浙江版線性代數(shù)綜合練習(xí)題8套附參考答案

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔一〕

一'單項選擇題

1.對于”階可逆矩陣A,B,那么以下等式中〔)不成立.

(A)|(AB)-I|=|A-1|.|B-1|(B)|(AB)-1|=(I/|A-1|).(I/|B-1|)

(C)|(AB)-1|=|A|-1.|B|-1(D)=1/|Aq

2.假設(shè)A為〃階矩陣，MA3=0,那么矩陣(E—A)T=().

(A)E-A+A2(B)E+A+A2〔C)E+A-A2(D)E-A-A2

3.設(shè)A是上〔下)三角矩陣，那么A可逆的充分必要條件是A的主對角線元素為1).

(A)全都非負不全為零〔C)全不為零(D〕沒有限制

僅、、

。21a22。2310(100

4.設(shè)A=(%)3x3,B=,々=100，舄=010,那

100b110L

(“31+"11432+”12夕33+413J

么().

(A)AP{P2=B[B)AP2Pl=B(C)P1P2A=B(D)P2PXA=B

5.假設(shè)向量組4,線性相關(guān)，那么向量組內(nèi)()可由向量組其余向量線性表示.

(A)至少有一個向量(B)沒有一個向量

〔C〕至多有一個向量(D〕任何一個向量

’2123、

6.假設(shè)A=4135,其秩R(A)=〔).

12012)

[A)1(B)2〔C)3[D)4

7.假設(shè)方程AX=3中，方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，那么有(〕.

[A)AX=6必有無窮多解[A)AX=0必有非零解

9〕AX=0僅有零解[D)AX=0一定無解

8.假設(shè)A為正交陣，那么以下矩陣中不是正交陣的是1).

〔A〕A-1(B)2A[C)A4MAT

9.假設(shè)滿足條件()，那么〃階方陣A與8相似.

〔A〕網(wǎng)=冏(B)R(A)=R(3)[C)A與B有相同特征多項式

〔D〕A與B有相同的特征值且?guī)讉€特征值各不相同

二'填空題

1.假設(shè)向量組%,如，的線性無關(guān)，那么向量組%,%+的，4+。2+。3是線性

2.設(shè)A為4階方陣，且R(A)=3,A*是A的伴隨陣，那么A*X=0的根底解系所含的解向量的個數(shù)

是

3.設(shè)A為〃階正交陣，且網(wǎng)＞0,那么|七

4.設(shè)%=（1,-1,2）,?2=（2,k,5）,￡3=（1，一6,1）線性相關(guān)，那么空.

，400、

5.設(shè)A=050,那么（A—2E）T=

03,--------------------------------

6.設(shè)三階方陣A有特征值4,5,6,那么|包_________,的特征值為,A-1的

特征值為

三、計算題-----------------------

1.計算行列式

‘120、

2.矩陣A=210,求⑷、

、。02,

3.設(shè)三階方陣A滿足A/=i%（i=1,2,3），其中

%=（1,2,2）7,%=（2-2,l）r,%=（-2,-1,2尸，求A.

4.■取何值時，非齊次線性方程組

11）有惟一解；［2）無解；［3）有無窮多解，并求其通解.

四、證明題

1.設(shè)A為〃階可逆陣，人2=河后.證明A的伴隨陣A*=A.

2.假設(shè)A,8都是〃階非零矩陣，且43=0.證明A和3都是不可逆的.

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔一〕參考答案

單項選擇題

1.B2.B3.C4.C5.A6.B7.B8.B9.D

填空題

1.無關(guān)2.3；3.1；4.3；

00、

2

5.010；6.120,4,0'4，5，6,

017；

三、計算題

a+bbbba+bbbb

-ba-b-b-baa00

［解:—

bba+bb-a0a0

-b-b-ba-ba00a

abbb

0a004

二a

00a0

000a

2.解：先求A的特征值,

1-220

A-2E=21-20=-(2-2)(3-2)(1+2)

002-2

4=2,=3,力3=-1，

當(dāng)4=2時，由（A—2E）X=0得,A的對應(yīng)于2的特征向量是1

當(dāng)4=3時，有(A-3E)X=0得,A的對應(yīng)于3的特征向量是蜃

當(dāng)彳2=—1時，有(A+E)X=O得,A的對應(yīng)于-1的特征向量是4=-1

0>

i、

11

取4=o1，〃3-1

、J

ojoj

,2、

令P=(q,%，7)，那么PTAP=P,AP=3,所以

、-17

yo

^(310+1)|(310-1)0、

A10=P3PTH310-1)|(310+1)0

T,002,

3.解:因為A%=必，。=1,2,3）,所以

(100、

A(a,,%,%)=(%,%,%)020

^003；

400、

因此二(%,%,%)-1

A020(6Z1,a2,a3).

、003,

U2-2、"122、

-1

又(%,%,%)=2-2-1,所以(%,。2，&3)2-21

9

212,-2-12,

q2-2V100、22、'70-2、

1

故A=2-2-10202-2105-2

93

212J003,-2-12,-2-26>

14—1

4.解：D=2-12=(2+5)(2-3),

110-6

⑴當(dāng)即且時，方程組有惟一解.

fl-5-12、fl-5-12]

〔2〕當(dāng)2=—5時，B=(A,0)=2-1-55——09-31

1110-61J(0001J

止匕時H(A)=2,R(B)=3,方程組無解,

、’1117

’13-1207

[3)當(dāng)2=3時，5=(4月)=2-13501_5.

77

,110-60000

b7

此時R(A)=R(B)=2,方程組有無限多個解.,并且通解為

(\(12,、<_8.A

苞77

x_x5.(cG7?).

27+C7

,01

77

四、證明題

1.證：根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)有

又人2=同￡,所以44*=人2,再由于A可逆,便有A*=A.

2.證：假設(shè)A可逆，即AT存在，以AT左乘A3=0的兩邊得3=0,這與6是〃階非零矩陣矛盾;

類似的，假設(shè)6可逆，即存在，以右乘A3=0的兩邊得A=0,這與A是〃階非零矩陣矛盾,

因此，A和8都是不可逆的.

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔二〕

一、選擇題

1.設(shè)%,%，4,尸2是四維列向量，且|4,。2，%，川二力，|%,。2，分2，%|=〃，那么

[A)m+n(B)-(m+n)[C)n-m(D)m-n

2.如果A為三階方陣，且網(wǎng)=2,那么,*卜1）。

〔A〕4（B）8（C）2（D）16

3.設(shè)A為〃階方陣，且阿=0,那么（）。

[A）A中必有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，

（B）A中至少有一行（列）的元素全為0,

9〕A中必有一行〔列）向量是其余各行（歹U）向量的線性組合，

[D）A中任意一行（列）向量是其余各行〔列）向量的線性組合。

4.設(shè)加X/矩陣A、5的秩分別為公4,那么分塊矩陣（A,3）的秩r滿足（）。

[A)r<rx+r2[B)r-rx+r2(C)r>+r2(D)r=r{r2

5.設(shè)A為〃階方陣,。是〃階正交陣，且3那么以下結(jié)論不成立的是（）。

[A）A與6相似（B）A與B等價

〔C〕A與8有相同的特征值（D）A與6有相同的特征向量

二、填空題

a

0

1.〃階行列式：

0

b

2.設(shè)a=(1,2,3廠,

00、

3.設(shè)三階矩陣A,6滿足4734=64+R4,且4=010,那么5_________

I。0i

<5200)

2100

4.設(shè)四階方陣A=,那么AT

001-2

(0011?

5.設(shè)向量組%=（1,4,3）\的=（21,—1）',%=（—2,3,1『線性相關(guān)，那么/三

6.設(shè)三階方陣A的特征值為1,2,3,那么⑶=,A-1的特征/,A*的特

征值為。

7.設(shè)二次型/（七,%2，%3）=2x；+X；+方+2/％2+比2/為正定二次型，那么f的范圍是

三、計算題

(1](2)’3、(5、'-9、

1.求向量組?=-1fa2=1,a31，?40出=-8的秩與一個最大無關(guān)組，并

13,3"13,

J

把其他向量用最大無關(guān)組線性表示。

2Xj+2X2-x3=1

2.2為何值時，方程組《

AX1-X2+X3=2有惟一解，無解或有無窮多解？并在有無窮多解時求出

4x1+5X2-5X3=-1

方程組的通解。

3.三階實對稱矩陣A的特征值為4=-1,友=%=1,對應(yīng)于特征值4的特征向量為

4.二次型f(xl,x2,x3')=x；+x；+x；++4x^3+4X2X3,

[1）寫出二次型/的矩陣表達式,

[2）用正交變換把/化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫出相應(yīng)的正交變換。

四、證明題

1.設(shè)A為九階方陣，如果存在正整數(shù)左，使得A*=0,證明石―A可逆，并求逆。

2.設(shè)％w冬是〃階方陣A的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為0,”2，證明Pi+Pi不是A的特征向量。

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔二〕參考答案

一、選擇題

1.C2.A3.C4.A5.D

二、填空題〔每空3分)

(\1

,23’3、

1.屋+(-!嚴(yán)6"；2.3”T21f3.B=2

3&1

102、b

「1—200、

uv33

00—上工

\uu337

~"n

6.6,1,—,—,6,3,2

23

_11

7.-j=<^<--j=

V2V2

三、計算題

「1235-9

1.解：A=(%,々2，13，&4，￡5)=-1110-8

、0327-137

’10023、

0103-3

、001-1-27

所以=3，%,￡2，%是一個最大無關(guān)組，并且有

a4=2tZj+3tz2-%，

a5=3ax-3a2-2%.

22-1

2.解：D=A-11=(4+52)(2-1),

45-5

當(dāng)DHO,即Xwl且Xw—今時，方程組有惟一解.

01、

當(dāng)2=1時，B=(A，B)-1-1

007

此時H(A)=H(B)=2,

-4-55、

當(dāng)X=-3時，B=-5510

0017

止匕時R(A)=2,R(B)=3,方程組無解.

f、

I七

3.解：先求對應(yīng)于特征值1的特征向量,設(shè)4=x2是對應(yīng)于1的特征向量，那么有

門i=0.

T'0、

因而=c01,C為不等于0的任意常數(shù).

-1

,0‘1〕\0

取〃=%%=°，〃3=玉，令「二⑸，生，/），那么有

H〔F

p-lAP=PTAP=1,

、、b

f-1(\0o)

因此,A=P100-1

1J0-10J

q2、

4.解：(1)f{xx,,x3)=(%j,x2,x3)21=x7x

32

1-A22

⑵|A-2E|=21-22=(5-2)(1+A)2,

221-2

所以A的特征值為4=5,4=4=—l,

當(dāng)4=5時,由（A—5E）X=0得對應(yīng)于5的特征向量,當(dāng)=4=—1時，由

，1](1"

(A+E)X=0得對應(yīng)于—1的特征向量星=—1,4=1

<0)1-2,

r1

<_LA

V13V6

-1

V3令尸=（〃],%,〃3），那么尸為正交矩陣，且

1%=f，%=V6

V3___2_

IIV6?

p-iAP=「丁AP=-1

、

因此，所求的正交變換為X=PF,并且

四、證明題

1.證：Ak=0

所以，E—A可逆，并且(E—A)-=E+A+A2+…+A-.

2.證：假設(shè)片+6是4的對應(yīng)于2的特征向量，那么4（々+舄）=2（々+舄）

因為M=46，AP2=^P2,所以(4—x*+(4—㈤鳥=o,由于片，舄是對應(yīng)于不同特

征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，從而

\—^=^2—^=0,4=4，矛盾！

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔三〕

一、選擇題

1.設(shè)A是MX〃矩陣，6是〃階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣C=A3的秩為那么().

[A)r>rx(B)r<rx(C)r=rx(D)r與6的關(guān)系依B而定

2.假設(shè)A為正交陣，那么以下矩陣中不是正交陣的是().

[A)A-1(B)2A9)A4[D)Ar

3.值不為零的”階行列式，經(jīng)過假設(shè)干次矩陣的初等變換，那么行列式的值().

〔A)保持不變(B〕保持不為零

iC)保持有相同的正負號(D)可以變?yōu)槿魏沃?/p>

4.設(shè)A和8都是”階方陣，以下各項中，只有〔)正確.

(A)假設(shè)A和6都是對稱陣，那么也是對稱陣

(B)假設(shè)AHO,且BHO,那么ABWO

(C)假設(shè)AB是奇異陣，那么A和8都是奇異陣

(D)假設(shè)是可逆陣，那么A和6都是可逆陣

5.向量組%,%,…,見線性相關(guān)的充要條件是[).

[A)%,%，…,風(fēng)中有一個零向量

[B)%中任意向量的分量成比例

9)4,見，…，見中有一個向量是其余向量的線性組合

(D)4,…，見中任意一個向量是其余向量的線性組合

6.設(shè)方陣A,6的秩分別為％那么分塊矩陣(A3)的秩r與%G的關(guān)系是〔).

[A)r<r1+r2[B)r>rx+r2(C)r=rx+r2[D)不能確定

二、填空題

1.設(shè)三階方陣A的特征值為1,2,3,那么閾二.

設(shè)；與)=；；為正定二次型，那么的取值范圍

2./(%,/,X+2%2+2x+2XXX2+2XJX3+2zx2x3f

為

’5200、

2100

3.設(shè)A=,那么A-1=

0011—

1001

27

ba00…0

0ba0--0

00ba--0

4.”階行列式?！?—.

0000…〃

a000???Z?

5.設(shè)”階方陣A的元素全為1,那么A的“個特征值為

6.設(shè)名,是非齊次線性方程組AX=6的s個解，假設(shè)占7+42%+…也是它的解，那

么k1+左2+?,,+/=

三、計算題

,010)f1-P

1.解矩陣方程X=AX+5,其中A=-111,B=20

C°-1J15T

2.求以下矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組,并把其他向量用最大無關(guān)組線性表示：

'120、

3.矩陣A=210,求A。

、002,

4.向量組%=(1,2,1)。的=(尢—1,10尸,%=(—1,4,—6尸,尸=(2,5,1尸，討論;I取何值時，［1)萬能

由％,應(yīng),見線性表示，且表示式唯一，［2)萬能由%,%,%線性表示，且表示式不唯一，［3)§

不能由%,%，的線性表示.

四、證明題

1.設(shè)4,4是〃階方陣A的兩個特征值，4彳彳2，P1，P2是對應(yīng)的特征向量，證明P1+。2不是A的

特征向量.

2.設(shè)4是〃階方陣，假設(shè)存在正整數(shù)左，使線性方程組A"X=0有解向量a,且證明向

量組al,Aa,屋外…,屋一%是線性無關(guān)的.

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔三〕參考答案

—■、選擇題

1.C2.B3.B4.D5.C6.A

二'填空題

1.6；2.0<r<2；

T-200、

.-2500

3.A—1=；4.D”=6"+(-1嚴(yán)a”；

002-1

、°0-117

5.0,0,…,0〔〃一1個)，n；6.1,

三、計算題

1.解：由X=AX+5,得

X=(E—A)-B,

為此對矩陣(E-A,B)施行初等行變換化為行最簡形矩陣，

‘3-1、

所以X^(E-A)-'B=20.

J

2.解：對A施行初等行變換變成行最簡形，

所以尺(A)=3,A的前三列名,a2，%是A的列向量組的最大無關(guān)組，且

24=%+3a2—。3，

——a?+6/3?

3.解：先求A的特征值，

1-220

\A-AE\=21-20=-(2-2)(3-2)(1+2)

002-2

4=2,A,=3,九3=-1，

當(dāng)4=2時，由(A—2E)X=0得，A的對應(yīng)于2的特征向量是1

當(dāng)a=3時，有(A—3E)X=0得，A的對應(yīng)于3的特征向量是蜃

當(dāng)彳2=-1時，有(A+E)X=0得，A的對應(yīng)于—1的特征向量是或=-1

0

i1

取4=o%=1，〃3-1

oj

、JO

,2、

令尸=（7，〃2,%),那么PTAP=P「AP=3,所以

(11

-(310+1)-(310-l)0

，222

1010

A10=P1(3-1)|(3+1)0

00210

’12-12、

4.解：(%,%，%，/)=2-125

10-617

⑴當(dāng)2=3時，氏（%,%，。3）=氏（4，%，％，分）=2，夕可由線性表示，且表示式不唯

-1-222+2

[2)當(dāng)幾#3,且-------=------,即2=—5時，7?(%,%，%)=2,氏(%,%，%，分)=3，夕不能

9—3AA—3

由線性表示；

[3）當(dāng)223且22-5時，？?（%,%，%）=氏（%，%，%，分）=3，夕能由%,%，%線性表示，但表

示式唯一.

四、證明題

1.證：假設(shè)《+6是A的對應(yīng)于2的特征向量，那么A（6+舄）=2（6+舄）

因為所以一九）￡由于匕舄是對應(yīng)于不同特

AP2=A2P2,（44*+（4-=0，

征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，從而

4-2=4—2=0,4=4，矛盾！

2.證：因為e是線性方程組屋X=0的解向量，所以A%=0.從而AZ=0（s＞左），又由小一%豐0

71kx

設(shè)Xia+zAa+wA?<'——+xkA~a=0,[1)

以左乘上式兩邊，得玉4"力=0,因而必有不=0,

以A-?左乘[1）式兩邊，得=因而必有々=0,

類似地，可以證明必有￡=乙=…=與=0，故%,Aa,…,屋-勿是線性無關(guān)的.

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔四〕

一、選擇題

1.設(shè)A3,C均為“階方陣，假設(shè)由=AC能推出8=C,那么A應(yīng)滿足以下條件中的〔)。

[A)A^O[B)40〔C)A=0[D)網(wǎng)=0

2.設(shè)4為〃階方陣，且|刈=0,那么()。

[A)A中必有兩行〔列)的元素對應(yīng)成比例

(B)4中至少有一行(列)的元素全為零

[C)A中必有一行〔列)的向量是其余各行〔列)的向量的線性組合

[D)A中任意一行〔列)的向量是其余各行(列)的向量的線性組合

3.設(shè)方陣A,6的秩分別為不々，那么分塊矩陣(A,8)的秩廠與%々的關(guān)系是1)。

[A)r<rx+r2(B)r>rx+r2[C)r=ri+r2[D)不能確定

(

。21。22a23、C10](100、

4.設(shè)A=(%)3x3，B=a\\an〃13，6=100,P,=010那

J110b

a

[431+\\〃32+〃12。33+〃13,(00

么()。

[A)AP{P2=B[B)AP2P1=B(C)P￡A=B(D)P2PlA=B

5.設(shè)A,5都是〃階非零矩陣，且A3=0,那么A和6的秩()。

[A)必有一個等于零⑻都小于,

〔C)一個小于“，一個等于“(D)都等于“

6.設(shè)4、8為〃階方陣，且A與8相似，E為”階單位陣，那么[)。

[A)AE-A=AE-B(B)A與5有相同的特征值和特征向量

[C)A與8相似于一個對角矩陣[D)對任意常數(shù)/,出—A與出—3相似

二'填空題

,1-20、

1.B=210.那么3一|=。

、002,

’421、

2.假設(shè)對A=124,有R(A)=2,那么/=

J4J

3.向量組(I)：ar,a2,a3,〔II)：at,a2,a3,a4,(III)：al,a2,a3,a5,如果R(I)=

R(II)=3,Rnil)=4,那么叫,。2，。3，。5-。4的秩=

4設(shè)如名，…，?為非齊次線性方程組AX=5的S個解，假設(shè)Ml+c2r+…+q/也是該線性方程

組的一個解，那么。1+。2+…+q=

5.〃階可逆矩陣A的每行元素之和均為a(awO),那么數(shù)一定是ZT】+E的特征值。

6.設(shè)/(苞,工2，/)=%；+2x；+2x；+2XM2+2XM3+2比2/為正定二次型，那么/的取值范圍

為。

三、計算題

，200][11、

1.設(shè)4=013,3=20,且A*X=3,求X。

、025)100,

⑴⑶(2)⑴

0215-1

2.求向量組%=,(/,=,tz=,a=,a=的秩和一個最大無關(guān)組，并

20334-153

把其他向量用該最大無關(guān)組線性表示。

3.對于線性方程組＜AX1-X2+X3=2討論4取何值時，方程組無解、有惟一解和有無窮多解?

并在方程組有無窮多解時，求其通解。

4.設(shè)二次型/(x1,x2,x3)=2x^+3xl+3x；+4X2X3,

[1)求一個正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，

[2)設(shè)A為上述二次型的矩陣，求A°

四、證明題

1.設(shè)4,42是”階方陣A的兩個特征值，4H4，Pi，P2是對應(yīng)的特征向量，證明P1+P2不是A的

特征向量.

2.設(shè)-1為〃一1個線性無關(guān)的n維列向量，Ji，,是和藥,%，…,均正交的n維列向

量，證明晶線性相關(guān)。

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔四〕參考答案

一、選擇題

1.B2.C3.A4.C5.B

二'填空題

(12

550、

2

1._2102.93.44.15.—\-16.0Vz'<2

55a--------

、00J_

V

三、計算題

1.解：由A*X=3得,

AA，X=AB,即\A\X=AB

因為網(wǎng)=—2,

0oYi11-n

所以X=--01320-10

2

<0250-20

I。77

"11221、

0215-1

2.解：

203-13

1104-17

所以R(%,%，。3，%，。5)=3，%%%是一個最大無關(guān)組，并且

=%+3a,—t/j，a$——a,+oc2

22-1

3.解:D=A-11=(4+52)(2-l),

45-5

當(dāng)DHO,即4Hl且;Iw—年時，方程組有惟一解.

01、

當(dāng)X=1時,B=(A,0)-1-1

00

7

此時R(A)=R(B)=2,

-4-55、

當(dāng)X=—今時，B=-5510

00b

此時H(A)=2,R(B)=3,方程組無解.

(200、（200、

4.解：/(%j,x2,x3)=,x2,x3)032x2,A=032

,023人%,02%

所以A的特征值為4=2,4=5,4=1,

由（A—2E）X=0得對應(yīng)于4=2的特征向量1=（L0,0）,

由（A—5E）X=0得對應(yīng)于4=5的特征向量&2=（0,1,1廣，

由（A—E）X=O得對應(yīng)于4=1的特征向量1=（0,1,—1尸,

取〃1=J1，,〃3,令令=（〃1，〃2，生）,那么得

所求的正交變換

、’100、‘力、

X=PY即?

07T乃

0i1

77TV27

且/=2貨+5貨+貨

"200、

⑵根據(jù)⑴知,P-1AP=PTAP=050

00b

，20oY°’10021000100'

所以A10=P050PT01?0510

VT。尢方

、0010ii00

7正F°卡一為

、

勿。00

0i(510+DH510-D

<0i(510-D1(510+1)

7

四、證明題

1.證：假設(shè)《+6是A的對應(yīng)于2的特征向量，那么A（6+舄）=2（6+舄）

因為所以（4—4*+（4-刃鳥=o，由于々，鳥是對應(yīng)于不同特

AP2=A2P2,

征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，從而

\—^=2^—A—0^4=4，矛盾!

(T\

ax

T

a

2.證:設(shè)公=,2，那么A是一個5—l)x/矩陣，因為％,%/一,%1線性相關(guān),所以夫(4)="_1,

T

故n元線性方程組AX=O的解空間的維數(shù)為1.

又配蜃是和藥,如，…,%一均正交的，所以益,另是AX=0的解，因此[,基必線性相關(guān).

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔五〕

一、填空題

,100、

1.A=-2-30，那么&T=

14-5-6,

2.設(shè)四階矩陣A與5相似，矩陣A的特征值為那么行列式忸7-目=

7九1一；I?——

3.方程2/+0+2/=0的標(biāo)準(zhǔn)正交解為L

'11-610、

4.設(shè)矩陣25k-1的秩為2,那么左______________o

112-1k)

5.設(shè)%=(1-1Of,%=(111]，％=(11—2)，是我的一個正交基，那么

〃=(341)，在此基下可線性表示為o

二、選擇題

1.關(guān)于矩陣，以下命題正確的選項是[)。

[A)假設(shè)A3=0,那么A=0或8=0(B)可經(jīng)過一系列的初等行變換把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形

[C)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一(D)假設(shè)尸為初等矩陣，PA=PB,那么火(A)=R(3)

2.以下命題正確的選項是〔)

1A)■維列向量組%,a2，…,?m(m>n)可以線性無關(guān)

[B)矩陣的初等變換可能改變矩陣的秩

[C)n維列向量組內(nèi),a”(根>ri)必線性相關(guān)

(D)假設(shè)方陣P20,那么尸可逆。

3.設(shè)A為〃階方陣，。是〃階正交陣，且3那么以下結(jié)論不成立的是1)。

(A)A與8相似(B〕A與8有相同的特征向量

[C)4與8有相同的特征值[D)A與8等價

4.三階矩陣A的特征值為4=2,友=3,4=-4,其對應(yīng)的特征向量分別是多,多,殳，取

P=&2,3，J，那么PTAP=1)

’200、’300、’300>'-400、

[A)0300-40?020(D〕020

、00-4,、002,<00―為、003)

5.二次型/(X)=X?AX〔A是對稱矩陣)正定的充要條件是〔)。

[A)對任何X,有X'AXNO〔B)A的特征值為非負數(shù)

[C)對任何XRO,有X^AX/O(D)對任意XHO,有X^AX〉。

三、計算題

2

2*+x2+22X3=2

1.設(shè)非齊次線性方程組\王+&2+￡=幾2，

X]+巧+心3=才

〔1)4取何值時，方程組[a)有唯一解；[b)無解；(c)有無數(shù)多個解。并且方程組有無數(shù)多個解時,

用該方程組的一個特解及對應(yīng)齊次線性方程組的根底解系表示其通解。

[2)設(shè)該方程組的系數(shù)矩陣為A,試問2取何值時，存在三階非零矩陣3,使得43=0。

/、/120、

(\2、

2.設(shè)A=,B=210,

121}

''I。0U

(1)求一正交相似變換矩陣P,使PTAP=A,其中A為對角矩陣；

⑵求B"。

3.設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為4=1,4=4=2,4=1對應(yīng)的特征向量為J1=

(1)求22=4=2對應(yīng)的特征向量；

(2)求矩陣A。

4.判斷下面向量組的線性相關(guān)性，求它的秩和一個極大無關(guān)組，并把其余向量用這個極大無關(guān)組線性表

zj\O

四、證明題

1.設(shè)A與B為〃階矩陣，網(wǎng)wO,那么AB與BA相似。

2.設(shè)A為正定矩陣，證明：|4+國＞1。

線性代數(shù)綜合練習(xí)題〔五〕參考答案

一、填空題

(100

2.(4—1)(4—1)(4—1)(4-1)

_1