2024屆高三數(shù)學獨立作業(yè)9試卷含答案

2024屆高三獨立作業(yè)(9)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的)

2-z

1,2023-(、7)

A.2B.41C.5D.75

2.已知集合M={yeZ|y=——2x},N={x|y=ln(—x)},則M口N=()

A.。B.{-1}C.{(1,-1)}D.[-l,0)

3.已知關于x的不等式(x-?)(x-2)>0成立的一個充分不必要條件是-1<x<1.則a的取值范

圍是()

A.(-oo,-l]B.(-oo,0)C,[1,+co)D.[2,+oo)

—fff?！猣-fff

4.已知非零向量a,6滿足|6|=2,<4]>=§,若(a—6)_La，則向量。在向量方向上的投

影向量為()

J43—f2-f4J43一f4-f

A.43(a+3Z?)B.^j(a+3Z))C.——-—(a+3Z?)D.—((2+3b)

IT

5.已知函數(shù)/(x)=cos(a)x+°)(?！?,0<°〈萬)圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的距離為一，

4

JT

當G取最小值時，將/(X)的圖象向右平移一個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)

6

間[生,紅]上是增函數(shù)，則。的取值范圍為()

24

TC5萬、7l2萬_,TC3兀、

A.[—,—]B.[r―,——]C.[r—,——]D.[r—,—]

62363344

6.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足對任意實數(shù)x有〃x+2)=〃x+l)-“X),若y=/(2x)的圖像

1

關于直線X=5對稱，/⑴=2,則Z//)=()

2左=i

A.2B.lC.-1D.-2

7.已知a=e°m,b=ln(L03e),c=7E5^,則()

A.C>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

8.在AA5c中，已知45?4。=9,5吊5=005/5111。，5"50=6,尸為線段45上的一點，且

CB11

+.V?一，則一+一的最小值為（

\CB\xy

A.1-+蟲B.12C.-D.9+也

1233124

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程。16世紀上半葉，數(shù)學家們得到了一元三次方程、

一元四次方程的解法。研究過程中得到一個代數(shù)基本定理：任何一元次復系數(shù)多項式方

程/（x）=0至少有一個復數(shù)根。請借助代數(shù)基本定理解決下面問題：設實系數(shù)一元四次方程

辦4+加+℃2+〃+e=o（aW0）在復數(shù)集。內的根為西,馬,工3，》4，則下列結論正確的是（）

1O.Z],Z2，Z3為復數(shù)，Z,70,下列命題中的真命題有（）

A.若匕2國Z3I，則Z2=±Z3B.若Z/2=k/，則Z]=Z2

C.若ZR=2/3,則Z2=Z3D.若4=23,則由?|=匕色|

11.點分別是A48C的外心、垂心，則下列選項正確的是（）

A.尸為A48C平面內一點，則5AMe方+5Y”?麗+正

B.若2而=詼+部，且28=2，則就?薪=4

TT-----*-----?------*

C.若NB=—,OB=mOA+nOC,則加+〃的取值范圍為[—2,1]

3

—?—.._,Jio

D.右2HA+3HB+4HC=。，貝hos/8/fC=--------

5

\X71\X

12.已知函數(shù)/（x）=2sin—+:+2cos—,則下列說法正確的是（）

<36J3

77

A.直線X=1為函數(shù)/（X）圖象的一條對稱軸B.函數(shù)/（X）的最小值為1

C.函數(shù)/（x）在上單調遞增D./（x）23的解集為[31萬，3k7i+7i],keZ

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.平面向量48=(%/)，把刀繞其起點沿逆時針方向旋轉。角得到向量方，貝！二

14已知同=1,W=亞，標=—1，若Z+正與R+B的夾角為銳角，則實數(shù)/的取值范

圍________。

15.已知ee[0,2〃)，。終邊上有一點尸(sin2+cos2,cos2-sin2),貝!]。=。

sin2m,x<0

16.設aeR,函數(shù)/(x)=<,,若/(x)在區(qū)間(-a,+s)內恰有4個零點，則

x~-4x+7-4a,x>0

a的取值范圍是o

四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本題滿分10分)函數(shù)y=/sin(ox+e)(Z>0,忸|<|)的一段圖像如圖所示，

(1)求函數(shù)v=/(x)的解析式；

jr

(2)將函數(shù)y=/(x)的圖像向右平移1個單位，得到y(tǒng)=g(x)圖像，求函數(shù)y=/(x)+g(x)在

xe(0,J]T)值域.

18.(本題滿分12分)在AABC中，內角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且

acosA+acos(5-C)=2^Z?cos(〃-Z)sinC

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若點M為8c的中點，點N滿足AN=^AC,AB=2,AC=6點P為AM與BN的交點,

求/MW的余弦值.

19.（本題滿分12分）某企業(yè)為響應國家號召，研發(fā)出一款特殊產品，計劃生產投入市場.已知該產

品的固定研發(fā)成本為180萬元，此外，每生產一臺該產品需另投入450元.設該企業(yè)一年內生產該

產品X（0<X?50）萬臺并委托一家銷售公司全部售完.根據銷售合同，0<xW2時，銷售公司按

零售價支付貨款給企業(yè)；2<xV50時，銷售公司按批發(fā)價支付貨款給企業(yè).已知每萬臺產品的銷售

收入為/（x）萬元，滿足：

2(x-l)ex-2+2,0<x<2

蛆)=44。+理-曾,2K5。

、xx

（1）寫出年利潤尸（x）（單位：萬元）關于年產量X的函數(shù)關系式；

（利潤=銷售收入-固定研發(fā)成本-產品生產成本）

（2）當年產量為多少萬臺時，該企業(yè)的獲利最大？并求出此時的最大利潤.

20.（本題滿分12分）A48c的內角4民。的對邊分別為a,"c,AD為/氏4c的平分線,

c:AD:b=M：2:2也

（1）求44；

（2）AD上有點ZBMC=90°tanZABM.

21.(本小題滿分12分)^E(l)c(sinA-sinC)=(?-Z?)(sinA+sinB),(2)2bcosA+a=2c,

③王acsin3=/+c2.〃三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答

3

(1)求角B的大小；

(2)如圖所示，當sinZ+sinC取最大值時，若在A48c所在平面內取一點。(。與5在ZC兩

側)，使得線段Z?C=2,D4=1,求A5CD面積的最大值.

22.(本題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=axlnx-x?+(3-a)x+l(aeR),

(1)當時。=1,求曲線/(x)在。J⑴)處的切線方程;

(2)若/(X)存在兩個極值點看廣2區(qū)＜X2),

①求。的取值范圍；②當紅取得最小時，求〃的值.

2024屆高三數(shù)學獨立作業(yè)9

總分：150分時間：120分鐘命題人：鐘旭

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

2-i_

L[2023-()

A.2B.6C.5D.y[5

【答案】D

2.已知集合"={yeZ|y=_?-2x},N={,y=ln(-x)},則()

A.0B.{-1}C.{(1,-1)}D.[-1,0)

【答案】B

【詳解】N={x|x<0},而〃=卜€(wěn)2|丫=(工一1)2-1),因為y=故MN={T},

故選：B.

3,已知關于%的不等式(x-a)(x-2)>0成立的一個充分不必要條件是則。的取值范圍是

()

A.(-8,-1]B.(-8,0)C.口,+⑹D.[2,+8)

【答案】C

【詳解】解：設4=卜|(*-〃)(》-2)>0},B=

當a>2時，不等式(了一。)(十一2)>。的解集為(口,2)1,(°,y),即A=(—,2)」(a,s),

當a=2時，不等式(x-a)(x-2)>0,gp(x-2)2>0,則解集為(—,2)U(2,”),即

A=(F,2)U(2,+oo),

當a<2時，不等式(x—a)(x—2)>0的解集為(一?,a)U(2,y),艮口A=(f,a)U(2,收)，

不等式(尤-a)(x-2)>0成立的一個充分不必要條件是.1B冬A,所以14a<2或a=2或

a>2,

綜上可得a21,即ae[l,+8);故選：C.

1

__TT_

4.已知非零向量〃，〃滿足|〃|=2,<a,b>=-,若則向量〃在向量。+3,方向上的投

影向量為()

x/43-24^/43-_4

A------(a+3〃)B.—(a+36)C--------(〃+3萬)D.—(a+3b)

43434343

【答案】C

又(a—b)J_a,；?(a—b)?a=|a|2—a?b=0,即a?b=|a|2,

|a|I,cos￡=|a12,得|a|=1.

o

(a+3>>a=l+312-g=4,|。+3川=，1+9?4+612?(=屈

,..,,.41二一門口/心目、1II(a+3/7),au+3b4

向量sa在7向量〃+36萬向上的投影向量為I。I’------------------------=—(a+3b)

\a+3b\\a\\a+3b\43

TT

5.已知函數(shù)/(尤)=cos(8+0)O>O,Ov0V%)圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的距離為一，當3取最小

4

值時’將八X)的圖象向右平移段個單位長度得到函數(shù)ga)的圖象'若函數(shù)ga)在區(qū)間言上是增函

6

數(shù)，則。的取值范圍為

7171715萬712萬713萬

A.B.C.D.

?，-6"7

TkT7tllri(2k+l)TTI._.._.

【詳解】由題意可得函數(shù)/(%)的周期T滿足1+萬=—,所以-------二一,解傳G=4k+2,當左=0時

444

⑷取得最小值2,則〃x)=cos(2x+°),將了3的圖象向右平移v個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，可

￡，苧，—g71+與2?+。,7?%+。,函數(shù)g(“)的圖象在

得g(x)=1cost2x-^+(p\,由xG

24336

萬+2上萬wg+e

3萬

T上是增函數(shù)'故,解得—+2左1<(p<—+2k7i,由OV0V/,當左=0

區(qū)間36

I—(pQ27r+2kjr

時，(pe，故選：B.

36

6.已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)%有〃x+2)=〃x+l)-〃x),若y=/(2x)的圖象關于

123

直線x對稱，/(1)=2,則￡/出=()

2k=i

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【詳解】因為〃％+2)=/(%+1)-〃十),所以/(%+3)=/(%+2)—

2

從而可得;'(x+3)=-/(x),所以〃x+6)=〃x),所以函數(shù)/(x)的一個周期為6.

因為y=〃2x)的圖象關于直線x=；對稱，

所以『(l-2x)=『(l+2x),即函數(shù)的圖象關于直線x=l對稱.

又〃1)=2,/(2)=/(1)-/(0),

所以〃2)=〃0)=1,所以〃3)=-〃0)=-1,〃4)=—〃1)=-2,〃5)=—〃2)=—1,〃6)=〃0)=1,

所以〃1)+〃2)+…+"6)=0.由于23除以6余5,

23

所以工/(幻=川)+〃2)+-+/(5)=_/(6)=-1.故選：C.

女=1

7.已知夕:已。。"b=ln(1.03e),c=J1.06,則()

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>a>cD.a>b>c

【答案】B

【詳解】由題意a=eos,&=ln(1.03e)=ln(l+0.03)+l,c=7fo6=71+2x0.03,

下面先證明e—x+1,設函數(shù)e(x)=e'—x—l,則。(x)=e-1,

當%>0時，"(x)>0,夕(x)在(O,+。)內單調遞增，

當％<0時，"(x)<0,夕⑴在(一8,0)內單調遞減，

所以。(%"夕(。)=。，所以當x>0時，e%>%+1,

________產_1

設于(%)=x+1—+2%,x>0,令/=Jl+2%>1,貝[]>￥=—-—,

所以/(x)=/z(r)=-一-+l-t=?T,

22

所以元+1>Jl+2x①，

所以e0°3>0.03+l〉J1+2XO.O3=A/T麗,即〃〉c.

再設g(x)=ln(l+x)+l-V^(x>。)，83=幣一屁玄=(x+l)Jl+2x，

又由①知/(力<0,所以g@)在(0,+8)內單調遞減,所以g(x)<g(o)=o,

所以In(1+%)+1vJl+2x,

3

所以如(1+0.03)+1<,1+2x0.03，EPln(1.03e)<Vl.06,所以〃<c.

綜上，a>c>b.故選：B.

8.在中，已知AQ.AC=9，sinB=COSAsinC,SABC=6,F為線段AB上的一點，且

「八CACB11

CP=X'\7A+y,\7^'則一+一的最小值為()

CA\CB\xy

A.2_+@B.12C.-D.，也

1233124

【答案】A

【詳解】在ABC中，設AB=c,BC=a,AC=b,

：sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,/.sinAcosC=0,

廠7C

0<A<TT,/.sinA>0,.\cosC=0,0<C<7r,：.C,

2

ABAC=9,即仍cosA=9,又SMe==hcsinA=6,/.tanA===￡

'2becosA3b

a4r

S22

.ABC=-ab=6,則a)=12,所以，<63,解得/,c=>Ja+b=5-

2,10=3

ab-1O2

以AC所在的直線為光軸，以BC所在的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,

則C(0,0)、4(3,0)、3(0,4),

P為線段A3上的一點，則存在實數(shù)幾使得

AP=2A5=2(-3,4)=(-32,42)(0<2<1),

.-.CP=C4+CB=(3-3A,42),

CACB|一|?.

設"=網，弓=同’則M卜同二L二弓=。，。），e2=（0,l）,

CD同CA+?.CB同*/、4[^x=43—23Z，消去幾得23…2,.二x十上v八

11

所以,-+—

1y

當且僅當x=1y時，等號成立，

2

因此，工+工的最小值為且+二.故選：A.

Xy312

4

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世紀上半葉，數(shù)學家們得到了一元三次方程、一元四

次方程的解法.研究過程中得到一個代數(shù)基本定理：任何一元nN*)次復系數(shù)多項式方程"X)=。至少

有一個復數(shù)根請借助代數(shù)基本定理解決下面問題：設實系數(shù)一元四次方程公，+加+/+公+e=0

(?*0),在復數(shù)集C內的根為々，X》形，/，則下列結論正確的是()

“b

A.再+/+元3+4=---

a

c

XXX=

B.X1X2X3+X1X2X4+西七七+234——

a

-e

C.x{x2x3x4--

a

d

D.+石44+元243+%2%4+%3%4=一

'''a

【答案】AC教材P82

41

【詳解】由題設知：ax+CX+dx+e=tz(x-^)(x-x2)(x-^)(x-x4),

,2

/.ax[+bx+dx+e=dc^+x2)x+jqx2][x-(A^+^)X+^A^],

ax4+b￡+ex2+dx+e=

XXXXX?++

一(％+%2+毛+%)%3+(番%2+%七+%2七+芯%+24+34)一(石工2%3石玉%3%+%2%3%4)%+X^X^]

bd

+x2+x3+x4=——，XyX2+XyX3+x2x3+x,x4+x2x4+x3x4=—,x1x2x3+x1x2x4+x,%3%4+x2x3x4=-

aaa

取243元4-—?故選：AC

a

10.4*2*3為復數(shù)，Z]W0,下列命題中的真命題有()

A.若Iz2|—IZ3I,則z?=土Z3

B.若Z/24Z]I,則Z]=z2

C.若Z]Z2-z/3,則z2—Z3

D.若z2=Z3,則|z/2|=|z/3I

【解答】解:設zi="i+bi3Z2=az+bzi,23=43+63"若|z2|=|z31,則Jaj+b棄

5

此時Z2=±Z3不一定成立，故/錯誤；若Z1Z2=Z1Z3，貝！Jzi（Z2-Z3）=0,又因Zl70,所以Z2=Z3，故。正

確；若^2=Z3'則。2=田b2=-所以|Z1Z2I2+j途2+221>1）2,

2,

所以區(qū)⑶尸區(qū)肉，故。正確；當z2Gl時，ZjZ2=IZ1I此時Z1=Z2不一定成立，故8錯誤.

故選：CD.

1L點O,H分別是..A3C的外心、垂心，則下列選項正確的是（）

A.P為:ABC平面內一點，貝1sAp809+3.0尸笈+33尸。=0

B.若2BO=B4+8C，且AB=2,貝IJACAB=4

C.若=OB=mOA+nOC,則必+”的取值范圍為[一2,1]

D.^2HA+3HB+4HC=O,貝IJcosZBHC=-回■

5

【答案】BD

【詳解】A.尸在A2C外時，不滿足，故A錯誤;

B.若2B0=84+BC，則點。是AC的中點，點。又是ABC的外心,

所以NA3C=9O,ACAB=|AC||Afi|cosA=\AB^=4,故B正確;

C.因為/8=[,所以NAOC=?,如圖，建立平面直角坐標系,

3J

y

、

e1，2兀

設C（r,0）,A-Jr,專,B（rcos^,rsin,0

7

rcos0=m-+nr

因為。右=加。4+m9。，所以<

rsin0=m-—r

2

得機=*sin6,n=cos8+9sing,

m+n=cose+V^sin6=2sin[6，

6

e+qe］不sin^0+—j6-1,—j,貝2,1),故C錯誤;

D.因為A〃_L6C，所以AH.8C=0,

即AH?HC-HB)=AH?HC-AH?HB=0,則HA-HC=HA-HB，

同理，HAHC=HCHB，所以HA,HC=HA-HB=HB,HC，

設HA-HC=HA-HB=HB-HC=x，

因為2HA+39+4HC=0,所以3HB=-2HA-4HC，

即3HB2=-2HA-HB-4HCHB=-6x，則|期=，

4HC=-2HA-3HB：即4HC=-2HAHC-3HBHC=-5x，

cosNBHC=cos(HB,HC、=普胃==-眄西cf施

'/網陽15,x<0,故D正確.

故選:BD

12.已知函數(shù)/。)=2411仁+3+23=,則下列說法正確的是()

\3673

A.直線1為函數(shù)/(")圖象的一條對稱軸B.函數(shù)/(%)的最小值為1

1\jr137r

C.函數(shù)八)在上單調遞增D./(%)23的解集為［3左萬,3左萬+%］,左￡2

xX71

【詳解】?「/(x+3〃)=2sin—+—+^-|+2cos—+^-=2sin—+—+2cos—/?,故x=3萬為函數(shù)

363363

/⑴的一個周期；因為/(x+gJ=2sin5+qJ+2cosK+A

所以了仆+m=2卜ng+f—X7C

+2cos-------1

36

所以/卜+￡|=/1彳+3,故函數(shù)/卜+|^為偶函數(shù)，所以直線x=］為函數(shù)〃%)圖象的一條對稱軸,

故A正確；當XC-3,不時，,1+^e0,耳,又/(x)=2++2cos5,

223o2363<3bJ3

x.x冗Ax.兀、x

所以/(x)=2sin—d■—+2cos—=2sin—cos——I-2cos—sin——i-2cos—,

(36)336363

所以/。)=后嗚+33；=2氐，：+1^,當xe時，|eX712n

—+—G

36

7

稱圖時,做"2＜3,當Y，1時,由2島ixn

當工￡sin-+—23解得。＜無＜%,所以

22337

/(1)23的解集為［3左萬,3左萬+萬］,左￡2,故D正確，故選：ACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.平面向量A8=?y),把相繞其起點沿逆時針方向旋轉e角得到向量"，則

AP=________________

【答案】(xcos。一ysina%sin6+ycos。)教材P53

14.已知H=l,M=也，a-b=-l.若a+仍與s+5的夾角為銳角，則實數(shù)/的取值范圍

(a+tb)-(td+b)

又cosa+tb,ta+b=

【詳解】因為a+為與s+6的夾角為銳角|?+zZ?|-|^+Z?|

所以(3+tb),(應+b)—/之+(1+/2)個+仍?>o,

又，卜1,W=V^,a.b=-1，所以，一(1+/2)+21=一/+3/-1>0,

解得匕

又因Q+仍/a+6￡[0,兀],

22

8

當4+/?瓦箱+6=0時，也滿足m+必）?（紜+很）〉0,此時不合題意,

一\\=ut

當3+仍與，口+^共線同向時，有r@+仍="（紜+人），從而得到《,解得才=±1,

又_1<匕后，所以實數(shù)/的取值范圍是

2

故答案為:

15.已知。€[0,2?),夕終邊上有一點尸(sin2+cos2,cos2—sin2),貝ije=

【答案】--2

4

【詳解】因為tan9=B^2U=LW22=tan（日—2）又6e[0,2?）,尸在第四象限

sin2+cos21+tan24

:.0=--2+27T=--2

44

Isin2TLX%v0

16.設aeR,函數(shù)/（尤）={2_,若〃x）在區(qū)間（-a,+s）內恰有4個零點，則。的取值范

Ix^TX+/4a,x>u

圍是.

【答案】]I，|M：，2

sin2JLX尤v0

【詳解】作出/。）=2,',/八的圖像，左側是正弦型函數(shù)的，右側是開口向上，可以上下平

1%—4%+7-4々,%>0

移對稱軸為x=2的二次函數(shù).

A<0

①當在區(qū)間（-。,0）有4個零點且在區(qū)間（0,+8）沒有零點時，滿足5°,無解;

—V—〃<—2

[2

A>0

②當〃尤）在區(qū)間（-a,0）有3個零點且在區(qū)間（0,+8）有1個零點時，滿足</(0)<0

-2<-a<

2

[A=0

7

或者,3解得丁屋2;

-2<-a<——

2

③當〃x）在區(qū)間（-a,0）有2個零點且在區(qū)間（0,+8）有2個零點時,

9

A>0

滿足〃0"0,解得(1,|]

3一

——<-a<-\

[2

綜上所述，a的取值范圍是［1,釧；2

2

故答案為：R|M^

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

函數(shù)y=4sin（0x+°）［A>,0>O,|d<_|）的一段圖象如圖所示

⑴求函數(shù)y=〃x)的解析式；

⑵將函數(shù)y=的圖象向右平移g個單位，得到y(tǒng)=g(x)圖象，求函數(shù)y=〃x)+g(x)在相嗚)值域.

【答案】(l)〃x)=2sin(2x+J)；⑵(—1,2].

6

【詳解】⑴觀察圖象，得4=2,函數(shù)/(x)的周期7=史-(-烏)=無="，解得。=2,即

1212a)

f(x)=2sin(2%+(/)),

由/(-烏)=2sin(一四+夕)=0,得一4+夕=阮，即夕=E+$,ZeZ,而|0|<四，則夕=巴，

1266626

所以函數(shù)y=/(x)的解析式是/?=2sin(2x+*.

TT'llTT

(2)由(1)得g(%)=2sin[2(x——)+—]=2sin(2x——)=-2cos2x,

362

兀J31

貝【Jy=/(x)+g(x)=2sin(2xH■—)-2cos2x=2(——sin2x-\■—cos2x)~2cos2x

622

=sin2x-cos2x=2sin(2x--),當0<%<g時，一四<2不一色〈多,

62666

1ITjr

有——<sin(2x——)<1,于是一l<2sin(2x——)<2,

233

所以所求值域為（T2］.

10

18.(本小題滿分12分)

在jASC中，內角A氏C所對的邊分別為,且acosA+〃cos(b—C)=2百Z?cos(兀一A)sinC.

⑴求角力的大??；

⑵若點M為3c中點，點N滿足4V=gAC,AB=2,AC=6,點P為郵與BN交點，求/余弦值.

【答案】⑴斗⑵叵教材P53

【詳解】⑴由已知得—acos(5+C)+?cos(B-C)=一2百〃cosAsinC,

即2^sinBsinC二-2后7cosAsinC?

由正弦定理得sinAsinBsinC=-V3sinBcosAsinC.

因為在中，sinB>0,sinC>0,所以tanA=—6-

因為Ae(O,?i),所以A..

(2)設A^l=a,AB=6,所以AC=3°,

1131

因為Af為5c的中點，所以AM=萬A6+5AC=萬之+萬方，

又BN=a-b，

27r

由（1）知，A=莖，AB=2,AC=6,

故忖=2,忖=2,4力=瓦口卜05日=一2,

^AMBN=^a-^a-b+^ab-^b2=6+2-2=6.

I…I192_3；1~2F-

AM—/—ciH—a，bT—a=，7,

IIA\424

|BN^=ya-la-b+b^=A/12=2指,

c/……AMBN6V2T

所以cosZMPN=UN〉=~,

11

所以的余弦值為國.

7

19.（本小題滿分12分）

某企業(yè)為響應國家號召，研發(fā)出一款特殊產品，計劃生產投入市場.已知該產品的固定研發(fā)成本為180萬

元，此外，每生產一臺該產品需另投入450元.設該企業(yè)一年內生產該產品x（OvxV5O）萬臺并委托一家

銷售公司全部售完.根據銷售合同，0<xV2時，銷售公司按零售價支付貨款給企業(yè);2<xW50時，銷售公

司按批發(fā)價支付貨款給企業(yè).已知每萬臺產品的銷售收入為/⑺萬元，滿足：

2(x-l)e%-2+2,0<x<2

/(x)=<30509000

440+,2<x<50

⑴寫出年利潤尸（磯單位:萬元）關于年產量x（單位:萬臺）的函數(shù)關系式;

（利潤=銷售收入-固定研發(fā)成本-產品生產成本）

（2）當年產量為多少萬臺時，該企業(yè)的獲利最大，并求出此時的最大利潤.

2x(x-l)ex-2-448x-180,0<x<2

【答案】⑴尸（x）=，

-10x-型四+2870,2<x<50

X

⑵當年產量為30萬臺時，該企業(yè)獲利最大，且此時的最大利潤為2270萬元

【詳解】(1)當0<xV2時，P(x)=x[2(x-l)ev-2+2]-(180+450%)=2x(x-l)e^2-448x-180,

當2<x450時，P(X)=X(440+KW-?^)-(180+450X)=440X+3050-絲5^-180-450X

XXX

=-10x-^^+2870,

X

2x(x-l)ex-2-448^-180,0<x<2

所以，尸（無）=<

-10x-^^+2870,2<x<50

X

(2)當0<xV2時，Z(x)=2(x-l)eJ-2+2,

令r=x-2jc(-2,0],則/(x)=2(x-l)e、"2+2轉化為。⑺=2(/+l)e'+2,

則"⑺=2(f+2)e\當他(-2,0)時,。'⑺>0,。⑺在(-2,0)上單調遞增,

。⑺的最大值為。（0）=4,即當x=2時，/（x）取得最大值4萬元,

此時銷售收入遠小于投入，企業(yè)虧損，所以最大獲利一定在2<x<5時取得,

90009000

此時P(x)=-10x-+2870=-10x++2870

xx

12

V—2JlOx?2她+2870=-600+2870=2270,當且僅當10工=史也，即x=30（負值舍去）時等號成立,

XX

此時p（x）取得最大值，且最大值為2270（萬元）,

所以，當年產量為30萬臺時，該企業(yè)獲利最大，且此時的最大利潤為2270萬元.

20.（本小題滿分12分）

—ABC的內角A,8,C的對邊分別為?,b,C,AD為/BAC平分線,c;AD:b=6：2：2欄.

⑴求/A；⑵AD上有點/BMC=90,求tanNABAf.

【答案】嗚⑵一++\/11

4

【詳解】⑴設c=Ck,AD=2k,b=2四>SABC—SABD+S、ADC，

/.—Z?csinA=—IAD\-csin—+—IAD\'bsm—,

221122112