2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題

2024年中考九年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí):平行四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題

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1.如圖1,在YABCD中，AB=5,BC=1O,sinZABC=-.點(diǎn)P是射線8C上一動(dòng)

點(diǎn)，作一的外接圓O.

圖1圖2

⑴若圓心。在邊上，如圖2,則此時(shí)8尸的長為；

(2)當(dāng)O與YABC。的某一邊所在的直線相切時(shí)，求此時(shí)3尸的長；

(3)隨著點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)，。與YABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)有哪些變化？直接寫出對應(yīng)的

3P長的值或取值范圍.

2.基礎(chǔ)運(yùn)用

(1)如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC和交于點(diǎn)。，點(diǎn)M是線段上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)。和點(diǎn)A重合.連接MB和將線段A?繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。恰好

落在邊5C上的點(diǎn)N處，點(diǎn)N不與點(diǎn)5重合.

圖1圖2

①求證：MB=MD-,

②求證：BN=y/2AM

創(chuàng)新探究

(2)如圖2,在菱形ABCD中，ZABC=6Q,對角線AC和5。交于點(diǎn)。，點(diǎn)M是線

段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)。和點(diǎn)A重合.連接MB和將線段MD繞點(diǎn)M旋

轉(zhuǎn)，點(diǎn)。恰好落在邊BC延長線上的點(diǎn)N處.求證：AM=CN.

3.如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線，AB=4,AD=8.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿

折線以每秒4個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，

沿線段54以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q兩

點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以"和AQ為鄰邊作平行四邊形AQMP.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒

備用圖

(1)用含f的代數(shù)式表示線段AQ的長為.

(2)tanZACB=.

⑶當(dāng)ACD與平行四邊形AQM尸重合部分是四邊形時(shí)，求f的取值范圍.

(4)當(dāng)直線AC將平行四邊形AQMP分成兩部分的面積比為1：2時(shí)，直接寫出，的值.

試卷第2頁，共10頁

4.如圖1,在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是邊8的中點(diǎn)，尸（與點(diǎn)8,C不重

合）是邊2C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,PE,延長PE交AD的延長線于點(diǎn)。.

（1）求證：^PCE^AQDE.

⑵當(dāng)AQDESAABP時(shí)，求解的長.

⑶如圖2,分別取B4,PE,AD的中點(diǎn)RG,"，連接FG,FH,GH,當(dāng)FGLFH時(shí),

圖2

5.在ASC中，AC=3C,/ACB=90。，點(diǎn)。是邊A3上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)A、B重

合），連接CD.

cCC

E

Q

DD

圖1圖2

M

(1)如圖1,若NACD=30o,3C=6,求CD的長;

(2)如圖2,將線段8繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CE位置，連接8E,過點(diǎn)C作班的垂線

交于點(diǎn)F，求證：AF=DF;

(3)如圖3,以8為直角頂點(diǎn)，在3。下方作直角點(diǎn)N為的中點(diǎn)，連接CN,

點(diǎn)。為CN的中點(diǎn)，連接。2,若BC=6,BM=2及,直接寫出的取值范圍.

6.如圖，已知矩形A3C。中，AB=a(a>l),8c=2,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

矩形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OE=1.

(1)當(dāng)OEL3C時(shí)，連接BE、CE,直接寫出NBEC的度數(shù)；

(2)當(dāng)°=石時(shí)，連接DE,若DELOE,求8E的長；

(3)當(dāng)。=2時(shí)，將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，得到線段。尸，點(diǎn)P是線段D尸的

中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在矩形ABCO內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

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7.如圖，YABCD中，AB=AC=6,2C=4,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)沿折線-3c以每秒2個(gè)單位長度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接0P,作點(diǎn)A關(guān)于直線。P的

對稱點(diǎn)A',連接24'、OA.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(l)YABCD的面積為；

(2)用含r的代數(shù)式表示線段的的長；

(3)當(dāng)OA'〃3c時(shí)，求，的值；

⑷當(dāng)點(diǎn)A在YABC。的內(nèi)部時(shí)，直接寫出f的取值范圍.

8.如圖，在A6C中，ABAC=90°,AB=AC,BC=8,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出

發(fā)，以每秒6個(gè)單位長度的速度沿邊42向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。、C不重合時(shí),

以尸Q、即為鄰邊作.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒(f>0).

(1)用含t的代數(shù)式表示線段PD的長；

⑵當(dāng)線段QE被邊AC平分時(shí)，求f的值；

(3)設(shè).PDEQ的面積為S,求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S=6時(shí)f的值.

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=4cm,點(diǎn)。是對角線AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸、。分別

從點(diǎn)A,8同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)尸以lcm/s的速度沿邊48向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以2cm/s的

速度沿折線3C-CD向終點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，連接尸。并延長交邊8于點(diǎn)連接。。并

延長交折線ZM-于點(diǎn)N,連接尸Q,QM,MN,NP,得到四邊形PQWN.設(shè)點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為％⑸(0<x<4),四邊形PQMN的面積為'(cm)

cm.(用含x的代數(shù)式表示)

(2)求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出自變量尤的取值范圍.

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10.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,BC=S,點(diǎn)/是BC的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),

沿AO以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)0從點(diǎn)。出發(fā)，沿DC以每

秒1.5個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PM、QM,以PM、加為鄰邊作平行四

邊形PMQN,過點(diǎn)N作AE垂直直線AD,垂足為點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(備用圖)

(DGC=.(用含/的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)平行四邊形尸MQN是矩形時(shí)，/的值為.

(3)在P、。的運(yùn)動(dòng)過程中線段PE始終與線段MC相等，請說明理由.

(4)當(dāng)平行四邊形PMQN被矩形ABCO某一邊所在直線分成兩部分的面積比為1:7時(shí)，直

接寫出f的值.

11.如圖所示，在直角梯形A8CD中，AD//BC,ZA=90°,AB=12,BC=2i,AD=16.動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)A

出發(fā)，在線段AD上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)端點(diǎn)。時(shí)，另

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒).

AQD

⑴設(shè)VDPQ的面積為s,求S與r之間的關(guān)系式；

(2)當(dāng),為何值時(shí)，以點(diǎn)尸,C2Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

(3)分別求出當(dāng)r為何值時(shí)，①PD=PQ；②DQ=PQ.

12.如圖，在RtaABC中，2B90?,ZC=30°,AB=3,點(diǎn)。是AC上的動(dòng)點(diǎn)，過

。作小_L8C于尸，再過歹作EE〃AC,交48于E.設(shè)CD=x,DF=y.

(1)求丁與x的函數(shù)關(guān)系式;

⑵當(dāng)四邊形AEED為菱形時(shí)，求x的值;

(3)當(dāng)△FED是直角三角形時(shí)，求x的值.

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13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OEFG的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(-34).

圖1

(1)求GB的長及F點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵將圖1正方形O跳G繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至圖2位置，使點(diǎn)￡在x軸負(fù)半軸上，以E尸為腰作

等腰一FE4,8為4E中點(diǎn)，AG與即交于C,。為OF中點(diǎn)，連8,求證：線段8的

長為定值;

(3)如圖3,正方形對角線OF上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,N滿足OG=6MN，點(diǎn)、P為OE中點(diǎn)、,

連GN,PM,當(dāng)GN+PM取得最小值時(shí)，求GN的長值.

3

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中直線與直線乙交于點(diǎn)火-2,3),直線4與x軸

交于點(diǎn)C(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,過80中點(diǎn)E作直線4軸.

(1)求直線4的解析式和相的值;

(2)點(diǎn)P在直線4上，當(dāng)S.c=6時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo);

(3)點(diǎn)P是直線《上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線4上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以P、。、B、C為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形時(shí)，寫出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)。的坐標(biāo)的其中一

種情況的過程.

15.如圖①，在平行四邊形ABC。中，AB=2AD=8,NA=60。，點(diǎn)E是邊A3的中點(diǎn),

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿折線AD-DC的路線向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

作點(diǎn)A關(guān)于直線PE的對稱點(diǎn)A,連結(jié)AT.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒

備用圖

(1)平行四邊形A3CD的面積是；

(2)用含f的式子表示線段PO的長；

(3)當(dāng)直線網(wǎng)與。C垂直時(shí)，求/的值；

(4)請直接寫出CA的最小值.

試卷第10頁，共10頁

參考答案:

1.(D3

(2)6或3+不

(3)當(dāng)0<3PV6時(shí)，O與YABCD有3個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)6<BP<16時(shí)，O與YABCD有4個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)BP=16時(shí)，。與YABCD有3個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)3尸>16時(shí)，。與YABCD有2個(gè)交點(diǎn).

3.(1)4-r

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(3)當(dāng)時(shí)，ACZ)與平行四邊形AQMP重合部分是四邊形

(例的值為1或冷12或?12或1/4

4.(1)4或2

⑶I410

⑶丁T

5.(1)6^-6

⑵亞WDQV2布

6.(1)90°

(2)1

⑶3

7.(1)1672

⑵當(dāng)0V/V3時(shí)，BP=6—2t；當(dāng)3</W5時(shí)，BP=2t-6

(3)當(dāng)。4'〃BC時(shí)，f的值為0.9或3.5

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(4)當(dāng):</<=或4</<4.5時(shí)，點(diǎn)A在YA3CD的