2023-2024學年浙江省聯(lián)考高二數(shù)學試題 答案解析(附后)

2023—2024學年浙江省第一學期精誠聯(lián)盟返校聯(lián)考高二數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={r|r<7r},B={y\y>2},則集合,4（18=（）

A.0B.（2,左）C.（-oc.2）D.（-oc.7r）

2.“八為三角形的一個內(nèi)角”是“八為第一、二象限角”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.下圖是H城市某路段監(jiān)測到的上午7:（小至、：（川通過該路段的所有汽車的時速頻率分布直方圖,若汽車

通過該路段的時速大于等于70則屬于違章行駛，已知時速在下八6⑴的汽車的頻數(shù)是30,則本次統(tǒng)計中違

章行駛的汽車有輛（）

A.10B.20C.30D.40

4.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為力，〃）的圓周上爬動，且兩只螞蟻均從點4（1,0）同時逆時針勻

速爬動，紅螞蟻以=的速度爬行，黑螞蟻以《/的速度爬行，則2秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線

距離為（）

A.1B.y2-^3C.mD.-

5.已知a,b是實數(shù),且滿足a>b>0,則（）

A.ln（a-b）>In（a+6）B.新卜<yi-b

C.b<x/ab<"+b<aD.?--</>—7

2ah

第1頁，共18頁

6.若對任意實數(shù)a,b規(guī)定F（a,b）=a+'‘；/'_",則函數(shù)/'（3-J,2”的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

7.設工6/?,若函數(shù)/（J）為單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)x,都有/（/（#-2，）=1,則〃-2）的值等于（）

8.已知長方體A3CD—43（"八中48=3，4。=4,A#=5,用過該長方體體對角線的平面

去截該長方體，則所得截面的面積最小值為（）

A.3?1B.120^2c.12株D.皿

4117

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5

分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.設a、b、c是三條不同的直線，a、。、。是三個不同平面，則下列命題不正確的有（）

A.若ala,bla,c_La,則cl-B.若"http://a,b〃c,c〃a,則"b

C.若，ala,貝D.若，“："，a//（\,則a〃）

10.某體育老師對甲乙兩名隊員進行了5次射擊測試，統(tǒng)計了甲和乙的射擊成績，甲的成績分別為

｛9,10,5,7,10｝環(huán);乙的成績分別為｛7,8,8,9,9｝環(huán),則下列說法正確的是（）

A.平均來說甲乙射擊技術(shù)差不多B.甲的射擊技術(shù)比乙更穩(wěn)定

C.甲成績的中位數(shù)比乙高D,甲的40百分位數(shù)比乙的高

11.設/"）\/5sin3z+cosaw,（3>0）,則（）

A./"）的值域與3的值有關(guān)

B.當，：;時，/⑺在/€畤上單調(diào)遞增

C.若/=§是它的一條對稱軸，則3=3

D.若3=］則“=為偶函數(shù)

axb

12.函數(shù)/")(al.c是實數(shù)且a>(I,I）<（!,<?<01,則/（./-）的圖象可能是（

(2+c)2)

第2頁，共18頁

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知復數(shù)z滿足，：=3+2?,則復數(shù)z的虛部為;

14.若從集合｛1.2.3.4.5｝中任取3個元素組成該集合的一個子集，那么取得的子集中，滿足3個元素中恰

好含有2個連續(xù)整數(shù)的概率等于

15.已知實數(shù)上<；,i/>2且l+y-g/=3,則上一//的取值范圍為.

16.0為CABC的外心，且2祝+3加+4加=力，則△人8。的內(nèi)角C的余弦值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題10分）

一組學生參加了一次考試，他們的分數(shù)分布如下：8085907588927882859（）.

（1）隨機選擇一個學生，他得到85分的概率是多少？

⑵這組學生中，得分超過80分的概率是多少？

Bi選擇兩個學生，他們的分數(shù)都在80分以上的概率是多少學生得分相互不影響

18.（本小題12分）

若平面上的三個力耳，屈，屈作用于一點，且處于平衡狀態(tài)，已知|其|=1N,閏|=《N,月與星的

夾角為90°.

I求再的大小;

（〃）求了在月上的投影向量（用了表示）.

19.（本小題12分）

在正三棱臺中,已知4速=2,4場=1.

第3頁，共18頁

（1）若三棱臺的高A=通，求棱臺ABC—4屬。的體積；

3

II）若球。與正三棱臺A〃C-AAiG內(nèi)切（與棱臺各面都相切），求球。的表面積.

20.（本小題12分）

在△.1/?「中，角八，B,C的對邊分別為a,b,c,且，＞=2,。+「=+3"。

（1）求角3:

⑵求AC邊上中線BD長的取值范圍.

21（本小題12分）

如圖，三棱錐V-ABC中，憶41平面ABC,.4CL3C.

I）求證:BC1CV;

II）若點。在棱U8上，滿足4。=。0,且有BC=IF,求二面角。一月C—U的正弦值.

22.（本小題12分）

已知函數(shù)/（r）=工|工一2|—a+1,g（x）=------,meli,且函數(shù)/（?。┯腥齻€零點.

N—1

11?求a的取值范圍；

II）若對任意的4e卜〃."1+2],總存在ne[；.2：,使得〃.口）＜g（n）成立，求實數(shù)m的取值范圍。

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查交集的求法，考查運算求解能力，是基礎題.

利用交集的定義直接求解即可.

【解答】

解：?「集合八={."/<“},B={y\n>2},

AnB=(2,7r).

故選B.

2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查充分、必要、充要條件的判斷，屬于基礎題.

根據(jù)三角形中角的范圍，由。=90°,可得充分性不成立，根據(jù)象限角的概念，由a=390°,可得必要性不

成立，由此可得答案.

【解答】

解：①若。為三角形的一個內(nèi)角，則a6(0°,180°),當a=加時，a不為第一、二象限角，故充分性不

成立；

②若八為第一、二象限角，當。=390°時，。不為三角形的一個內(nèi)角，故必要性不成立，

綜上所述，“。為三角形的一個內(nèi)角”是“。為第一、二象限角”的既不充分又不必要條件.

故選：”

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了頻率分布直方圖，屬于基礎題.

由已知求得樣本量為100,根據(jù)頻數(shù)=頻率,樣本量求得結(jié)果.

【解答】

解：時速在：心的汽車的頻數(shù)是30,可得樣本量為100,

時速大于等于70則屬于違章行駛，則違章行駛的汽車有100x0.02x10-20.

故選，.

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4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查弧度制，屬于基礎題.

畫出圖形，求出2秒鐘后，兩只螞蟻之間得弧度數(shù)，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：如圖：

2秒鐘后，紅螞蟻爬到C點，轉(zhuǎn)過的弧度為

黑紅螞蟻爬到8點，轉(zhuǎn)過的弧度為:，

所以

所以仆/?。。為等邊三角形，

所以nr—1,即兩只螞蟻之間的直線距離為I.

故選

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查不等式的性質(zhì)及利用對數(shù)函數(shù)、嘉函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎題.

直接利用對數(shù)函數(shù)和腰函數(shù)的單調(diào)性判定A、B的結(jié)論，利用基本不等式判定C,利用不等式的性質(zhì)判定”

【解答】

解：對于A：由于">。：>(),所以0

又函數(shù)，/1山在(0,+8)單調(diào)遞增，

則ln(a-b)<ln(a+6),故選項A錯誤.

對于B：由于〃」,所以“一b>0,

由于黑函數(shù)，/=在(O.+oc)為增函數(shù)，

所以7T"b〉3"f,故選項B錯誤.

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對于C：由a>b>0,結(jié)合基本不等式V同當且僅當。=〃時取等號可得/，吆正

確，

故C選項正確；

對于D：由a〉〃〉0可知;>1,由同向不等式相加的性質(zhì)可得a+：>b+,，

baba

可得。一！>6-1，故選項D錯誤.

ab

故選

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查絕對值的意義和分段函數(shù)的值域問題，屬于基礎題.

根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值，寫成分段函數(shù)的形式，在每一段上分別求取值范圍，最后求出最大值.

【解答】

解：由內(nèi)“.〃)="+''[，"一",得

F(3-r2,2x)=(3-/]W-3或工》1

''(2z.-3<J-<1

當rW-3或時，F(xiàn)(3-』.2.r)的最大值在/-I時取得，最大值為2,

當一3<丁<】時，/(3-工2,2」.)的取值范圍是(-6,2),

綜上F(3-M.2.r)的最大值是2.

故選B.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查求函數(shù)值、求具體函數(shù)的解析式，屬于基礎題.

由已知得〃〃工)-2')=1恒成立，所以/")-2'=”恒成立，求出〃二“，將，2代入可得答案.

【解答】

解：?.?函數(shù)八”是R上的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)x,都有〃〃工)一2。=1,

.?.令/(乃一乃二人恒成立，且f(a)=1,

即〃1)=尸+",f(a)=2"+a=1,

解得："=。，

??J3)=尸,

第7頁，共18頁

/./(-2)=2-2=1.

q

故選：I).

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了空間幾何體的截面問題，屬于中檔題.

先確定線段」G的長是定值，截面一定是平行四邊形，分與不同的棱相交時截面面積的最小值，再比較大

小即可得出答案.

【解答】

解：ACi=+4?+5?=5』,因為截面與長方體相交且過力。，

所以截面一定是平行四邊形,

分別求截面與不同的棱相交時的最小截面面積.

當截面與30.D"分別交于點F,E時,

E或F到.4a的距離最小是到平面AAG('的距離,

也就是D到AC的距離，D到AC的距離是已，

5

所以截面面積為5能x匕=12^2；

□

同理當截面與川3],DC相交時,

DC和1“上的點到*'的距離最小是=迎包

x/42+5241

截面面積為多答

當截面與小Q,BC相交時,

BC上的點到4G的距離最小是3：§竺型

—+5234

截面面積為?!包，

17

綜上然截面面積的最小值是12/3.

第8頁，共18頁

故選：c

9.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查空間中直線與平面間的位置關(guān)系、空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎題.

根據(jù)直線與平面間的位置關(guān)系逐項判斷即可.

【解答】

解：對于4因為"_La,bln,所以a〃6,

因為cla,所以c±b,故A正確；

對于B,因為“〃。，b//a,所以a與b相交，平行或異面，

又則b與c可能相交，故B錯誤；

對于C,因為。L3,113,所以。與1平行或相交，

且〃。，則a與-不一定垂直，故C錯誤；

對于D,因為?！?,?！?,所以?！?,

因為“〃c,所以"〃力或aU),故。錯誤.

故選：BCD.

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查了樣本的的平均數(shù)，中位數(shù)，百分位數(shù)，眾數(shù)等的定義，屬于中檔題.

結(jié)合數(shù)據(jù)分別求平均數(shù)，方差，中位數(shù)，百分位數(shù)即可.

【解答】

“，_9+10+5+7+10A_7+8+8+94-9??人“丁“

解：?.,下甲=-----------------=8.2,下乙=----------------=8.2,故A正確；

55

2

時=口(9-8.2產(chǎn)+2*(io_8.2尸+(5_82)+(7-8.2月

O

=3.76.

第9頁，共18頁

4,=#(7-8.2)2+(8-8.2)2x2+(9-8.2)2x2]

=0.56.

.?.乙的射擊技術(shù)比甲更穩(wěn)定，故B錯誤；

甲的中位數(shù)為9,乙的中位數(shù)為8,甲成績的中位數(shù)比乙高，故C正確；

甲的40百分位數(shù)為8,乙的40百分位數(shù)為8,兩數(shù)相等，故。錯誤.

故選AC

1L【答案】BD

【解析】【分析】

本題主要考查了"=八疝0的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

由輔助角公式化簡解析式得/(x)=2sin(3T+3，由此判斷上

由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷從

由/@=±2判斷C;

27r3

由〃.r+])=2cos判斷D

【解答】

解：f(x)=x/3sin31+cos3工=2sin?1+>0)

對于”的值域為2.2,與金的值無關(guān)，故A錯誤；

7T7T7T7F...7T,

對于B:當3=3時，OWE1+大忘5，〃工)在[0,錄上單調(diào)遞增，故8正確;

對于C：若是它的一條對稱軸，則

/百=±2=?sin(等+。=±1=??+1="+孤eZ)03=9k+3(keZ),故C錯誤；

對于Z?:若3=<，則y=/(x+備=2sin[^(j+萼)+]=2sin(1x+1)=2cos,為偶函數(shù),

故D正確.

故選80.

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

第10頁，共18頁

本題主要考查函數(shù)圖象的應用，考查學生推理能力，屬于中檔題.

求出函數(shù)定義域，令〃了)=0,判定得到2<0,以及判斷圖象與坐標軸的交點，對各選項可能的情況進行

(I

特殊值處理即可.

【解答】

解：函數(shù)/")=(:=I)的定義域為{H-rR-c},

令/(，)=()得J——-,

a

-：a>0,b<0,r<0,/.-->0,/.-<0,

aa

,_b_,b

令l=()得y=「,則ev0,

「.圖像與y軸有交點，八選項錯誤，

2z—1

當，一ac>0,如力=—I,〃=2,「=I時，.〃")=^~-n2?定義域為｛了"￥1｝，

該函數(shù)圖象和B相符，故B可能;

..z_2

當b-acV0時,如b=-2,Q=1c=-1時/(工)=-^5,

U-1)

該函數(shù)圖象和C相符，故可以是U

當b=",如“=1,b=c<0時，/(?<L)=

即把1的圖象向右平移，故。有可能，

故選：BCD.

13.【答案】-3

【解析】【分析】

本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，涉及復數(shù)的基本概念，屬基礎題.

由復數(shù)的除法運算化簡已知復數(shù)，由復數(shù)的基本概念可得虛部.

【解答】

解：?.?復數(shù)z滿足iz=3+2i,

3+2i(3+2i)i3i-2

z=—:-==-=n2-3?,

I-1

，復數(shù)的虛部為.1,

故答案為-3.

14.【答案】:

5

第11頁，共18頁

【解析】【分析】

本題考查了古典概型的概率計算，屬于基礎題.

結(jié)合古典概型公式求解即可.

【解答】

解：從{1.2.力15}中任取3個元素形成的子集有

{1,2.3},{1,2,4}.{1,2,5},{1,3.4}

(1,3,5},{1,4,5},{2.3,4},{2,3.5}

{245}.{3.工5}共有10個，

其中子集中恰好含有兩個連續(xù)整數(shù)有

{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,4,5}

{2,3,5},{2.4,5}共6個.

故概率『=：

故答案為：?

15.【答案】(-*-2次]

【解析】【分析】

本題考查了不等式的性質(zhì)以及對勾函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

2

利用不等式性質(zhì)求得y的范圍，原式可化為T―r+(u-i)〕，利用對勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.

【解答】

2121

解：-：J-+y-.ry=3,J-=1-----/J-<-,二r=1----------：.2<y<5,

y-12V-12

22

…=i一廠Ti-xT口+(uT)L

=!/-1€(1,4),

結(jié)合對勾函數(shù)圖象得：2fe[2^-^)9.

.'.x-ye-25/2].

故答案為：

16.【答案】攵

4

【解析】【分析】

第12頁，共18頁

本小題主要考查三角形外心的應用、向量在幾何中的應用等基礎知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬

于中檔題.

由2刃+3加+4。4=6移項得2a+3方W=一4。不，再平方得況?OX=l=cos乙40B,最后根

4

據(jù)二倍角公式可得結(jié)果.

【解答】

解：。為AABC的外心，又由2?〃+3麗=4次"

平方可得：1。7^?127?麗+9麗？=16。？一，

不妨設\oA\=\o6\=\od\=1,

加.加=-=cosN.4O8,

4

由^AOB=2(,或AOB=2(?r-C),

又由+3麗+40?=K,

可得點。在△,1W'的內(nèi)部，即AABC為銳角三角形，

,“in,,八/.AOB〃+COS/AO85/10

故N4OB=2C,故cosC=cos---------=\---------------=--.

2V21

故答案為早.

17.【答案】解：(1)記“隨機選擇一個學生，他得到85分”為事件A,

91

結(jié)合數(shù)據(jù)可得85分的學生有2人，故口A)=W=p；

?②記“這組學生中，得分超過80分”為事件8,

得分超過80分的學生有7人，故P(B)=《；

(3)記“選擇兩個學生，他們的分數(shù)都在80分以上”為事件C,

分數(shù)都在80分以上的學生有7人(得分為85、90、88、92、82、85、"切，

所以概率為P(C)=1?：=】.

10915

【解析】本題考查了古典概型求概率問題，涉及獨立事件同時發(fā)生的概率，屬于中檔題.

(“利用古典概型公式求解即可；

②利用古典概型概率公式求解；

(3)結(jié)合相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式求解.

第13頁，共18頁

18.【答案】解：(/),.,三個力平衡，.?,月+月+月=6，

=尸2|=，5N,尸1與72的夾角為奧「，

...歸+同=你2+2月.豆+戌=2N,

...國=|K+E|=2N.

(〃)設冗與K的夾角為e,

由耳+耳+~^3-0)

所以同=|耳+%

即(g)=12+22+2X1X2Xcosff,

故cos，=一：,

???6在瑪上的投影向量是|同cos。?高,

【解析】本題考查向量在物理中的運用，向量夾角的計算以及投影向量，屬于中檔題.

/三個力平衡則三個力的和為0,利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的大小.

(〃)利用向量數(shù)量積求解廠；與廠的夾角，代入投影向量公式求解即可.

19.【答案】解：(1)1?正三棱臺ABC-ABiG中,已知45=2,4場=1,

又該正三棱臺的高八好，

3

.?.正三棱臺的體積為：

11y/31?y/3/x/3G、瓜

-X(-X1X1X-+-X2X2X-+A/-X^)X-

野禽+

II)如圖，設該正三棱臺的上下底面正三角形的中心分別為E,F,

連接GE交A81于點兒連接CF交于點/,連接H/,EF,

第14頁，共18頁

則EF的中點即為球心0,過。作OG1〃/于點G,設球。的半徑為R,

則。E=OG=OF=/?,又易知"G=HE=[xx1=,GI—FI—2HE=,

3263

.-.HI=HG+GI=^-，..EF=qHR-W-HE*='一、=等,

2\/6>/6

.■.2R=EF=-^~,=

60

球。的表面積為4亓〃2=4亓X：=

63

【解析】本題考查了棱臺的體積和球的表面積，屬于中檔題.

1，由棱臺的體積公式可得棱臺，3C-AZAS的體積；

II'設該正三棱臺的上下底面正三角形的中心分別為E,F,連接（"「交斗/九于點H,連接CF交于點

I,連接"/,EF,則EF的中點即為球心O,再通過幾何關(guān)系求出球的半徑，最后代入球的表面積公式，即

可求解.

20.【答案】解：⑴由，/—2,0+r=+3ac可得：/+c2-I）2+ac，

（J+（2-l）~1

所以cos〃=V-----而8為三角形ABC的內(nèi)角，

2ac2

從而8=1；

②如圖所示，將BD延長，使得BO=OE,

而一40二故四邊形ABCE為平行四邊形，

瞅AB=EC,乙BCE=Z.BCA+Z.ACE=Z.Z.BCA+NBAC=it-Z.ABC,

由（1）得N4BC=1,且b_2,

b24y/3

則由正弦定理可得53其中R為三角形ABC的外接圓半徑，

T

第15頁，共18頁

E-

則(2302="2+/_2accos(7r-AABC),

所以(2BD)2=a2+/+2accosZABC

=a2+c2+ac=(2J?)2(sin2A+sin2Z.BCA+sinAsiuZ.BCA)

161-cos2A1-cos2Z.BCA

2+2~+siiiAsiuZBC4)

27r

1—cos2(——4)

161一cos24+sinAsin(皆—A)]

二拳―2-

+~~2

165_d2人]

=w匕r+coslz：2/l-，

iq<5

又因為AW(0.—),

所以(2BD)26(4,12],即創(chuàng).

【解析】本題考查了正余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)和三角恒等變換，是中檔題.

1“將"+「=，4+3?0平方,結(jié)合余弦定理得出co,。，可得B的值；

⑵易得（280-=M+/_2“<?<〃（/一N）,結(jié)合正弦定理和三角恒等變換以及余弦函數(shù)性質(zhì)可得AC

邊上中線BD長的取值范圍.

21.【答案】（I）證明：因為111_L平面ABC,H（'平面ABC,

所以

又BCLIC,VAnACA,VA,.4（,。平面\ZAC,

所以平面必C,又l.1.平面必c,

所以BC1VC；

卜解：作“E〃丫4交AB于點E,則?！?平面ABC,

又4CU平面ABC,所以DEL，IC,

作“1AC,垂足為F,連結(jié)。F,

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又OEnEF=E,DE'EF<Z平面DEF,

所以ACS平面DEF,又DFu平面DEF,

所以4C\LDF,

所以」ObE就是二面角。一AC—〃的平面角，

顯然二面角。-AC-l,與二面角?！?4C—8互余，

因為4D=CO