數(shù)學-2024屆安徽省合肥一中高考適應性聯(lián)考試題和答案

高三數(shù)學試卷考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分滿分150分考試時間120分鐘2.答題前考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚3.考生作答時請將答案答在答題卡上選擇題每小題選出答案后用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答超出答題區(qū)域書寫的答案無效在試題卷草稿紙上作答無效4.本卷命題范圍高考范圍一選擇題:本題共8小題每小題5分共40分在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的1.已知集合A—{工eN|工2三4}，B—{—1，0，1，2，3}，則AnB—A.十iB.—iC.—十iD.——i3.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為8的半圓，則該圓錐的體積為 4.為孔揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學生進行了言語表達測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語表達測試成績服從N（70，64據(jù)此估計測試成績不小于94的學生所占的百分比為參考數(shù)據(jù)：P(μ—C<X<μ十C）~0.6827，P(μ—2C<X<μ十2C）~0.9545，P(μ—3C<X<μ十3C）~0.9973A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%5.某銀行大額存款的年利率為3%，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年A.12.6B.12.7C.12.8D.12.92024i—0A.4049B.2025C.4048D.2024【高三數(shù)學試卷第1頁（共4頁）】243636D7.已知雙曲線C：——1（a>0,b>0）的右焦點為F,圓0：工2十>2—a2與C的漸近線在第二象限的交點為P,若tan人FP0—槡2,則C的離心率為A.2B.槡28.如圖,正四面體ABCD的棱長為2,ΔAED是以E為直角頂點的等腰直角三角形.現(xiàn)以AD為軸,點E繞AD旋轉(zhuǎn)一周,當三棱錐EBCD的體積最小時,直線CE與平面BCD所成角為a,則sin2a—二選擇題:本題共3小題每小題6分共18分在每小題給出的選項中有多項符合題目要求全部選對的得6分部分選對的得部分分有選錯的得。分—工2|的最小值是,則[0,上單調(diào)遞增1個零點10.已知實數(shù)a,b滿足0<a<b<1,則A.<B.a十b>abC.ab<baD.2a—2b—11.橢圓C：十—1（m>0）的兩個焦點分別為F1,F2,則下列說法正確的是A.過點F2的直線與橢圓C交于A,B兩點,則ΔABF1的周長為8B.若C上存在點P,使得PF1.PF2—0,則m的取值范圍為（0,槡2]U[2槡2,十…）C.若直線k工—>十1—0與C恒有公共點,則m的取值范圍為[1,十…） D.若m—1,P為C上一點,Q（—1,0）,則|PQ|的最小值為槡三填空題:本題共3小題每小題5分共15分12.已知θeθ十——tanθ,則tan2θ—.【高三數(shù)學試卷第2頁（共4頁）】243636DAB一—.13.ΔABC中,若BA.BC—CA.CB—3AB一—.BC14.若對v工e（2,十…）,e工十2a>aln（a工—2a）恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為.四解答題:本題共5小題共77分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟15.（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為sn,已知a1—6,{n2}是公差為2的等差數(shù)列.（1）求{an}的通項公式；（2）若bn—an十1,設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和Tn,求證:三Tn<.16.（本小題滿分15分）在平時的日常生活中游泳對鍛煉身體有很多的好處,大致有以下幾個方面:一、游泳可以讓身體更加苗條,達到減肥的效果；二、游泳能夠增加人體的肺活量,提高人體的呼吸系統(tǒng)能力,也可以預防心腦血管系統(tǒng)疾病,包括冠心病、不穩(wěn)定型心絞痛以及腦血栓等疾??；三、游泳可以保護關(guān)節(jié),讓關(guān)節(jié)避免受到損傷.下面抽取了不同性別的高中生共100人,并統(tǒng)計了他們游泳的水平如下表:合格不合格合計男性1050女性20合計70100（1）根據(jù)此表依據(jù)a—0.05的獨立性檢驗判斷:是否可以認為高中生游泳水平與性別有關(guān)？（2）游泳教練從成績不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生進行游泳示范指導.已知經(jīng)過一段時間指導后,女生成績合格的概率為,男生合格的概率為,求這3人經(jīng)過指導后成績合格總?cè)藬?shù)X的分布列和數(shù)學期望.參考公式:①相關(guān)性檢驗的臨界值表:a0.100.050.10工a2.7063.8416.635②x2—（a十bb十d）,其中n—a十b十c十d.【高三數(shù)學試卷第3頁（共4頁）】243636D17.（本小題滿分15分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB—4，BC—2，沿AC將ΔADC折起，使點D到達點P的位置，點P在平面ABC的射影H落在邊AB上.（2）若M是棱PC上的一個動點，是否存在點M，使得平面AMB與平面PBC夾角的余弦值為槡？若存在，求出18.（本小題滿分17分）已知平面上一動點P到定點F（0，1）的距離比到定直線>——2024的距離小2023，記動點P的軌跡為曲線C1.（2）已知直線>—K工十1（K牛0）與曲線C1交于M，N兩點，T是線段MN的中點，點A在直TMTN線>——1上，且AT垂直于工軸.設(shè)點B在拋物線C2：>——工2—1上，BP，BQ是C1TMTN兩條切線，P，Q是切點.若AB/MN，且A，B位于>軸兩側(cè)，求TPTQ的值.19.（本小題滿分17分）（1）當a—3時，求曲線>—f（工）在點（0，f（0處的切線方程；①求實數(shù)a的取值范圍；<2工1.【高三數(shù)學試卷第4頁（共4頁）】243636D槡3—槡3—AnB{0，1，2}.故選B.3.D設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則2πr—8π,解得r—4，則圓錐的高h槡3，所以該圓錐的體積為Vπr2h—πX42X4槡3—64π.4.A依題意μ—70，C—8，94—μ十3C，所以測試成績不小于94的學生所占的百分比為X100%—5.B存入大額存款10萬元，按照復利計算，可得每年末本利和是以10為首項，1十3%為公比的等比數(shù)列，所以本利和S—10（1十3%）8—10[C十CX0.031十CX0.032十…十CX0.037十C]~12.7.故選B.fffffffff2024ffffffii—0fOPOF OPOF 即sin人PFOsin人OPF，ac故選C.a槡,化簡得b—2，所以Ca槡8.D在正四面體ABCD中，取BC的中點F，連接DF，AF，則DF—AF，取AD的中點M，連接FM，EM，則FM」AD，ΔAED是以E為直角頂點的等腰直角三角形，正四面體ABCD的棱長為2，則EM」AD，且EM—AD—1.點E繞AD旋轉(zhuǎn)一周，形成的圖形為以M為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)該圓與MF的交點為E1，當三棱錐EBCD的體積最小時，即E點到底面BCD的距離最小，即此時E點即位于E1處.因為DF—AF—槡3，則FM—槡AF2—AM2—槡2，F(xiàn)E1E1在底面BCD上的射影為H，則E1H—E1F.sin人E1FH—E1F.MDFD【高三數(shù)學試卷.參考答案第1頁（共6頁）】合肥一中安徽卡魅教育MC,BC的中點為F,故MF」BC,故E1C—槡FC2十E1F2—槡12十（槡2—1）2—槡4—2槡2,由于點E1在底E1C2—（槡4—2槡2）2—面BCD上的射影為H,故人E1CH即為直線CE1與平面BCD所成角a,故sin2aE1C2—（槡4—2槡2）2—12—6槡212..3—2槡212—6槡212..9.ABD由題意可知,函數(shù)f（工）的最小正周期T—π—,：幼—2,：f（工）—2sin（2工—.對于A,當工e[0,時,2工—e[—,,：f（工）在[0,上單調(diào)遞增,故A正確；對于B,f(??2sin[2x(??—2sin(?——2,：f（工）的圖象關(guān)于直線工——對稱,故B正確；對于C,工——2sin —π,即工—時,f（工）—0,故D正確.故選ABD.10.BCD對于A,——>0,故A錯誤；對于B,a十b—ab—a十b（1—a）>0,則a十b>ab,故B正fI（工）—1—工工,當0<工<e時,fI（工）>0,f（工）單調(diào)遞增,因為0<a<b<1,則f<f（b）,得<,即blna<alnb,lnab<lnba,所以ab<ba,故C正確；對于D,函數(shù)g（工）—2工—工在R上單調(diào)遞增,因為0<a<b<1,則g（a）<g（b）,即2a—b—,所以2a—2b—,故D正確.故選BCD.11.BD對于A,由橢圓定義可得ΔABF1的周長為|AF1|十|BF2|十|AB|—|AF1|十|BF1|十|AF2|十|BF2|—一—一—4a,但焦點不一定在工軸上,故A錯誤；對于B,若PF1.PF2—0,則PF1」PF2,當P位于短軸頂點時,人F1PF2最大,此時tan人。PF1>tan45?！?,即>1.當0<m<2時,由槡4m2>1,解得0<m三槡2；當 m>2時,由槡—4>1,解得m>2槡2,故B正確；對于C,直線k工—>十1—0過定點（0,1）,所以三1,即m2>1,又m2牛4,所以m的取值范圍為[1,2）u（2,十…）,故C錯誤；對于D,設(shè)P（2cosθ,sinθ),所以|PQ|—cosθ十2十,當cosθ——時,|PQ|min—槡,故D正確.故選BD.12.—由tan(θ十——tanθ,得an——tanθ,整理得2tan2θ—5tanθ—3—0,解得tanθ——（舍）或tanθ—3,所以tan2θ—12t—θ—12—x——.13.槡由.—.得.（十）—0,即（十）.（—）—0,——0,所以—.由.—3.得.（十3）—0,即.（十—0.設(shè)D為線段AB上靠近A的四等分點,則CD」AB.設(shè)AD—t,則BD—3t,AC—4t,所以CD—槡15t,BC—2槡6t,所以AB4tAB4t槡6 一——.BC2槡6t314.（0,e3）e工十2a>aln（a工—2a）可變形為e工>aln（a工—2a）—2a,即e工>alna工2a,所以>【高三數(shù)學試卷.參考答案第2頁（共6頁）】合肥一中安徽卡魅教育lna工2a,即e工—2>lna工2a,由工>2,得（工—2）e工—2>（工—2）lna工2a,即（工—2）e工—2>lna工2a.elna工2a.構(gòu)造函數(shù)f（工）—工e工,則fI（工）?（工十1）e工,且原不等式等價于f（工—2）>flna工2a,當lna工2a<0時,原不等式顯然成立；當lna工2a>0時,因為f（工）—工e工在[0,十…）上單調(diào)遞增,所以工—2>lna工2a,解得a<工e工2.令g（工）—工e工2,則gI（工2,3）上單調(diào)遞減,在（3,十…）上單調(diào)遞增,從而工—3是g（工）的極小值,也是g（工）的最小值,且g（3）—e3,于是0<a<e3,故a的取值范圍為（0,e3）.1—6,所以12—12—2,……………………1分所以n2—2十（n—1）X2—2n,即sn—2n（n十2）.………3分當n>2時,an—sn—sn—1—2n（n十2）—2（n—1n十1）—4n十2,……5分又a1—6適合上式,所以an—4n十2.………………6分十1—（4n十2）44n十6）—4X4n2—4n6）—4n2—4n6,…8分故Tn——十—十—十…十（4n2—4n6）——4n6.………………10分而Tn——4n6關(guān)于n單調(diào)遞增,所以Tn>T1—,…………………12分又4n6>0,所以Tn——4n6<,所以三Tn<.…………………………13分16.解1）完成表格如下：合格不合格合計男性401050女性302050合計7030100…………………2分零假設(shè)H0：高中生游泳水平與性別無關(guān),X2—100X710）2~4.762>3.841—工0.05,…………………5分依據(jù)a—0.05的獨立性檢驗,我們有充分的理由認為H0不成立,即高中生游泳水平與性別有關(guān).…………………7分（2）依題意,X的所有可能取值為0,1,2,3,P（X—0）?1—2X1——,P（X—1）—CX1—X（1—十（1—2X—,P（X—2）—CX1—X十2X（1———,【高三數(shù)學試卷.參考答案第3頁（共6頁）】合肥一中安徽卡魅教育 118P（X—3）?2X—, 118所以X的分布列為：X0123P 118 518 49 29………………12分數(shù)學期望E（X）—0X十1X十2X 49十3X21196. 518………………15分17.解1）作PE」AC,垂足為E,連接EH,如圖所示：由點P在平面ABC的射影H落在邊AB上可得PH」平面ABC,又AC仁平面ABC,所以PH」AC,………………2分因為PHnPE—E,且PH,PE仁平面PHE,所以AC」平面PHE,………………3分又EH仁平面PHE,所以AC」EH,又因為ABCD為矩形,AB」BC,可得ΔABC“ΔAEH.…………………4分由AB—4,BC—2,可得AP—2,PC—4,AC—2槡5,所以PE——4,AE—槡AP2—PE2—2.……………………6分由ΔABC“ΔAEH可得—,則AH——22槡5—1,即AH的長度為1.……………7分（2）根據(jù)題意,以點H為坐標原點,以過點H且平行于BC的直線為>軸,分別以HB,HP所在直線為工,之軸建立空間直角坐標系,如圖所示：一一則A（—1,0,0）,P（0,0,槡3）,B（3,0,0）,C（3,2,0）,設(shè)CM—λCP,λe[0,1],一所以CM—λ(?3,—2,槡3）?(?3λ,—2λ,槡3λ),所以M（3—3λ,2—2λ,槡3λ).…………9分一—一一一易知AB—（4,0,0）,MB—（3λ,2λ—2,—槡3λ),PB—（3,0,—槡3）,BC—（0,2,0）,設(shè)平面AMB的一個法向量為m—（工1,>1,之1）,則一取>1—槡3λ,取>1—槡3λ,則m—（0,槡3λ,2λ—2）,……10分,（MB.m—3λ工1十（2λ—2）>1—槡3λ之1—0,設(shè)平面PBC的一個法向量為n—（工2,>2,之2）,則.n—3工2—槡3之2—0,,則n—（1,0,槡3）,………………11分（BC.n—2>2—0,—2槡3λ—1—槡32X槡7λ2—8λ十44,整理可得3λ2—8λ十4—0,【高三數(shù)學試卷.參考答案第4頁（共6頁）】合肥一中安徽卡魅教育解得λ—2（舍）或λ—,……………………13分因此—,即——. 所以存在點M,使得平面AMB與平面PBC夾角的余弦值為槡,此時CM的長度為.……………15分18.解1）因為點P到定點F（0,1）的距離比到定直線>——2024的距離小2023,所以點P到定點F（0,1）的距離與到定直線>——1的距離相等,由拋物線的定義可知,點P的軌跡是以定點F（0,1）為焦點,定直線>——1為準線的拋物線,所以C1的方程為工2—4>.……………………4分2）,聯(lián)立十工2—4k,工1工2——4,>—k工十1,工2—4>消去>得工2—4k工—4—0,Δ—16k2十16>0,所以>1十>2—k（工1十工2）十2—4k2十2,>1>2—（工12）2—1,所以T（2k,2k2十1）,則A（2k,—1）.………………………6分因為AB/MN,所以直線AB的方程為>十1—k（工—2k）,即>—k工—2k2—1,聯(lián)立>—k工—2k2—1,>——工2—1消去>得工2十k工—2k2—0,解得工——2k或工—k,又A,B位于>軸兩側(cè),故B（—2k,—4k2—1）.……………7分0）在拋物線C1上,又由工2—4>,得>,工—工0—工0,整理得工0工—2>—2>0—0,…………8分34）,則C1在P4）處的切線方程分別為工3工—2>—2>3—0與工4工—2>—2>4—0,又兩條切線都過點B,則工3（—2k）—2（—4k2—1）—2>3—0,工4（—2k）—2（—4k2—1）—2>4—0,則直線PQ的方程為（—2k）工—2（—4k2—1）—2>—0,即k工十>—4k2—1—0,………………………10分又T（2k,2k2十1）,點T的坐標適合方程k工十>—4k2—1—0,所以點T在直線PQ上.4,由T是線段MN的中點,得TMTN—1MN24,則TMTN—4（k2十1）2.……………12分聯(lián)立十4k2—1—0,消去>得工2十4k工—16k2—4—0,Δ—80k2十16>0,十工4——4k,工3工4——16k2—4,………………………13分一一TPTQ——TP.TQ——（工3—2k,>3—2k2—1）.（工4—2k,>4—2k2—1）——（工3—2k工4—2k）?（>3—2k2—1>4—2k2—1）——（工3—2k工4—2k）?（2k2—k工32k2—k工4）【高三數(shù)學試卷.參考答案第5頁（共6頁）】合肥一中安徽卡魅教育——（1十k2）工3工4十2k（1十k2工3十工4）—4k2（1十k2）——（k2十1）[工3工4—2k2]——（k2十1）[—16k2—4—2k.（—4k）十4k2]—4（k2十1）2.……………16分TMTNTPTQ所以—1.…………………TMTNTPTQ19.（1）解：當a—3時,f（工）—3e工—sin工—3,則fI（工）—3e工—cos工,…………………