河北省保定市高陽宏利佳學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年河北省保定市高陽縣宏利佳學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共16小題，每小題3分，共48分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的有(

)A. B. C. D.2.下列方程是一元二次方程的是(

)A. B.

C. D.3.把拋物線先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，所得的拋物線是(

)A. B.

C. D.4.如圖，在中，將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A在邊上，則的大小為(

)A.

B.

C.

D.5.若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是.(

)A. B. C. D.6.關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根為0，則a的值是(

)A. B.1 C.4或 D.或17.在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象可能為(

)A. B.

C. D.8.如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC邊向點(diǎn)C以的速度勻速移動(dòng)，同時(shí)另一點(diǎn)Q由C點(diǎn)開始以的速度沿著射線CB勻速移動(dòng)，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(

)

A.5秒 B.20秒 C.5秒或20秒 D.不確定9.頂點(diǎn)為且開口方向、形狀與函數(shù)的圖象相同的拋物線是(

)A. B. C. D.10.已知函數(shù)是常數(shù)，，下列結(jié)論正確的是(

)A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過點(diǎn)

B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)

C.若，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小

D.若，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大11.在一次籃球聯(lián)賽中，每個(gè)小組的各隊(duì)都要與同組的其他隊(duì)比賽兩場(chǎng)，然后決定小組出線的球隊(duì)．如果某一小組共有x個(gè)隊(duì)，該小組共賽了90場(chǎng)，那么列出正確的方程是(

)A. B. C. D.12.二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則代數(shù)式的值為(

)A. B. C.2 D.513.小剛在解關(guān)于x的方程時(shí)，只抄對(duì)了，，解出其中一個(gè)根是他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小則原方程的根的情況是(

)A.不存在實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

C.有一個(gè)根是 D.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根14.如圖所示，已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是4，圖象交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)B，且，那么AB的長(zhǎng)是(

)A.

B.m

C.

D.15.圖1和圖2中所有的小正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中①②③④的某一位置，使它與原來7個(gè)小正方形組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，這個(gè)位置是(

)A.①

B.②

C.③

D.④16.如上圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；④；⑤當(dāng)時(shí)，有其中正確的有個(gè)(

)A.2

B.3

C.4

D.5二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分。17.對(duì)于實(shí)數(shù)p、q，我們用符號(hào)表示p、q兩數(shù)中較小的數(shù)，如，若，則______.18.拋物線，若其頂點(diǎn)在x軸上，則______.19.如圖所示的一座拱橋，當(dāng)水面寬AB為12m時(shí)，橋洞頂部離水面4m，已知橋洞的拱形是拋物線．以水平方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若選取點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，則拋物線的解析式是__________.

20.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E在CD上，，將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，連接DF，則DF的長(zhǎng)為______.

三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.本小題8分

嘉琪準(zhǔn)備完成題目：解一元二次方程□

若“□”表示常數(shù)，請(qǐng)你用配方法解方程：；

若“□”表示一個(gè)字母，且一元二次方程□有實(shí)數(shù)根.求“□”的最大值.22.本小題8分

如圖，，，，，

繞點(diǎn)______逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)______度得到；

畫出繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，點(diǎn)坐標(biāo)______；若內(nèi)一點(diǎn)在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q，則Q的坐標(biāo)為______用含m，n的式子表示

在x軸上描出點(diǎn)M，使最小，此時(shí)______.23.本小題8分

如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動(dòng)臂AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，擺動(dòng)臂DM可繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，，

在旋轉(zhuǎn)過程中，

①當(dāng)A，D，M三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

②當(dāng)A，D，M三點(diǎn)為同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求AM的長(zhǎng)．

若擺動(dòng)臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D的位置由外的點(diǎn)轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)處，連結(jié)，如圖2，此時(shí)，，求的長(zhǎng)．

24.本小題8分

如圖是2019年1月份的日歷．任意選擇圖中的菱形框部分，將每個(gè)菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對(duì)的兩對(duì)數(shù)分別相乘，再相減，例如：，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48

請(qǐng)證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；

小明說：他用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120，請(qǐng)判斷他的說法是否正確．25.本小題8分

我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)合作化銷售中，其中一農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)月銷售量萬件與月份月的關(guān)系為：，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)元與月份月的關(guān)系如下表：x123456789101112z1918171615141312111098請(qǐng)你根據(jù)表格求出每件產(chǎn)品利潤(rùn)元與月份月的關(guān)系式；

若月利潤(rùn)萬元當(dāng)月銷售量萬件當(dāng)月每件產(chǎn)品的利潤(rùn)元，求月利潤(rùn)

萬元與月份月的關(guān)系式；

當(dāng)x為何值時(shí)，月利潤(rùn)w有最大值，最大值為多少？26.本小題8分

如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)

寫出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)______；

點(diǎn)是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在直線AC上，并說明理由；

若點(diǎn)E是拋物線上的點(diǎn)，且在直線AC的上方，過點(diǎn)E作軸交線段AC于點(diǎn)F，求線段EF的最大值．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A、該圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，符合題意；

B、該圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

C、該圖形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；

D、該圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；

故選：

根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形；在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形是解題的關(guān)鍵．2.【答案】D

【解析】解：A、時(shí)是一元一次方程，故A錯(cuò)誤；

B、是一元一次方程，故B錯(cuò)誤；

C、是分式方程，故C錯(cuò)誤；

D、是一元二次方程，故D正確．

故選：

根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)．由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案．

本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是3.【答案】C

【解析】解：把拋物線先向下平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，所得的拋物線是，

故選：

根據(jù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減寫出解析式即可．

此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．4.【答案】A

【解析】解：由旋轉(zhuǎn)得：，

，

，

，

故選：

根據(jù)題意：繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)角為，則：，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出的大小．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單；明確旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)角相等，及兩直角三角形的兩銳角互余．5.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．分別計(jì)算、、1時(shí)的函數(shù)值，然后比較大小即可．

【解答】

解：當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

所以

故選6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意知，是關(guān)于x的一元二次方程的根，

，

解得，或，

，

故選：

根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入關(guān)于x的一元二次方程，列出關(guān)于a的一元一次方程，通過解方程即可求得a的值．

本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的解使方程的左右兩邊相等．7.【答案】A

【解析】解：A、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，正確；

B、由拋物線可知，，由直線可知，，錯(cuò)誤；

C、由拋物線可知，，，得，由直線可知，，，錯(cuò)誤；

D、由拋物線可知，，由直線可知，，錯(cuò)誤．

故選：

本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．

本題考查拋物線和直線的性質(zhì)，用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法．8.【答案】C

【解析】解：由題意，，

，

，

，

解得或5，

或5s時(shí)，的面積為

故選：

根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于中考?？碱}型．9.【答案】A

【解析】解：設(shè)拋物線的解析式為，且該拋物線的形狀與開口方向和拋物線相同，

，

，

故選：

設(shè)拋物線的解析式為，由條件可以得出，再將定點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式就可以求出結(jié)論．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點(diǎn)式運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，在解答時(shí)運(yùn)用拋物線的性質(zhì)求出a值是關(guān)鍵．10.【答案】D

【解析】解：A、當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)，故錯(cuò)誤；

B、當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；

C、拋物線的對(duì)稱軸為直線，若，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故錯(cuò)誤；

D、拋物線的對(duì)稱軸為直線，若，則當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故正確；

故選：

把，代入，于是得到函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)，得到函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線判斷二次函數(shù)的增減性．

本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題．

如果設(shè)某一小組共有x個(gè)隊(duì)，那么每個(gè)隊(duì)要比賽的場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)，有x個(gè)隊(duì)，那么一共比賽的場(chǎng)數(shù)可表示為，然后根據(jù)題意列出方程即可.

【解答】

解：設(shè)某一小組共有x個(gè)隊(duì)，

那么每個(gè)隊(duì)要比賽的場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)，

該小組共賽了90場(chǎng)，

所列方程為

故選12.【答案】B

【解析】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

，

，

故選：

把點(diǎn)代入函數(shù)解析式求出，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．13.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查一元二次方程的解，根的判別式，正確得出c的值是解題關(guān)鍵．

直接把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)而得出原方程的c值，再根據(jù)判別式求出答案．

【解答】

解：小剛在解關(guān)于x的方程時(shí)，

只抄對(duì)了，，解出其中一個(gè)根是，

小剛解的方程是，

，

解得：，

故原方程中，

原方程中，，

原方程不存在實(shí)數(shù)根．14.【答案】C

【解析】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象的頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是4，

所以拋物線對(duì)稱軸所在直線為，交x軸于點(diǎn)D，

所以A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

因?yàn)辄c(diǎn)，且，即，

所以，

故選

利用圖象可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)-對(duì)稱軸解答即可．

考查二次函數(shù)的兩點(diǎn)間距離的求法，注意結(jié)合圖象．15.【答案】C

【解析】解：當(dāng)正方形放在③的位置，即是中心對(duì)稱圖形．

故選：

根據(jù)把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了中心對(duì)稱圖形的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．16.【答案】B

【解析】解：拋物線對(duì)稱軸為直線，

，

，故①正確；

②拋物線開口向下，與y軸相交與正半軸，

，，

，

，故②錯(cuò)誤；

拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；

由拋物線對(duì)稱性，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，，

，

，故④錯(cuò)誤；

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，故⑤正確．

故選：

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系一一判斷即可．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，解答關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．17.【答案】2或

【解析】解：，

當(dāng)時(shí)，，不可能得出最小值為1，

當(dāng)時(shí)，，

則，

，

，，

解得：，不合題意，舍去，

當(dāng)時(shí)，，

則，

解得：不合題意，舍去，，

綜上所述：x的值為：2或

故答案為：2或

首先理解題意，進(jìn)而可得時(shí)分情況討論，當(dāng)時(shí)，時(shí)和時(shí)，進(jìn)而可得答案．

此題主要考查了解一元二次方程-直接開平方法，實(shí)數(shù)的比較大小，以及分類思想的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確理解題意．18.【答案】1

【解析】解：，

由若其頂點(diǎn)在x軸上，得

，

解得

故答案為：

根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)式函數(shù)解析式，根據(jù)頂點(diǎn)在x軸上，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用頂點(diǎn)在x軸上的出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．19.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖形確定出拋物線經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、，設(shè)出交點(diǎn)式，然后利用待定系數(shù)法求解即可．

【解答】

解：根據(jù)題意，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、，

設(shè)拋物線的解析式為，

則將點(diǎn)代入得：

解得：

拋物線的解析式為

故答案為：20.【答案】或

【解析】解：當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上時(shí)，如圖，

四邊形ABCD為正方形，

，，

，

，

線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，

，

在和中

，

，

，

，

當(dāng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，如圖，

同樣可證明，

，

，

，

故答案為：或；

分類討論：當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上時(shí)，如圖，利用正方形的性質(zhì)得，，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，則可證明，所以，于是得到，由勾股定理可求DF的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)F落在BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)時(shí)，如圖，同樣可證明，得到，則，由勾股定理可求DF的長(zhǎng)，即可求解．

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．21.【答案】解：，

，即，

解得，

設(shè)□中為m，則，

由題意得，，

解得，

□的最大的值為

【解析】按配方法的一般步驟求解即可；

設(shè)□中為m，根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式求出m后找出最大整數(shù)即可．

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根；也考查了配方法解一元二次方程．22.【答案】

【解析】解：繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，

故答案為：A；90；

如圖所示，即為所求，，，

故答案為：，；

如圖所示，點(diǎn)M即為所求，

，

故答案為：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合網(wǎng)格即可求解；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解，再根據(jù)圖形寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

過點(diǎn)A作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為所求，再根據(jù)勾股定理求出即可．

本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：①，或

②顯然不能為直角．

當(dāng)為直角時(shí)，，

或舍棄

當(dāng)時(shí)，，

或舍棄

綜上所述，滿足條件的AM的值為或

如圖2中，連接

由題意：，，

，，

，

，

，

，

，

，

，，

≌，

【解析】①分兩種情形分別求解即可．

②顯然不能為直角，當(dāng)為直角時(shí)，根據(jù)，計(jì)算即可，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，計(jì)算即可．

連接首先利用勾股定理求出，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．

本題屬于四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．24.【答案】證明：設(shè)中間的數(shù)為a，則另外4個(gè)數(shù)分別為，，，，

解：設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x，則最小數(shù)為，

依題意，得：，

解得：，不合題意，舍去

在第一列，

不符合題意，

小明的說法不正確．

【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)中間的數(shù)為a，則另外4個(gè)數(shù)分別為，，，，利用相對(duì)的兩對(duì)數(shù)分別相乘再相減，可證出規(guī)律成立；

設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x，則最小數(shù)為，根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的積是120，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，由該值在第一列可知不符合題意，進(jìn)而可得出小明的說法不正確．25.【答案】解：

依題意，設(shè)每件產(chǎn)品利潤(rùn)元與月份月的關(guān)系式為：，由表中的數(shù)據(jù)有

，解得，

故每件產(chǎn)品利潤(rùn)元與月份月的關(guān)系式為：；

依題意，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

均為整