河北省部分學(xué)校2024屆高三年級上冊五調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷【含解析】

河北省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期五調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷【含解析】

本試卷分第I卷（選擇題）和第11卷（非選擇題）兩部分.共4頁，總分150分，考試時(shí)間120

分鐘.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，a,b^R,集合A={z|z=a+（2a—l）i},3={z|z=b-2+bi\,則Ac5=（）

A.{2i}B.{l+3i}c.{3+5i}D.{2+4i}

2.已知等邊三角形的邊長為2,用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）

A.正B.亞C.2V2D.2A/6

44

3.已知。為直線/的方向向量，根，〃分別為兩個(gè)不同平面a?，的法向量，則下列說法正確的是（）

A.若a±m(xù),m//n,貝U/〃尸

B.若a//m,a//n,則。尸

C.若a_La_L",則a〃夕

D.若a//m,a-Ln,則tz，

4.如圖，在四面體A6CD中，G為.ACD的重心，若BG=xAB+yAC+zA￡>,則x+y+2=（）

IT、兀

5.已知兩圓錐的底面積分別為：小,其側(cè)面展開圖中圓心角之和為——，則兩圓錐的母線長之和的最小值

162

為（)

57

A.2B.-C.3D.-

22

6.如圖，在直三棱柱ABC—A31cl中，5。，平面4?！?，04=?！?2。3,則異面直線BQ與夾

角的余弦值為（）

7.已知棱長為6的正方體內(nèi)有一個(gè)棱長為根的正四面體，且該正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則實(shí)數(shù)相

的最大值為（）

A.73B.3C.2A/6D.3A/3

8.設(shè)a=ln2,6=L09,c=e°3,貝ij()

/\.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.如圖，在長方體ABCD—A4G。中，。是42的中點(diǎn)，直線AC交平面AB]A于點(diǎn)M，則下列結(jié)論

A.B，4,O,M四點(diǎn)共面B.A",O，A四點(diǎn)共面

C.A,O,C,M四點(diǎn)共面D.A,M,O三點(diǎn)共線

10.已知函數(shù)〃%)=1082(4*+2>1+1)—-J——X,則()

X+1

A./（%）在區(qū)間（—8,0）上單調(diào)遞增B./（X）是偶函數(shù)

C./（X）的最小值為1D.方程/（￡）=2%無解

11.如圖，若長方體ABC。-A4G。的底面是邊長為2的正方形，高為4,E是DQ的中點(diǎn)，則下列說法

不正確的是（）

A.B〔E_L

B.平面與CE〃平面45。

o

c.三棱錐G-4CE的體積為］

D.三棱錐Q-與CD1的外接球的表面積為24?

12.在三維空間中，定義：axb叫做向量。與b的外積，它是一個(gè)向量，滿足下列兩個(gè)條件：

①a，（ax））,b，，義人），且以力和公。構(gòu)成右手系（即三個(gè)向量的方向依次與右手的攙指、食指、中指

的指向一致，如圖所示）；

②axb的模|axZ?|=|a\\b\sin〈a/〉（力）表示向量a,b的夾角）.在正方體ABCD-A4G2中，以

下四個(gè)結(jié)論，正確的是（）

A.|ABIXAC|=|ADIXDB|

3.4。［*4。與8。；共線

C-ABxAD=ADxAB

D.6\BCxAc\與正方體表面積的數(shù)值相等

第II卷（非選擇題共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在空間直角坐標(biāo)系中，A（l,-2,a）,5（0,3,1）,C（b,-1,2）,若A,B,C三點(diǎn)共線，則必=.

2024

14.在數(shù)列｛a,｝中，6=—1,g=0，2+2+4=4+1，則E%=■

i=\

15.如圖，將繪有函數(shù)〃x）=Msin仁升。（M＞0,0＜。＜］）部分圖象的紙片沿x軸折成直二面角，若

此時(shí)A,8兩點(diǎn)之間的空間距離為JI5，則/（6）=.

16.如圖，已知四面體A5CD3A5c和,1A8D是邊長為2的等邊三角形，=6,P是該四面體表面及其

內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn).若==則點(diǎn)P軌跡的長度為；若尸在AABD內(nèi)（含邊界）且

PALBC,則點(diǎn)P軌跡的長度為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

如圖，在四棱臺ABC?！狝4GR中，上、下底面為等腰梯形，AD//BC,AB=y/10,

BC^2AD^4,A1Di=1,朋1BD.

（1）證明：平面AACG，平面A6CD；

（2）若AA=2,—AAC=45,求點(diǎn)C到平面43。的距離.

18.（12分）

記,ABC的內(nèi)角AB,C所對的邊分別為“,仇c,已知cosB=tanAsirLB+￡.

3a

（1）證明：c2-a2+2b~;

（2）若C=2q,。=2,求ABC的面積.

3

19.（12分）

如圖，在四棱柱A3CD-4用GR中，底面A5CD是平行四邊形，側(cè)棱A&，底面ABCD,過A5的截

面與側(cè)面。2cle交于PQ,點(diǎn)尸在棱。2上，點(diǎn)。在棱上，且A3=1,40=8,5。=2.

（1）證明：PQ〃〃G；

TT

（2）若P為棱。2的中點(diǎn)，AP與平面所成的角為一，求側(cè)棱。2的長.

6

20.（12分）

已知函數(shù)/（%）=-x2+%-sinx-acosx,其中aeR.

（1）當(dāng)0〈④1時(shí)，求/（力的極值;

7171

（2）若不等式/（x）+f,,1對任意XC恒成立，求。的取值范圍.

3'萬

21.（12分）

已知等比數(shù)列｛4｝的公比4>1,若4+%+。4=14,且。2，%+1，。4分別是等差數(shù)列｛0｝的第1，3,5

項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛4｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

b、

⑵記?！?^,求數(shù)列｛（%｝的前幾項(xiàng)和s”.

an

22.（12分）

如圖，在多面體ABCDEF中，平面ABCD為正方形，AB=2,AE=3,DE=45,二面角E—A￡>—C的

平面角的余弦值為逝，且EF〃BD.

5

（1）證明：平面ABCDL平面。CE；

（2）者E/=X￡）B（/l〉O）,求平面AM與平面CEF所成銳二面角的余弦值的取值范圍.

參考答案及解析

一、選擇題

1.C解析：由題得a+(2a—l)i=/?-2+歷，

a=b—2,ci=3

所以＜解得〈二所以4^^6={3+5”

2a-l=b,b=5.

2.B解析：如圖.等邊三角形的高為JL根據(jù)斜二測畫法的知識可知,

瓜

4

3.D解析：因?yàn)閍772,772〃"，所以a_L%,貝1]/〃尸或/u",故A錯(cuò)誤;

因?yàn)閍〃力7,?！āǎ约印ā?，所以a〃4，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)樗愿?，〃可能平行，也可能不平行，所?〃萬或6，相交，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)??！?7z,a~L〃，所以機(jī)_L〃，所以。_L〃，故。正確.

4.A解析：如圖，連接AG并延長交于點(diǎn)￡.則E為。的中點(diǎn)，

所以BG=BA+AG=—AB+2AE=—AB+2X'(AC—AD)=—AB+,AC+’AD,所以

332、)33

5.C解析：設(shè)兩圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角分別為a,/3,母線長分別為小,巴

ir\

由題知兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為一，1,所以。=三，夕==,

42mn

TF27r37r14

所以。+尸=—+——=——，即一+—=3,所以

2mn2mn

1/14^lf,n4機(jī)、1f__\n__4m'

JTl+77——(TYl+n)—I———5~\-----1-----..；-5+2J—x------=3,

3'nJ3\mnJ3vmn)

當(dāng)且僅當(dāng)〃2=L"=2時(shí)等號成立.

6.C解析：如圖，連接C31交BG于。，取AC的中點(diǎn)￡,連接

由ABC-A.BXCX為直棱柱,各側(cè)面四邊形為矩形，易知。是C片的中點(diǎn)，所以ED〃AB1，故異面直線3。

與AB.的夾角即為ED與BC1的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)BC=1.則CE=1,5。=CD=g,BC，平面

2

ACGA，ECu平面ACGA，則CBLCE，又石。，。。1，3。八。。1=。,3。,。。1匚平面5。。14,故

EC,平面BCCg,又CDu平面BCC內(nèi)，所以CELCD.所以

ED=VCD2+CE2=^be=^CB2+CE2=V2,在中,

BD?+ED?-BE?

cos/BDE=

2BDED

7.C解析：由題意知，當(dāng)正四面體在正方體的內(nèi)切球內(nèi)時(shí)，正四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故當(dāng)該正

四面體內(nèi)接于球時(shí)，其棱長最長.因?yàn)檎襟w的棱長為6,則其內(nèi)切球的半徑為3,如圖所示,

p

設(shè)正四面體為尸-ABCa為底面.A5c的中心，設(shè)正四面體外接球的球心為。，連接尸a，acoc,則

—/n-X

3

=ex—2x,令

g(x)=ex-2x,則g'(x)=e*—2.當(dāng)x?-oo,ln2)時(shí)，g'(x)<0J'(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(ln2,+e)時(shí),

g'(x)>0J'(x)單調(diào)遞增，所以/'(力../'(山2)=2?！猯n2)>0,所以/(%)在R上單調(diào)遞增，所以

/(0.3)>/(0)=0,即e°3>1.09,所以c>Z?.綜上，a<b<c.

二、多選題

9.BCD解析：對于A，如圖.連接AO，AG，AC.

在長方形A51G2中，由。為對角線與A的中點(diǎn)，則A￡c用。=o,則平面ACGAc平面

ABXDX=AO,由平面A42,MeAC<=平面ACC】A,得河e49.在長方體ABCD—

中，351U平面因?yàn)??c平面=A,所以8片與跖9異面，故A錯(cuò)誤；對于B，由

選項(xiàng)A可知，MeAO，ACiCg，=O,易知弓u平面ACQA，故B正確；對于C,由選項(xiàng)

A可知，MeAO，AGcB]Di=O,易知A,/,O,Cu平面ACC/，故C正確；對于D，由選項(xiàng)A可

知，MeAO.故。正確

1O.BC解析：因?yàn)?■(x)=log2(4x+2E+l)—log22，—J-r=log2(2x+2f+2)—J~r，所以

XIJ.X?J.

AJ:

/(-x)=log2(2+2-+2)---=〃x),所以/(%)為偶函數(shù)，B正確；令"2"當(dāng)x<0時(shí)，函

XIL

數(shù)

丁=1082(2'+2-*+2)與3；=-1—均為減函數(shù)，所以“力在區(qū)間(—8,0)上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；由偶

X+1

函數(shù)對稱性可知，〃尤)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(EU=/(。)=1，C正確；令

g(x)=f(x)-2x,所以g(0)=1>0,g(l)=log2|-^=g[k>g2,由零點(diǎn)存在定理可知方程

/(%)=2x有解，D錯(cuò)誤.

11.AB解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(2.0,4),石(0,2,2),4(0,0,4),3(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),所以率=(—2,2,—2),

AB：。,。,一)，因?yàn)?￡.A5=-4+0+8=4W0,所以8也與人內(nèi)不垂直，故A錯(cuò)誤；又

CB]=(0,—2,4),CE=(—2,0,2),則=(-2,0,4),=(-2,2,0),設(shè)平面耳CE的一個(gè)法向量

,、fn-CB.=-2y+4z=0,,、

〃=(x,y,z),貝必取x=l,得〃=(1,2,1),設(shè)平面A的一個(gè)法向量〃2=(a,

n-CE=-2x+2z=0,

m-BA.=-2a+4c=0,(1、

"c),則<取a=l,得帆=1」,彳，因?yàn)樗健安还簿€，所以平面與CE與平面43。

m-BD=-2a+2b=0,<2J

相交，故B錯(cuò)誤；三棱錐的體積為V三棱錐0「胴￡=匕棱錐B「GCE=：X；X4X2X2=

Q

§,故C正確;三棱錐C-與C"的外接球就是長方體A3。-4耳的外接球，所以三棱錐G-502

的外接球半徑R=@+2-+4-=布,所以三棱錐c,-B}CD}的外接球的表面積為

2

S=4-7Tx(A/6)2=24-71,故D正確.

12.ABD解析：對于A，設(shè)正方體的棱長為1,在正方體中，ABVAC=60,貝U

|AB1xAc|=|AB1|.|Ac|sinAB1,AC=V2xV2x^=73,因?yàn)锽D〃BQ「且，他4=60,所以

(4￡>1，。q=120,所以,加西中可依卜由世功二④義后義孝="所以

I^XAC^IA^XDBI，所以A正確：對于B，在正方形4片。］2中，\CX±BXDX,又因?yàn)?片，平

面u平面所以又B］BcBn=Bi，鳥氏用。u平面的，

所以AG，平面5月2。，因?yàn)?。u平面54。。，所以同理可證再由右

手系知，ACxA力與班)］同向，所以B正確；對于C.由凡。和axZ;構(gòu)成右手系知，axb與bxa方向

相反，又由oxb模的定義知，|"引一向"卜也心力〉=W同sin<a,b>=|/?x?|,所以ax/?=—0xa，

則ABxA￡>=-AOxAB，所以C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)正方體的棱長為

6|fiCxAC|=6|BC||AC|-Sin45=6①axax與=6/,正方體的表面積為6<?,所以0正確.

a.

三、填空題

0

13.-解析：由題得AB=(-L,5,l-a),3C=S.-4,l),因?yàn)锳氏C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)幾，使得

AB=ABC>BP(-1,5,1-a)=2(/?,-4,1),

9

ci——,

Ab=—1,4

49

所以《-42=5,解得<b=w，所以

A=l—a,

2=--

4'

14.-1解析:由4+2+4=4+1，得4+3+?！?1=4+2,所以a“+3+a”+i=a,短一4,即八二一4，所以

4+6=一4+3=4,所以數(shù)列｛??｝的一個(gè)周期為6.又

。3=。2-=1，〃4=%一。2=1，。5=〃4-。3=°，。6=。6一%=—1，所以％+%+〃3+。4+〃6+。6=。，

20246

所以=33724+q+%=-1.

Z=1Z=1

瓜T=2"=4TI-------

15「火解析：因?yàn)椤垼┑闹芷谝还ひ?，所以CD=一=2,AC=MBC=JM2+4,所以

222

AB=7AC2+BC2=72M2+4=V10>解得“=若,所以/(xL/sinj^x+oJ.由圖可知,當(dāng)

x=0時(shí)，于（x）=，即/⑼=J§sin0=,得sine=g.又。＜。＜萬，所以°=看或夕?觀

5萬

察/（X）在y軸右側(cè)的圖象結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可知夕=——，所以

6

(715冗

/(x)=^x/^sin—x~\——,/(6)=>/3sin3乃+5TT=_71

(2662

16.-；"I解析：如圖，分別取棱AB,CD的中點(diǎn)為MN,連接DM,CM?V,5N,腦V,因?yàn)楣B。

25

和右人也是邊長為2的等邊三角形，所以A3,Q暇，AB±CM,DMr＞CM^M,所以A5_L平面

CDM,同理CD，平面ABN,因?yàn)?4=依.所以Pe平面CDM，因?yàn)镻C=，所以Pe平面ABN,

所以P的軌跡為線段"N,因?yàn)锳BC和.48。是邊長為2的等邊三角形，所以

幣.而CD=6,所以_。凹為等邊三角形，所以

R

如圖，設(shè)過點(diǎn)A且與垂直的平面為a,則a截該四面體所得的截面為尸，所以P的軌跡為線段

AF,AE±BC,所以E為棱的中點(diǎn)，且E6C,在，BCD中，由余弦定理得

cos/EBF="+BD「CD2=）所以臺/二色，在人防中，可得

2BCBD85

AF=VfiA2+BF2-2BA-BF-cos60=.

5

四、解答題

（1）證明：如圖，過點(diǎn)A作AE,6c于點(diǎn)E，

則3石=1,"=3,

在RJABE中，AE=y/AB2-BE-=3-

所以BD=AC=3jL

設(shè)AC交5。于點(diǎn)。，因?yàn)锳T>〃8C，

…OAODAD1

所以-----——,

OCOBBC2

所以0C=0B=2形，

所以0臺2+0。2=臺。2,即ACLB。，

又用_LB￡）,A41cAe=A.A^ACu平面AACG,

所以5。，平面AACG.

又皮）u平面ABCD，所以平面4?ACG，平面ABCD.

BE

(2)解：連接4。，則由余弦定理得

22

=A41+OA-2A41OACOS45=4+2-2X2X72X^-2,

所以。U+O1=4短，所以O(shè)A^AC.

又ACLBROAcB。：。，所以AC,平面43。，

所以點(diǎn)C到平面的距離為OC的長為2夜.

18.(1)證明：由已知及正弦定理得cosB-tanAsinB二網(wǎng)一,

3sinA

所以3sinAcosBcosA-3sin2AsinB=sinCcosA，

所以3sinA（cosBcosA-sinAsinB）=sinCcosA,

所以3sinAcos（A+B）=sinCcosA,

所以3sinAcosC=sinCcosA.

b1+C1-a2

由正、余弦定理得3a-巴—-

2ab2bc

整理得/=片+2/.

（2）解：由題得/—/=8,

〃2+_2〃24_02

由余弦定理得cosC=巴匯~—=

2ab4〃

-4

———，解得〃=2,

4aa2

所以ABC的面積SA”=La6sinC=Lx2x2xY^=唐.

ABC222

19.（1）證明：因?yàn)樵谛Ｖ鵄BC?！狝4G。中，

底面A5CD是平行四邊形.所以A3〃CD.

因?yàn)锳5?平面DCCR,CDu平面DCCR,

所以A3〃平面

又ABu平面ABQP，平面DCG2c平面ABQP=PQ,

所以A3〃PQ,

又A5〃AG，

所以「?！ā℅.

D,C,

FFh4

A7-J-----A-----殖

(2)解:在底面平行四邊形ABCD中,

因?yàn)锳B=1,AC=y[3,BC=2.

所以482+4。2=臺。2,所以ABLAC,

又因?yàn)锳3〃CD，所以AC_LCD.

因?yàn)锳d，平面ABC。，

所以CCi，平面A6CD,

又ACu平面ABCD,

所以C￡JLAC.

又eqcCD=C,CC[,CDU平面CDDiG,

所以AC,平面CDDiG，

連接PC,AP,則NCPA為AP與平面CDDG所成的角,

71

即ZCPA=~.

6

設(shè)。尸二x,因?yàn)镈C=AB=1.

所以PC=^PD~+DC2=j￡+l，

,?/““ACV3石

在Rt-ACP中.tan/APC=—=「—=—，

PCVx+13

解得x=2及，

因?yàn)閜為。，的中點(diǎn)，所以DD]=4行.

20.解：(1)/'(%)=1-cosx+asiiu-2x,

令g(x)=1—cosx+asinx—2x,

則§'(x)=sinx+acosx-2<0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞減，且g(0)=在

所以當(dāng)xe(—8,0)時(shí),g(x)>0,即/''(x)〉。,/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)XG(0,+8)時(shí),g(x)<0.即/'(X)<0,/(x)單調(diào)遞泣

故當(dāng)x=0時(shí)，”力取得極大值/(0)=—。，無極小值.

(71萬、一

(2)由題得x-sinx—QCOSM,1對任息]￡[-萬，恒成立，

即a,,”‘血1對任意x￡g恒成立.

cosxI22J

人7/、x-sinx-1

令力(町二----------,XG

cosx

cosx-sinx+xsinx-1

所以〃(x)=

cos2%

令%(%)=cosx-sinx+xsinx-l,xG

所以/(%)=-sinx-cosx+sinx+xcosx=(x-l)cosx,

當(dāng)時(shí)，，(x)<0/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xjl,])寸，f(x)>0j(x)單調(diào)遞增,

^fLU/L(x)..zL(l)=cosl-l,

又[。)=。/圖=(-2,

所以當(dāng)xe]-T，o]時(shí)，

?(x)>0,h'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe]o，T[寸，t(x)<0,”(x)<0,/i(x)單調(diào)遞減，

所以/i(x)1mx=入(0)=-4,所以

即。的取值范圍是[T,+").

axq+axq+qq=14,

21.解:(1)由題意得v2(〃][2+1)=%夕+%",

q>t

解得。]=1,夕=2,所以%二2〃一1

則4=%=2也=%+1=4+1=5,&=%=8,

S—23

設(shè)等差數(shù)列他“｝的公差為d,則d=匕