2024年高考數(shù)學(xué)大一輪(人教A版文)第九章9.7　拋物線復(fù)習(xí)講義(學(xué)生版+解析)

§9.7拋物線考試要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用．知識梳理1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離________的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的________，直線l叫做拋物線的________．2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點準線方程對稱軸頂點離心率e＝____________常用結(jié)論1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．()(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1,0)．()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．()(4)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y.()教材改編題1．拋物線x2＝eq\f(1,4)y的準線方程為()A．y＝－eq\f(1,16) B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16) D．x＝eq\f(1,16)2．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9B．8C．7D．63．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于()A．2B．2eq\r(2)C．3D．3eq\r(2)(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．聽課記錄：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為eq\f(11,4)，則m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)(2)已知點P為拋物線y2＝－4x上的動點，設(shè)點P到l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)題型二拋物線的標準方程例2分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．(1)準線方程為2y＋4＝0；(2)過點(3，－4)；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求拋物線的標準方程的方法(1)定義法．(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點位置不確定時，分情況討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝3x(2)(2022·煙臺模擬)已知點F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8，O為坐標原點，若△OFP的面積為2eq\r(2)，則該拋物線的準線方程為()A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝－2 D．x＝－4題型三拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)(2021·新高考全國Ⅱ)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點到直線y＝x＋1的距離為eq\r(2)，則p等于()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點F，與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準線交于點D.若|AF|＝8，則下列結(jié)論正確的有________．(填序號)①p＝4；②eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))；③|BD|＝2|BF|；④|BF|＝4.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2021·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為______．(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點，M是拋物線上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，則|FN|＝________.§9.7拋物線考試要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.了解拋物線的簡單應(yīng)用．知識梳理1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對稱軸x軸y軸頂點(0,0)離心率e＝1常用結(jié)論1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線．(×)(2)方程y＝4x2表示焦點在x軸上的拋物線，焦點坐標是(1,0)．(×)(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(×)(4)以(0,1)為焦點的拋物線的標準方程為x2＝4y.(√)教材改編題1．拋物線x2＝eq\f(1,4)y的準線方程為()A．y＝－eq\f(1,16) B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16) D．x＝eq\f(1,16)答案A解析由拋物線的標準方程可得，拋物線的焦點位于y軸正半軸上，焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，準線方程為y＝－eq\f(1,16).2．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6答案B解析拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(3，y)到焦點F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案B解析由題意可得|MF|＝xM＋eq\f(p,2)，則3＋eq\f(p,2)＝4，即p＝2，故拋物線方程為y2＝4x.題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，點A在C上，點B(3,0)，若|AF|＝|BF|，則|AB|等于()A．2B．2eq\r(2)C．3D．3eq\r(2)答案B解析方法一由題意可知F(1,0)，拋物線的準線方程為x＝－1.設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，則由拋物線的定義可知|AF|＝eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1.因為|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．不妨取A(1,2)，則|AB|＝eq\r(1－32＋2－02)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).方法二由題意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因為拋物線的通徑長為2p＝4，所以AF的長為通徑長的一半，所以AF⊥x軸，所以|AB|＝eq\r(22＋22)＝eq\r(8)＝2eq\r(2).(2)已知點M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點為F.若對于拋物線上的一點P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．答案42或22解析當(dāng)點M(20,40)位于拋物線內(nèi)時，如圖①，過點P作拋物線準線的垂線，垂足為D，①②則|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.當(dāng)點M，P，D三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得20＋eq\f(p,2)＝41，解得p＝42.當(dāng)點M(20,40)位于拋物線外時，如圖②，當(dāng)點P，M，F(xiàn)三點共線時，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值為41，得eq\r(402＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(p,2)))2)＝41，解得p＝22或p＝58.當(dāng)p＝58時，y2＝116x，點M(20,40)在拋物線內(nèi)，故舍去．綜上，p＝42或p＝22.思維升華“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”，許多拋物線問題均可根據(jù)定義獲得簡捷、直觀的求解．“由數(shù)想形，由形想數(shù)，數(shù)形結(jié)合”是靈活解題的一條捷徑．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為eq\f(11,4)，則m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)答案D解析由題意知，拋物線y＝mx2(m>0)的準線方程為y＝－eq\f(1,4m)，根據(jù)拋物線的定義，可得點(x0,2)到焦點F的距離等于到準線y＝－eq\f(1,4m)的距離，可得2＋eq\f(1,4m)＝eq\f(11,4)，解得m＝eq\f(1,3).(2)已知點P為拋物線y2＝－4x上的動點，設(shè)點P到l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)答案B解析直線l：x＝1為拋物線y2＝－4x的準線，點P到準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線x＋y－4＝0的垂線，如圖所示，此時d1＋d2最小為點F到直線x＋y－4＝0的距離．∵F(－1,0)，∴(d1＋d2)min＝eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2).題型二拋物線的標準方程例2分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程．(1)準線方程為2y＋4＝0；(2)過點(3，－4)；(3)焦點在直線x＋3y＋15＝0上．解(1)準線方程為2y＋4＝0，即y＝－2，故拋物線焦點在y軸的正半軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p＞0)．又eq\f(p,2)＝2，∴2p＝8，故所求拋物線的標準方程為x2＝8y.(2)∵點(3，－4)在第四象限，∴拋物線開口向右或向下，設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把點(3，－4)的坐標分別代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，則2p＝eq\f(16,3)，2p1＝eq\f(9,4).∴所求拋物線的標準方程為y2＝eq\f(16,3)x或x2＝－eq\f(9,4)y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴拋物線的焦點為(0，－5)或(－15,0)．∴所求拋物線的標準方程為x2＝－20y或y2＝－60x.思維升華求拋物線的標準方程的方法(1)定義法．(2)待定系數(shù)法：當(dāng)焦點位置不確定時，分情況討論．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為()A．y2＝eq\f(3,2)xB．y2＝9xC．y2＝eq\f(9,2)xD．y2＝3x答案D解析如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D，設(shè)|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，∴p＝eq\f(3,2)，因此拋物線的方程為y2＝3x.(2)(2022·煙臺模擬)已知點F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，點P在拋物線上且橫坐標為8，O為坐標原點，若△OFP的面積為2eq\r(2)，則該拋物線的準線方程為()A．x＝－eq\f(1,2) B．x＝－1C．x＝－2 D．x＝－4答案B解析拋物線y2＝2px(p>0)的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，將點P的橫坐標代入拋物線得y2＝16p，可得y＝±4eq\r(p)，不妨令P(8,4eq\r(p))，則S△OFP＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×4eq\r(p)＝peq\r(p)＝2eq\r(2)，解得p＝2，則拋物線方程為y2＝4x，其準線方程為x＝－1.題型三拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)(2021·新高考全國Ⅱ)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點到直線y＝x＋1的距離為eq\r(2)，則p等于()A．1B．2C．2eq\r(2)D．4答案B解析拋物線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，其到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－0＋1)),\r(1＋1))＝eq\r(2)，解得p＝2(p＝－6舍去)．(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點F，與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線C的準線交于點D.若|AF|＝8，則下列結(jié)論正確的有________．(填序號)①p＝4；②eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))；③|BD|＝2|BF|；④|BF|＝4.答案①②③解析如圖所示，分別過點A，B作拋物線C的準線的垂線，垂足分別為點E，M，連接EF.設(shè)拋物線C的準線交x軸于點P，則|PF|＝p.因為直線l的斜率為eq\r(3)，所以其傾斜角為60°.因為AE∥x軸，所以∠EAF＝60°，由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，則△AEF為等邊三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，則∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故①正確；因為|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F為AD的中點，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，故②正確；因為∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故③正確；因為|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，故④錯誤．思維升華應(yīng)用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性．跟蹤訓(xùn)練3(1)(2021·新高考全國Ⅰ)已知O為坐標原點，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準線方程為______．答案x＝－eq\f(3,2)解析方法一(解直角三角形法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以eq\f(|OF|,|PF|)＝eq\f(|PF|,|FQ|)，即eq\f(\f(p,2),p)＝eq\f(p,6)，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的準線方程為x＝－eq\f(3,2).方法二(應(yīng)用射影定理法)由題易得|OF|＝eq\f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq\f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的準線方程為x＝－eq\f(3,2).(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點，M是拋物線上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，則|FN|＝________.答案16解析易知焦點F的坐標為(4,0)，準線l的方程為x＝－4，如圖，拋物線準線與x軸的交點為A，作MB⊥l于點B，NC⊥l于點C，AF∥MB∥NC，則eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(|BM|－|CN|,|OF|)，由3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，得eq\f(|MN|,|NF|)＝eq\f(3,5)，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以eq\f(|BM|－4,4)＝eq\f(3,5)，|BM|＝eq\f(32,5)，|MF|＝|BM|＝eq\f(32,5)，eq\f(|MF|,|NF|)＝eq\f(2,5)，所以|FN|＝16.課時精練1．(2022·桂林模擬)拋物線C：y2＝－eq\f(3,2)x的準線方程為()A．x＝eq\f(3,8) B．x＝－eq\f(3,8)C．y＝eq\f(3,8) D．y＝－eq\f(3,8)答案A解析y2＝－eq\f(3,2)x的準線方程為x＝eq\f(3,8).2．(2023·榆林模擬)已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點M(x0,1)到其焦點的距離為2，則該拋物線的焦點到其準線的距離為()A．6B．4C．3D．2答案D解析由題可知，拋物線準線為y＝－eq\f(p,2)，可得1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，所以該拋物線的焦點到其準線的距離為p＝2.3．(2023·福州質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，動點P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A．y2＝2x B．y2＝4xC．y2＝－4x D．y2＝－8x答案D解析由題意知動點P(x，y)到直線x＝2的距離與到定點(－2,0)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以(－2,0)為焦點，x＝2為準線的拋物線，所以p＝4，軌跡方程為y2＝－8x.4．(2022·北京模擬)設(shè)M是拋物線y2＝4x上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O是坐標原點，若∠OFM＝120°，則|FM|等于()A．3B．4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)答案B解析過點M作拋物線的準線l的垂線，垂足為點N，連接FN，如圖所示，因為∠OFM＝120°，MN∥x軸，則∠FMN＝60°，由拋物線的定義可得|MN|＝|FM|，所以△FNM為等邊三角形，則∠FNM＝60°，拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1，設(shè)直線x＝－1交x軸于點E，則∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，則|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F到準線的距離為4，直線l過點F且與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是線段AB的中點，則下列結(jié)論錯誤的是()A．p＝4B．拋物線方程為y2＝16xC．直線l的方程為y＝2x－4D．|AB|＝10答案B解析由焦點F到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知p＝4，故A正確；則拋物線的方程為y2＝8x，焦點F(2,0)，故B錯誤；則yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，若M(m,2)是線段AB的中點，則y1＋y2＝4，∴yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8x1－8x2，易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(8,4)＝2，∴直線l的方程為y＝2x－4，故C正確；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正確．6．(2022·金陵模擬)在平面直角坐標系xOy中，點F是拋物線C：y2＝ax(a>0)的焦點，點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在拋物線C上，則下列結(jié)論正確的是()①C的準線方程為x＝eq\f(\r(2),4)；②b＝eq\r(2)；③eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2；④eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(16\r(2),15).A．①② B．②③C．①④ D．②④答案D解析因為點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))(a>0)，B(a，b)(b>0)在拋物線C上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12＝\f(a2,2)，,b2＝a2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝\r(2)，))故②正確；則拋物線C：y2＝eq\r(2)x，拋物線C的準線方程為x＝－eq\f(\r(2),4)，故①錯誤；則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，B(eq\r(2)，eq\r(2))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(2)＋1×eq\r(2)＝1＋eq\r(2)，故③錯誤；拋物線C的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，0))，則|AF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2＋0－12)＝eq\f(3\r(2),4)，|BF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)－\r(2)))2＋0－\r(2)2)＝eq\f(5\r(2),4)，則eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2\r(2),3)＋eq\f(2\r(2),5)＝eq\f(16\r(2),15)，故④正確．7.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面為l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．則水位下降1米后，水面寬________米．答案2eq\r(6)解析建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，則點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時，x2＝6，所以水面寬為2eq\r(6)米．8．(2021·北京)已知拋物線C：y2＝4x，焦點為F，點M為拋物線C上的點，且|FM|＝6，則M的橫坐標是________，作MN⊥x軸于N，則S△FMN＝________.答案54eq\r(5)解析因為拋物線的方程為y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，因為|FM|＝6，所以xM＋eq\f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq\r(5)，所以S△FMN＝eq\f(1,2)×(5－1)×2eq\r(5)＝4eq\r(5).9．過拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，當(dāng)點A的縱坐標為1時，|AF|＝2.(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C上存在點M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直線l的方程．解(1)拋物線C：x2＝2py(p>0)的準線方程為y＝－eq\f(p,2)，焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).當(dāng)點A的縱坐標為1時，|AF|＝2，∴1＋eq\f(p,2)＝2，解得p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.(2)∵點M(－2，y0)在拋物線C上，∴y0＝eq\f(－22,4)＝1，M坐標為(－2,1)．又直線l過點F(0,1)，∴設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1)．∵MA⊥MB，∴eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.當(dāng)k＝0時，l過點M，不符合題意，∴k＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋1.10．已知在拋物線C：x2＝2py(p>0)的第一象限的點P(x,1)到其焦點的距離為2.(1)求拋物線C的方程和點P的坐標；(2)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))的直線l交拋物線C于A，B兩點，若∠APB的角平分線與y軸垂直，求弦AB的長．解(1)由1＋eq\f(p,2)＝2，可得p＝2，故拋物線的方程為x2＝4y，當(dāng)y＝1時，x2＝4，又因為x>0，所以x＝2，所以點P的坐標為(2,1)．(2)由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)＋eq\f(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k＋\f(1,2)，,x2＝4y，))得x2－4kx－4k－2＝0，所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，因為∠APB的角平分線與y軸垂直，所以kPA＋kPB＝0，所以kPA＋kPB＝eq\f(y1－1,x1－2)＋eq\f(y2－1,x2－2)＝0，即eq\f(\f(x\o\al(2,1),4)－1,x1－2)＋eq\f(\f(x\o\al(2,2),4)－1,x2－2)＝0，即x1＋x2＋4＝0，所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝4.11．(2023·茂名模擬)以拋物線C：y2＝4x的焦點F為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點，已知|AB|＝8，則|DE|＝________.答案2eq\r(21)解析由拋物線方程知eq\f(p,2)＝1，∴F(1,0)，不妨設(shè)點A在第一象限，如圖所示，由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，∴圓的半徑r＝eq\r(32＋42)＝5，∴|DE|＝2eq\r(r2－p2)＝2eq\r(2