Az='i是實(shí)數(shù),

a+bia2+b2a1+/a1+Z?2

則6=0,與已知矛盾，故A錯(cuò)誤;

bi

對(duì)于B：由A項(xiàng)知"H-----z-------r

a+6

所以|z|

-2_/b12ab._a2-b2lab.

對(duì)于C：若z-,廠（/+,）2-w）21-（/+「廠（/+,）21e'

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

2ab

則/+用2=U,因?yàn)閎wO,所以a=0,故C正確;

aa]

對(duì)于D：z+—=---ba+bi=++ieR,

za+bia2+b2)Ia2+b2

b

則=。，因?yàn)槿?。，所以?

22

a-b

所以|z|=1+|=1,故D正確.

a2+b2a2+b2

故選：BCD.

10.BD

4Iz?

【分析】由tan^—=sinC化簡(jiǎn)得到。=90。，再逐項(xiàng)判斷.

co

?、斗印、向上A+B.=C>12一。C

【詳向車(chē)】解：由tan—^—=smCntan彳一彳=———=——^-=2sin—cos—,

2(22)tankSink22

22

C71C

因?yàn)樗詂os—wO,

222

rr

所以l=2sin25nl-2sin23=0ncosC=0nC=90°,

所以tanB=tan(g-A]=」：，且”=tan%不一定為1,A錯(cuò)；

12)tanAtanB

因?yàn)閟inA+sinB=sinA+cosA=夜sin(A+45°),0°<A<90°n45°<A+45°<135°,

/.^<sin(A+45°)<l^>l<A/2sin(A+450)<V2,

從而有O<sinA+sin840，所以B正確，

又cosB=cos[5-A]=sinA,所以sirA+cos'B=2sin2A也不一定等于1,C錯(cuò)；

而cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=l=sin2c，D正確；

故選：BD

11.AD

【分析】采用賦值法為突破口，分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

【詳解】對(duì)A：令x=l,y=0,則2/(1)=2/(1)/(0),

因?yàn)?⑴=T，所以"0)=1，故A正確;

對(duì)B：令x=0得：/(y)+/(-y)=2/(O)/(y),結(jié)合"0)=1可得/((=/(-y),

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

所以“X)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：令y=l可得：/(x+l)+f(x-l)=2f(x)/(l),因?yàn)?(1)=T,

所以/(彳+1)+/(》-1)=一2/(%)0/(%+1)+/(切=-[/(%)+/(%-1)],

進(jìn)一步可得：/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)]=/(x)+/(x-l),

又40)=1,/(1)=-1,

所以：/（0）+/（1）=/（2）+/（3）=?..=/（2023）+/（2024）=0,

所以〃1）+/（2）+/⑶+?+/（）+〃2023）=—力（0科一，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：令x=y可得:〃2對(duì)+〃0）=2［〃切=卜（切2="2；）+1；

用x+g代替x,'得："2尤+］）+〃0）=2［小+；［?+￡|2=〃2'）+1,

結(jié)合C的結(jié)果，可得：［〃圻+［小+；。3）+,+>2”0）+9）+2=］,

故D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：如何賦值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.AB相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)C,令y=l得到

〃彳+1）+〃尤）=-"（x）+〃x-1）］后進(jìn)一步可得到數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可求結(jié)果，對(duì)

D,用x=y和用X+；代替x,y是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

⑵加

【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)端點(diǎn)得到兩個(gè)等式和一個(gè)不等

式，求出。的取值范圍，最后3a+Z?+2c都表示成。的形式即可.

【詳解】因?yàn)椴坏仁?4依2+法+c<2（4>0）的解集為{x|-14尤43},

所以二次函數(shù)/（x）=a?+fox+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=l,

/(-1)=2a-b+c=2

(),即(b=-2a

且需滿(mǎn)足，/3=29a+36+c=2解得

/(1)>0[a+b+c>0c=-3d+2

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

所以Q+Z?+c=Q-2a-3a+220=>aW（,所以〃［Oq,

所以3Q+ZJ+2C=3〃—2〃—6〃+4=4—5〃￡T

故答案為：

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：一元二次不等式的解決關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，求出對(duì)稱(chēng)軸和端點(diǎn)

的值，繼而用同一個(gè)變量來(lái)表示求解.

13,2鳴2有

333

【分析】利用直三棱柱的特征、體積公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性及最值計(jì)算即可.

【詳解】

如圖所示，不妨設(shè)|AB|=X,由題意貝ljACnZX,BCnGx'M=,4一4%2（%￡（0,1））,

貝！JV=44-4Yxg%xy/3x=6］（］一%2卜4,

令/?）=二/￡（01））=/,?）=2，—3/，

貝！時(shí)，r（^）<o,q>%>o時(shí)，r（r）>o,

即/⑺在（o，g上單調(diào)遞增，在（I』）上單調(diào)遞減,

22

—V=6義

則了⑺而方27maxv

3

0

此時(shí)t=x2=-^>“if=9=4=竽

3

故答案為：j；-

3

14.￡1

2

【分析】將（。-4+S-d）2轉(zhuǎn)化為（〃力）與（G"）兩點(diǎn)間距離的平方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為（。乃）與圓

心（0,0）的距離，結(jié)合基本不等式求得最小值，進(jìn)而分析求解即可.

【詳解】可將（。-4+S-"轉(zhuǎn)化為（。力）與（c,d）兩點(diǎn)間距離的平方,

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

由a2—ab+1=0,得b=aT—,

a

而。2+/=1表示以（0,0）為圓心，1為半徑的圓，（c,d）為圓上一點(diǎn)，

則（。⑼與圓心（0,0）的距離為：

yja2+b2=卜+（°+工]=J2a-+3+2>^2a2—+2=也行+2,

當(dāng)且僅當(dāng)2/=±,即。=±《1時(shí)等號(hào)成立，

aV2

此時(shí)（。力）與圓心（0,0）的距離最小，即（。力）與（c,d）兩點(diǎn)間距離的平方最小,

即（a-c）2+（b-cl）?取得最小值.

當(dāng)4=《口時(shí)，ab=a2+l=+1,

V22

故答案為：也+1.

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為圓，+相=1上的點(diǎn)到&=?+-±

a

的點(diǎn)的距離的最小值的求解問(wèn)題，進(jìn)而求解.

15.（1）1

⑵卜

【分析】（1）先對(duì)/J）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

（2）分類(lèi)討論〃的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)分析/（x）的單調(diào)情況，從而得到其極值情況，由此

得解.

【詳解】（1）因?yàn)椤ㄓ龋?21nx+；62-（2a+l）x（x>0）,

所以廣⑺]+辦_即：1）—2—（2：+山+2——1d,

因?yàn)榍€(xiàn)y=〃x）在（L〃l））處切線(xiàn)與無(wú)軸平行，

所以廣⑴=（aT[l2）=0,解得°=1,

X/（l）=1-3--1^0,所以a=l.

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

（2）〃尤）的定義域?yàn)椋ā?+8）,「（力（"沖一2）,

①當(dāng)。=0時(shí)，4/^）>0,得0<x<2,令r（x）<0,得x>2,

\/⑴在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,+8）上單調(diào)遞減.

\/（x）在x=2處取得極大值，滿(mǎn)足題意；

②當(dāng)“<0時(shí)，4/^x）>0,得0<x<2,令廣（力<0,得x>2,

\/（x）在（0,2）上單調(diào)遞增，在（2,+8）上單調(diào)遞減.

\/（x）在x=2處取得極大值，滿(mǎn)足題意；

③當(dāng)4>0時(shí)，

（i）當(dāng)a=g時(shí)，1=2,/（%）>0

所以在（。，+"）上單調(diào)遞增，〃。無(wú)極值，不滿(mǎn)足題意；

（ii）當(dāng)a>!時(shí)，-<2,

2a

令廣⑺<0,得：<x<2,令制x）>0,得0<x/或X>2.

\/（X）在］。，￡|上單調(diào)遞增，在W上單調(diào)遞減，在（2,+8）上單調(diào)遞增.

\/（X）在x=2處取得極小值，不滿(mǎn)足題意；

（iii）當(dāng)0<。<!時(shí)，->2,

2a

令八%）<。，得2<X<L令用了）>。，得0<x<2或

\”勾在（0,2）上單調(diào)遞增，在12,J上單調(diào)遞減，在［,+，!上單調(diào)遞增.

\/（X）在>2處取得極大值，滿(mǎn)足題意；

綜上所述，0的取值范圍為,巴；］

16.（1）分布列見(jiàn)解析；期望為?

4

【分析】（1）列出X的所有可能的值，求出對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，并求期望.

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

（2）用條件概率公式求解.

5「1「以21s

【詳解】（1）X可取0,1,2.且：P（X=0）=^=-,P（X=1）=W==函,

P（X=2）=|!$

所以X的分布列為:

X012

5153

P

142828

1533

貝IJ：石X=lx——+2x——=_

28284

（2）設(shè)事件“丁取到紅球”，事件后="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.

當(dāng)甲、乙、丙三人取得1個(gè)白球,則丁取到紅球的概率為

C；C；C；7'

3C1C1C13

當(dāng)甲、乙、丙三人取得2個(gè)白球,則丁取到紅球的概率為,

則丁取到紅球的概率為舄l^x,；

當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個(gè)白球,

c8c7c6/

則丁取到紅球的概率為需旨xg；

當(dāng)甲、乙、丙三人取得3個(gè)紅球,

0807c6'

則所求概率為：P（E|O）=?^

3C；C?43C?C；3C；C；C；2

7y/7y/7y/44

3C；C?53C；C；C；43C；C；C；33C；C；C；2'二①

j/7y'/

17.⑴—五

7

⑵存在‘軟!

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解;

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

（2）設(shè)尸0=海力（04左1）,表示出CQ,利用向量的夾角公式代入列式，即可得解.

JT

【詳解】（1）因?yàn)樵谔菪蜛5CD中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,ZBAD=~,p為AB

的中點(diǎn)，所以，CD//PB,CD=PB,

所以尸是正三角形，四邊形DPBC為菱形，

可得AC/3C,ACLDP,

而平面￡>'AC_L平面BAC,平面。'ACc平面BAC=AC,

力Ou平面O'AC,DO±AC,

Zy0_L平面BAC,所以（M,OP,。力兩兩互相垂直，

如圖，以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OP,o。'分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（省,0,0）,C（-V3,o,o）,網(wǎng)一百,2,0）,￡>（0,0,1）,尸（0,1,0）,

.?.AD1=（-73,0,1）,AB=（-2>/3,2,0）,BD=（V3,-2,1）,,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為m=（Xi，X，zJ,則

m?AD'=0-+2]=0

即《，令％=1,則乂=4=石,

AB=0-+2〉]=0

設(shè)平面C8D’的一個(gè)法向量為〃=（馬,為，22），則

nBDr=0V3X-2%+z°=0

即《廠9，令％2=1，則％=°，

r

nCD=0，3%2+z2=0

1x1+73x0+73x(-73)幣

m-n

COS(771,Ylj—"；~~I..=

71+3+3x71+3.7，

、mn

所以二面角A-/-C的余弦值為一。

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

（2）線(xiàn)段PD'上存在點(diǎn)。，使得02與平面3C。'所成角的正弦值為好.

8

T^PQ^APD（0<2<1）,因?yàn)镃P=（若,1,0）,PZ）'=（0,-1,1）,所以

CQ=CP+PQ=CP+APD=(73,1-2,2),

退(1-2)屈

設(shè)C。與平面BC?！山菫椤?，貝抬ine=cosCQ,n

2,2矛-22+48'

即3萬(wàn)一7彳+2=0,0<2<l,解得4=

所以線(xiàn)段尸力上存在點(diǎn)。，且冬=：，使得CQ與平面BCD’所成角的正弦值為好

PD38

18.(1)3

(2)4

￡j_

⑶

2,2

【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)求解即可；

（2）由題意可知四邊形Q4BC的面積等于2%A°B，設(shè)出直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)

合韋達(dá)定理和25VA°B=2*|。刊|為一求解即可；

（3）設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為（〃,2a）,將拋物線(xiàn)方程與直線(xiàn)ZW,ZW聯(lián)立，利用韋達(dá)定理將點(diǎn)M和

點(diǎn)N坐標(biāo)用。表示，進(jìn)而可得到直線(xiàn)MN的方程，證明直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=8,

由拋物線(xiàn)的性質(zhì)可得%+%+2=|AB|=8,

所以占+%=6,

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

所以線(xiàn)段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為線(xiàn)段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為上產(chǎn)=3.

(2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱(chēng)，可知P是線(xiàn)段0c的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。與點(diǎn)C到直線(xiàn)/的距離相等，所以四邊形OABC的面積等于2SAAOB,

設(shè)直線(xiàn)/的方程為m町+1,聯(lián)立工：吁1,消去x可得產(chǎn)-4~4=0,

[y=4x

設(shè)4(%,%)，8(4%)，由韋達(dá)定理可得%+%=4加，4=-4,

所以2SVA0B=2%|0刊|%-刃=J(%+4%%=4dm②+1，

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，四邊形Q4BC的面積取最小值為4.

(3)設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(6,2a),M點(diǎn)坐標(biāo)為(XM，%/)，N點(diǎn)坐標(biāo)為(%,打)，

由題意可知直線(xiàn)DM的斜率上存在，且不為0,

則直線(xiàn)DM的方程為V-2a=k(x-與拋物線(xiàn)V=4x聯(lián)立，消去x得

y2--y+--4a2=0,

kk

一44

由韋達(dá)定理可得2〃+=7,解得＞時(shí)=7-2〃，

kk

直線(xiàn)@V的方程為y-2a=-1(x-/)與拋物線(xiàn)V=4x聯(lián)立，消去x得

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

y2+4ky-Ska-4〃=0,

由韋達(dá)定理可得2。+%=-4k,解得yN=-4k-2a,

顯然直線(xiàn)MN斜率不為零，

當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在時(shí)，直線(xiàn)MN的方程為

卜％_Xf_40為)_40拓)，整理得.y_4x+yNyM

XX：

yN-yMN-My(%+%)(>“-%)'.yN+yM'

4

將=：—2a，%=-4左一2。代入LN得：

k

4x+fo'2a^4k-2°)kx-4k-2a+2ak2+a2kk(x-a2-4)

>=--A----------=---------2----------=-2a+--------------z—，

--2a-4k-2abak'k~bak~k~

k

所以直線(xiàn)LN過(guò)定點(diǎn)(4+",-2q),即T點(diǎn)坐標(biāo)為(4+/，-2q),直線(xiàn)07的斜率為

0>--——

-2,當(dāng)且僅當(dāng)？4=*即。=2時(shí)，等號(hào)成立,

當(dāng)a>0時(shí)，f+a

-4

當(dāng)。<0時(shí),2,當(dāng)且僅當(dāng)-2=-。，即4=-2時(shí)，等號(hào)成立,

當(dāng)a=0時(shí)，k0T=0,

當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（『,2。，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（/,-2。,

UUUUUUU

則?！?,2/-2々），DN=q?_心-2t-2a）,且根據(jù)題意『一片工。，

uuimumr

所以r>M?r）N（t--a1y2-4（產(chǎn)-/）=0,解得產(chǎn)=4