2023-2024學(xué)年河南省南陽市六校高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河南省南陽市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，解得．故選：B.2.已知非零向量，，若，則（）A.8 B. C.6 D.〖答案〗C〖解析〗因為非零向量，且，所以，（舍去）或，，即．故選：C.3.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗為的中點(diǎn)，，．故選：D.5.如圖所示的是為紀(jì)念南陽解放50周年于1998年11月4日建立的南陽解放紀(jì)念碑，某學(xué)生為測量該紀(jì)念碑的高度CD，選取與碑基在同一水平面內(nèi)的兩個測量點(diǎn)A，B．現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)處測得碑頂?shù)难鼋菫?，則紀(jì)念碑高CD為（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．故選：C.6.已知向量滿足，則在方向上的投影數(shù)量為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以在方向上的投影數(shù)量為.故選：B.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗由圖可知，則，所以，又，，又由圖可知，根據(jù)五點(diǎn)法作圖原理，得，解得，從而，的圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，，∴，所以．故選：D.8.如圖，在中，，，為邊AB的中點(diǎn)，線段AC與DE交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以是等邊三角形，所以，因為，所以，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，所以．故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，為常數(shù)，滿足條件的唯一確定，則的值可能為（）A.2 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗如圖，當(dāng)，時，若，是唯一確定的，符合，若，即時，有兩個解，不符合，若，是唯一確定的，符合，故A，B，D正確.故選：ABD.10.已知向量，，且，則（）A.與同向的單位向量為 B.與的夾角為C. D.在上的投影向量是〖答案〗ACD〖解析〗，，，即，解得或（舍去），對于A，，，與同向的單位向量為，故A正確；對于B，，而，則，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，在上的投影向量是，故D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)（注：），則（）A.的最小正周期為 B.在上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 D.圖象的一條對稱軸為直線〖答案〗BC〖解析〗對于A，，不是的周期，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，，又時，，在上單調(diào)遞減，故B正確；對于，設(shè)圖象上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C正確；對于D，設(shè)圖象上任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，的圖像不關(guān)于直線對稱，故D錯誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若扇形的弧長為，圓心角為，則扇形的面積為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為l，，即，，．故〖答案〗為：.13.設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則__________．〖答案〗〖解析〗，由正弦定理變形得，，又由余弦定理得，．故〖答案〗為：.14.如圖，在面積為3的中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線EF上，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，取邊的中點(diǎn)，連接，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)點(diǎn)到邊的距離為，則，當(dāng)時取等號，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)且時取得．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量滿足，，且．（1）求；（2）在中，若，，求．解：（1）因為，可得，即，又所以．（2）在中，，可知，可得．16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（1）求的〖解析〗式及零點(diǎn)；（2）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）的圖象關(guān)于直線對稱，，得，又，，，令，即，得，的零點(diǎn)為.（2）由將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象；再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，令，，可得，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為．17.已知函數(shù)的圖象與軸的相鄰的兩個交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個最高點(diǎn)為．（1）求的〖解析〗式；（2）完善下面的表格，并畫出在上的大致圖象；x000（3）當(dāng)時，求的值域．解：（1）由的圖象與軸的相鄰的兩個交點(diǎn)之間的距離為，可得函數(shù)最小正周期，所以，又由一個最高點(diǎn)為，可得的，因為，即，可得，解得，又因為，可得，所以．（2）由（1）知，函數(shù)，完善表格如下：x012001則函數(shù)在上的大致圖象如圖：（3）因為，可得，當(dāng)時，即時，取得最大值，最大值為；當(dāng)時，即時，取得最小值，最大值為，所以函數(shù)的值域為．18.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求面積的最大值；（2）若為邊BC的中點(diǎn)，求線段的長度．解：（1），由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，又，故，又，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，故面積的最大值為.（2）是邊BC的中點(diǎn)，，，，，，又由（1）知，，，，即線段AD的長度為.19.如圖，記，，，已知，．（1）若點(diǎn)在線段OA上，且，求的值；（2）若向量與方向相同，且，求；（3）若，求的最大值．解：（1）由題可知，，又，.（2）設(shè)，則，，解得或（舍去），，，，，，結(jié)合向量的夾角范圍為大于等于小于等于，.（3），，，，四點(diǎn)均在以O(shè)B為直徑的圓上，的最大值為該圓的直徑，為2，即的最大值為2.河南省南陽市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，解得．故選：B.2.已知非零向量，，若，則（）A.8 B. C.6 D.〖答案〗C〖解析〗因為非零向量，且，所以，（舍去）或，，即．故選：C.3.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗為的中點(diǎn)，，．故選：D.5.如圖所示的是為紀(jì)念南陽解放50周年于1998年11月4日建立的南陽解放紀(jì)念碑，某學(xué)生為測量該紀(jì)念碑的高度CD，選取與碑基在同一水平面內(nèi)的兩個測量點(diǎn)A，B．現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)處測得碑頂?shù)难鼋菫?，則紀(jì)念碑高CD為（）A.米 B.米 C.米 D.米〖答案〗C〖解析〗在中，，由正弦定理得，即，解得，在中，．故選：C.6.已知向量滿足，則在方向上的投影數(shù)量為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以在方向上的投影數(shù)量為.故選：B.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗由圖可知，則，所以，又，，又由圖可知，根據(jù)五點(diǎn)法作圖原理，得，解得，從而，的圖象關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，，∴，所以．故選：D.8.如圖，在中，，，為邊AB的中點(diǎn)，線段AC與DE交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，所以是等邊三角形，所以，因為，所以，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，所以．故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，為常數(shù)，滿足條件的唯一確定，則的值可能為（）A.2 B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗如圖，當(dāng)，時，若，是唯一確定的，符合，若，即時，有兩個解，不符合，若，是唯一確定的，符合，故A，B，D正確.故選：ABD.10.已知向量，，且，則（）A.與同向的單位向量為 B.與的夾角為C. D.在上的投影向量是〖答案〗ACD〖解析〗，，，即，解得或（舍去），對于A，，，與同向的單位向量為，故A正確；對于B，，而，則，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，在上的投影向量是，故D正確．故選：ACD.11.已知函數(shù)（注：），則（）A.的最小正周期為 B.在上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 D.圖象的一條對稱軸為直線〖答案〗BC〖解析〗對于A，，不是的周期，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，，又時，，在上單調(diào)遞減，故B正確；對于，設(shè)圖象上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故C正確；對于D，設(shè)圖象上任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，的圖像不關(guān)于直線對稱，故D錯誤．故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若扇形的弧長為，圓心角為，則扇形的面積為__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為l，，即，，．故〖答案〗為：.13.設(shè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則__________．〖答案〗〖解析〗，由正弦定理變形得，，又由余弦定理得，．故〖答案〗為：.14.如圖，在面積為3的中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線EF上，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，取邊的中點(diǎn)，連接，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)點(diǎn)到邊的距離為，則，當(dāng)時取等號，所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)且時取得．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量滿足，，且．（1）求；（2）在中，若，，求．解：（1）因為，可得，即，又所以．（2）在中，，可知，可得．16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（1）求的〖解析〗式及零點(diǎn)；（2）將的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（1）的圖象關(guān)于直線對稱，，得，又，，，令，即，得，的零點(diǎn)為.（2）由將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象；再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，令，，可得，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為．17.已知函數(shù)的圖象與軸的相鄰的兩個交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個最高點(diǎn)為．（1）求的〖解析〗式；（2）完善下面的表格，并畫出在上的大致圖象；x000（3）當(dāng)時，求的值域．解：（1）由的圖象與軸的相鄰的兩個交點(diǎn)之間的距離為，可得函數(shù)最小正周期，所以，又由一個最高點(diǎn)為，可得的，因為，即，可得，解得，又因為，可得，所以．（2）由（1）知，函數(shù)，完善表格如下：x012001則函數(shù)在上的大致圖象如圖：（3）因為，可得，當(dāng)時，即時，取得最大值，最大值為；當(dāng)時，即時，取得最小值，最大值為，所以函數(shù)的值域為．18.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求面積的最大值；（2）若為邊