人教版九年級數(shù)學上冊第二十四章《圓》（單元教學設計）

生命不息，學習不止。知識無涯，進步無界!Shengmingbuxi,xuexibuzhizhishiwuya,jingbuwujie！第第頁第二十四章圓24．1圓的有關性質24．1.1圓教師備課素材示例●置疑導入(1)向學生展示我國女子鉛球運動員的照片及其比賽場景，提出問題：鉛球比賽投擲區(qū)是什么形狀的？(2)在新建成的操場上，你會利用標槍和繩子設計鉛球比賽場地投擲區(qū)嗎？【教學與建議】教學：講解用繩子畫圓的方法．建議：讓學生先在操場動手操作.●懸念激趣現(xiàn)實生活中，路上行駛的各種車輛都是圓形的輪子，為什么要把輪子做成圓形的？為什么不能做成三角形、四邊形或橢圓形呢？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))【備注】引導學生進行如下分析：如圖②，把車輪做成圓形，車輪上各點到車輪中心(圓心)的距離都等于車輪的半徑，當車輪在平面上滾動時，車輪中心與地面的距離保持不變，因此當車輛在平坦的路上行駛時，坐車的人會感覺到非常平穩(wěn)；如果做成其他圖形，比如正方形，因為正方形的中心(對角線的交點)距離地面的距離隨著正方形的滾動而改變，因此中心到地面的距離就不是固定不變的，因此坐車的人會感覺到不平穩(wěn)．【教學與建議】教學：由生活中車輪為什么做成圓形這一問題，得出圓的概念．建議：學生分組討論車輪為什么做成圓形．命題角度1圓的有關概念一般直接考查弦、直徑、弧、半圓、等弧等．【例1】(1)如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點P是OB上的任一點(不包括O，B兩點)，CD，EF是過點P的兩條弦，則圖中的弦有__AB，CD，EF__，以點B為端點的劣弧有__eq\x\to(BD)，eq\x\to(BC)，eq\x\to(BE)，eq\x\to(BF)__；(2)有下列說法：①半徑是弦；②半圓是弧，但弧不一定是半圓；③面積相等的兩個圓是等圓．其中正確的是__②③__．(填序號)命題角度2圓定義的應用證明幾個點在同一個圓上，即證明這幾個點到一個定點的距離相等．【例2】在△ABC中，∠C＝90°，求證：A，B，C三點在同一個圓上．證明：如圖，點O是AB邊的中點．∵在△ABC中，∠C＝90°，∴OC＝OA＝OB＝eq\f(1,2)AB，∴A，B，C三點在同一個圓上．命題角度3利用圓的特點進行計算和推理利用圓的半徑和直徑特點解決相關幾何問題．【例3】(1)如圖，已知∠AOB＝60°，AB＝1cm，則⊙O的直徑為__2__cm；eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，在以原點為圓心，2為半徑的⊙O上有一點C，∠COA＝45°，則點C的坐標為(C)A．(eq\r(2)，eq\r(2))B．(eq\r(2)，－eq\r(2))C．(－eq\r(2)，eq\r(2))D．(－eq\r(2)，－eq\r(2))高效課堂教學設計1．理解圓、弧、等弧、弦、等圓、半圓、直徑等有關概念．2．能初步應用“同圓的半徑相等”及“圓心是任一直徑的中點”進行簡單的證明和計算．▲重點圓、等圓、弧、等弧、弦、半圓、直徑等有關概念的理解．▲難點圓、等圓、弧、等弧、弦、半圓、直徑等有關概念的區(qū)別與聯(lián)系．◆活動1新課導入1．你能說出生活中的圓形實例嗎？(至少三個)答：生活中的圓形實例有：光盤、鐵餅、硬幣等．2．為什么人們把車輪做成圓的呢？答：圓有這樣一個特性：圓心到圓周上任意一點的距離都是相等的，這個相等的距離，叫做半徑．因此，人們把車輪做成圓形的，并使車軸通過圓心，當車輪在地面上滾動時，車軸離開地面的距離就總是等于車輪半徑那么長，這樣行駛起來才會平穩(wěn)．◆活動2探究新知1．教材P79～80例1以上內(nèi)容．提出問題：(1)圓是生活中常見的圖形，你還能說出其他除課本上以外的圓形實例嗎？(2)請同學們在草稿紙上畫圓，體驗圓的形成過程．大家畫的圓的位置和大小一樣嗎？圓的位置和大小分別由什么決定？(3)動手量一量，圓上任意一點到圓心的距離相等嗎？為什么？(4)反過來，平面內(nèi)到圓心的距離等于半徑長的點都在圓上嗎？學生完成并交流展示．2．教材P80例1以下內(nèi)容．◆活動3知識歸納1．在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓．固定的端點O叫做__圓心__，線段OA叫做__半徑__．2．以點O為圓心的圓，記作“__⊙O__”，讀作“__圓O__”．3．圓的新定義：圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形．4．與圓有關的概念：(1)連接圓上任意兩點的線段叫做__弦__，如圖，線段AC，AB；(2)經(jīng)過圓心的弦叫做__直徑__，如圖，線段AB；(3)圓上任意兩點間的部分叫做__圓弧__，簡稱__弧__，以A，B為端點的弧記作eq\x\to(AB)，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．大于半圓的弧(用三個點表示，如圖中的eq\x\to(ABC))叫做__優(yōu)弧__，小于半圓的弧(如圖中的eq\x\to(AC))叫做__劣弧__；(4)圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做__半圓__；5．能夠__重合__的兩個圓叫做等圓．容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等．在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做__等弧__．◆活動4例題與練習例1如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，則A，B，C，D四個點是否在同一個圓上？若在，說出圓心的位置，并畫出這個圓．解：A，B，C，D四個點在同一個圓上．連接BD，取BD的中點O，連接OA，OC.∵∠DAB＝∠DCB＝90°，∴OA＝OC＝eq\f(1,2)BD.即OA＝OB＝OC＝OD.∴A，B，C，D四個點在以BD的中點為圓心，BD長的一半為半徑的圓上．畫圖略．例2如圖，以點O為圓心的圓記作__⊙O__，圓中有__2__條直徑，記作__直徑AC、直徑BD__；圓中有__4__條弦，記作弦AB，AD，AC，BD；圓中劣弧有__4__條，記作__eq\x\to(AB)，eq\x\to(AD)，eq\x\to(DC)，eq\x\to(BC)__；圓中以點B為一個端點的優(yōu)弧有__2__條，記作__eq\x\to(BCA)，eq\x\to(BAC)__．例3如圖，在⊙O中，AB是直徑，C，D，E三點分別在⊙O上，則：(1)OC__＝__OD__＝__OE；(2)eq\x\to(AD)__<__eq\x\to(ACD)，eq\x\to(ACB)__＝__eq\x\to(ADB)；(3)弦CD所對的弧有__eq\x\to(DAC)，eq\x\to(DC)__．練習1．教材P81練習第1，2，3題．2．下列說法中，正確的是(C)A．同一條弦所對的兩條弧一定是等弧B．長度相等的兩條弧是等弧C．正多邊形一定是軸對稱圖形D．三角形的外心到三角形各邊的距離相等3．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點P是OB上的任一點(不包括O，B)，CD，EF是過點P的兩條弦，則圖中的弦有__AB，CD，EF__，以B為端點的劣弧有__eq\x\to(BD)，eq\x\to(BC)，eq\x\to(BE)，eq\x\to(BF)__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，CD是⊙O的直徑，E為⊙O上一點，∠EOD＝48°，A為DC延長線上一點，AE交⊙O于點B，且AB＝OC，則∠A的度數(shù)為__16°__．◆活動5課堂小結1．圓的定義及表示法．2．弦、弧、等圓、等弧的概念．3．圓的有關概念及運用．1．作業(yè)布置(1)教材P89習題24.1第1題；(2)對應課時練習．2．教學反思24.1.2垂直于弦的直徑教師備課素材示例●情景導入課件出示關于趙州橋的引例引例：你知道趙州橋嗎？它是我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，現(xiàn)在有個人想要知道它主橋拱的半徑是多少．同學們，你們能幫他求出來嗎？學完了本節(jié)課的內(nèi)容，我們一起來解決這個問題．【教學與建議】教學：通過趙州橋引例，導入圓的軸對稱性及垂徑定理．建議：學生提前收集有關圓的對稱圖形．●歸納導入(1)操作1：拿出準備的圓，沿著圓的直徑折疊圓，你有什么發(fā)現(xiàn)？【歸納】圓是__軸對稱__圖形，__任何一條直徑所在直線__都是圓的對稱軸．(2)操作2：將這個圓二等分、四等分、八等分．(3)操作3：按下面的步驟做一做：第一步，在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩部分重合；第二步，展開，得到一條折痕CD；第三步，在⊙O上任取一點A，過點A作折痕CD的垂線，沿垂線將紙片折疊；第四步，將紙打開，得到新的折痕，其中點M是兩條折痕的交點，即垂足，新的折痕與圓交于另一點B，如圖.在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的?。俊練w納】垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。窘虒W與建議】教學：通過對剪圓和折疊圓的操作，活躍課堂氣氛．建議：在學生操作、分析、歸納的基礎上，引導學生歸納垂直于弦的直徑的性質．命題角度1垂徑定理及推論的辨析根據(jù)圓的軸對稱性得到垂直于弦的直徑所具有的性質．【例1】(1)如圖，⊙O的弦AB垂直于半徑OC，垂足為D，則下列結論中錯誤的是(C)A．∠AOD＝∠BODB．AD＝BDC．OD＝DCD．eq\x\to(AC)＝eq\x\to(BC)(2)下列命題中錯誤的命題有__②③④__．(填序號)①弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；②平分弦的直徑垂直于弦；③梯形的對角線互相平分；④圓的對稱軸是直徑．命題角度2直接利用垂徑定理進行計算構造以半徑、弦長的一半、弦心距為三邊長的直角三角形，利用勾股定理求解．【例2】(1)如圖，⊙O的半徑OA＝4，以點A為圓心，OA為半徑的弧交⊙O于點B，C，則BC的長為(A)A．4eq\r(3)B．5eq\r(2)C．2eq\r(3)D．3eq\r(2)eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D(如圖)．若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，則AC的長是__8－2eq\r(7)__．命題角度3垂徑定理的實際應用圓弧形拱橋等問題，常通過作輔助線，使之符合垂徑定理的直角三角形，運用勾股定理求解．【例3】好山好水好紹興，石拱橋在紹興處處可見，小明要幫忙船夫計算一艘貨船是否能夠安全通過一座圓弧形的拱橋，現(xiàn)測得橋下水面AB寬度16m時，拱頂高出水平面4m，貨船寬12m，船艙頂部為矩形并高出水面3m.(1)請你幫助小明求此圓弧形拱橋的半徑；(2)小明在解決這個問題時遇到困難，請你判斷一下，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？說說你的理由．解：(1)連接OB.∵OC⊥AB，∴D為AB中點．∵AB＝16m，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝8m．又∵CD＝4m，設OB＝OC＝r，則OD＝(r－4)m.在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理，得r2＝(r－4)2＋82，解得r＝10.答：此圓弧形拱橋的半徑為10m；(2)連接ON.∵CD＝4m，船艙頂部為矩形并高出水面3m，∴CE＝4－3＝1(m)，∴OE＝r－CE＝10－1＝9(m).在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝102－92＝19，∴EN＝eq\r(19)(m)，∴MN＝2EN＝2eq\r(19)m＜12m，∴此貨船B不能順利通過這座拱橋．魔術蛋魔術蛋是九塊板，這九塊板合起來是一個橢圓，形如鳥蛋，用它可以拼出各種鳥形，因而又名“百鳥拼板”．要制作一個魔術蛋，先繪制一個橢圓形鳥蛋：上部為半圓，下部為橢圓．(1)作一個圓，圓心為O，并通過圓心，作直徑AB的垂線MN；(2)連接AN.并適當延長，再以A為圓心，AB的長為半徑作圓弧交AN的延長線于點C；(3)連接BN.并適當延長，再以B為圓心，BA的長為半徑作圓弧交BN的延長線于點D；(4)以N為圓心，NC為半徑，作圓弧CD，于是下部成為橢圓；(5)在OM上作線段MF等于NC，以F為圓心，MF為半徑作圓弧，交AB于點G，H，連接FG，F(xiàn)H，這樣魔術蛋便制好了．高效課堂教學設計1．探索并了解圓的對稱性和垂徑定理．2．能運用垂徑定理解決幾何證明、計算問題，并會解決一些實際問題．▲重點垂徑定理、推論及其應用．▲難點發(fā)現(xiàn)并證明垂徑定理．◆活動1新課導入1．請同學們把手中的圓對折，你會發(fā)現(xiàn)圓是一個什么樣的圖形？答：圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．2．請同學們再把手中的圓沿直徑向上折，折痕是圓的一條什么呢？通過觀察，你能發(fā)現(xiàn)直徑與這條折痕的關系嗎？答：折痕是圓的一條弦，直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。艋顒?探究新知1．教材P81探究．提出問題：(1)通過上面的折紙，圓是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？(2)“圓的任意一條直徑都是它的對稱軸”這種說法對嗎？若不對，應該怎樣說？學生完成并交流展示．2．教材P82例2以上內(nèi)容．提出問題：(1)證明了圓是軸對稱圖形后，觀察圖24.1－6，對應線段、對應弧之間有什么關系？由此可得到什么結論？(2)若把P81的條件“直徑CD⊥AA′于點M”改為“直徑CD平分弦AA′(不是直徑)于點M”，還能證明出圖形是軸對稱圖形嗎？此時對應線段、對應弧之間有什么關系？(3)當?shù)?2)問中的弦AA′為直徑時，相關結論還成立嗎？為什么？學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．圓是__軸__對稱圖形，任何一條__直徑所在的直線__都是它的對稱軸，它也是中心對稱圖形，對稱中心為__圓心__．2．垂直于弦的直徑__平分__弦，并且__平分__弦所對的兩條弧，即一條直線如果滿足：①__AB經(jīng)過圓心O且與圓交于A，B兩點__；②__AB⊥CD交CD于點E__；那么可以推出：③__CE＝DE__；④eq\x\to(CB)＝eq\x\to(DB)；⑤eq\x\to(CA)＝eq\x\to(DA).3.__平分弦(不是直徑)__的直徑垂直于弦，并且__平分__弦所對的兩條?。岢鰡栴}：“推論”里的被平分的弦為什么不能是直徑？學生完成并交流展示．◆活動4例題與練習例1教材P82例2.例2如圖，D，E分別為eq\x\to(AB)，eq\x\to(AC)的中點，DE交AB，AC于點M，N.求證：AM＝AN.證明：連接OD，OE分別交AB，AC于點F，G.∵D，E分別為eq\x\to(AB)，eq\x\to(AC)的中點，∴∠DFM＝∠EGN＝90°.∵OD＝OE，∴∠D＝∠E，∴∠DMB＝∠ENC.∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN.練習1．教材P83練習第1，2題．2．已知弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這個弓形所在的圓的半徑為__eq\f(13,4)__cm__．3．如圖，AB為⊙O的直徑，E是eq\x\to(BC)的中點，OE交BC于點D，BD＝3，AB＝10，則AC＝__8__．4．如圖，⊙O中弦CD交半徑OE于點A，交半徑OF于點B，若OA＝OB，求證：AC＝BD.證明：過點O作OG⊥CD于點G.∵OG過圓心，∴CG＝DG.∵OA＝OB.∴AG＝BG，∴CG－AG＝DG－BG，∴AC＝BD.◆活動5課堂小結垂徑定理及其推論，以及常用的輔助線(作垂徑)和解題思路(構造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形)．1．作業(yè)布置(1)教材P90習題24.1第8，11題；(2)對應課時練習．2．教學反思24.1.3弧、弦、圓心角教師備課素材示例●情景導入(1)觀察圖片，我們會發(fā)現(xiàn)圓繞著圓心旋轉任意一個角度，所得的圖形與原圖形重合．(2)如圖①，∠AOB的頂點在圓心上，我們把頂點在圓心的角叫做圓心角．(3)如圖②，連接AB，圓心角∠AOB所對的弦為弦AB，所對的弧為eq\x\to(AB)，那么圓心角與它所對的弧、弦這三個量之間有什么關系呢？【教學與建議】教學：通過實驗操作，探索圓的旋轉不變性與“如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧、弦是不是相等”，激發(fā)學生的學習興趣．建議：盡量讓學生自己動手操作，引導學生得出等量關系．●歸納導入(1)圓是中心對稱圖形嗎？它的對稱中心在哪里？【歸納】圓是中心對稱圖形，對稱中心是O點．(2)如圖，將圓心角∠AOB繞圓心O旋轉到∠A′OB′的位置，我們發(fā)現(xiàn)∠AOB__＝__∠A′OB′，弦AB__＝__A′B′，eq\x\to(AB)__＝__eq\x\to(A′B′).【教學與建議】教學：通過歸納中心對稱圖形的定義，引入圓這個中心對稱圖形和圓的旋轉性質，得出圓心角、弧、弦之間的關系．建議：讓學生操作試驗，得出圓心角、弧、弦的等量關系．命題角度1利用弧、弦、圓心角之間的關系進行計算在同圓或等圓中，兩個相等圓心角，它們所對的弧、弦、弦心距對應相等．【例1】(1)如圖，如果AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，那么下列結論中，錯誤的是(D)A．CE＝DEB．eq\x\to(BC)＝eq\x\to(BD)C．∠BAC＝∠BADD．AC＞ADeq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，已知AB和CD是⊙O的兩條等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為點M，N，BA，DC的延長線交于點P.連接OP.下列四個說法中：①eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)；②OM＝ON；③PB＝PD；④∠BPO＝∠DPO，其中正確的是__①②③④__．(填序號)命題角度2利用弧、弦、圓心角之間的關系進行證明在同圓或等圓中，利用弧、弦、圓心角之間的關系定理證明圓心角、弧、弦相等.【例2】(1)如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點，且BD∥OC.求證：eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD).證明：∵OB＝OD，∴∠D＝∠B.∵BD∥OC，∴∠D＝∠COD，∠AOC＝∠B，∴∠AOC＝∠COD，∴eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD).(2)如圖，C，D是以AB為直徑的⊙O上的兩點，且OD∥BC.求證：AD＝DC.證明：如圖，連接OC.∵OD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠3.又∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DC.高效課堂教學設計1．能識別圓心角．2．探索并掌握弧、弦、圓心角的關系，了解圓的中心對稱性和旋轉不變性．3．能用弧、弦、圓心角的關系解決圓中的計算題、證明題．▲重點探索圓心角、弧、弦之間的關系定理并利用其解決相關問題．▲難點圓心角、弧、弦之間關系定理中的“在同圓或等圓中”條件的理解及定理的證明．◆活動1新課導入1．你能舉出生活中的圓形商標的實例嗎？(至少三個)寶馬車商標：星巴克標志：曼秀雷敦標志：2．把這些圓形圖案繞圓心旋轉一定的角度，你有什么發(fā)現(xiàn)？旋轉前后圓中的弧、弦會有變化嗎？答：圖案繞圓心旋轉一定的角度后能與自身重合，旋轉前后圓中的弧、弦不會有變化．◆活動2探究新知1．材料P83探究．提出問題：(1)把圓繞圓心旋轉180°，所得圖形與原圖形重合嗎？由此你得到什么結論？(2)圓是中心對稱圖形嗎？對稱中心是什么？(3)把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得圖形與原圖形重合嗎？學生完成并交流展示．2．教材P84思考．提出問題：(1)我們把∠AOB連同eq\x\to(AB)繞圓心O旋轉，使OA與OA′重合，旋轉前后你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關系？(2)若∠AOB和∠A′OB′分別在兩個相等的圓中，上述等量關系還存在嗎？(3)總結你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；(4)反過來，在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角、所對的弦有什么關系？如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角、所對的弧有什么關系？◆活動3知識歸納1．頂點在__圓心__的角叫做圓心角，能夠重合的圓叫做__等圓__；能夠__重合__的弧叫做等?。粓A繞其圓心旋轉任意角度都能夠與原來的的圖形重合，這就是圓的__旋轉不變__性．2．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧__相等__，所對的弦也__相等__．3．在同圓或等圓中，兩個__圓心角__，兩條__弦__，兩條__弧__中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等．◆活動4例題與練習例1教材P84例3.例2下列說法正確嗎？為什么？(1)如圖，因為∠AOB＝∠A′OB′，所以eq\x\to(AB)＝eq\x\to(A′B′)；(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么eq\x\to(AB)＝eq\x\to(A′B′).解：(1)(2)都是不對的．在圖中，因為不在同圓或等圓中，不能用定理．對于(2)也缺少了等圓的條件．例3如圖，AD＝BC.求證：AB＝CD.證明：∵AD＝BC，∴eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BC).∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(AC)，∴eq\x\to(AC)＋eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC)＋eq\x\to(BC).∴eq\x\to(DC)＝eq\x\to(AB).∴AB＝CD.練習1．教材P85練習第1，2題．2．如圖，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分別為C，F(xiàn)，則下列說法中正確的有(D)①∠DOE＝∠AOB；②eq\x\to(AB)＝eq\x\to(DE)；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1個B．2個C．3個D．4個3．如圖，AB是⊙O的直徑，eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD)，∠COD＝60°.(1)△AOC是等邊三角形嗎？請說明理由；(2)求證：OC∥BD.解：(1)△AOC是等邊三角形．理由如下：∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD)，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形；(2)∵eq\x\to(AC)＝eq\x\to(CD)，∴OC⊥AD.∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB為等邊三角形．∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD.◆活動5課堂小結弧、弦、圓心角之間的關系是證明圓中等弧、等弦、等圓心角的常用方法．1．作業(yè)布置(1)教材P89習題24.1第2，3題；(2)對應課時練習．2．教學反思24.1.4圓周角第1課時圓周角定理及其推論教師備課素材示例●情景導入在如圖中，當球員在B，D，E處射門時，他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC.這三個角的大小有什么關系？【教學與建議】教學：通過學生感興趣的足球活動引入本課內(nèi)容，激起學生的學習興趣．建議：教師要關注學生是否理解示意圖，是否理解圓周角的定義．●復習導入(1)如圖①，∠AOB是圓心角，頂點在__圓心__的角叫做圓心角；(2)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角__相等__，所對的弦__相等__；(3)觀察圖②，發(fā)現(xiàn)∠ACB的頂點在圓周上，∠ACB是圓周角．eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖③))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖④))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖⑤))(4)觀察圖③④⑤，比較∠AOB與∠ACB的度數(shù)關系．【教學與建議】教學：通過復習圓心角的概念，導入圓周角的概念及圓周角定理．建議：在探索圓周角定理時，實踐操作畫出同弧上的圓周角和圓心角．命題角度1圓周角定理這類題利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，解決角的度數(shù)問題．【例1】(1)如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，點B是eq\x\to(AC)的中點，則∠D的度數(shù)是(D)A．70°B．55°C．35.5°D．35°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BDC＝40°，則∠BOC的度數(shù)為__80°__．命題角度2圓周角定理的推論1在進行角度轉換時，注意“同弧”“等弧”在角度轉換中的過渡作用．【例2】(1)如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于點C，點D是⊙O上一點，∠ADC＝28°，則∠BOC的度數(shù)為(C)A．28°B．42°C．56°D．62°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠BAC的平分線AM交BC于點D，交⊙O于點M.若∠BAC＝60°，∠ABC＝50°，則∠CBM＝__30°__，∠AMB＝__70°__．命題角度3圓周角定理的推論2這類題目一般情況下，直徑是尋找直角的重要條件．【例3】(1)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．若∠ACO＝32°，則∠B＝__58°__．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，△ABC的頂點都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，AD＝2，∠B＝∠DAC，則AC＝__eq\r(2)__．高效課堂教學設計1．學習圓周角、圓周角定理及推論．2．掌握圓周角與圓心角、直徑的關系，能用分類討論的思想證明圓周角定理．3．理解圓周角定理的推論，并運用推論進行有關的計算和證明．▲重點理解圓周角定理的推論，并運用推論進行有關的計算和證明．▲難點1．運用分類討論的數(shù)學思想證明圓周角定理．2．獨自探索并證明圓周角定理的推論并能應用該推論解決問題．◆活動1新課導入1．(1)圓心角指頂點在__圓心__的角；(2)如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦：①如果AB＝CD，那么__eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)__，__∠AOB＝∠COD__；②如果eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD__；③如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，__eq\x\to(AB)＝eq\x\to(CD)__．◆活動2探究新知1．將圓心角的頂點進行移動，如圖①.(1)當角的頂點在圓心時，我們知道這樣的角叫圓心角，如∠AOB.當角的頂點運動到圓周時，如∠ACB.∠ACB有什么特點？它與∠AOB有何異同？圖①圖②(2)觀察圖②，你能仿照圓心角的定義給這類角取一個名字并下個定義嗎？(3)比較概念：圓心角定義中為什么沒有提到“兩邊都與圓相交”呢？學生完成并交流展示．2．教材P85～86探究．提出問題：(1)經(jīng)過測量，圖24.1－11中的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB之間有什么關系？(2)任意作一個圓，任取一條弧，作出它所對的圓周角與圓心角，測量它們的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(3)一條弧所對的圓心角有幾個？所對的圓周角有幾個？(4)改變動點C在圓周上的位置，看看圓周角的度數(shù)有沒有變化？你發(fā)現(xiàn)了什么？(5)如果把上述發(fā)現(xiàn)的結論中的“同弧”改為“等弧”，結論還正確嗎？圖③圖④(6)如圖③，BC是⊙O的直徑．請問：BC所對的圓周角∠BAC是銳角、直角還是鈍角？(7)如圖④，若圓周角∠BAC＝90°，那么它所對的弦BC經(jīng)過圓心嗎？為什么？由此能得出什么結論？學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．頂點在__圓上__，并且兩邊都與圓__相交__的角叫做圓周角．2．在同圓或等圓中，__等弧__或__等弦__所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的__圓心角__的一半．3．在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也__相等__．4．半圓(或直徑)所對的圓周角是__直角__，90°的圓周角所對的弦是__直徑__．◆活動4例題與練習例1教材P87例4.例2如圖，△ABC的頂點都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，AD＝eq\r(2)，∠B＝∠DAC，則AC＝__1__．例3如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝10cm，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，求AC，BC的長．解：∵∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，∴∠ADC＝eq\f(1,2)∠ADE＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°.又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝5cm.∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－52)＝5eq\r(3)(cm).練習1．教材P88練習第1，3，4題．2．如圖，已知圓心角∠BOC＝100°，點A為優(yōu)弧eq\x\to(BC)上一點，則圓周角∠BAC的度數(shù)為__50°__．(第2題圖)(第3題圖)3．如圖，OA為⊙O的半徑，以OA為直徑的⊙C與⊙O的弦AB相交于點D.若OD＝5cm，則BE＝__10__cm__．◆活動5課堂小結圓周角的定義、定理及推論．1．作業(yè)布置(1)教材P89習題24.1第5，6，14題；(2)對應課時練習．2．教學反思第2課時圓內(nèi)接四邊形教師備課素材示例●情景導入如圖，在這個圓形人工湖邊上造4個休息亭(即A，B，C，D)，用儀器測得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另兩個角∠C和∠D的度數(shù)嗎？需要哪些數(shù)據(jù)可以求該圓形人工湖的直徑？【教學與建議】教學：通過導入人工湖建休息亭建立圓內(nèi)接四邊形數(shù)學模型，激發(fā)學生學習興趣．建議：從圓內(nèi)接四邊形的定義出發(fā)，引導學生發(fā)現(xiàn)四邊形的四個內(nèi)角都是圓周角．●置疑導入(1)什么是圓心角、圓周角？(2)同弧所對的圓周角和圓心角有什么關系？(3)圓周角定理的推論是什么？(4)如圖，eq\x\to(AD)所對的圓心角是__∠AOD__，所對的圓周角有__∠ABD，∠ACD__，∠ABD__＝__∠ACD，它們都等于∠AOD度數(shù)的__一半__．【教學與建議】教學：置疑圓心角、圓周角相關問題導入課題．建議：學生回答問題后相互點評．命題角度利用圓內(nèi)接四邊形的性質計算或證明利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補探索角相等或互補關系．【例】(1)若ABCD為圓內(nèi)接四邊形，則下列選項可能成立的是(B)A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶3∶2(2)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A＝115°，則∠BOD等于__130°__．(3)如圖，△ABC的外角平分線AD交外接圓于D.求證：DB＝DC.證明：∵AD是∠EAC的平分線，∴∠DAC＝∠DAE.∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD＝180°，∴∠DCB＝∠DAE.∵圓周角∠DBC和∠DAC所對的弧都是eq\x\to(CD)，∴∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.高效課堂教學設計1．掌握圓內(nèi)接多邊形、多邊形的外接圓的概念．2．理解圓內(nèi)接四邊形的性質．3．通過探究討論，培養(yǎng)學生的推理能力．▲重點圓內(nèi)接四邊形性質的探究及運用．▲難點圓內(nèi)接四邊形性質的靈活運用以及幾何圖形中輔助線的添加．◆活動1新課導入1．圓周角定理及其推論．2．如圖，點A，B，C在⊙O上，連接OA，OB.若∠ABO＝25°，則∠C＝__65°__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，點A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，則∠CAO＝__30°__．◆活動2探究新知1．教材P87思考．提出問題：(1)圖24.1－17中，∠A是圓周角嗎？∠ABC，∠C，∠ADC呢？(2)∠A與∠C，∠ABC與∠ADC之間有什么關系？用圓周角定理嘗試證明；(3)由此你能得出圓內(nèi)接四邊形的什么結論？學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做__圓內(nèi)接多邊形__，這個圓叫做這個多邊形的__外接圓__．2．圓內(nèi)接四邊形的對角__互補__．◆活動4例題與練習例1在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比是3∶2∶7，求四邊形各內(nèi)角的度數(shù)．解：設∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為3x，2x，7x.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°，∴x＝18°，∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－36°＝144°.例2如圖，已知A，B，C，D四點共圓，且AC＝BC.求證：DC平分∠BDE.解：∵A，B，C，D四點共圓，∴∠CDA＋∠ABC＝180°，又∵∠3＋∠CDA＝180°，∴∠3＝∠ABC.又∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，即DC平分∠BDE.練習1．教材P88練習第2，5題．2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC等于(C)A．45°B．50°C．60°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))3．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，如果它的一個外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度數(shù)為__128°__．4．如圖，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度數(shù)．解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°－∠C＝50°.◆活動5課堂小結圓內(nèi)接四邊形的對角互補．1．作業(yè)布置(1)教材P90習題24.1第7題；(2)對應課時練習．2．教學反思24.2點和圓、直線和圓的位置關系24．2.1點和圓的位置關系教師備課素材示例●懸念激趣我國射擊運動員在奧運會上屢獲金牌，為祖國贏得榮譽．如圖是射擊靶的示意圖，它是由許多同心圓(圓心相同、半徑不等的圓)構成的，你知道擊中靶上不同位置的成績是怎樣計算的嗎？(1)要解決上面的問題需要研究點和圓的位置關系．(2)點和圓有三種位置關系：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外．(3)射擊成績用彈著點位置對應的環(huán)數(shù)表示．彈著點與靶心的距離決定了它在哪個圓內(nèi)．【教學與建議】教學：創(chuàng)設懸念使學生對射擊比賽規(guī)則及我國射擊運動員所取得的成就有所了解，增強民族自豪感．建議：探索點和圓的位置關系時，可通過畫圖來分析．●歸納導入(1)如圖，足球運動員踢出的球在球場上滾動，在其穿越中間圓形區(qū)域的過程中，足球與這個圓有怎樣的位置關系？(2)將足球看成一個點，這個點和圓具有怎樣的位置關系？(3)在同一平面內(nèi)，點和圓有幾種位置關系？eq\o(\s\up7(),\s\do5(點P在⊙O內(nèi)))eq\o(\s\up7(),\s\do5(點P在⊙O上))eq\o(\s\up7(),\s\do5(點P在⊙O外))【歸納】設⊙O的半徑為r，OP＝d，點和圓的位置關系是：點P在圓內(nèi)?__d＜r__；點P在圓上?__d＝r__；點P在圓外?__d＞r__．【教學與建議】教學：通過踢足球的情景引入，激發(fā)學生的學習興趣．建議：教師引導學生觀察圖形，然后小組內(nèi)討論、歸納出判斷點和圓的位置關系的方法．命題角度1判斷點和圓的位置關系在判斷點和圓的位置關系時，只需比較點到圓心的距離d與半徑r的大小即可．【例1】(1)已知⊙O的半徑為6cm，若OP＝5cm，則點P與⊙O的位置關系是(C)A．點P在⊙O外B．點P在⊙O上C．點P在⊙O內(nèi)D．不能確定(2)若⊙A的半徑為5，圓心A的坐標為(3，4)，點P的坐標為(5，8)，則點P的位置為(A)A．在⊙A內(nèi)B．在⊙A上C．在⊙A外D．不確定命題角度2點和圓的位置關系的逆向應用根據(jù)點和圓的位置關系，求半徑的取值范圍．【例2】(1)一點和⊙O上的最近點距離為4cm，最遠點距離為9cm，則這個圓的半徑是__6.5__cm或2.5__cm__．(2)已知矩形ABCD的邊AB＝6cm，AD＝8cm，以點A為圓心作⊙A，使B，C，D三點至少有一個在圓內(nèi)，且至少有一個在圓外，求⊙A的半徑r的取值范圍．解：由題意，得AC＝eq\r(62＋82)＝10(cm)，∴6cm<r<10cm.命題角度3不在同一直線上的三個點確定一個圓題型主要有兩種，一是已知不在同一直線上的三點繪制一個圓；二是已知三角形求它的外接圓半徑．【例3】小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了(如圖)，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是(A)A．①B．②C．③D．④命題角度4三角形的外接圓與外心根據(jù)三角形外接圓的定義確定三角形的外心，利用外心是三角形三邊垂直平分線的交點解決線段、角度相等問題．【例4】(1)如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A，B，C三點均在格點上，那么△ABC的外接圓圓心是(C)A．點EB．點FC．點GD．點H(2)如圖，⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點C作CD⊥AB于點D.若CD＝3，AC＝6，則BC的長為__5__．命題角度5反證法這類題目一般只考查假設的第一步．反證法證明一般有三個步驟：(1)假設命題的結論不成立；(2)推理得出矛盾；(3)肯定原命題的結論成立．【例5】用反證法證明時，假設結論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關系只能是__點在圓上或圓內(nèi)__．歐幾里得喜愛的證法英國著名的數(shù)學家哈代說過：“歐幾里得所喜愛的間接法(反證法)是數(shù)學最好的武器之一，它比象棋中任何的‘丟卒保車’走法都高明．因為一個棋手提供犧牲的只是一兵一卒，而一個數(shù)學家提供的是整個求證的目標．”反證法是一種間接證法，它可以分為兩種：如果所要證明的結論，它的反面只有一種情況就叫歸謬法；如果結論的反面有兩種以上情況就叫窮舉法．高效課堂教學設計1．弄清點和圓的三種位置關系及數(shù)量間的關系．2．探究過點畫圓的過程，掌握過不在同一條直線上三點畫圓的方法．3．了解運用反證法證明命題的思想方法．▲重點過不在同一條直線上的三點作圓．▲難點探究過三點作圓的過程，明白過同一條直線上的三點不能作圓的道理．◆活動1新課導入1．圓的大小由__半徑__確定；位置由__圓心__確定．2．線段垂直平分線上的點到線段兩個__端點__的距離__相等__．3．到線段兩端點的距離相等的點在線段的__垂直平分線__上．◆活動2探究新知1．教材P92問題．提出問題：(1)請測量圖24.2－2中OA，OB，OC的長度，并比較它們的大??；(2)如何判斷點與圓的位置關系，需要比較什么？學生完成并交流展示．2．教材P93探究、思考．提出問題：(1)作圓，使圓經(jīng)過兩個已知點A，B，你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？其圓心的分布有什么特點？與線段AB有什么關系？為什么？(2)作圓，使該圓經(jīng)過三個已知點A，B，C(其中A，B，C三點不在同一條直線上)，你是如何作的？你能作出幾個這樣的圓？(3)探究銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的外心的位置．學生完成并交流展示．3．教材P94思考及以下內(nèi)容．提出問題：(1)經(jīng)過不在同一條直線上的三點A，B，C作⊙O，圓心O如何確定？請作出該圓；(2)請用反證法證明：經(jīng)過不在同一條直線上的三點能作出一個圓；(3)總結用反證法證明的步驟．學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外?__d>r__；點P在圓上?__d＝r__；點P在圓內(nèi)?__d<r__．2．經(jīng)過已知點A可以作__無數(shù)__個圓，經(jīng)過兩個已知點A，B可以作__無數(shù)__個圓，它們的圓心在__線段__AB的垂直平分線__上；經(jīng)過不在同一條直線上的A，B，C三點可以作__一__個圓．3．經(jīng)過三角形的__三個頂點__的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的__垂直平分線__的交點，叫做這個三角形的外心．銳角三角形的外心在三角形__內(nèi)部__；直角三角形的外心在三角形__斜邊的中點__；鈍角三角形的外心在三角形__外部__；任意三角形的外接圓有__一__個，而一個圓的內(nèi)接三角形有__無數(shù)__個．4．用反證法證明命題的一般步驟：①假設命題的結論不成立；②從這個假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾；③由矛盾判定所作假設不正確，從而得到原命題成立．◆活動4例題與練習例1如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝13，CD⊥AB于點D，以點C為圓心，5為半徑作⊙C，試判斷A，D，B三點與⊙C的位置關系．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(132－122)＝5，∴點B在⊙C上．∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12×5,13)＝eq\f(60,13)<5，∴點D在⊙C內(nèi)．又∵AC＝12>5，∴點A在⊙C外．例2如圖所示的是殘缺的破圓形輪片，如何找此殘片所在的圓的圓心．(不寫作法，保留作圖痕跡)解：在弧上任意找兩條弦，分別作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即是圓心．圖略．例3用反證法證明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角，則其中至少有一個角不大于60°.證明：假設∠A，∠B，∠C都大于60°.則有∠A＋∠B＋∠C>180°，這與三角形的內(nèi)角和等于180°相矛盾．因此假設不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一個角不大于60°.練習1．教材P95練習第1，2，3題．2．在直角坐標系中，”A，⊙B的位置如圖所示．下列四個點中，在⊙A外部且在⊙B內(nèi)部的是(C)A．(1，2)B．(2，1)C．(2，－1)D．(3，1)3．在平面直角坐標系中，⊙A的半徑是4，圓心A的坐標是(2，0)，則點P(－2，1)與⊙A的位置關系是__點P在⊙A外部__．◆活動5課堂小結1．點與圓的三種位置關系．2．三角形外接圓及三角形的外心的概念．1．作業(yè)布置(1)教材P101習題24.2第1題；(2)對應課時練習．2．教學反思24.2.2直線和圓的位置關系第1課時直線和圓的位置關系教師備課素材示例●情景導入請同學們在紙上畫一條直線l，把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動硬幣，觀察直線和圓的公共點個數(shù)的變化情況．你能看出公共點最少有幾個，最多有幾個嗎？【教學與建議】教學：通過實踐操作，建立幾何模型．建議：分小組操作實踐，引導學生觀察、思考直線和圓的位置關系可以分為哪幾類．●類比導入(1)復習點和圓的位置關系．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，如圖：點P在⊙O外?d__>__r，如圖(a)所示；點P在⊙O上?d__＝__r，如圖(b)所示；點P在⊙O內(nèi)?d__<__r，如圖(c)所示．(2)如圖，把硬幣看作一個圓，由此你能歸納出直線和圓的位置關系嗎？【歸納】如圖(a)，直線l和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓__相交__，這條直線叫做圓的__割線__；如圖(b)，直線和圓只有一個__公共點__，這時我們說這條直線和圓__相切__，這條直線叫做圓的__切線__，這個點叫做__切點__；如圖(c)，直線和圓沒有__公共點__，這時我們說這條直線和圓__相離__.【教學與建議】教學：通過對點和圓的位置關系的回顧，類比發(fā)現(xiàn)直線和圓的位置關系．建議：由上節(jié)課點和圓的位置關系導入直線和圓的位置關系的三個對應等價關系．命題角度1判斷直線和圓的位置關系判斷直線和圓的位置關系有兩種方法：(1)直接根據(jù)定義，確定直線和圓的交點數(shù)；(2)判斷直線與圓心的距離d與半徑r的大小關系．【例1】(1)已知⊙O的半徑為5，圓心O到直線l的距離為3eq\r(2)，則直線l與⊙O的位置關系為(A)A．相交B．相切C．相離D．無法確定(2)⊙O的半徑為5，點A在直線l上，若OA＝5，則直線l與⊙O的位置關系是__相切或相交__．命題角度2直線和圓的位置關系的逆向應用這類題目常結合具體幾何圖形或在平面直角坐標系中綜合考查．【例2】(1)以點P(1，2)為圓心，r為半徑畫圓，與坐標軸有四個交點，則r的取值范圍是__r＞2且r≠eq\r(5)__．(2)如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑為1，直線l的解析式為y＝x＋t.若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是__t＝eq\r(2)或－1≤t＜1__．數(shù)學中的“界”唐朝詩人王維的詩句“大漠孤煙直，長河落日圓”，向我們形象地展示了直線和圓的三種位置關系——相離、相切、相交．如果我們從時間的維度來看三種位置關系的話，在日落過程中，相切可以說是轉瞬即逝，這是相離和相交的分界點，由此你聯(lián)想到了哪些數(shù)學知識呢？數(shù)字中的“0”也有著類似的地位，它是正數(shù)和負數(shù)的分界點；數(shù)軸上的原點，它是正、負半軸的分界；平面直角坐標系中的坐標軸是各個象限之間的分界等等．它們都具有“界”的特性，是數(shù)學研究的重要內(nèi)容．高效課堂教學設計1．通過操作、觀察，理解直線和圓有三種位置關系．2．根據(jù)圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關系判定直線和圓的位置關系．3．經(jīng)歷探索直線和圓的位置關系的判定和專題訓練，體驗從運動觀點以及量變到質變的過程理解直線和圓三種位置關系．▲重點直線和圓的位置關系的判定．▲難點直線和圓的位置關系的判定．◆活動1新課導入動手操作：用圓規(guī)在紙上畫一個圓，然后將一個三角板的一條邊沿某一直線方向由遠到近逐漸向這個圓靠近，直至三角板完全遠離這個圓，在此過程中，你發(fā)現(xiàn)這條邊與圓的公共點的個數(shù)有3種情況，分別是__0__個公共點，__1__個公共點，__2__個公共點．◆活動2探究新知1．教材P95思考．提出問題：(1)直線和圓的公共點個數(shù)最少時有幾個？最多時有幾個？(2)根據(jù)上面你觀察發(fā)現(xiàn)的結果，你認為直線與圓的位置關系可以分為幾類？你分類的依據(jù)是什么？分別把它們的圖形在草稿紙上畫出來；(3)在剛才的過程中，除了公共點的個數(shù)發(fā)生了變化外，還發(fā)現(xiàn)有什么量也在改變？它與圓的半徑有什么樣的數(shù)量關系？(4)怎樣用d(圓心與直線的距離)來判定直線與圓的位置關系呢？學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．直線和圓有__兩__個公共點時，該直線和圓相交，直線叫做圓的__割線__．2．直線和圓有__一__個公共點時，該直線和圓相切，直線叫做圓的__切線__，這個點叫做__切點__．3．直線和圓有__零__個公共點時，直線和圓相離．4．設⊙O的半徑為r，直線l到圓心O的距離為d，則有：直線l和⊙O相交?__d<r__；直線l和⊙O相切?__d＝r__；直線l和⊙O相離?__d＞r__．◆活動4例題與練習例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4cm，BC＝2cm，以點C為圓心，r為半徑的圓與AB有何種位置關系？請你寫出判斷過程．(1)r＝1.5cm;(2)r＝eq\r(3)cm;(3)r＝2cm.解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D.∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴AC＝2eq\r(3)cm.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)BC·AC，∴CD＝eq\f(BC·AC,AB)＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3)(cm).(1)r＝1.5cm時，相離；(2)r＝eq\r(3)cm時，相切；(3)r＝2cm時，相交．例2如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半徑為2.當x在什么范圍內(nèi)取值時，AB所在的直線與⊙O相交、相切、相離？解：過點O作OD⊥AB于點D.∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°，∴OD＝eq\f(1,2)BO＝eq\f(1,2)x.當AB所在的直線與⊙O相切時，OD＝r＝2.∴BO＝4.∴0<x<4時，相交；x＝4時，相切；x>4時，相離．練習1．教材P96練習．2．已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線l的距離為d，若直線l與⊙O相切，則以d，r為根的一元二次方程可能為(D)A．x2－4x＝0B．x2＋6x＋9＝0C．x2－3x＋2＝0D．x2－4x＋4＝03．如圖，在直角坐標系中，⊙O的半徑為1，則直線y＝－x＋eq\r(2)與⊙O的位置關系是__相切__．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在射線OA上，且與點O的距離為6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移動，則經(jīng)過__4或8__s后，⊙P與直線CD相切．◆活動5課堂小結1．直線與圓的三種位置關系．2．根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系，判斷出直線與圓的位置關系．1．作業(yè)布置(1)教材P101習題24.2第2題；(2)對應課時練習．2．教學反思第2課時切線的判定與性質教師備課素材示例●置疑導入(1)用一根細線系一個小球，當你快速轉動細線時，小球運動形成一個圓，突然，這個小球脫落，沿著圓的邊緣飛出去，你知道小球順著什么方向飛出去了嗎？(2)如圖①，下雨天，快速轉動雨傘時，雨傘上的水珠是順著什么方向飛出去的？(3)觀察圖②，過⊙O上一點A作直線l，則直線l與⊙O有哪幾種位置關系？(4)觀察圖③，當所作直線l與OA垂直時，直線l與⊙O有怎樣的位置關系？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖③))【教學與建議】教學：通過常見實際問題引入直線和圓相切，并通過作圖來觀察、探究切線．建議：在探究切線的判定方法時，講解“經(jīng)過半徑的外端”“垂直于這條半徑”這兩個條件缺一不可．●復習導入(1)填寫直線和圓的位置關系表：直線和圓的位置關系相交相切相離公共點的個數(shù)__2____1____0__公共點名稱__交點____切點__直線名稱__割線____切線__圓心到直線的距離d與r的關系__d<r____d＝r____d>r__(2)畫出⊙O，在圓周上找一點A，經(jīng)過半徑OA的外端點A作直線l⊥OA，則圓心O到直線l的距離是多少？直線l和⊙O有什么位置關系？(3)如果直線l是⊙O的切線，切點為A，那么半徑OA與直線l是不是一定垂直呢？【教學與建議】教學：通過對直線和圓的位置關系的回顧，探究問題，得出切線的判定定理和性質定理．建議：讓學生通過畫圖體會定理的正確性．命題角度1切線的判定證明直線與圓相切有如下三種途徑：(1)定義法；(2)證明d＝r；(3)判定定理．【例1】(1)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O為圓心，OC為半徑作⊙O.求證：AB是⊙O的切線．證明：過點O作OF⊥AB于點F.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切線．(2)如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝AC，BC與⊙O交于點D，且DE⊥AC.求證：DE是⊙O的切線．證明：連接AD，DO.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．命題角度2切線的綜合運用已知直線是圓的切線時，通常需要連接圓心和切點，構造出直角三角形．【例2】(1)如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，過點P作⊙O的切線PC，切點為C.連接BC，若⊙O的半徑為6，PC＝BC，則線段PC的長為(C)A．3eq\r(3)B．6C．6eq\r(3)D．12(2)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，點O在AB上，OB＝2，以OB為半徑的⊙O與AC相切于點D，交BC于點E，求弦BE的長．解：連接OD.∵⊙O與AC相切于點D，∴OD⊥AC，∴∠ODC＝90°.作OF⊥BE于點F，∴∠OFC＝90°，BE＝2BF.∵∠C＝90°，∴∠ODC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四邊形ODCF是矩形，∴FC＝OD＝OB＝2，∴BF＝BC－FC＝3－2＝1，∴BE＝2BF＝2.高效課堂教學設計1．掌握切線的判定定理，能判定一條直線是否為圓的切線．2．掌握切線的性質定理．3．能綜合運用圓的切線的判定和性質解決問題．▲重點探索圓的切線的判定和性質，并能運用．▲難點探索圓的切線的判定方法．◆活動1新課導入在上面三個圖中，直線l和圓的三種位置關系分別是__相交__、__相切__、__相離__．◆活動2探究新知1．教材P97第1個思考．提出問題：(1)已知一個圓和圓上的一點，如何過這個點畫出圓的切線？能畫幾條？(2)觀察下面兩個圖形，直線l是圓的切線嗎？判定直線是圓的切線的兩個關鍵點是什么？(3)請總結一下判定切線共有哪幾種方法？學生完成并交流展示．2．教材P97第2個思考．提出問題：(1)嘗試用反證法證明你的結論；(2)用簡潔的語言總結出你剛剛得到的結論．學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的__外端__并且__垂直于__這條半徑的直線是圓的切線．2．切線的性質：①切線和圓只有__一個__公共點；②切線到圓心的距離等于__半徑__；③圓的切線__垂直于__過切點的半徑．3．當已知一條直線是某圓的切線時，切點的位置是確定的，輔助線常是連接__圓心__和__切點__，得到半徑，那么半徑__垂直于__切線．◆活動4例題與練習例1教材P98例1.例2如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C.求證：直線PB與⊙O相切．證明：過點O作OD⊥PB于點D，連接OC.∵⊙O與PA相切于點C，∴OC⊥PA.又∵點O在∠APB的平分線上，∴OC＝OD，∴直線PB與⊙O相切．例3如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D.求證：AC平分∠DAB.證明：連接OC.∵⊙O和直線CD相切，∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴AD∥OC.∴∠ACO＝∠CAD.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠CAO.∴AC平分∠DAB.練習1．教材P98練習第1，2題．2．在正方形ABCD中，點P是對角線AC上的任意一點(不包含端點)，以P為圓心的圓與AB相切，則AD與⊙P的位置關系是(B)A．相離B．相切C．相交D．不能確定3．如圖，A，B是⊙O上的兩點，AC是過點A的一條直線．如果∠AOB＝120°，那么當∠CAB的度數(shù)等于__60°__時，AC才能成為⊙O的切線．eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在AB的延長線上，DC切⊙O于點C.若∠A＝25°，則∠D＝__40°__．◆活動5課堂小結1．用圓的切線時，常常連接圓心和切點得切線垂直于半徑．2．“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”——判定直線與圓相切．(1)當直線與圓有公共點時，只需“連半徑、證垂直”即可；(2)當已知條件中沒有指出圓與直線有公共點時，常運用“d＝r”進行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑．1．作業(yè)布置(1)教材P101習題24.2第3，4，5題；(2)對應課時練習．2．教學反思第3課時切線長定理和三角形的內(nèi)切圓教師備課素材示例●情景導入同學們玩過悠悠球(如圖①)嗎？大家在玩悠悠球時是否想到過它在轉動過程中還包含著數(shù)學知識呢？圖②是悠悠球在轉動的一瞬間的剖面示意圖，從中你能抽象出什么樣的數(shù)學圖形？這些圖形的位置關系是怎樣的？eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖①))eq\o(\s\up7(),\s\do5(圖②))【教學與建議】教學：通過悠悠球抽象出幾何模型，并進一步導入切線長及切線長定理．建議：教師在課前準備一個悠悠球，在課堂上直接展示．●歸納導入[操作]第一步：在透明紙上畫出⊙O，并畫出過⊙O上點A的切線PA，連接PO.第二步：沿著直線PO將紙對折，并用筆標出與點A重合的點，記為點B(如圖)．問題：(1)PB是⊙O的切線嗎？(2)判斷圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系．發(fā)現(xiàn)：PA＝PB，∠APO＝∠BPO.【歸納】從圓外一點可以引圓的__兩條__切線，它們的切線長__相等__，這一點和圓心的連線__平分__兩條切線的夾角．【教學與建議】教學：通過實際動手操作，學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學條件，進而解決問題．建議：學生操作并思考回答問題，發(fā)揮學生學習的主動性．命題角度1切線長定理的運用在運用切線長定理解決實際問題時，往往需要構建如圖所示的基本圖形．【例1】(1)如圖，PA，PB分別是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，若∠BAC＝35°，則∠P的度數(shù)為(D)A．35°B．45°C．60°D．70°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為__44__．命題角度2三角形內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓常與切線長定理結合使用，注意內(nèi)心與外心、重心的區(qū)別．【例2】(1)如圖，在△ABC中，∠A＝60°，點I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC的度數(shù)為(C)A．112°B．110°C．120°D．130°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝__1__．三角形的“心”我們經(jīng)常說要做個“有心”的人，在多邊形的世界里，三角形就是一個非常“有心”的圖形．三角形共有五種“心”．(1)重心：三條中線的交點；(2)外心：三邊中垂線的交點，是三角形外接圓圓心的簡稱；(3)內(nèi)心：三條角平分線的交點，是三角形內(nèi)切圓圓心的簡稱；(4)垂心：三條高的交點，垂心的位置隨三角形類型的不同而發(fā)生變化；(5)旁心：三角形旁切圓圓心的簡稱，它是三角形一個內(nèi)角的平分線和其他兩個內(nèi)角的外角平分線的交點，顯然，任何三角形都有三個旁切圓，三個旁心．當且僅當三角形為正三角形時，“重心、外心、內(nèi)心、垂心”四心合一，稱為正三角形的中心．高效課堂教學設計1．通過動手操作、度量、猜想、驗證，理解切線長的概念，掌握切線長定理；知道三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念．2．通過對例題的學習，養(yǎng)成分析問題、總結問題的習慣，提高綜合運用知識和解決問題的能力，掌握數(shù)形結合的思想．▲重點切線長定理及其應用，三角形的內(nèi)切圓和三角形內(nèi)心的概念．▲難點與切線長定理有關的證明和計算問題；三角形內(nèi)切圓的計算問題.◆活動1新課導入1．直線和圓有哪幾種位置關系？怎樣判斷它們的位置關系？答：三種，d>r，相離；d＝r，相切；d<r，相交．2．你覺得這幾種位置關系哪種最特殊？為什么？答：相切，略．◆活動2探究新知1．教材P99探究．(1)判斷△PBO與△PAO的形狀，并說明理由；(2)求證：△PAO≌△PBO；(3)由△PAO≌△PBO，可以得出哪些結論？學生完成并交流展示．2．教材P99思考．提出問題：(1)三角形內(nèi)切圓的圓心具有什么性質？(2)如何確定三角形內(nèi)切圓的圓心？請畫出△ABC的內(nèi)切圓．學生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和__切點__之間的線段長叫做切線長．2．從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長__相等__，這一點和圓心的連線平分__兩條切線__的夾角，這就是切線長定理．3．與三角形各邊都__相切__的圓叫做三角形的內(nèi)切圓．4．三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形__三條角平分線__的交點，叫做三角形的__內(nèi)心__，它到三邊的距離__相等__．◆活動4例題與練習例1教材P100例2.例2為了測量一個圓形鐵環(huán)的半徑，某同學采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，按如圖所示的方法得到相關數(shù)據(jù)，進而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得PA＝5cm，求鐵環(huán)的半徑．解：設圓心為O，連接OA，OP.∵三角板有一個銳角為30°，∴∠PAO＝60°.又∵PA與⊙O相切，∴∠OPA＝90°，∴∠POA＝30°.∵PA＝5cm，∴OP＝5eq\r(3)cm.即鐵環(huán)的半徑為5eq\r(3)cm.例3如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，BC為⊙O的直徑．(1)求證：AC∥OP；(2)若∠APB＝60°，BC＝8cm，求AC的長．解：(1)連接OA.∵PA，PB分別切⊙O于點A，B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∠APO＝∠BPO，∴∠POA＝∠POB.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠BOA＝∠OAC＋∠OCA，∴∠BOA＝2∠OCA，∴∠POB＝∠OCA，∴AC∥OP；(2)連接AB.易證△PAB為等邊三角形，∴∠PBA＝60°.由(1)，得∠PBO＝90°，∴∠ABO＝30°.∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°.∵BC＝8cm，∴AC＝4cm.練習1．教材P100練習第1，2題．2．如圖，過⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點分別是A，B，OP交⊙O于點C，點D是優(yōu)弧eq\x\to(ABC)上不與點A、點C重合的一個動點，連接AD，CD.若∠APB＝80°，則∠ADC的度數(shù)是(C)A．15°B．20°C．25°D．30°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第2題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))3．如圖，點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC＝80°，則∠BOC等于(A)A．130°B．120°C．100°D．90°4．如圖，⊙O切△ABC的邊BC于點D，切AB，AC的延長線于點E，F(xiàn)，若△ABC的周長為20，則AE＝__10__．◆活動5課堂小結切線長定理，三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心，直角三角形內(nèi)切圓半徑公式．1．作業(yè)布置(1)教材P101～102習題24.2第6，11，14題；(2)對應課時練習．2．教學反思24.3正多邊形和圓教師備課素材示例●情景導入(1)我國古代數(shù)學家劉徽，在公元三世紀用“割圓術”求得π的近似值為eq\f(157,50)≈3.14，祖沖之在公元五世紀又進一步求得π的值在3.1415926與3.1415927之間，現(xiàn)代利用電子計算機，已有人把π的值算到小數(shù)點后幾十萬位．它是從圓內(nèi)接正六邊形開始，逐步計算所得的結果．(2)在同圓或等圓中，等弧所對的弦__相等__，所對的圓周角__相等__.(