整式的乘法與因式分解能力練習(xí)題

第十四章整式的乘法與因式分解

14.1整式的乘法

專題一幕的性質(zhì)

1.12012?湛江】以下運(yùn)算中，正確的選項(xiàng)是()

22)214

A.3a—a=2B.(”2)3=〃9c.cr,?c^=aD.(2a)=2a

2.12012?泰州】以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是()

A.x3-x2=2xbB.x4-x2=xs

2?32

C.(―x)——X6D.(x)=X，

3.【2012?衢州】以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是()

A.2a2+a2=3a4B.a('-ra2=a3C.?6-a2=a12D.(-?6)2=a12

專題二募的性質(zhì)的逆用

4.假設(shè)2a=3,2b=4,那么23a+2b等于()

A.7B.12C.432D.108

5.假設(shè)2m=5,2"=3,求23m+2"的值.

6.計(jì)算：(1)(-0.125)2014X(-2)2014X(-4)2015；

⑵(_j2015義8「《＞7

專題三整式的乘法

7.以下運(yùn)算中正確的選項(xiàng)是()

A.3a+2a=5a2B.(2a+b)(a-b)=2a2-ab-b2

C.2a2-a3=2a6D.(2a+b)2=4a2+b2

8.假設(shè)(3/-2r+l)(x+b)中不含x2項(xiàng)，求b的值，并求(3/-2x+l〕(x+b)的值.

9.先閱讀，再填空解題：

(x+5)(x+6)=/+llx+30；

(x—5)(x-6)=/—llx+30；

(x—5)5+6)=x2+x—30；

(x+5)(x—6)==/—x—30.

(1)觀察積中的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與兩因式中的常數(shù)項(xiàng)有何關(guān)系？答：.

(2)根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：.

⑶根據(jù)規(guī)律，直接寫出以下各式的結(jié)果：(a+99)(a—100)=；〔y—80)(y-81)=

專題四整式的除法

10.計(jì)算：(3出廠183)2+/),):(―6/y)=.

711

11.計(jì)算：(―a%7——/戶)+(——帥)32

393

12.計(jì)算：(“一〃)3+{h-a]2+(—a—h]5-?(a+b)4.

狀元筆記

【知識要點(diǎn)】

1.累的性質(zhì)

(1)同底數(shù)塞的乘法：a"'-a"^a",+n(m,〃都是正整數(shù))，即同底數(shù)基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

(2)事的乘方：("")"="都是正整數(shù))，即基的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

(3)積的乘方：(ab)"=/"'(〃都是正整數(shù))，即積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把

所得的基相乘.

2.整式的乘法

(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：把它們的系數(shù)、同底數(shù)暴分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，

那么連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：就是用單項(xiàng)式去乘單項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

(3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

3.整式的除法

(1)同底數(shù)幕相除：〃都是正整數(shù)，并且加＞〃)，即同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指

數(shù)相減.

(2)?！?1(“#0),即任何不等于0的數(shù)的0次嘉都等于1.

（3）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)暴分別相除作為商的因式，對于只在被除式里

含有的字母，那么連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.

（4）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.

【溫馨提示】

1.同底數(shù)事乘法法那么與合并同類項(xiàng)法那么相混淆.同底數(shù)塞相乘，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相加”；而

合并同類項(xiàng)法那么是“系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變”.

2.同底數(shù)基相乘與幕的乘方相混淆.同底數(shù)球相乘，應(yīng)是“底數(shù)不變，指數(shù)相加”；募的乘方，應(yīng)是“底

數(shù)不變，指數(shù)相乘”.

3.運(yùn)用同底數(shù)塞的乘法（除法）法那么時(shí)，必須化成同底數(shù)的塞后才能運(yùn)用上述法那么進(jìn)行計(jì)算.

4.在單項(xiàng)式（多項(xiàng)式）除以單項(xiàng)式中，系數(shù)都包括前面的符號，多項(xiàng)式各項(xiàng)之間的“加、減”符號也可以

看成系數(shù)的符號來參與運(yùn)算.

【方法技巧】

1.在塞的性質(zhì)中，公式中的字母可以表示任意有理數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.

2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要按照一定的順序進(jìn)行，否那么容易造成漏項(xiàng)或增

項(xiàng)的錯誤.

3.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式中，結(jié)果的項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，不要漏項(xiàng).

參考答案：

1.C解析：A中，3a2與一〃是同類項(xiàng)，可以合并，3a2—a2=2a2,故A錯誤；B中，32）3=.2乂3=°6,

故B錯誤；C中，&3.“6=43+6=/,故C正確；D中，（24）2=22（“2/2=4/,故口錯誤.應(yīng)選C.

2.C解析：/.%2=%2+3=%5,選項(xiàng)人錯誤；/.%2=爐+4=%6,選項(xiàng)B錯誤；）3=_鏟3=_%6,

選項(xiàng)C正確；C?）2=%2'3=》6,選項(xiàng)D錯誤.應(yīng)選C.

3.D解析：A中，2a2+4=3。2,故A錯誤；B中，a6-i-a2—a4,故B錯誤；C中，a6a1=a's

故C錯誤.應(yīng)選D.

4.C解析：23a+2b=23ax22b=(2^)3X(2與2=33X42=432.應(yīng)選C.

5.解：23mt2n=23m?22n=(2m)3?(2n)2=53?3』125.

6.解：(1)原式=(0.125X2X4嚴(yán)Mx(—4)=12。14*(-4)=-4.

(2)原式=(—>2015X9234=(1.X9)2014X(-

9999

7.B解析：A中，由合并同類項(xiàng)的法那么可得3a+2a=5a,故A錯誤；B中，由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘

的法那么可得(2a+b)(。-6)=2。2一2出?+出?一方2=2。2—?！ㄒ弧ǎ蔅正確；C中，由單項(xiàng)式與單項(xiàng)式

相乘的法那么可得2片/3=2/+3=2爐，故C錯誤；D中，由多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法那么可得

(2a+b)2=4a2+4ab+b2,故D錯誤.綜上所述，選B.

8.解：原式=3x?+(3b—2)x2+(—2b+l)x+b,

???不含x2項(xiàng)，

2

**?3b—2=0,得b--.

3

2

/.(3x2—2x+l)(x+—)

3

42

=3x3—2x2+x+2x2——x+—

33

一12

=3x°——x+—.

33

9.解：(1〕觀察積中的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)與兩因式中的常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系是：

一次項(xiàng)系數(shù)是兩因式中的常數(shù)項(xiàng)的和，常數(shù)項(xiàng)是兩因式中的常數(shù)項(xiàng)的積；

(2)根據(jù)以上的規(guī)律，用公式表示出來：(a+b)(a+c)=a2+(b+c)a+bc；

(3)根據(jù)(2)中得出的公式得：(a+99)(a—100)=a2-a-9900；(y—80)(y—81)=y2-161y+6480.

10.——x+3y——解析：(3x3y—18x2y2+x2y):(—6x2y)=(3x3y):(—6x2y)—18x2y24-(—6x2y)

26

+x2yH-(—6x2y)=-；x+3y-

11.解：原式

=(2__L/網(wǎng),*

399

2b2b

=^ab--abJa2b6

3999

=6a2h—lo

12.解：(a-b)3：(b—a)2+(—a—b)5^-(a+b)4,

=(a-b)3：(a—b)2—(a+b)54-(a+b)4,

=(a—b)—(a+b),

=a-b—a-b,

=-2b.

14.2乘法公式

專題一乘法公式

1.以下各式中運(yùn)算錯誤的選項(xiàng)是(

A.a2+h2=(a+h)2—2ahB.(a—h)2=(a+b)2—4ab

C.(a+b)(-a+b)=~a2+b2D.(?+/7)(-a-/?)=-—Z>2

2.代數(shù)式(x+l)(x—l)(f+l)的計(jì)算結(jié)果正確的選項(xiàng)是()

A.x4-lB.%4+lC.(x-1)4D.(x+l)4

3.計(jì)算：(2x+y)(2x-y)+(x+>')2-2(2?~xy)(其中x=2,y=3)

專題二乘法公式的幾何背景

4.請你觀察圖形，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，不需要連其他的線，便可得到一個(gè)你非常熟悉的公式,

這個(gè)公式是()

ka*k。川

A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a—b)2=a2—2ab+b2D.(a+b)2=a2+ab+b2

5.如圖，你能根據(jù)面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是()

A.a2—b2=(a+b)(a—b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2—2ab+b2D.a(a+b)=a2+ab

6.我們在學(xué)習(xí)完全平方公式（a+b）2=M+2ab+b2時(shí)，了解了一下它的幾何背景，即通過圖來說明上式成

立.在習(xí)題中我們又遇到了題目“計(jì)算：（a+b+c）”，你能將知識進(jìn)行遷移，從幾何背景說明（大致

畫出圖形即可）并計(jì)算（a+b+c）2嗎？

狀元筆記

【知識要點(diǎn)】

1.平方差公式

（a+b）（a-b）=a2-b2,兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

2.完全平方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2,兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.

【溫馨提示】

1.不要將平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它們項(xiàng)數(shù)和符號的不同.

2.完全平方公式中，中間項(xiàng)是左邊兩個(gè)數(shù)的和的2倍，注意系數(shù)的特點(diǎn).

【方法技巧】

1.公式中的字母4、6可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以

利用公式.

2.有些題目往往不能直接應(yīng)用公式求解，但稍做適當(dāng)?shù)淖冃魏缶涂梢杂贸朔ü角蠼?如：位置變化,

符號變化，數(shù)字變化，系數(shù)變化，項(xiàng)數(shù)變化等.

參考答案：

1.D解析：A中，由完全平方公式可得(a+〃)2—24b=a2+2ab+〃-2“6=。2+〃，故A正確；B中，由完

全平方公式可得(〃一人尸二〃?一2。匕+〃，(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2—2ab+h2,故B正確；C中，由

平方差公式可得(a+6)(—4+b)=(“+〃)(b—a)=t>2—a2=-a'+b?,故C正確；D中，(a+b)(~a—b)=—(a+b)2=

一岸一2ab-B,故D錯誤.

2.A解析：原式=(x2-l)(/+l)=(x2)2—l=x4-l.

3.解：j^；=4x2—y2+x2+2xy+y2—4x2+2xy=x2+4xy,

當(dāng)x=2,y=3時(shí)，原式=22+4X2X3=4+24=28.

4.B解析：這個(gè)圖形的整體面積為(a+b)2；各局部的面積的和為a2+2ab+b2；所以得到公式(a+b)

2=a2+2ab+b2.應(yīng)選B.

5.C解析：從圖中可知：陰影局部的面積是(a—b)2和b2,剩余的矩形面積是(a-b)b和(a-b)

b,即大陰影局部的面積是(a-b)2,/.(a-b)2=a2-2ab+b2,應(yīng)選C.

6.解：(a+b+c)2的幾何背景如圖，整體的面積為：(a+b+c)2,用各局部的面積之和表示為：(a+b+c)

2=a2+b:+c2+2ab+2ac+2bc,所以(a+b+c)2=a?+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

ab

14.3因式分解

專題一因式分解

1.12012?西寧】以下分解因式正確的選項(xiàng)是()

A.3x2_6x=x(x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2—y2=(4x—y)(4x+y)D.4x2—2xy+y2=(2x—y)2

2.12012?廣元】分解因式：3m3—18m2n+27mn2=.

3.分解因式：(2a+b>-8ab=.

專題二在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解x4—4=.

5.把以下各式因式分解(在實(shí)數(shù)范圍內(nèi))

(1)3x2—16；(2)x4-10x2+25.

6.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:

(1)X3—2x；(2)x4-6x2+9.

專題三因式分解的應(yīng)用

7.如果m—n=~~5,mn=6,那么nfn—mn?的值是()

A.30B.-30C.11D.-11

8.利用因式分解計(jì)算32x20.13+5.4x201.3+0.14x2013=

9.在以下三個(gè)不為零的式子：X2—4x,X2+2X,X?—4x+4中，

(1)請你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果因式分解；

(2)請你選擇其中兩個(gè)并用不等號連接成不等式，并求其解集.

狀元筆記

【知識要點(diǎn)】

1.因式分解

我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做

把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.

2.因式分解的方法

(1)提公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫出公因式與

另一個(gè)因式的乘積的形式，這樣分解因式的方法叫做提公因式法.

(2)將乘法公式的等號兩邊互換位置，得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式

分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

(3)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b),兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積.

(4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2,兩個(gè)數(shù)的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍，等于這兩

個(gè)數(shù)的和(或差)的平方.

【溫馨提示】

1.分解因式的對象必須是多項(xiàng)式，如把5a2〃c分解成5?！?c就不是分解因式，因?yàn)?。2人。不是多項(xiàng)式.

2.分解因式的結(jié)果必須是積的形式，如/+%一1=雙》+1)-1就不是分解因式，因?yàn)榻Y(jié)果Mx+D-l

不是積的形式.

【方法技巧】

1.假設(shè)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，一般要提出“一”號，使括號內(nèi)首項(xiàng)系數(shù)為正，但要注意，此時(shí)括號內(nèi)的各

項(xiàng)都應(yīng)變號，如一/+2x=-x(x-2).

2.有些多項(xiàng)式的特點(diǎn)與公式相比，只是某些項(xiàng)的符號不符，這時(shí)就需要先對符號進(jìn)行變化，使之符合

公式的特點(diǎn).

參考答案：

1