2024屆河北省秦皇島市部分高中高三二模數(shù)學(xué)試題含答案

高三數(shù)學(xué)考試本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答；每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答；用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.數(shù)據(jù)24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位數(shù)是（）A.34.5 B.46 C.49 D.522.已知集合，，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，則“”是“與共線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件4.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的值為（）A. B. C. D.5.將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前30項(xiàng)的和為（）A.3255 B.5250 C.5430 D.62356.已知函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且，則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.7.已知A，B為橢圓：上兩個(gè)不同的點(diǎn)（直線與y軸不平行），F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，且，若線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則（）A. B. C. D.8.已知直線與函數(shù)的圖象相切，則函數(shù)的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知非零復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則存在實(shí)數(shù)，使得10.如圖，在直四棱柱中，四邊形是矩形，，，，點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M是側(cè)面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線與直線所成角的余弦值為B.存在點(diǎn)，使得C.若點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為D.若點(diǎn)到平面的距離與到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分11.已知函數(shù)滿足：對，都有，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某節(jié)體育課上，胡老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學(xué)生不同的排法共有__________種.13.已知雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的離心率為_________.14.已知正三棱臺的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，且，則正三棱臺的體積為___________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.16.（本小題滿分15分）羽毛球是一項(xiàng)隔著球網(wǎng)，使用長柄網(wǎng)狀球拍擊打平口端扎有一圈羽毛的半球狀軟木的室內(nèi)運(yùn)動(dòng)，某學(xué)校為了解學(xué)生對羽毛球的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)得到如下2×2列聯(lián)表：喜歡不喜歡總計(jì)男生4060100女生8020100總計(jì)12080200（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是否喜歡羽毛球”與性別有關(guān)聯(lián)?（2）為了增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)羽毛球的積極性，從調(diào)查結(jié)果為“喜歡”的學(xué)生中按性別用分層抽樣的方法抽取6人參加羽毛球集訓(xùn)，再從這6人中隨機(jī)抽取3人參加羽毛球比賽，記隨機(jī)變量X為這3人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82817.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，，，，，E是棱的中點(diǎn)，且平面，點(diǎn)F是棱上的一點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的長18.（本小題滿分17分）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是x軸下方的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作E的兩條切線，，且，分別交x軸于M，N兩點(diǎn).（1）求證：F，P，M，N四點(diǎn)共圓；（2）過點(diǎn)F作y軸的垂線，分別交于A，B兩點(diǎn)，求的面積的最小值。19.（本小題滿分17分）定義：如果函數(shù)和的圖象上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于x軸對稱，則稱函數(shù)和具有C關(guān)系.（1）判斷函數(shù)和是否具有C關(guān)系；（2）若函數(shù)和不具有C關(guān)系，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關(guān)系，求m的取值范圍.

數(shù)學(xué)答案1.C先按照從小到大排序：15，16，24，24，28，37，39，45，46，52，53，61，共12個(gè)數(shù)據(jù)，12×75%=9.第9，10個(gè)數(shù)據(jù)分別為46，52，則第75百分位數(shù)為.故選C.2.D由題意可得，，故，故選D.3.A向量，，若與共線，則.解得或，所以“”是“與共線”的充分不必要條件，故選A.4.C因?yàn)?，由正弦定理得，所以，又，由余弦定理得，又，所以，所以，所?故選C，5.C顯然數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，令，其中，可得，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，且，公差為，所以的前30項(xiàng)的和為.故選C.6.B由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，則，所以，，故，解得，所以.對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選B.7.A由題意知，設(shè)，，根據(jù)點(diǎn)A，B在C上，則，，所以，同理可得，所以，所以，所以線段的中點(diǎn)為，，則垂直平分線的斜率為，又，，作差化簡得，則線段垂直平分線的方程為，令，得：，解得，所以.故選A.8.B設(shè)切點(diǎn)為，又，所以解得，，.令，，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即，令，得；令，得，所以函數(shù)的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，即函數(shù)的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值為.故選B.9.BD取，，此時(shí)，但是，故A錯(cuò)誤；設(shè)，，所以，，又，所以，整理得，所以，故B正確；取，，此時(shí)，但是，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，整理得，所以，所以存在?shí)數(shù)，使得，故D正確.故選BD.10.ACD以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，，，，，，所以，，所以，，所以直線與直線所成角的余弦值為，故A正確；由題意，設(shè)，則，又，若，則，解得，所以不存在點(diǎn)M，使得，故B錯(cuò)誤；設(shè)，所以，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，此時(shí)，所以點(diǎn)M到直線的距離的最小值為，故C正確；設(shè)，則點(diǎn)M到平面的距離為z，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離為.因?yàn)辄c(diǎn)M到平面的距離與到點(diǎn)的距離相等，所以，整理得（其中，），即點(diǎn)M的軌跡方程為，是拋物線的一部分，故D正確.故選ACD.11.ACD令，則，令，則，所以，因?yàn)?，所以，令，，則，故A正確；結(jié)合選項(xiàng)A可得，所以或.若，則，所以，此時(shí)與矛盾，舍去；若，則，解得，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；令，則，因?yàn)?，，所以，所以為偶函?shù)，令，則，所以，令，則，即故C正確；由為偶函數(shù)，所以，則，則，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，又，所以，故D正確.故選ACD.12.72讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，所以符合題設(shè)的不同的排法共有120-48=72種.13.記C的右焦點(diǎn)為，連接，，如圖所示.過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，所以?因?yàn)?，所?在中，由余弦定理可得，因?yàn)椋?，即，即C的離心率為.14.或設(shè)點(diǎn)，分別是，的外接圓的圓心，球O的半徑為R，則，解得，且，，O三點(diǎn)共線，正三棱臺的高為，在等邊中，，由正弦定理可得：，得.在等邊中，，由正定理可，得.在中，，即，得，在中，，即，得，如果三棱臺的上下底面在球心O的同側(cè)，如圖1所示，則正三棱臺的高為，所以正三棱臺的體積.如果三棱臺的上下底面在球心O的兩側(cè)，如圖2所示，則正三棱臺的高為，此時(shí)正三棱臺的體積.綜上，正三棱臺的體積為或.15.（1）解：因?yàn)閿?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又，所以.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，又是等比數(shù)列，所以，所以，解得，所以.（2）證明：由（1）知，所以又，所以.16.解：（1）零假設(shè)為：“是否喜歡羽毛球”與性別無關(guān)聯(lián)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為“是否喜歡羽毛球”與性別有關(guān)聯(lián).（2）依題意，抽取的6人中，男生人數(shù)為：人，女生人數(shù)為人X的所有可能取值為1，2，3，所以，，，X的分布列為：123.17.（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接，，，因?yàn)镋是棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以.在中，，，又O是的中點(diǎn)，所以，，又易得，，所以，所以，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：因?yàn)?，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，所以，所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以，，，，，設(shè)，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，所以令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量，又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，所以，解得或，所以或.18.（1）證明：設(shè)，分別與E切于，，由，得，所以，所以直線的斜率為，直線的方程為，即，令，解得，所以.直線的斜率為，直線的方程為，即，令，解得，所以.由，解得，，即.所以，，所以，，所以M，N在以為直徑的圓上，即F，P，M，N四點(diǎn)共圓.（2）解：易得直線的方程為，又直線的方程為，令，解得，即，直線的方程為，令，解得，即.所以，又，所以P到的距離為，所以.設(shè)，，，由，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以.令，所以，所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即的面積的最小值是.19.解：（1）與具有C關(guān)系，理由如下：根據(jù)定義，若與具有C關(guān)系，則在與的定義域的交集上存在x，使得，又，，所以，即，解得，所以與具有C關(guān)系.（2）因?yàn)?，，令，因?yàn)榕c不具有C關(guān)系，又在上的圖象連續(xù)不斷，所以在上恒為負(fù)或恒為正.若在上恒成立，則，即，又當(dāng)時(shí)，，令，所以，令，所以，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以不存在使得在上恒成立.若在上恒成立，即，令，所以，又在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，