湖南省長沙市2023-2024學(xué)年高二年級下冊入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

長沙市周南中學(xué)2024年上學(xué)期高二年級入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

考試時間：120分鐘

一、單項選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z（2+1）+1=2（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

44D.4

A.B.C

55m5

【答案】B

【解析】

34i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算計算可得z=m-二，再由虛部定義可得結(jié)果.

22

（2-i）_4+i-4i_3-4i3_4i_

【詳解】由z（2+i）+i=2可得z=

-

2+i（2+i）（2-i）-4-i2-55y

4

所以可得Z的虛部為--.

5

故選：B

2.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且/（—3）=—2,則八3）+/（0）=（）

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分別求得/（0）=0和/（3）=2,即可求解.

【詳解】因為函數(shù)/（九）為定義在R上的奇函數(shù)，可得/（。）=0,

又因為/（-3）=-2,可得/（—3）=—〃3）=—2,所以"3）=2,

所以〃3）+/（0）=2.

故選：C.

3.四個數(shù)2°8,3°s,logos"1。80.4。-5的大小關(guān)系為（）

08080808

A.3->log040.5>2->log034B.3>2>log034>log040.5

08080808

C.log040.5>3>2>log034D.3>2>log040.5>log034

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)累函數(shù)的單調(diào)性可判斷208，30-8的范圍以及大小關(guān)系，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷l(xiāng)ogo.34,

logoiOS的范圍以及大小關(guān)系，即可得答案.

【詳解】因為y=x0-8在（0,+8）上單調(diào)遞增，故308>208>108=1；

由于y=logo,3］在（0,+8）上單調(diào)遞減,故logo,34<logo,31=0，

由于y=log04x在（0,+co）上單調(diào)遞減,故0=log041<log040.5<log040.4=1,

故30">2°s>k）go40.5>k）go；34,

故選：D

2222

4.橢圓上+與=1與雙曲線土—匕=1有相同的焦點，則。的值為（）

4a"a2

A.1B.72C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

由雙曲線方程知a>0,結(jié)合橢圓方程及共焦點有/<4且4-6=a+2,即可求。值.

22

【詳解】由雙曲線二—乙=1知：a>0且（土疝工,0）,

a2

22

而其與橢圓土+1=1有相同焦點，

4CT

a?<4且4-a?=a+2，解得a=l，

故選：A

5.已知。力是兩個不共線的單位向量，向量;彳:+〃1（4〃eR）.“幾>0,且〃>0”是“c-（a+b）>0

的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】舉例驗證必要性，通過向量的運算來判斷充分性.

【詳解】當(dāng)2>0,且〃>0時，

c-^a+b^=^/La+/nb^-(a+b^=Xa+(A+jU^a-b+p.b=2+M+(7l+〃)cos(a,b)

>/l+〃一(九+〃)=0,充分性滿足；

當(dāng)c?(a+6)>0時，

a(a+b)=4+〃+(4+〃)cos(a,6)，當(dāng)九〉0,〃=0時，

c-(a+b)=2+/lcos(a,6)是可以大于零的，

即當(dāng)c-(a+6)>0時，可能有4〉0,〃=0,必要性不滿足，

故“幾>0,且〃>0”是ac-(a+b)>0^^的充分而不必要條件.

故選：A.

6.在第19屆杭州亞運會期間，某項目有A6,C,。四個不間的服務(wù)站，現(xiàn)需要將包含甲在內(nèi)的5名志愿

者分配到這四個不同的服務(wù)站，每個服務(wù)站至少一名志感者，則甲志愿者被分到A服務(wù)站的不同分法的種

數(shù)為()

A.80B.120C.160D.60

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件可知，肯定有一個服務(wù)站安排兩個人，該問題分為兩類，一類A服務(wù)站安排兩人，

一類是A服務(wù)站只安排1人，運用分類加法及分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】當(dāng)A服務(wù)站安排兩人時，除甲外的其余4人每人去一個服務(wù)站，不同的安排方法有A：種，

當(dāng)A服務(wù)站只安排有1人(甲)時，其余4人分成3組(211)再安排到剩余的3個服務(wù)站，不同的安排方

法有C；A；,

所以不同的安排方法有A：+C：A：=24+36=60種.

故選：D.

7.若圓好+丁=產(chǎn)0>0)上恒有4個點到直線/：%—y—2=。的距離為1,則實數(shù)廠的取值范圍是

()

A.+l,+ooB.^A/2—1,A/2+1jC.(0,+8)D.(虛-l,+oo

【答案】A

【解析】

【分析】求出圓心到直線/：龍—y—2=0的距離，要使得圓爐+產(chǎn)=/&>（））上恒有4個點到直線

/:x-y-2=0的距離為1,作出圖示，由此列出半徑需滿足的不等式，即得答案.

【詳解】由題意得圓必+丁=/&〉0）的圓心到直線/：%一丁一2=。的距離為4=*=后〉1,

要使得圓V+丁=尸”>0）上恒有4個點到直線/：%—y—2=。的距離為1,

需滿足直線/：x-y-2=0與圓相交，且與/平行且距離為1的兩平行直線4,4與圓也相交，如圖示：

結(jié)合圖示可知，圓的半徑應(yīng)大于圓心到直線4的距離0+1，

即實數(shù)廠的取值范圍是（、歷+1,+”）,

故選：A

8.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，我

們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率萬與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓

22

。：二+3=1（?！?〉0）的面積為6?，兩個焦點分別為耳，工，點尸為橢圓C的上頂點，直線,=去

a'b~

4

與橢圓C交于A,8兩點，若PAM的斜率之積為-一，則橢圓C的短軸長為（）

9

A.2B.4C.3D.6

【答案】B

【解析】

I）24

【分析】由題意得到方程組"=6①和二=主②，即可解出心b,求出短軸長.

a29

【詳解】橢圓的面積S二漢加二6?,即"二6①

因為點P為橢圓C的上頂點，所以P(o,b)

2H2

因為直線y=丘與橢圓C交于A,5兩點，不妨設(shè)A(W),貝I5(-加,一〃)且二+1,所以

a

22

22an

m-a——后一

4n—h一〃一h4〃2力2川A

因為P/4,P3的斜率之積為-一，所以上出-----,把m2=/—?_代入整理化簡得：勺=上

9m-m9ba9

②

②聯(lián)立解得：a=3,b=2.

所以橢圓C的短軸長為力=4.

故選：B

二、多項選擇題：本大題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對部分給分，有選錯的得0分.

9.如圖是導(dǎo)函數(shù)y=/'(%)的圖象，則下列說法正確的是()

A.(-L3)為函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間

B.(0,3)為函數(shù)y=/(無)的單調(diào)遞減區(qū)間

C.函數(shù)y=f(x)在1=3處取得極大值

D.函數(shù)y=/(x)在x=5處取得極小值

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)—1<X<3時，/'(尤)>0,即可判斷A,B；利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系，即可

判斷C,D.

【詳解】對于A,B,當(dāng)—1<%<3時，/'(x)>0,故(—1,3)為函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，故A正

確，B錯誤；

對于C,當(dāng)—I<xv3時，r(x)>0,當(dāng)3<x<5時，/。)<。，故x=3是函數(shù)的極大值點，故C正

確；

對于D,當(dāng)3<%<5時，r（%）<0,當(dāng)x>5時，f'M>0,故x=5是函數(shù)的極小值點，故D正確.

故選：ACD.

10.某學(xué)校組織了一次勞動技能大賽，共有100名學(xué)生參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在

[40,90]內(nèi)，得分60分以下為不及格，其得分的頻率分布直方圖如圖所示（按得分分成[40,50）,

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）這五組），則下列結(jié)論正確的是（）

A.直方圖中a=0.005

B.此次比賽得分及格的共有60人

C.以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[50,80）,的概率為0.75

D.這100名參賽者得分的第80百分位數(shù)為75

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)直方圖的性質(zhì)求出并逐項分析即可可得答案.

【詳解】對于A,由（。+0.035+0.030+0.020+0.010）x10=1得。=0。05，故A正確;

對于B,此次比賽得分及格的共有（0.030+0.020+0.010）x10x100=60人，故B正確；

對于C,以頻率為概率，從這100名參賽者中隨機選取1人，

其得分在［50,80)的概率為(0.035+0.030+0.020)x10=0.85,故C錯誤;

對于D,因為(0.005+0.035+0.030+0.020)x10=0.9,

所以第80百分位數(shù)在[70,80）內(nèi)，可得這100名參賽者得分的第80百分位數(shù)為70+"F。75

0.2

故D正確.

故選：ABD.

11.在棱長為2的正方體ABC。—44GR中，E,尸分別為A5，的中點，則（）

A.異面直線。2與耳尸所成角的余弦值為更

5

B.點尸為正方形A/1G2內(nèi)一點，當(dāng)DP平面片歷時，。。的最小值為述

2

C.過點A,E，F(xiàn)的平面截正方體ABCD-ABCR所得的截面周長為2萬+J5

D.當(dāng)三棱錐耳-3EE的所有頂點都在球。的表面上時，球。的表面積為67

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于選項A：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在放537中/5男尸即為異面直線。，與男戶所成的

角，即可計算得出答案判定；

對于選項B：取AA的中點“，2G的中點N,連接"N,DM,DN,得到0MB.F,

DNB.E,即可證明面QAW面B]EF,則根據(jù)已知得出P軌跡為線段MN,則過。作DPLMN,

此時。P取得最小值，計算得出即可判定；

對于選項C：過點2、E、F的平面截正方體ABC。-44GR所得的截面圖形為五邊形2"EFN,得

出?！癷NE,D[NME,設(shè)=CN=n,以。為原點，分別以ZM、DGOD]方向為x軸、y

軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,得出“E，D[N,D\M,NE的坐標(biāo)，則可根據(jù)

DXMNF,D[NME列式得出AM,CN,即可得出A",Q2V,在放..口片加中得出，“，同

理得出QN,在應(yīng)△MAE中得出ME，同理得出￡N,在RtAEBF中得出EF,即可得出五邊形

AMEEN的周長，即過點D、E、尸的平面截正方體ABC。-A4GR所得的截面周長，即可判定；

對于選項D：取所的中點。一則0田=0尸過。|作。01〃3男，

且使得0a=334=1,則。為三棱錐的外接球的球心，則。￡為外接球的半徑，計算得出半

徑即可求出球。的表面積，即可判定.

【詳解】對于A選項，DD,//BB-

在Rt..BB.F中/BBF即為異面直線DD]與B.F所成的角,

，異面直線DR與B[F所成的角的余弦值為正.故A錯誤；

5

對于B選項，取A2的中點的中點N,取AD的中點S,連接MN,DM，DN,\S,SF,

SFABA,B],SF=AB=A[B},

A4FS..MB[FASDMMDBXF,

同理可得ONBXE,

又?ZWa面片EP,B[Fu面B[EF,DNe面B〔EF,B〔Eu面B】EF,

DM面B[EF,DN面B[EF,

又?DMcDN=D,DM、DNu面DMN,

???面DVW面B]EF,

又?DP面耳口7,。仁面片片。]。，

軌跡為線段MN,

；.在一。MN中,過。作DPLMN,此時OP取得最小值，

在RtAD?！爸?，D,M=1,DQ=2,：,DM=B

在Rt.DD]N中，D[N=1,D[D=2,：,DN=5

在RtMD[N中,D[N=1,D[M=1,：.MN=g，

MN

，如圖，在RtADPN中,DP=DN2-故B項正確;

tF

D

對于c選項，過點2、E、E的平面截正方體ABC。—aqGR,

平面A4,Q。/平面8用。0,則過點3、E、歹的平面必與A、與CG交于兩點，

設(shè)過點DpE、尸的平面必與A4]與CG分別交于M、N,

過點。、E、尸的平面與平面抽DQ和平面分別交于，"與FN,.?.2"\NF,同理可得

D[NME,

如圖過點。i、E、F的平面截正方體ABC。-4與GR所得的截面圖形為五邊形2MEFN,

如圖以。為原點，分別以方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

設(shè)AM=m,CN=n,

則可（2,0,m）,N（0,2,〃）,￡（2,1,0）,F（1,2,0）,D,（0,0,2）,

:.ME=（O,l,-m）,O]N=（0,2,〃一2）,。陽=（2,0,m—2）,NF=（l,0,~n）,

D[MNF,D[NME,

2

m=一

—2m=n—23

CC，解得

-2n=m-22，

n--

3

22

AM——,CN=—,

33

44

,CXN

.?.在中，D[A]=2,4M=：,同理：D[N=^-->

在△△MAE中，AM=-,AE=1,.-,ME=—.同理：FN=叵~

333

在RTXEKF中，BE=BF=1,:.EF=6，

:.D[M+D[N+ME+FN+EF=2義^^+2義R+屈=2岳+亞,

即過點。1、E、廠的平面截正方體ABC。-A4GR所得的截面周長為2厲+聲.故C正確;

對于D選項，如圖所示，取所的中點a,則aE=aE=qB,過a作。a〃54,

且使得。。=1,則0為三棱錐Bx-BEF的外接球的球心，

所以0E為外接球的半徑，

R2=OE2=002+[y]=仔+

二S球=4%7?2=6%.故D項正確，

故選：BCD.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別,，p,該同學(xué)站在這三個

32

7

不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為區(qū)，則p的值為.

2

【答案】一

3

【解析】

分析】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A,B,C,恰好投中兩次為事件AB。，ABC-發(fā)生,

由此利用相互獨立事件概率乘法公式能求出結(jié)果.

【詳解】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A,B,C,

恰好投中兩次為事件AB。，ABC>ZBC發(fā)生，

故恰好投中兩次概率P=gxgx(l_p)+；x]l_g)xp+17

（1—）X—xp=—

3218

2

解得P=§.

2

故答案為：—.

【點睛】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

13.己知不工是雙曲線C的兩個焦點，尸為C上一點，且4P8=60。，歸國=3歸閭，則C的離心率

為.

【答案】旦

2

【解析】

【分析】根據(jù)給定的條件，利用雙曲線定義結(jié)合余弦定理計算作答.

【詳解】令雙曲線C的半焦距為c,即歸勾=2c,又歸耳|=3歸閭，\PF\-\PF^=2a,則

|尸耳|=3⑷尸周=a,

△耳尸鳥中，/耳根=60。,由余弦定理得|耳同F(xiàn)=|尸耳『+|尸居『―2|尸耳||「居|cosN耳尸工,

22

即4c2=9/+片_2x3。xaxcos60°,整理得4c=7a，

所以c的離心率e=g=也.

a2

故答案為：也

2

14.如圖：某城市有縱向道路和橫向道路若干條，構(gòu)成如圖所示的矩形道路網(wǎng)（圖中黑線表示道路），則從

西南角A地到東北角B地的最短路線共有條.（用數(shù)字作答）

東

【答案】66

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得到從西南角A地到東北角8地的最短路線，共有C：種，再結(jié)合在向上和向右的走法

中，都需要連續(xù)走2步有C；C；種，進而得到答案.

【詳解】由題意，從西南角A地到東北角B地的最短路線，共需要走9步，

其中4步向上，5步向右，共有C：種不同的走法，

又由中間的矩形中沒有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要連續(xù)走2步，

共有C；C；種不同的走法，

所以從西南角A地到東北角B地的最短路線共有C；-C；C；=66種不同的走法.

故答案為：66.

四、解答題：本大題共8小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=布.

(2)若cos/BAD=—,sinZCBA=2/Zl,求BC的長.

146

【答案】⑴cosZCAD=—(2)3

7

【解析】

【詳解】試題分析：

(1)利用題意結(jié)合余弦定理可得cos/C4D=亞；

7

(2)利用題意結(jié)合正弦定理可得：BC=3.

試題解析：

(I)在一A0C中，由余弦定理得cosNC4D=冥彳

7

(H)設(shè)ABAC=a,則a=/BAD一ZCAD

-cos/-CAD=2y,cosZBAD=-

714

sinACAD=立X

7

.“.n3A/21

sinABAD=-------

4

.百

sina=—

2

在一ABC中，由正弦定理,

BC_AC

sincrsinZCBA

故BC=3

點睛：在解決三角形問題中，面積公式s=；absinC=^6csinA=《acsinB最常用，因為公式中既有邊

又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.

16.已知：在四棱錐尸—A5CD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱平面ABCD,點”為中點,

PA=AD=1.

R

（1）求證：平面他4C，平面PCD；

（2）求點P到平面MAC的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵B.

3

【解析】

【分析】（1）以A3所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積證明線面垂直，繼而可證明結(jié)論.

（2）利用向量法求得平面MAC的法向量，根據(jù)距離的向量求法求點P到平面朋AC的距離.

【小問1詳解】

證明：24,平面ABC。，ABCD為正方形，以A3所在的直線為了軸，以A。所在的直線為＞軸，以

24P所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

由已知可得4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),尸(0,0,1)

-M為PO的中點，,"］。］，；］，

所以AM=,CD=(-1,0,0),AC=(1,1,0),

所以AMCD=0，所以A"_LCD，

又點加為中點，PA=AD=1,所以AM_LPD,

PDCD=D,PD,CDu平面尸CD,AM1平面PC。，

又因為AMu平面MAC,故平面M4c，平面PCD.

【小問2詳解】

rf11

n-AM=0—yd■—z=0

設(shè)平面MAC的法向量為〃=(x,y,z),則〈s22

MC=0|x+y=0

令1=1,則y=-l,z=l,〃二(1,-1,1),

24=(0,0,-1),設(shè)點P到平面M4C距離為d,

,d=W,???點p到平面M4c的距離為立.

\n|7333

17.已知｛a“｝為等差數(shù)列，｛7｝為等比數(shù)列,q=4=l,a5=5(a4-?,),b5=4(Z?4-Z?3).

(1)求｛叫和低｝的通項公式；

1

(2)求數(shù)列一—\的前n項和Tn；

、冊??！?2,

(3)記4=3〃—2,(—1)M2(X￡R),對任意的〃￡N+，恒有"a＞兒,求丸的取值范圍.

n

【答案】(1)a“=n，bn=2-'

311

(2)----------------

4In+22〃+4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式求出公比和公差，即可求解；(2)利用裂項相消即可求和；

(3)由＞4,恒成立，得到3"T〉(-2)'T/l恒成立，分離參數(shù)，分別討論〃為奇數(shù)和偶數(shù)時X的范圍,

從而得到答案.

【小問1詳解】

因為｛4｝為等差數(shù)列，且4=1,a5=5(a4-?,),

所以q+4d=5(。1+3d—q—2d),解得:d=1,即?！?〃；

因為也｝為等比數(shù)列，且2=1,&=4(2-4)，

所以廂4=4,如2),解得：4=2,即勿=2"T

【小問2詳解】

111/1、

由m可知不丁==5=5?！狪),

咐"1"A1/I1/A1/A1/11_一_L_)

所以￡=萬”才5(5-/+乃-？+5［飛)+5(k

n+12nn+222n+1n+2

311

所以T=-------

"42n+22〃+4

【小問3詳解】

由(1)得4=3"—2-(—1)"勸，=3"-(—2)"4,由于對任意的“cN+，恒有dm〉』”,

即3n+1-(-2)"+12>3"—(一2"，則3〃T>(-2)^2恒成立,

當(dāng)“為奇數(shù)時，則彳<[3]恒成立，由于[3]-1,故當(dāng)九<1時，對所有奇數(shù)〃恒有4,+i〉4,;

當(dāng)”為偶數(shù)時，則X〉—[g)恒成立,由于[I]>|，則—[g]<-j-即當(dāng)時，對所有偶

數(shù)〃恒有d.+i>d”；

綜上，當(dāng)/le1—時，對任意的〃eN+,恒有d“+i〉服

18.已知函數(shù)/(x)=e*-g?.

(1)求函數(shù)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若a=l,證明：當(dāng)xNO時，f(x)>1；

(3)若/⑺在(0,+8)有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)y=x+l

2

(2)證明見解析(3)a>—e

4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果；

(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，求出/(x)=ex-爐在區(qū)間[0,+8)的單調(diào)性，再求出Ax)的最

小值，即可證明結(jié)果；

(3)通過分離常量，得到M=構(gòu)造函數(shù)g(x)=M，通過求導(dǎo)得到g(x)=M的單調(diào)性，即可求出

XXX

結(jié)果.

【小問1詳解】

因為/(%)=e"-ax2,所以ff(x)=ex—2ax,所以/z(0)=e°=1,

又/(O)=e°=l,所以函數(shù)在點(0,/(0))處的切線方程為y—l=x,即y=x+L

【小問2詳解】

當(dāng)。=1時，/(%)=el-x2,貝！1/'(x)=e*-2x,

令h(x)=ex—2x,則〃(x)=e*-2,由h'(x)=0,得到x=ln2,

當(dāng)xw(-co,In2)時，h\x)<0,當(dāng)％G(In2,+oo),h'(x)>0,

所以/z(x)N7z(ln2)=2-21n2>0,即/'(x)>0恒成立，

所以/(x)=e'—必在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞增，故〃瑜堡f(O)=e0=l