專題 點圓模型 中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建

專題點圓模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要和難點題型，綜合考查學(xué)生解析幾何知識和思維能力.該題型一般在填空題或解答題的其中一問出現(xiàn)，具有一定的難度，致使該考點成為學(xué)生在中考中失分的集中點.掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑.本專題就動點軌跡為圓弧型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.模型01定義型點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓.模型02直徑所對的角為直角（直角模型）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓??；如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧.模型03等弦對等角模型一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓?。鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧.模型01定義型考｜向｜預(yù)｜測點圓模型的定義型該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其中一問，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的定義判定動點變化的特點，結(jié)合圓和其它幾何的相關(guān)知識點進(jìn)行解題.答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意判定動點的變化特性第二步：找準(zhǔn)定點和定長（圓心和半徑）第三步：結(jié)合圓、三角形、四邊形的相關(guān)知識點進(jìn)行解題，一般情況下會涉及最值問題例1．（2022·廣西）如圖，在△ABC中，，，，點D在AC邊上，且，動點P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點C的對應(yīng)點為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．例2．（2022·北京）如圖，在中，，，，點是邊的中點，將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點是邊上的一動點，則長度的最大值與最小值的差為．模型02直角模型考｜向｜預(yù)｜測點圓問題中的直角模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查對圓性質(zhì)的的理解.實際題型中會結(jié)合直角三角形的相關(guān)知識點，對數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵.許多實際問題的討論中需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求固定圖形問題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，找準(zhǔn)直角頂點和定長（圓的直徑）；第二步：利用圓與直角三角形的相關(guān)知識點進(jìn)行解題；第三步：涉及最值問題的圖形要考慮線段的轉(zhuǎn)化，熟練掌握共線問題、將軍飲馬問題、垂線段問題等相關(guān)知識點；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．（2021·山東）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若，則BG的最小值為__________．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點是第一象限內(nèi)的一個動點并且使，點，則的最小值為．模型03等弦對等角考｜向｜預(yù)｜測點圓問題中的等圓對等角模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度.該題型主要考查動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解.解題時會考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造對應(yīng)圖形解決問題，屬于中考中的壓軸題．答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，確定定弦和定角；第二步：根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動點的運動軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)圖形（三角形居多）；第三步：利用四邊形、隱圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點解題；例1．（2022·江蘇）如圖，已知正方形的邊長為2，若動點E滿足，則線段長的最大值為．例2．（2023·重慶）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為．1.（2023·廣東）如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.（2023·湖南）如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．33．（2023·山西）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P從C點出發(fā)，沿CB運動到點B停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為Q，點Q運動的路徑長為（）A． B． C． D．4．（2023·廣州）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點N，點M分別為BC，DE的中點，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為．5．（2023·云南）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是．6．（2023·貴州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．7．（2022?天津）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，點M為矩形內(nèi)一動點，使得∠CME＝45°，連接AM，則線段AM的最小值為．8．（2023·貴陽）如圖，矩形中，，，點，分別是，邊上的兩個動點，且，點為的中點，點為邊上一動點，連接、，則的最小值為．9．（2023·安徽）等腰直角中，，，點是平面內(nèi)一點，，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)填度數(shù)度時，可以取最大值，最大值等于．10．（2023·廣西）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是AB，BC邊上的點，且AC＝CD＝3，連接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．（1）當(dāng)∠B＝22.5°時，求證：CD平分∠ACB；（2）當(dāng)CD＝BD時，求的值；（3）如圖②，若點F是線段AC上一點，且AF＝1，連接DF，EF，EF交CD于點G，求△DEF面積的最大值．1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．2．如圖，正方形的邊長是4，點是邊上一動點，連接，過點作于點，點是邊上另一動點，則的最小值為A．5 B． C．6 D．3．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，點D是邊BC上一動點，連接AD，在AD上取一點E，使∠DAC＝∠DCE，連接BE，則BE的最小值為（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．5．如圖，點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．6．如圖，矩形ABCD的邊AB＝8，AD＝6，M為BC的中點，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足∠ADP＝∠PAB，N為邊CD上的一個動點，連接PN，MN，則PN+MN的最小值為．7．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝CE，連接AD，BE交于點F，連接CF，則∠AFB＝，CF的最小值是．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點E是AC的中點，點F是斜邊AB上任意一點，連接EF，將△AEF沿EF對折得到△DEF，連接DB，則△BDF周長的最小值是．9．如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊上的一點，且AM＝AD，N是AB邊上的一動點，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長度的最小值是．10.如圖，線段為的直徑，點在的延長線上，，，點是上一動點，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長的最大值為．11．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為．12．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，連接，則線段長的最小值為．13．（1）【學(xué)習(xí)心得】小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在中，，，是外一點，且，求的度數(shù)，若以點為圓心，為半徑作輔助圓，則點、必在上，是的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形中，，，求的度數(shù)．小剛同學(xué)認(rèn)為用添加輔助圓的方法，可以使問題快速解決，他是這樣思考的：的外接圓就是以的中點為圓心，長為半徑的圓；的外接圓也是以的中點為圓心，長為半徑的圓．這樣、、、四點在同一個圓上，進(jìn)而可以利用圓周角的性質(zhì)求出的度數(shù)，請運用小剛的思路解決這個問題．（3）【問題拓展】如圖3，在中，，是邊上的高，且，，求的長．專題點圓模型解析題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要和難點題型，綜合考查學(xué)生解析幾何知識和思維能力.該題型一般在填空題或解答題的其中一問出現(xiàn)，具有一定的難度，致使該考點成為學(xué)生在中考中失分的集中點.掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑.本專題就動點軌跡為圓弧型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握.模型01定義型點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓.模型02直徑所對的角為直角（直角模型）一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。蝗鐖D，若P為動點，AB為定值，∠APB=90°，則動點P是以AB為直徑的圓或圓弧.模型03等弦對等角模型一條定邊所對的角始終為定角，則定角頂點軌跡是圓弧．如圖，若P為動點，AB為定值，∠APB為定值，則動點P的軌跡為圓弧.模型01定義型考｜向｜預(yù)｜測點圓模型的定義型該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其中一問，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的定義判定動點變化的特點，結(jié)合圓和其它幾何的相關(guān)知識點進(jìn)行解題.答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意判定動點的變化特性第二步：找準(zhǔn)定點和定長（圓心和半徑）第三步：結(jié)合圓、三角形、四邊形的相關(guān)知識點進(jìn)行解題，一般情況下會涉及最值問題例1．（2022·廣西）如圖，在△ABC中，，，，點D在AC邊上，且，動點P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點C的對應(yīng)點為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】解：如下圖所示，連接BD，作點C關(guān)于BD的對稱點N，以點D為圓心，以DC為半徑作，過點D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵動點P在BC邊上，△PDC沿直線PD翻折，點C的對應(yīng)點為E，∴DE=DC=DN．∴點E在上移動．∴當(dāng)點E與點Q重合時，點E到AB的距離最短為QM．∴△AEB面積的最小值為．故選：A．例2．（2022·北京）如圖，在中，，，，點是邊的中點，將繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點是邊上的一動點，則長度的最大值與最小值的差為．【答案】/【詳解】解：，，，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點是邊的中點，，，點在以為圓心，為半徑的圓上，如圖，當(dāng)點，點，點共線，且時，長度最小，，，最小值為．當(dāng)點與點重合，且點在的延長線上時，長度最大，則最大值為長度的最大值與最小值的差為故答案為：．模型02直角模型考｜向｜預(yù)｜測點圓問題中的直角模型該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度，該題型主要考查對圓性質(zhì)的的理解.實際題型中會結(jié)合直角三角形的相關(guān)知識點，對數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵.許多實際問題的討論中需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求固定圖形問題.答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，找準(zhǔn)直角頂點和定長（圓的直徑）；第二步：利用圓與直角三角形的相關(guān)知識點進(jìn)行解題；第三步：涉及最值問題的圖形要考慮線段的轉(zhuǎn)化，熟練掌握共線問題、將軍飲馬問題、垂線段問題等相關(guān)知識點；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．（2021·山東）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若，則BG的最小值為__________．【答案】．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴點G在以AD為直徑的圓上移動，連接OB，OG，如圖：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴當(dāng)且公當(dāng)O，G，B三點共線時BG取得最小值．∴BG的最小值為：．例2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點是第一象限內(nèi)的一個動點并且使，點，則的最小值為．【答案】【詳解】解：如圖，以為直徑作，連接，交于，此時長最小，，，，，，，，故答案為：．模型03等弦對等角考｜向｜預(yù)｜測點圓問題中的等圓對等角模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度.該題型主要考查動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解.解題時會考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造對應(yīng)圖形解決問題，屬于中考中的壓軸題．答｜題｜技｜巧第一步：觀察圖形特點，確定定弦和定角；第二步：根據(jù)題意準(zhǔn)確分析出動點的運動軌跡，并構(gòu)建適當(dāng)圖形（三角形居多）；第三步：利用四邊形、隱圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識點解題；例1．（2022·江蘇）如圖，已知正方形的邊長為2，若動點E滿足，則線段長的最大值為．【答案】【詳解】解：，∴點E在以為直徑的圓上，如圖所示，的最大值為，∵正方形的邊長為2，，的最大值為，當(dāng)點E在的下方時，的最大值也是，故答案為：．例2．（2023·重慶）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為．【答案】【詳解】解：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，如圖，過點，點，點作，連接，，點在上運動，，，，，，，，，，垂直平分，，，，，，在中，，當(dāng)點在上時，有最小值，的最小值，故答案為．1.（2023·廣東）如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)AD的中點為O，以O(shè)點為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點N∵點B為圓O外一點∴當(dāng)直線BM過圓心O時，BM最短∵，∴∴∵故選：D．2.（2023·湖南）如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【詳解】解：如圖所示，∵M(jìn)A′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上．過點M作MH⊥DC于點H，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．3．（2023·山西）如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P從C點出發(fā)，沿CB運動到點B停止，過點B作射線AP的垂線，垂足為Q，點Q運動的路徑長為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵AQ⊥BQ，∴點Q在以AB為直徑的⊙O上運動，運動路徑為，連接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝1，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴的長為，故選：D．4．（2023·廣州）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，點N，點M分別為BC，DE的中點，AB＝6，AD＝4，△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為．【答案】【詳解】解：連接AN，AM，以AM為半徑，點A為圓心作圓，反向延長AN與圓交于點M′，如圖，∵△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，∴點M是在以AM為半徑，點A為圓心的圓上運動，∵AM+AN≥MN，∴當(dāng)點M旋轉(zhuǎn)到M′，即M、A、N三點共線時，MN的值最大，最大為M′N，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，點N，點M分別為BC，DE的中點，AB＝6，AD＝4，∴AN⊥BC，AM⊥DE，BN＝3，DM＝2，在Rt△ABN中，由勾股定理得，在Rt△ADM中，由勾股定理得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM′＝AM＝，∴M′N＝AN+AM′＝，即MN的最大值為．故答案為：．5．（2023·云南）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點，連接CE，則CE的最大值是．【答案】3【詳解】解：∵BC＝2，線段BC繞點B旋轉(zhuǎn)到BD，∴BD＝2，∴．由題意可知，D在以B為圓心，BD長為半徑的圓上運動，∵E為AD的中點，∴E在以BA中點為圓心，長為半徑的圓上運動，CE的最大值即C到BA中點的距離加上長．∵，，BC＝2，∴C到BA中點的距離即，又∵，∴CE的最大值即．故答案為3．6．（2023·貴州）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．【答案】5【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當(dāng)B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．7．（2022?天津）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，點M為矩形內(nèi)一動點，使得∠CME＝45°，連接AM，則線段AM的最小值為．【答案】5﹣2．【詳解】解：如圖，作△EMC的外接圓⊙O，連接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，∵BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，∴BE＝1，EC＝4，∵∠CME＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，在Rt△AFO中，AO＝，當(dāng)點M是OA與⊙O的交點時，AM最小，∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2．故答案為：5﹣2．8．（2023·貴陽）如圖，矩形中，，，點，分別是，邊上的兩個動點，且，點為的中點，點為邊上一動點，連接、，則的最小值為．【答案】45【詳解】解：由已知，點在以圓心，5為半徑的圓在與長方形重合的弧上運動．作關(guān)于的對稱點，連接，交于，交以為圓心，以5為半徑的圓于由兩點之間線段最短，此時的值最小最小值為，則的最小值，故答案為：45．9．（2023·安徽）等腰直角中，，，點是平面內(nèi)一點，，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)填度數(shù)度時，可以取最大值，最大值等于．【答案】【詳解】解：如圖一，連接、．是等腰直角三角形，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，．，如圖二，點在以點為圓心，長為半徑的圓周上運動，當(dāng)、、在同一直線上最長，，故答案為：；10．（2023·廣西）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E分別是AB，BC邊上的點，且AC＝CD＝3，連接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．（1）當(dāng)∠B＝22.5°時，求證：CD平分∠ACB；（2）當(dāng)CD＝BD時，求的值；（3）如圖②，若點F是線段AC上一點，且AF＝1，連接DF，EF，EF交CD于點G，求△DEF面積的最大值．【答案】（1）證明過程見詳解；（2）+1；（3）﹣3．【詳解】（1）證明：∵∠CAE+∠AEB＝180°，∠CEA+∠AEB＝180°，∴∠CAE＝∠CEA，∴AC＝CE，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝CE，∵∠B＝22.5°，∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ACD＝180°﹣2×67.5°＝45°，∴∠BCD＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB；（2）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，如圖①，以點C為圓心，CA長為半徑作圓，過點E作EP⊥AB于P，∵CD＝BD，∴∠DCB＝∠B，∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠CAD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠CAD，∴CD＝AD，∵AC＝CD，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠CAD＝60°，CD＝AD＝BD＝3，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣×90°＝135°，∴∠EDP＝180°﹣135°＝45°，∴△DPE是等腰直角三角形，∴DP＝EP，設(shè)DP＝EP＝x，則BP＝3﹣x，在Rt△BEP中，tanB＝＝＝，解得：x＝，∵∠ACE＝90°，AC＝CE，∴∠CAE＝45°，∴∠CAE＝∠PDE，∵∠ACE＝∠DPE＝90°，∴△ACE∽△DPE，∴＝＝＝+1；（3）解：由（1）得：AC＝CD＝CE，如圖②，以點C為圓心，CA長為半徑作圓，∵CE＝CD＝3，CF＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，∠ACB＝90°，∴EF＝＝＝，為定值，∵CD為定值，∴當(dāng)CD⊥EF時，CG取得最小值，此時，點D到EF的距離取得最大值，即△DEF的面積取得最大值，∵S△CEF＝CF?CE＝EF?CG最小，即×2×3＝××CG最小，解得：CG最?。?，∴DG最大＝CD﹣CG最?。?﹣，∴S△DEF最大＝EF?G最大＝××（3﹣）＝﹣3．1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點P是BC邊上一動點（點P不與B，C重合），連接AP，作點B關(guān)于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【詳解】解：連接AM，∵點B和M關(guān)于AP對稱，∴AB＝AM＝3，∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，∴當(dāng)A，M，C三點共線時，CM最短，∵AC＝，AM＝AB＝3，∴CM＝5﹣3＝2，故選：A．2．如圖，正方形的邊長是4，點是邊上一動點，連接，過點作于點，點是邊上另一動點，則的最小值為A．5 B． C．6 D．【答案】B【詳解】解：如圖：取點關(guān)于直線的對稱點．以中點為圓心，為半徑畫半圓．連接交于點，交半圓于點，連．連并延長交于點．由以上作圖可知，于．由兩點之間線段最短可知，此時最?。?，，的最小值為，故選：B．3．如圖，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．連接BD，CE，將△繞點A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)最大時，△ACE的面積為（

）．A．6 B． C．9 D．【答案】A【詳解】解：由題意知，D點軌跡為以A為圓心AD的長為半徑的圓，當(dāng)BD與D點的軌跡圓相切時，∠DBA取最大值，此時∠BDA=90°，如圖所示，過C作CF⊥AE于F，∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，∴∠CAF=∠BAD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：，即，解得：CF=，∴此時三角形ACE的面積==6，故選：A．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，點D是邊BC上一動點，連接AD，在AD上取一點E，使∠DAC＝∠DCE，連接BE，則BE的最小值為（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．【答案】C【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，∴AC＝4，如圖，取AC的中點O，連接OE，OB，∵∠DAC＝∠DCE，∠DCE+∠ACE＝90°，∴∠DAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴CE⊥AD，可得E點在以O(shè)為圓心，半徑為OA的圓上運動，當(dāng)O，E，B三點在同一直線上時，BE最短，可得此時OE＝OC＝OA＝2，在Rt△OCB中，OB＝，故BE的最小值為：OB﹣OE＝﹣2，故選：C．5．如圖，點P是正六邊形ABCDEF內(nèi)一點，AB＝4，當(dāng)∠APB＝90°時，連接PD，則線段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．【答案】B【詳解】解：∵AB＝4，∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的圓弧上，如圖，取AB的中點O，連接OD，當(dāng)O、P、D三點共線時，PD有最小值，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H，∵點O為AB的中點，∴OA＝OB＝OP＝4÷2＝2，∵正六邊形的每個內(nèi)角為180°×（6﹣2）÷6＝120°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，BD＝2BH，∴∠OBD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CBH中，CH＝＝2，BH＝，∴BD＝，在Rt△OBD中，OD＝＝，∴PD的最小值為OD﹣OP＝．故選：B．6．如圖，矩形ABCD的邊AB＝8，AD＝6，M為BC的中點，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足∠ADP＝∠PAB，N為邊CD上的一個動點，連接PN，MN，則PN+MN的最小值為．【答案】7【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠ADP＝∠PAB，∴∠ADP+∠PAD＝∠PAB+∠PAD＝∠BAD＝90°，∴點P的運動路線為以AD為直徑的圓，作以AD為直徑的⊙O，作點M關(guān)于直線DC的對稱點M′，連接OM′交⊙O于點P′，連接M′N，OP，則OP＝OP′＝3，M′N＝MN，∴PN+MN＝PN+M′N＝PN+M′N+OP﹣OP′≥OM′﹣OP′＝OM′﹣3，∴PN+MN的最小值為OM′﹣3；連接OM，∵四邊形ABCD是矩形，點O是AD的中點，點M為BC的中點，∴OD＝AD＝BC＝CM＝3，OD∥CM，∠ODC＝90°，∴四邊形OMCD是矩形，∴OM＝DC＝AB＝8，∵點M關(guān)于直線DC的對稱點M′，∴M′M＝2MC＝6，在Rt△M′OM中，由勾股定理，得OM′＝，∴PN+MN的最小值為OM′﹣3＝10﹣3＝7，故答案為：7．7．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝CE，連接AD，BE交于點F，連接CF，則∠AFB＝，CF的最小值是．【答案】120°，2．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，∴點F的運動軌跡是O為圓心，OA為半徑的弧上運動（∠AOB＝120°，OA＝2），連接OC交⊙O于N，當(dāng)點F與N重合時，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．故答案為：120°，2．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點E是AC的中點，點F是斜邊AB上任意一點，連接EF，將△AEF沿EF對折得到△DEF，連接DB，則△BDF周長的最小值是．【答案】4+【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，∴AC＝＝＝，如圖，以點E為圓心，AE為半徑作圓，連接BE，交⊙E于點D′，此時BD的長度最小，∵將△AEF沿EF對折得到△DEF，且點E是AC的中點，∴AF＝D′F，AE＝A′E＝，∵C△BD′F＝D′F+FB+BD′＝AF+FB+BD′＝AB+BD′，∴此時△BDF的周長最小，過E作EM⊥AB于點M，∴EM＝＝，由勾股定理可得AM＝＝＝，∴BM＝AB﹣AM＝，由勾股定理可得BE＝＝＝，∴BD′＝BE﹣ED′＝，∴△BD