浙教版初三數(shù)學(xué)知識點

第一章反比例函數(shù)

知識點：L定義：形如y=&（k為常數(shù)，kWO〕的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。其中x

是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值是不等于0的一切實數(shù)。

說明：1）y的取值范圍是一切非零的實數(shù)。

2）反比例函數(shù)可以理解為兩個變量的乘積是一個不為。的常數(shù)，因此其解析式也可

以寫成xy=k；y=kx1；y=k—（k為常數(shù)，kWO）

3）反比例函數(shù)y=&（k為常數(shù)，kWO）的左邊是函數(shù)，右邊是分母為自變量x的分式，

X

也就是說，分母不能是多項式，只能是X的一次單項式，如丫=,，等都是反比例

X1

-X

2

函數(shù)，

但y=’就不是關(guān)于x的反比例函數(shù)。

x+2

2.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

由于反比例函數(shù)y=8只有一個待定系數(shù)，因此只需要知道一組對應(yīng)值，就可以求出k

X

的值，從而確定其解析式。

3.反比例函數(shù)的畫法：

1）列表；2）描點；3）連線

注：（1）列表取值時，xWO,因為x=0函數(shù)無意義，為了使描出的點具有代表性，可以“0”

為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負(fù)數(shù)各一半，且互為相反數(shù)，這樣也便

于求y值

12〕由于函數(shù)圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數(shù)值，多描一些點，這樣便于連

線，使畫出的圖象更精確

（3）連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線

（4）由于xWO,kWO,所以yWO,函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會與x軸、y軸相交，只是無

限靠近兩坐標(biāo)軸

4.圖像：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線。反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形。有兩條對稱軸：直線y=x和y=-x；對稱中心是：原點

5.性質(zhì):

說明：1）反比例函數(shù)的增減性不連續(xù)，在討論函數(shù)增減問題時，必須有“在每一個象限內(nèi)”

這一條件。

2）反比例函數(shù)圖像的兩個分只可以無限地接近x軸、y軸，但與x軸、y軸沒有交

點。

3）M越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.陽越小，圖象的彎曲度越大.

4〕對稱性：圖象關(guān)于原點對稱，即假設(shè)（a,b）在雙曲線的一支上，那么~b］

在雙曲線的另一支上.

圖象關(guān)于直線尸=士工對稱，即假設(shè)（a,b〕在雙曲線的一支上，那么［b,a］和［-6,

-a）

在雙曲線的另一支上.

6.反比例函數(shù)y=A（kWO〕中的比例系數(shù)k的幾何意義表示反比例函數(shù)圖像上的點向

X

兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積。如圖，過雙曲線y=-（kWO〕上

X

的任意一點P（X,y）做X軸、y軸的垂雪PA、PB,所得矩形OBPA的面積S=PA?PB=|xy

I=Ik|o

推出：過雙曲線上的任意一點做坐標(biāo)軸的垂線，連接原點，所得三角形的面積為

7.經(jīng)典例題考察：

1)反比例關(guān)系與反比例函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系：如果xy=k(kWO),那么x與y這兩個量成反

比例的關(guān)系，這里的x、y可以表示單獨的一個字母，也可以代表多項式或單項式。例如y

—1與x+1成反比例，那么y-1=上；假設(shè)y與X?成反比例，那么y=2成反比例關(guān)系，

x+1X

X和y不一定是反比例函數(shù)；但反比例函數(shù)y=&(kWO〕必成反比例關(guān)系。

2)坐標(biāo)系中的求不規(guī)那么圖形的面積

3〕反比例函數(shù)與一次函數(shù)、正比例函數(shù)的綜合題

8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.

(1)雙曲線的兩個分支是斷開的，研究反比例函數(shù)的增減性時，要將兩個分支分別討論,

不能一概而論.

(2)直線＞=上"與雙曲線

1的關(guān)系:

兩圖象沒有交點；當(dāng)1?時，兩圖象必有兩個交點，且這兩個交點

關(guān)于原點成中心對稱.

8.實際問題與反比例函數(shù)的應(yīng)用

1)步驟：分析問題，列解析式建立反比例函數(shù)模型一利用反比例函數(shù)解決相關(guān)問題，建

立反比例函數(shù)模型是解決問題的關(guān)鍵。

思路：題目中已明確兩變量的函數(shù)關(guān)系，常利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式。

題目中不能確定變量間的函數(shù)關(guān)系，找出等量關(guān)系，將變量聯(lián)系起來就能得到

函數(shù)關(guān)系式，并解決問題。

2）反比例函數(shù)的應(yīng)用

（1）反比例函數(shù)在幾何問題中的應(yīng)用。求實際問題中的面積

（2）反比例函數(shù)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，

a）物理學(xué)中，電壓一定時，電阻R與電流強度I成反比例函數(shù)，//

b）當(dāng)在一個可以改變體積的容器中裝入一定質(zhì)量的氣體時，當(dāng)改變?nèi)萜鞯捏w積時，氣體的密

度也會隨之改變，密度夕〔單位：kg/m3）是體積v的反比例函數(shù)，解析式可以表達(dá)為夕=（

k

C）收音機刻度盤的波長/與頻率/關(guān)系式：/=:

d）壓力F一定時，壓強P與受力面積S成反比例關(guān)系，即「=二

S

P

e）當(dāng)汽車輸出功率P一定時，汽車行駛速度v與汽車所受的負(fù)載即阻力F成反比例關(guān)系，v=O

F

（3）反比例函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用：路程問題、工程問題等。

注：實際問題中一定要注意自變量x的取值范圍。

重點:

反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握和運用.

難點：

（1）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握.反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，在利用它的

增、減性解題時，必須注意“在每一象限內(nèi)”的條件。

（2）反比例函數(shù)的應(yīng)用：從實際問題中抽象出反比例函數(shù)的模型。用待定系數(shù)法求出反比

例函數(shù)的解析式，再用反比例函數(shù)的規(guī)律解決實際問題。

考點：

與反比例函數(shù)有關(guān)的問題，幾乎在歷屆中考中都可以找到。其主要命題點為：（1）反比例

函數(shù)的定義；（2〕反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)；（3〕求反比例函數(shù)的解析式；（4）反比例函

數(shù)與實際問題的應(yīng)用；（5）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合。題型主要有選擇題、填空題、

還有解答題。

二次函數(shù)

知識點：

1.定義：一般地，如果y=ax?+bx+c(a,"c是常數(shù)，a，0),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)〉=。/的性質(zhì)

(1)拋物線y=ax2(aw0)的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y軸.

⑵函數(shù)y=ax2的圖像與a的符號關(guān)系.

①。>。時O拋物線開口向上O頂點為其最低點；

②當(dāng)。<0時O拋物線開口向下。頂點為其最高點

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)>=。/+以+。用配方法可化成：y=a(x-/z)2+人的形式，其中

b74。。一周

P7l:=----9K,--------,

2a4a

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

(T)y=ax2；@y-ax1+k；?y=a(x-h)2；?y=a(x-h)2+k；@_y=ax1+bx+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a決定拋物線的開口方向：

當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下；同相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作x=h.特別地，y軸記作直線％=0.

7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)。相同，那么拋物線的開

口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.

8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

4acb

⑴公式法：y=ax+bx+c=c[x+-^\+~,1.頂點是,

la)4a2a4a

對稱軸是直線x=-2.

2a

⑵配方法：運用配方法將拋物線的解析式化為y=4"步+%的形式，

得到頂點為(力，k),對稱軸是x=h.

⑶運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的

垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.

★用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證，才能做到萬無一失★

9.拋物線y=af+/?x+c中，a,4c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小，這與y=a/中的。完全一樣.

⑵。和。共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y="2+fcc+c的對稱軸是直線尤=_2,故:

2a

①6=0時，對稱軸為y軸；②2>0(即。、〃同號)時，對稱軸在y軸左側(cè)；

a

③2<0(即。、〃異號)時，對稱軸在y軸右側(cè).

a

⑶c的大小決定拋物線y=ax?+bx+c與y軸交點的位置.

當(dāng)x=0時，y=c,.,.拋物線丁=。必+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c)：

①c=0,拋物線經(jīng)過原點；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半軸.

以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，那么2<o.

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

y=ax2x=0(y軸)(0,0)

2

y=ax+k當(dāng)a>0時x=0(y軸)(0,k)

y=a(x-hf開口向上x=h(肌0)

y=a(x-h)2+k當(dāng)a<0時x=h(h,k)

開口向下

b(b4ac-b2)

y=ax2+bx+cx=---

2a2a4a

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式：y=+/?x+c.圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

⑵頂點式：y=a(x-/zy+左.圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

⑶交點式：圖像與x軸的交點坐標(biāo)玉、x2,通常選用交點式：y=a(x-x}\x-x2).

12.直線與拋物線的交點

(1)y軸與拋物線y=ax?+8x+c得交點為(O,c)

⑵與y軸平行的直線x=〃與拋物線y=tu，+少x+c有且只有一個交點(〃，ah2+bh+c).

⑶拋物線與x軸的交點

二次函數(shù)y+以+。的圖像與％軸的兩個交點的橫坐標(biāo)修、%2,是對應(yīng)一元二次方

程

ax2+bx+c^O的兩個實數(shù)根.拋物線與％軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的

判別式判定：

①有兩個交點o△〉0o拋物線與x軸相交；

②有一個交點(頂點在x軸上)o△=0o拋物線與x軸相切；

③沒有交點<=>A<0o拋物線與x軸相離.

(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點

同⑶一樣可能有。個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相

等，設(shè)縱坐標(biāo)為M那么橫坐標(biāo)是62+笈+。=左的兩個實數(shù)根.

⑸一次函數(shù)y=履+”(左H0)的圖像/與二次函數(shù)y=a*2+6x+c(aw0)的圖像G的交點，由

方程組

=的解的數(shù)目來確定：

y=ax2+bx+c

①方程組有兩組不同的解時o/與G有兩個交點；

②方程組只有一組解時。/與G只有一個交點；③方程組無解時o/與G沒有交點.

(6)拋物線與x軸兩交點之間的距離：假設(shè)拋物線丁="犬+法+。與x軸兩交點為

A(x1,0),B(X2,0),由于玉、9是方程++bx+c=0的兩個根，故

bc

無]+=--，%]?無2二一

一aa

13.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：

(1)一元二次方程y=ax1+bx+c就是二次函數(shù)y=ax~+bx+c當(dāng)函數(shù)y的值為0時的情況.

(2)二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點、有一個交點、

沒有交點；當(dāng)二次函數(shù)y=欠2+法+。的圖象與x軸有交點時，交點的橫坐標(biāo)就是當(dāng)

丁=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c^O的根.

⑶當(dāng)二次函數(shù)丁=依2+法+。的圖象與X軸有兩個交點時，那么一元二次方程

y=+6x+c有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)y=。必+bx+c的圖象與x軸有一

個交點時，那么一元二次方程內(nèi)2+公+C=0有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的圖象與x軸沒有交點時，那么一元二次方程ax?+Z?x+c=。沒有實數(shù)根

14、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá)

1.關(guān)于x軸對稱

y=ax2+云+°關(guān)于苫軸對稱后，得到的解析式是y=-冰2；

y=a（x-hf+k關(guān)于x軸對稱后,得到的解析式是y=-a{x-hf-k;

2.關(guān)于y軸對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=。尤?-6x+c；

y=a（x-/7）2+左關(guān)于y軸對稱后,得到的解析式是y=a（x++%;

3.關(guān)于原點對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是丫=-渥+bx-c；

y=a（x-/z）2+上關(guān)于原點對稱后，得至U的解析式是y=-a（x+/z）2-人;

4.關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180?！?/p>

y=ax2+bx+c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是y=-加-灰+°-2;

2a

y=［（%一力）2+左關(guān)于頂點對稱后，得至［J的解析式是丁=—"（%一力J+k.

5.關(guān)于點（m,〃）對稱

y=a（x-〃）2+上關(guān)于點（口，對稱后，得到的解析式是y=-a（x+〃-2〃z『+2〃-%

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此同

永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原那么，選擇

適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式的拋物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再

確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.

15.二次函數(shù)的應(yīng)用：

⑴二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實際上就是求函數(shù)的最大（小）值；

⑵二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下方面：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)

關(guān)系；

運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大（?。┲?

15.解決實際問題時的根本思路：（1）理解問題；（2）分析問題中的變量和常量；（3）用函數(shù)

表達(dá)式表示出它們之間的關(guān)系；（4）利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；（5）檢驗結(jié)果的

合理性，對問題加以拓展等.

重難點：

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，用二次函數(shù)解決實際問題。

考點：

二次函數(shù)在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考內(nèi)容。中考的主要命題點為：（1〕

求二次函數(shù)的關(guān)系式（2）拋物線的頂點、開口方向和對稱軸（3）二次函數(shù)的最大（?。?/p>

值（4）拋物線>="2+法+0（aWO）與a,b,c的符號（5〕二次函數(shù)與一元二次方程（6）

二次函數(shù)的簡單實際問題等。題型主要有選擇題、填空題、解答題，還有探究題和開放題。

有關(guān)二次函數(shù)的熱點問題仍然是函數(shù)型應(yīng)用題與方程、幾何知識、三角函數(shù)等知識綜合在

一起的綜合題、探究題和開放題。

圓的根本性質(zhì)

知識點：

1.圓的有關(guān)概念

m圓心、半圓、同心圓、等圓、弦與弧。

（2）直徑是經(jīng)過圓心的弦。是圓中最長的弦?；∈菆A的一局部。

2.圓周角與圓心角

門）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

（2〕圓周角與半圓或直徑：半圓或直徑所對的圓周角是直角；

90。圓周角所對的弦是圓的直徑。

（3）圓周角與半圓或等弧：同弧或等弧所對的圓周角相等；

在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。

3.圓的對稱性

m圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。

（2）圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相

等，那么它們所對應(yīng)的其他各組量分別相等。

（3〕圓的軸對稱性：經(jīng)過圓心都的任意一條直線都是它的對稱軸。垂徑定理是研究有關(guān)圓

的知識的根底。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。還可以概

括為：如果有一條直線，1.垂直于弦；2.經(jīng)過圓心；3.平分弦（非直徑）；4.平分弦所對的

優(yōu)??；

5.平分弦所對的劣弧，同時具備其中任意兩個條件，那么就可以得到其他三個結(jié)論。

4.弧長及扇形的面積

弧長公式：

圓弧是圓的一局部，假設(shè)將圓周分為360份，1°的圓心角所對的弧是圓周長的熹，因

為半徑為r的圓周長是2?r,所以n°的圓心角所對的弧長/的計算公式為

n-n7ir

----?271r=---（-其-中,/為弧長，n為弧所對的圓心角度數(shù)，r為弧所在圓的半徑〕

360180

扇形的面積公式:

1?扇形的定義：一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形,如圖，AB

和半徑OA、0B所組成的圖形是一個扇形，讀作扇形OAB

2,扇形的周長

扇形的周長等于弧長與兩半徑的長之和，即/扇花=/+2R

廨形AB

3?扇形是圓面的一局部，假設(shè)將半徑為r的圓分為360份，圓心角1°的扇形面積是圓面

積的擊，因為半徑為r的圓的面積是萬產(chǎn)，所以半徑為?圓心角為n。的扇形面積為

YiTir1

~36Q

4?弧長為/,半徑為r的扇形面積為S="二=」.也

36021802

5?扇形面積的應(yīng)用（求圓的一局部的面積）：

5.圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如圖，設(shè)圓錐的母線長為1,底面圓的半徑為r,那么這個

圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的半徑即為母線長1,扇形的弧長即為底面圓的周長2nr,根據(jù)扇形

面積公式可知S=L?2nr?1=nrl.因此圓錐的側(cè)面積為S州=nrl.圓錐的側(cè)面積與底面積

2

之和稱為圓錐的全面積，全面積為S^nd+nrl.

重點：

1.弦和弧的概念、弧的表示方法和點與圓的位置關(guān)系。

2.用尺規(guī)作圖法對不在同一直線上的三個點作圓。

3.垂徑定理。（重中之重：“垂直于弦的直徑平分弦和弧”經(jīng)常考）

4.扇形弧長和面積、圓錐側(cè)面積和體積的計算。

難點：

1..對“不在同一直線上的三個點確定一個圓”中的存在性和唯一性

的理解

2.圓錐側(cè)面積計算公式的推導(dǎo)過程需要較強的空間想像能力

3.類似螞蟻爬圓錐的計算問題。

4.有關(guān)圓的無圖多解問題。

考八占八?.

1垂直于弦的直徑

2圓周角定理及其推論

3圓內(nèi)接四邊形

4圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

5圓的性質(zhì)綜合題

相似三角形

知識點：

1相似圖形

形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形.

2比例線段的相關(guān)概念

如果選用同一單位量得兩條線段a)的長度分別為利九，

那么就說這兩條線段的比是4=%,或?qū)懗?m:〃.

bn

注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位.

在四條線段a,dc,d中，如果a和。的比等于c和d的比，

那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

注意：

(1)當(dāng)兩個比例式的每一項都對應(yīng)相同，兩個比例式才是同一比例式.

⑵比例線段是有順序的，如果說。是"c,d的第四比例項，那么應(yīng)得比例式為：2=4.

ca

3比例的性質(zhì)

根本性質(zhì)：

(1)a:b=c:d<^>ad=bc；(2)a:c-c:b^>c2-a-b.

注意：

由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如=

除

了可化為a:Z?=c:d,還可化為a:c=人：d,c:d=a:b,b:d=a:c,b:a=d:c,

c:a=d:b,d:c=b:a,d:b=c:a.

更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)：

反比性質(zhì)(把比的前項、后項交換)：-=4^-=--

bdac

合比性質(zhì)：厘=4.

bdbd

注意：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之

間

b-a_d-c

發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如：@=aC等等.

bda-b_c-d

+bc+d

等比性質(zhì)：

心廠中〃cem7「八、a+c+e-\—+ma

如果一=—=—=-=—Sz7+d+/+???+〃wO),那么--------------=一.

bdfnb+d+f-\--1-nb

注意：

(1)此性質(zhì)的證明運用了“設(shè)左法”,這種方法是有關(guān)比例計算，變形中一種常用方

法.

(2)應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零.

(3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性

fl2c+3g

質(zhì)也成立.如：-=-=-^-=—=—^~=￡,其中b—2d+3//0.

bdfb-Id3/b-2d+3fb

4比例線段的有關(guān)定理

平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

推論：

（1）平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.

（2）平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形

三邊對應(yīng)成比例.

定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，

那么這條直線平行于三角形第三邊.

5黃金分割

把線段分成兩條線段AC,5aAe>30,且使AC是A環(huán)口8C的比例中項，叫做把

線段黃金分割，點。叫做線段A8的黃金分割點，其中AC=避匚回心0.618AB.

2

6相似三角形的概念

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

相似用符號“S”表示，讀作“相似于”.

相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比（或相似系數(shù)）.

相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

注意：

①對應(yīng)性：即兩個三角形相似時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣

寫比擬容易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊.

②順序性：相似三角形的相似比是有順序的.

③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣.

④全等三角形是相似比為1的相似三角形.二者的區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而

相似要求對應(yīng)邊成比例.

7相似三角形的根本定理

定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與

原

三角形相似.

定理的根本圖形：

用數(shù)學(xué)語言表述是：.DE//BC,:.^ADE^AABC.

8相似三角形的等價關(guān)系

⑴反身性：對于任一MBC有AABCsAABC.

⑵對稱性：假設(shè)AABCSAABC,那么AABCSAABC.

⑶傳遞性：假設(shè)AABCsAA'〃C',且AA'BC'sAA"6"C",那么AABCsAA"6"C".

9三角形相似的判定方法

1、定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.

2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，

所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

3、判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這

兩

個三角形相似.簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.

4、判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且

夾

角相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相

似.

5、判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，

那么這兩個三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.

6、判定直角三角形相似的方法：

(1)以上各種判定均適用.

(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角

邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.

(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似.

直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊

是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

公式如圖，RtaABC中，ZBAC=90°,AD是斜邊BC上的高，那么有射影定理如下：

⑴(AD)2=BD?DC,

⑵(AB)2=BD?BC,

2

⑶(AC[=CD?BCo

證明：在ABAD與4ACD中，ZB+ZC=90°,ZDAC+ZC=90°,AZB=ZDAC,又：

ZBDA=ZADC=90°,，ABADs^ACD相似，I.AD/BD=CD/AD,即

(AD)2=BD-DCo其余類似可證。

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式12)+[3)得：

(AB)2+(AC)JBD?BC+CD?BC=(BD+CD)?BC=(BC)2,

即(AB〕2+(AC)2=(BC)2。

這就是勾股定理的結(jié)論。

10相似三角形性質(zhì)

(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.

(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

(3)相似三角形周長的比等于相似比.

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方.

(5)相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等.

11相似多邊形

如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多

邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比(相似系數(shù)).

12相似多邊形的性質(zhì)

(1)相似多邊形周長比，對應(yīng)對角線的比等于相似比.

(2)相似多邊形中對應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比.

(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方.

注意：相似多邊形問題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三

角形知識是根底和關(guān)鍵.

13與位似圖形有關(guān)的概念

1.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)頂點的連線都交于一點，那么這樣的

兩個圖形叫做位似圖形.

2.這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.

拓.

(1),位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一

點.

(2〕位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.

(3)位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或共線.

14位似圖形的性質(zhì)

位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.拓展：位似圖形有許

多性質(zhì)，它具有相似圖形的所有性質(zhì).

15畫位似圖形

1.畫位似圖形的一般步驟：

m確定位似中心

(2)分別連接原圖形中的關(guān)鍵點和位似中心，并延長(或截取〕.

〔3〕根據(jù)的位似比，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點的位置.

(4)順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點，即可得到一個放大或縮小的圖形.

2.位似中心的選?。?/p>

(1)位似中心可以在圖形外部，此時位似中心在兩個圖形中間，或在兩個圖形之外.

〔2〕位似中心可取在多邊形的一條邊上.

(3)位似中心可取在多邊形的某一頂點上.

說明：位似中心的選取決定了位似圖形的位置，以上位似中心位置的選取中，每一種方

法都能把一個圖形放大或縮小.

16相似三角形常見的圖形

(1)假設(shè)DE〃BC(A型和X型)那么△ADES^ABC

(2)射影定理假設(shè)CD為Rt^ABC斜邊上的高(雙直角圖形〕

那么RtAABCRtAACDRtACBD且AC=AD?AB,CD=AD?BD,BC=BD?AB；

⑶滿足1、AC=AD?AB,2、ZACD-ZB,3、ZACB=ZADC,都可判定△ADCS^ACB.

Ar)4F

(4)當(dāng)叱=/或AD?AB=AC?AE時，△ADES^ACB.

ACAB

(3)⑷

重點：

相似三角形的判定方法及相似三角形的有關(guān)性質(zhì)

難點：

相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用

考P八占、、?,

圖形的相似是平面幾何中極為重要的內(nèi)容。中考的主要命題點為：

(1)比例的性質(zhì)和黃金分割

(2)相似三角形的定義及相似三角形的判定

(3)相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用

(4)相似多邊形的定義和性質(zhì)

(5)位似圖形及其作圖等。

題型主要為選擇題、填空題、解答題等，選擇題、填空題將注重“相似三角的判定與性質(zhì)”

等根底知識的考查，將在解答題中加大知識的橫向與縱向聯(lián)系及應(yīng)用問題的力度。

九下第一章解直角三角形

知識點:

銳角三角函數(shù)的定義：

在RTAABC中，ZC=90°,a、b、c分別是NA、NB、ZC

的對邊，那么：

常用變形：a=c.sinA；c=，等，由同學(xué)們自行歸納。

sinA

銳角三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：

1、當(dāng)0°<ZA<90°時，0<sinA<l；0<cosA<l；tanA〉O；

2、在0°90°之間，正弦、正切（sin、tan）的值，隨角

度的增大而增大；余弦（cos）的值，隨角度的增大而減

小。

同角三角函數(shù)的關(guān)系：

常用變形：sinA=Vl-cos2AcosA=71-sin2A（用定義證明，易得，同學(xué)自行完成）

四、正弦與余弦，正切與余切的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

如圖1,由定義可得：sinA=—=cosB=cos(90°-A)同理可

五、特殊角的三角函數(shù)值:

三角函數(shù)sinacosatana

j_A/3

30°旦

2~T

45°~TT1

]_

60°百

22

六、解直角三角形的根本類型及其解法總結(jié)：

類型條件解法

重點：

2

兩直角邊a、bc=da+b9tanA=—9/B—90°—

b一、三角函數(shù)

兩邊

1.特殊

直角邊a,斜邊cb=y]c2-a2,sinA=-,ZB=90°-ZA

c角的三角函

數(shù)值：

一邊直角邊a,銳角A4=90。-"b=acotA,c=-^~

sinA

一銳角

斜邊c,銳角AZB=90°-ZA,a-osinA,b=acosA

0°30°45°60°90°

sin

a

cos

a

tga||/

2.互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sin（90°-a）=cosa；…

3.三角函數(shù)值隨角度變化的關(guān)系

二、解直角三角形

1.定義：邊和角（兩個，其中必有一邊〕一所有未知的邊和角。

2.依據(jù)：①邊的關(guān)系：a2+b2=c2

②角的關(guān)系：A+B=90°

③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。

注意：盡量防止使用中間數(shù)據(jù)和除法。

三、對實際問題的處理

1.俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度:

兩個直角三角形中，都缺

角三角形的條件時，可用

程的方法解決。

1、銳角三角函數(shù)的概念

2、直角三角形的解法

3、三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用

考點：

1.中考重點考查正弦、余弦的根本概念和求特殊角的三角函數(shù)值，及利用正弦和余弦解決

一些比擬簡單的直角三角形問題.

2.中考側(cè)重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求線段的長.以及綜合應(yīng)用三角函

數(shù)解決測量問題.

3.考查三角形的邊角關(guān)系是中考常見題型，解決此類問題的方法是將一般圖形轉(zhuǎn)化為解直

角三角形的知識來解決。有時需要添加輔助線.

4.中考中的三角函數(shù)與圓的綜合題是熱點題型.解決這類問題的方法是利用勾股定理、銳

角三角函數(shù)關(guān)系式.