專題08 探索“手拉手”模型（原卷版）

專題08探索“手拉手”模型【常見(jiàn)模型】共頂點(diǎn)的等腰三角形共頂點(diǎn)的等邊三角形共頂點(diǎn)的等腰直角三角形共頂點(diǎn)的正方形【典例解析】【例1】（2021·射陽(yáng)縣月考）如圖，，都是等邊三角形，BE，CD相交于點(diǎn)O．（1）求證：BE=CD；（2）求∠BOC的度數(shù)．【例2】（2020·常州市武進(jìn)區(qū)月考）如圖,點(diǎn)A,B,C在一條直線上,△ABD,△BCE均為等邊三角形,連接AE和CD,AE分別交CD,BD于點(diǎn)M,P,CD交BE于點(diǎn)Q,連接PQ,BM,下面的結(jié)論:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ為等邊三角形;④MB平分∠AMC,其中結(jié)論正確的有（ ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例3】（2020·沙坪壩月考）已知：在中，，以為頂點(diǎn)作，連接．（1）如圖，若，求的面積：（2）如圖，若為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，求證：（3）如圖，為上一點(diǎn)，，連接為上一點(diǎn)，，連接，過(guò)作于，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【例4】（2020·湖南雙清期末）以點(diǎn)為頂點(diǎn)作等腰，等腰，其中，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接、．（1）試判斷、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)試求的度數(shù)；（3）把兩個(gè)等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【例5】（2019·河北安平期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，則___________度．【習(xí)題專練】1.（2020·沈陽(yáng)興華月考）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)與探究：如圖，都是等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，于點(diǎn)M，連接BD，則：（1）線段AE，BD之間的大小關(guān)系是___________；；（2）求證：AD=2CM+BD；2.（2020·江陰市月考）如圖，在和中，，連接交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)為（）．A．4 B．3 C．2 D．13.（2020·山東濟(jì)陽(yáng)期末）如圖，與都是等邊三角形，，下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是()①；②；③；④若，且，則．A．1 B．2 C．3 D．44.（2020·重慶巴南月考）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度數(shù)．5.（2019·東北師大附中期末）已知和都是等腰三角形，，，．（初步感知）（1）特殊情形：如圖①，若點(diǎn)，分別在邊，上，則__________．（填＞、＜或=）（2）發(fā)現(xiàn)證明：如圖②，將圖①中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在外部，點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求證：．（深入研究）（3）如圖③，和都是等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，則的度數(shù)為_(kāi)_________；線段，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（4）如圖④，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)、、在同一直線上，為中邊上的高，則的度數(shù)為_(kāi)_________；線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（拓展提升）（5）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、．當(dāng)，時(shí)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，與的面積和的最大值為_(kāi)_________．

6.（2019·福建龍巖期末）已知點(diǎn)P是線段MN上一動(dòng)點(diǎn)，分別以PM，PN為一邊，在MN的同側(cè)作△APM，△BPN，并連接BM，AN．（Ⅰ）如圖1，當(dāng)PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°時(shí)，試猜想BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)△APM，△BPN都是等邊三角形時(shí)，（Ⅰ）中BM，AN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，試說(shuō)明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，連接AB得到圖3，當(dāng)PN＝2PM時(shí)，求∠PAB度數(shù)．

7.（2019·江蘇鹽城期中）（1）（觀察發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、E在一條直線上，連接BD和AE，BD、AE相交于點(diǎn)P，則線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系是，BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)是.（只要求寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由）（2）（深入探究）如圖2，△ABC和△CDE都是等邊三角形，連接BD和AE，BD、AE相交于點(diǎn)P，猜想線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系，以及BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù).請(qǐng)說(shuō)明理由結(jié)論：理由：_______________________8.（2019·內(nèi)蒙古賽罕期中）如圖，，均為等邊三角形，點(diǎn)，，在同一條直線上，連接，，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的有_________．①；②；③；④；⑤平分

9.（2020·安徽淮南月考）（提出問(wèn)題）（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：CN∥AB．圖1（類比探究）（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論CN∥AB還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．圖210.（2020·四川彭州期末）（1）如圖1，和都是