押浙江卷第15-16題(反比例函數(shù)、相似三角形、四邊形)-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題(浙江專用)(全解全析)_第1頁(yè)
押浙江卷第15-16題(反比例函數(shù)、相似三角形、四邊形)-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題(浙江專用)(全解全析)_第2頁(yè)
押浙江卷第15-16題(反比例函數(shù)、相似三角形、四邊形)-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題(浙江專用)(全解全析)_第3頁(yè)
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第第頁(yè)押浙江卷第15-16題(反比例函數(shù)、相似三角形、四邊形)押題方向一:反比例函數(shù)2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年溫州卷第15題反比例函數(shù)的應(yīng)用從近幾年浙江各地中考來(lái)看,反比例函數(shù)在填空題中主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用與反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,屬于稍難題,有時(shí)候作為填空題的壓軸題考查;預(yù)計(jì)2024年浙江卷還將繼續(xù)重視反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。2023年衢州卷、紹興卷第15題、寧波卷第16題反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義1.(2023?溫州)在溫度不變的條件下,通過(guò)一次又一次地對(duì)汽缸頂部的活塞加壓,加壓后氣體對(duì)汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p(kPa)與汽缸內(nèi)氣體的體積V(mL)成反比例,p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示.若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa,則氣體體積壓縮了20mL.【思路點(diǎn)撥】設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為V=,求得V=,當(dāng)p=75kPa時(shí),求得V==80,當(dāng)p=100kPa時(shí)求得,V==60于是得到結(jié)論.【解析】解:設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為V=,∵V=100ml時(shí),p=60kpa,∴k=pV=100ml×60kpa=6000,∴V=,當(dāng)p=75kPa時(shí),V==80,當(dāng)p=100kPa時(shí),V==60,∴80﹣60=20(mL),∴氣體體積壓縮了20mL,故答案為:20.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,讀懂題意,得出反比例函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵.2.(2023?紹興)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)(k為大于0的常數(shù),x>0)圖象上的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),滿足x2=2x1,△ABC的邊AC∥x軸,邊BC∥y軸,若△OAB的面積為6,則△ABC的面積是2.【思路點(diǎn)撥】證明出點(diǎn)A、B為矩形邊的中點(diǎn),根據(jù)三角形OAB的面積求出矩形面積,再求出三角形ABC面積即可.【解析】解:如圖,延長(zhǎng)CA交y軸于E,延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)F,∴CE⊥y軸,CF⊥x軸,∴四邊形OECF為矩形,∵x2=2x1,∴點(diǎn)A為CE的中點(diǎn),由幾何意義得,S△OAE=S△OBF,∴點(diǎn)B為CF的中點(diǎn),∴S△OAB=S矩形OECF=6,∴S矩形OECF=16,∴S△ABC=×16=2.故答案為:2.2【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,幾何意義的應(yīng)用及矩形特性是解題關(guān)鍵.3.(2023?衢州)如圖,點(diǎn)A,B在x軸上,分別以O(shè)A,AB為邊,在x軸上方作正方形OACD,ABEF,反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象分別交邊CD,BE于點(diǎn)P,Q.作PM⊥x軸于點(diǎn)M,QN⊥y軸于點(diǎn)N.若OA=2AB,Q為BE的中點(diǎn),且陰影部分面積等于6,則k的值為24.【思路點(diǎn)撥】設(shè)OA=4a,因?yàn)镺A=2AB,所以AB=2a,則A(4a,0),B(6a,0),由于正方形OACD,ABEF,則C(4a,4a),因?yàn)镃D⊥y軸,P在CD上,所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a,則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為:x=k4a,由于Q為BE中點(diǎn),切BE⊥x軸,所以BQ=AB=a,則Q(6a,a),由于Q在反比例函數(shù)y=(k>0)上,所以k=6a2,根據(jù)已知陰影為矩形,長(zhǎng)為,寬為:a,面積為6,所以可得12×k4a×a=6,即可解決.【解析】解:設(shè)OA=4a,∵AO=2AB,∴AB=2a,∴OB=AB+OA=6a,則B(6a,0),由于在正方形ABEF中,AB=BE=2a,∵Q為BE中點(diǎn),∴BQ=AB=a,∴Q(6a,a),∵Q在反比例函數(shù)y=(k>0))上,∴k=6a×a=6a2,∵四邊形OACD是正方形,∴C(4a,4a),∵P在CD上,∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a,∵P在反比例函數(shù)y=(k>0)上,∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為:x=,∴P(,4a),∵作PM⊥x軸于點(diǎn)M,QN⊥y軸于點(diǎn)N,∴四邊形OMNH是矩形,∴NH=,MH=a,∴S矩形OMHN=NH×MH=×a=6,則k=24,故答案為:24.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和長(zhǎng)方形的面積公式,讀懂題意,靈活運(yùn)用說(shuō)學(xué)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.4.(2023?寧波)如圖,點(diǎn)A,B分別在函數(shù)y=(a>0)圖象的兩支上(A在第一象限),連結(jié)AB交x軸于點(diǎn)C.點(diǎn)D,E在函數(shù)y=(b<0,x<0)圖象上,AE∥x軸,BD∥y軸,連結(jié)DE,BE.若AC=2BC,△ABE的面積為9,四邊形ABDE的面積為14,則a﹣b的值為12,a的值為9.【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意,設(shè)A(m,),再由AE∥x軸,BD∥y軸,AC=2BC,可得B(﹣2m,﹣),D(﹣2m,﹣),E(,),再結(jié)合△ABE的面積為9,四邊形ABDE的面積為14,即可得解.【解析】解:設(shè)A(m,),∵AE∥x軸,且點(diǎn)E在函數(shù)y=上,∴E(,).∵AC=2BC,且點(diǎn)B在函數(shù)y=上,∴B(﹣2m,﹣).∵BD∥y軸,點(diǎn)D在函數(shù)y=上,∴D(﹣2m,﹣).∵△ABE的面積為9,∴S△ABE=AE×(+)=(m﹣)(+)=m??==9.∴a﹣b=12.∵△ABE的面積為9,四邊形ABDE的面積為14,∴S△BDE=DB?(+2m)=(﹣+)()m=(a﹣b)??()?m=3()=5.∴a=﹣3b.又a﹣b=12.∴a=9.故答案為:12,9.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),解題時(shí)需要熟練掌握并能靈活運(yùn)用方程思想是關(guān)鍵.1.2.1.如圖,在△OAB中,邊OA在y軸上.反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與邊AB交于點(diǎn)C.若BC=3AC,S△OAB=10.則k的值為4.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)BC=3AC,S△OAB=10可得S△COB=,再根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義列出方程求出k即可.【解析】解:∵BC=3AC,S△OAB=10.∴S△COB==,設(shè)點(diǎn)C(m,),則B(4m,),∵S△COB=S梯形BCDE=,∴,解得:k=4.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義,熟練掌握反比例函數(shù)k值的幾何意義是關(guān)鍵.2.如圖,直角坐標(biāo)系中,?AOBC的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上,A,C在第一象限.反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與BC交于點(diǎn)D,AE⊥x軸于點(diǎn)E,連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F,連結(jié)BF,則△BDF的面積為.【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)F作FK⊥x軸于K,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H,設(shè)點(diǎn)E(m,0),則m>0,OE=m,點(diǎn)A,AE=,由此得直線OA的表達(dá)式為,解方程組,得點(diǎn)F,則FK=,再求出直線EF的表達(dá)式為,解方程組,得點(diǎn)D,則OH=3m,DH=25/3m,證△AOE∽△DBH可得BH=,則BE=,然后分別求出S△FBE=,S△BED=,據(jù)此可得△BDF的面積.【解析】解:過(guò)點(diǎn)F作FK⊥x軸于K,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H,如下圖所示:設(shè)點(diǎn)E(m,0),則m>0,OE=m,∵AE⊥x軸,點(diǎn)A在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,∴點(diǎn)A,AE=,設(shè)直線OA的表達(dá)式為:y=k1x,∴,解得:,∴直線OA的表達(dá)式為:,解方程組,得,,∵點(diǎn)F在第三象限,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為,則FK=,設(shè)直線EF的表達(dá)式為y=kx+b,將點(diǎn)E(m,0),F(xiàn)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直線EF的表達(dá)式為:,解方程組組,得,,∵點(diǎn)D在第一象限,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為,∴OH=3m,DH=,∵AE⊥x軸,DH⊥x軸,∴∠AEO=∠DHB=90°,∵四邊形AOBC為平行四邊形,∴AO∥BC,∴∠AOE=∠DBH,∴△AOE∽△DBH,∴AE:DH=OE:BH,即,∴BH=,∴BE=OH﹣OE﹣BH=3m﹣m﹣=,∴S△FBE=BE?FK==,S△BED=BE?DH==,∴S△BDF=S△FBE+S△BED==.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn),反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn),平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),三角形的面積等,理解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足反比例函數(shù)的表達(dá)式,平行四邊形的性質(zhì),熟練掌握求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法,及相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.3.如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上,頂點(diǎn)B,C在x軸上,對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E,連接BE,若△BCE的面積是2,則k的值為﹣4.【思路點(diǎn)撥】先設(shè)D(a,b),得出CO=﹣a,CD=AB=b,k=ab,再根據(jù)△BCE的面積是6,得出BC×OE=12,最后根據(jù)AB∥OE,得出=,即BC?EO=AB?CO,求得ab的值即可.【解析】解:設(shè)D(a,b),則CO=﹣a,CD=AB=b,∵矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,∴k=ab,∵△BCE的面積是2,∴×BC×OE=2,即BC×OE=4,∵AB∥OE,∴=,即BC?EO=AB?CO,∴4=b×(﹣a),即ab=﹣4,∴k=﹣4,故答案為:﹣4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用,能很好地考核學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力.解題的關(guān)鍵是將△BCE的面積與點(diǎn)D的坐標(biāo)聯(lián)系在一起,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.4.如圖,Rt△ABC頂點(diǎn)A落在y軸上,斜邊上的中線CD⊥x軸于點(diǎn)D,O為坐標(biāo)原點(diǎn),反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)直角頂點(diǎn)C,若△BCD的面積為5,則k的值為10.【思路點(diǎn)撥】連接OC,依題意得S△ACD=S△BCD=5,再根據(jù)△OCD和△ACD的公共邊CD上的高相等得S△OCD=S△ACD=5,再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得S△OCD=1/2|k|,據(jù)此可得k的值.【解析】解:連接OC,如下圖所示:∵在Rt△ABC中,斜邊上的中線CD⊥x軸于點(diǎn)D,△BCD的面積為5,∴S△ACD=S△BCD=5,CD∥y軸,∴△OCD和△ACD的公共邊CD上的高相等,∴S△OCD=S△ACD=5,∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)直角頂點(diǎn)C,∴根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得:S△OCD=|k|,∴|k|=2S△OCD=10,∵反比例函數(shù)的圖象在第一象限,∴k=10.故答案為:10.【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義,直角三角形的性質(zhì),熟練掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義,直角三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.5.如圖,AB平行于x軸,點(diǎn)A在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在函數(shù)y=(x<0)的圖象上,BC∥AO,若四邊形AOBC的面積為,則實(shí)數(shù)k的值為﹣3.【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(,m),然后根據(jù)已知條件求出點(diǎn)A坐標(biāo),用待定那個(gè)系數(shù)法求直線OA的解析式,再根據(jù)BC∥OA設(shè)出直線BC解析式,求出點(diǎn)OC,然后由四邊形AOBC的面積為,求出k的值.【解析】解:設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(,m)(m>0),∵AB平行于x軸,∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(,m),∴AB=﹣=,∴OA所在直線的解析式為y=x,∵BC∥AO,∴設(shè)直線BC的解析式為y=x+c,把點(diǎn)B坐標(biāo)代入y=x+c得,m=×+c,解得,c=,∴OC=,∴四邊形AOBC的面積=OC?AB=××=,解得k=7或k=﹣3,∵k<0,∴k=﹣3.故答案為:﹣3.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義,關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.6.如圖,點(diǎn)A為反比例函數(shù)y=(x>0)上一點(diǎn),連結(jié)AO并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y=(x<0)于點(diǎn)B,且k2=9k1.點(diǎn)C在y軸正半軸上,連結(jié)CA并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E,連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)F,若=4,S△COB=10,則△COF的面積為.【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M,根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得,再由k2=9k1,得=,證△AON和△BOM相似得=,則=,可設(shè)AN=a,BM=3a,再證△ANE和△COE相似得AN:OC=AE:CE=1:5,則OC=5AN=5a,證△BMF和△COF相似得BM:CO=BF:CF=3:5,則S△BOF:S△COF=BF:CF=3:5,由此可得△COF的面積.【解析】解:過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N,過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M,如圖所示:∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得:S△AON=|k1|,S△BOM=|k2|,∴,∵k2=9k1,∴,∴=,∵AN⊥x軸,BM⊥x軸,∴AN∥BM,∴△AON∽△BOM,∴=,∴=,∴=,設(shè)AN=a,則BM=3a,∵=4,∴AC=4AE,∴CE=AC+AE=5AE,即:CE:AE=1:5,∵AN⊥x軸,∴AN∥OC,∴△ANE∽△COE,∴AN:OC=AE:CE=1:5,∴OC=5AN=5a,∵BN⊥x軸,∴BM∥OC,∴△BMF∽△COF,∴BM:CO=BF:CF,即3a:5a=BF:CF,∴BF:CF=3:5,∴S△BOF:S△COF=BF:CF=3:5,∴可設(shè)S△BOF=3m,S△COF=5m,∵S△COB=S△BOF+S△COF=10,∴3m+5m=10,解得:m=,∴S△COF=5m=.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義,相似三角形的判定和性質(zhì),理解反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義,熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.7.如圖,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,連接AC,BC,且AC∥x軸,BC∥y軸,AC=BC.若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,則k的值為36.【思路點(diǎn)撥】先確定A(2,6),則可設(shè)C(,6),再表示出B(,),利用CA=CB得到﹣2=6﹣,然后解方程得到k的值.【解析】解:當(dāng)x=2時(shí),y==6,則A(2,6),∵AC∥x軸,∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,設(shè)C(,6),∵BC∥y軸,∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,∴B(,),∵CA=CB,∴﹣2=6﹣,整理得k2﹣48k+432=0,解得k1=36,k2=12,經(jīng)檢驗(yàn)k1=36,k2=12都為原方程的解,∴k=36.故答案為36.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線,圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.8.如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,AB∥x軸,AB=2.(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,2),則a+b的值是﹣2.(2)若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,CD∥AB,CD=3,AB與CD之間的距離為1,則a﹣b的值是6.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意求得點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法即可求得a、b的值,進(jìn)而求得a+b的值;(2)設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n,由題意可知C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n﹣1,根據(jù)AB∥x軸,AB=2得出﹣=2,得到a﹣b=2n,根據(jù)CD∥AB,CD=3,得出﹣=3,得到a﹣b=3n﹣3,即可得出2n=3n﹣3,解得n=3,即可求得a﹣b=6.【解析】解:(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,2),AB∥x軸,AB=2,∴B(﹣,2),∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(x<0)的圖象上,∴a==1,b=﹣=﹣3,∴a+b=﹣2.故答案為:﹣2;(2)設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n,則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n﹣1,∵AB∥x軸,AB=2,∴A(,n),B(,n),∴﹣=2,∴a﹣b=2n,∵CD∥AB,CD=3,∴C(,n﹣1),D(,n﹣1),∴﹣=3,∴a﹣b=3n﹣3,∴2n=3n﹣3,∴n=3,∴a﹣b=2n=6.故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,正確表示點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.9.如圖,直線AB與反比例函數(shù)的圖象相交于A,B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn),連結(jié)CD和AD,AD交y軸于點(diǎn)E,且AC=AE,若,△CDE的面積為6,則k的值為.【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A,B分別作x軸的垂線,垂足分別為F,G,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于H,設(shè)AB交x軸于P,則OC∥AF∥BG,由此得=,設(shè)OF=3a,F(xiàn)G=a,則OG=OF+FG=7a,從而得點(diǎn)A,點(diǎn)B,證△PBG和△PAF相似從而得PG=3a,證∠CPD=∠ADP得AD=AP,則DF=FP,從而得OD=4a,再證△AHC和△PGB全等得CH=BG=,則CE=2CH=,然后根據(jù)△CDE的面積為6可求出k的值.【解析】解:過(guò)點(diǎn)A,B分別作x軸的垂線,垂足分別為F,G,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于H,設(shè)AB交x軸于P,如圖所示:∴OC∥AF∥BG,∴=,∴可設(shè)OF=3a,F(xiàn)G=a,則OG=OF+FG=7a,∵點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)的圖象上,∴點(diǎn)A,點(diǎn)B,∵BG∥AF,∴△PBG∽△PAF,∴PG:PF=BG:AF,即:PG:(PG+4a)=:,∴PG=3a,∵AH⊥y軸,∴∠CAH=∠CPD,∠HAE=∠ADP,∵AC=AG,AH⊥y軸,∴∠CAH=∠HAE,CE=2CH,∴∠CPD=∠ADP,∴AD=AP,∴DF=FP,即OD+OF=FG+PG,∴OD+3a=4a+3a,∴OD=4a,∵AH⊥y軸,AF⊥x軸,∠HOF=90°,∴四邊形HOFA為矩形,∴AH=OF=3a=PG,在△AHC和△PGB中,,∴△AHC≌△PGB(AAS),∴CH=BG=,∴CE=2CH=,∵△CDE的面積為6,∴CE?OD=6,即,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn),等腰三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),理解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足反比例函數(shù)的表達(dá)式,熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),靈活利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.押題方向二:相似三角形2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年湖州卷第15題相似三角形的應(yīng)用從近幾年浙江各地中考來(lái)看,對(duì)相似三角形的應(yīng)用及相似三角形的綜合考查經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在填空題的壓軸題,整體稍有難度;預(yù)計(jì)2024年浙江卷在填空題中還將繼續(xù)重視相似三角形的綜合的考查。2023年衢州卷、杭州卷第16題相似三角形的判定與性質(zhì)1.(2023?湖州)某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度,采用以下方法:如圖,把支架(EF)放在離樹(AB)適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處,再把鏡子水平放在支架(EF)上的點(diǎn)E處,然后沿著直線BF后退至點(diǎn)D處,這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A,再用皮尺分別測(cè)量BF,DF,EF,觀測(cè)者目高(CD)的長(zhǎng),利用測(cè)得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度.已知CD⊥BD于點(diǎn)D,EF⊥BD于點(diǎn)F,AB⊥BD于點(diǎn)B,BF=6米,DF=2米,EF=0.5米,CD=1.7米,則這棵樹的高度(AB的長(zhǎng))是4.1米.【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△CHE∽△AGE,再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可.【解析】解:過(guò)點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,如圖,∵DB是水平線,CD,EF,AB都是鉛垂線,∴DH=EF=GB=0.5米,EH=DF=2米,EG=FB=6米,∴CH=CD﹣DH=1.7﹣0.5=1.2(米),又根據(jù)題意,得∠CHE=∠AGE=90°,∠CEH=∠AEG,∴△CHE∽△AGE,∴,即,解得:AG=3.6米,∴AB=AG+GB=3.6+0.5=4.1(米).故答案為:4.1.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用,通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形,并利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.2.(2023?杭州)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別在邊AB,BC,CA上,連接DE,EF,F(xiàn)D,已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱.設(shè)=k,若AD=DF,則=(結(jié)果用含k的代數(shù)式表示).【答案】.【思路點(diǎn)撥】方法一:先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明DE∥AC,再證△BDE∽△BAC,推出EC=k?AB,通過(guò)證明△ABC∽△ECF,推出CF=k2?AB,即可求出的值.方法二:證明AD=DF=BD,可得BF⊥AC,設(shè)AB=AC=1,BC=k,CF=x,則AF=1﹣x,利用勾股定理列方程求出x的值,進(jìn)而可以解決問(wèn)題.【解析】解:方法一:∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB,∵AD=DF,∴∠A=∠DFA,∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱,∴∠BDE=∠FDE,∵∠BDE+∠FDE=∠BDF=∠A+∠DFA,∴∠FDE=∠DFA,∴DE∥AC,∴∠C=∠DEB,∠DEF=∠EFC,∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱,∴∠DEB=∠DEF,∴∠C=∠EFC,∵AB=AC,∴∠C=∠B,∵∠ACB=∠EFC,∴△ABC∽△ECF,∴=,∵DE∥AC,∴∠BDE=∠A,∠BED=∠C,∴△BDE∽△BAC,∴==,∴EC=BC,∵=k,∴BC=k?AB,∴EC=k?AB,∴=,∴CF=k2?AB,∴====.方法二:如圖,連接BF,∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱,∴DB=DF,∵AD=DF,∴AD=DB=DF,∴BF⊥AC,設(shè)AB=AC=1,則BC=k,設(shè)CF=x,則AF=1﹣x,由勾股定理得,AB2﹣AF2=BC2﹣CF2,∴12﹣(1﹣x)2=k2﹣x2,∴x=,∴AF=1﹣x=,∴=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì),軸對(duì)稱的性質(zhì),平行線的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形外角的定義和性質(zhì)等,有一定難度,解題的關(guān)鍵是證明△ABC∽△ECF.3.(2023?衢州)下面是勾股定理的一種證明方法:圖1所示紙片中,∠ACB=90°(AC<BC),四邊形ACDE,CBFG是正方形.過(guò)點(diǎn)C,B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個(gè)方向剪裁成四部分,并與正方形ACDE,△ABC拼成圖2.(1)若cos∠ABC=,△ABC的面積為16,則紙片Ⅲ的面積為9.(2)若,則=.【思路點(diǎn)撥】(1)在圖1中,過(guò)C作CM⊥AB于M,由cos∠ABC=,可得CT=BC,CM=AC,故CT?CM=BC?AC=BC?AC,而△ABC的面積為16,即可得紙片Ⅲ的面積為CT?BT=CT?CM=9;(2)標(biāo)識(shí)字母如圖,設(shè)NT=19t,證明△BFN≌△CBW(ASA),可得BN=CW=34t,由△BCT∽△WBT,有CT?WT=BT2,即CT?(34t﹣CT)=(15t)2,可得CT=9t或CT=25t,而BK=CT,AK=WT,即可得到答案.【解析】解:(1)在圖1中,過(guò)C作CM⊥AB于M,如圖:∵CT∥AB,∴∠ABC=∠BCT,∵cos∠ABC=,∴cos∠BCT=,即=,∴CT=BC,∵∠ACM=90°﹣∠BCM=∠ABC,∴cos∠ACM=cos∠ABC=,即=,∴CM=AC,∴CT?CM=BC?AC=BC?AC,∵△ABC的面積為16,∴BC?AC=16,∴BC?AC=32,∴CT?CM=18,∴紙片Ⅲ的面積為CT?BT=CT?CM=9;故答案為:9;(2)如圖:∵=,∴=,設(shè)NT=19t,則BT=15t,BN=34t,∵∠FBN=90°﹣∠CBN=∠BCW,BF=BC,∠BFN=∠CBW=90°,∴△BFN≌△CBW(ASA),∴BN=CW=34t,∵∠BCT=∠WBT,∠BTC=∠WTB=90°,∴△BCT∽△WBT,∴=,∴CT?WT=BT2,∴CT?(34t﹣CT)=(15t)2,解得CT=9t或CT=25t,當(dāng)CT=9t時(shí),WT=25t,這情況不符合題意,舍去;當(dāng)CT=25t時(shí),WT=9t,而BK=CT,AK=WT,∴=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定,涉及正方形性質(zhì)及應(yīng)用,全等三角形性質(zhì)與判定,銳角三角函數(shù)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定定理.1、相似圖形的性質(zhì):(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例;(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方。2、相似圖形的應(yīng)用:通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段,利用三角形相似,對(duì)應(yīng)邊成比例求出高度、寬度、長(zhǎng)度等。1.如圖,在△ABC中,AD為∠CAB的平分線,DE∥AB,若DE=3,CE=4,則AB的值.【思路點(diǎn)撥】由角平分線的性質(zhì)得出∠BAD=∠EAD,由平行線的性質(zhì)得出∠EDA=∠BAD,進(jìn)而得出∠EAD=∠EDA,得出EA=ED=3,由DE∥AB,證明△CED∽△CAB,由相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長(zhǎng)度.【解析】解:∵AD為∠CAB的平分線,∴∠BAD=∠EAD,∵DE∥AB,∴∠EDA=∠BAD,∴∠EAD=∠EDA,∴EA=ED,∵DE=3,∴EA=3,∵DE∥AB,∴∠CED=∠CAB,∠CDE=∠CBA,∴△CED∽△CAB,∴,∵DE=3,CE=4,EA=3,∴CA=CE+EA=4+3=7,∴,∴AB=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),掌握角平分線的性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.2.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,DE∥BC,與邊AC交于點(diǎn)E,連接BE.記△ADE,△BCE的面積分別為S1,S2.(1)若DE是△ABC的中位線,則S1:S2=1:2;(2)若S1=S2,CE=4,則線段AE的長(zhǎng)為.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)中位線定理得出DE=BC,DE∥BC,于是證得△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方即可得出△ADE與△ABC面積之間的關(guān)系,再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得出△BCE與△ABC面積之間的關(guān)系,從而得出△ADE與△BCE面積之間的關(guān)系;(2)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H,由DE∥BC證得△ADE∽△ABC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出,設(shè),由S1=S2可以求出m的值,再由相似三角形的性質(zhì)得出,從而求出AE的長(zhǎng).【解析】解:(1)∵DE是△ABC的中位線,∵DE=BC,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,即,∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),∴,∴S1:S2=1:2,故答案為:1:2;(2)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H,∵DE∥BC,∴AF⊥DE,∴FG=EH,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,設(shè),即DE=mBC,∴,∴,即AF=,∵S1=S2,∴,∴mBC?=BC?EH,∴,整理得m2+m﹣1=0,解得,(舍去),∴,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴,∴,∴,∵CE=4,∴AE=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),AE⊥CD于F,交BC于E,連接BF,若∠BFE=45°,則的值為.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定解答即可.【解析】解:過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,∵AE⊥CD,∠BFE=45°,∴△BFG為等腰直角三角形,設(shè)BG=FG=a,∵AG⊥DF,AG⊥BG,D為AB邊上的中點(diǎn),∴DF為△AGB的中位線,∴DF=a,AG=2a,∴AB=a,在Rt△ABC中,CD為AB邊上的中線,∴CD=a,∴CF=a,∵CF∥GB,∴△CFE∽△BGE,∴==,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)和判定,根據(jù)已知條件作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵.4.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊AC和邊BC上,沿直線EF將△CEF翻折,使點(diǎn)C落于△ABC所在平面內(nèi),記為點(diǎn)D.直線CD交AB于點(diǎn)G.(1)若CF落在邊AB上,則=;(2)若,則tan∠CEF=(用含的代數(shù)式表示).【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得BG=BC,CE=GE,設(shè)BC=a,則BG=a,由勾股定理得,,從而可求值;(2)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H,由,設(shè)GB=x,則AG=λx,AB=λx+x,,,進(jìn)一步可求出答案.【解析】解:(1)如圖1,由折疊得,CE=GE,點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,則BG=BC,設(shè)BC=a,則BG=a,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,則AB=a,∴AG=AB﹣BG=(﹣1)a,∴==﹣1;(2)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H,∴∠CEF+∠CGH=90°,∵∠CEF+∠ECG=90°,∴∠CEF=∠CGH,由=λ,設(shè)GB=x,則AG=λx,∴AB=AG+BG=λx+x,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,則AC=AB,AH=AG,∴CH=AC﹣AH=(AB﹣AG),又由作圖得△GHB為等腰直角三角形,∴GH=AG,∴tan∠CGH===,∴tan∠CEF===,故答案為:﹣1,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換(折疊問(wèn)題),等腰直角三角形,解直角三角形,解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及角的正切值.5.如圖,在菱形ABCD中,點(diǎn)E在BC上,將△ABE沿AE折疊得到△AGE,點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上,AG與CD相交于點(diǎn)F.若,則tanB的值為.【思路點(diǎn)撥】設(shè)FG=k,AF=3k,則AG=4k=AD=BC,依據(jù)△ADF∽△GCF,即可得到CG=AD=k;由折疊可得,BE=BG=k.在Rt△ABE中,依據(jù)勾股定理即可得到AE==k,進(jìn)而得出tanB的值.【解析】解:設(shè)FG=k,AF=3k,則AG=4k=AD=BC,∵AD∥CG,∴△ADF∽△GCF,∴==3,∴CG=AD=k,∴BG=4k+k=k,由折疊可得,BE=BG=k,∠AEB=∠AEG=90°,∴Rt△ABE中,AE==k,∴tanB===,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及折疊變換,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì):折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.6.如圖,在Rt△ABC中,D為斜邊AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AB上,將△BCE沿CE折疊至△FCE.若EF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,CF平分∠ACB,BE=1,則的值為,AB的長(zhǎng)為.【思路點(diǎn)撥】取AB中點(diǎn)H,連接DH,版DH是△ABC的中位線,DH=BC,折疊的性質(zhì)可得BC=FC,BE=EF=1,依據(jù)S△ADE=S△CDE,得到AE?DH=DE?CF,進(jìn)而求得的值;倍長(zhǎng)ED至點(diǎn)T,連結(jié)AT,設(shè)DF=x,則DT=DF=x,AT=CF=y(tǒng),∠DAT=∠DCF;推導(dǎo)出△TAD∽△TEA,得到=,得到y(tǒng)2=2x2+x,在Rt△ATE中,由勾股定理得y2+(x+x+1)2=(2x+2)2,解得=\frac{9+\sqrt{33}}{2}$.【解析】解:如圖1,取AB中點(diǎn)H,連接DH,∵D為斜邊AC的中點(diǎn),∴DH是△ABC的中位線,∴DH=BC,DH∥BC,∵AB⊥BC,∴DH⊥AB,由折疊的性質(zhì)可得BC=FC,BE=EF=1,∠DFC=∠B=90°,∵D為斜邊AC的中點(diǎn),∴S△ADE=S△CDE,∴AE?DH=DE?CF,即AE?BC=DE?BC,∴=;設(shè)DF=x,BC=CF=y(tǒng),則DE=DF+EF=x+1,∴AE=2DE=2x+2,∴AB=AE+BE=2x+3,如圖2所示,過(guò)點(diǎn)A作AT⊥ED交ED延長(zhǎng)線于T,∴∠T=∠CFD=90°,又∵AD=CD,∠ADT=∠CDF,∴△ADT≌△CDF(AAS),∴DT=DF=x,AT=CF=y(tǒng),∠DAT=∠DCF;∵CF平分∠BCA,∴∠BCA=2∠DCF,∵∠CAB+∠ACB=90°∴∠BCA+2∠DCF=90°,∵∠CAB+∠TAD+∠AET=90°,∴∠CAB+∠DCF+∠AET=90°,∴∠AET=∠TAD,又∵∠T=∠T,∴△TAD∽△TEA,∴=,即=,∴y2=2x2+x,在Rt△ATE中,由勾股定理得AT2+ET2=AE2,∴y2+(x+x+1)2=(2x+2)2,∴2x2+x+4x2+4x+1=4x2+8x+4,∴2x2﹣3x﹣3=0,解得(舍去),∴AB=2x+3=,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換(折疊問(wèn)題)以及直角三角形斜邊上的中線,作出輔助線得到中位線是解答本題的關(guān)鍵.7.如圖,將矩形ABCD的邊AD翻折到AE,使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在邊BC上,再將邊AD翻折到DF,且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心,則=4.【思路點(diǎn)撥】作AG⊥DE于點(diǎn)G,作FH⊥AG于點(diǎn)H,則FH∥ED,由翻折得AE=AD=DF,所以EG=DG,∠GAE=∠GAD=∠DAE,由點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心,得∠FEA=∠FEB=∠AEB,∠FAE=∠FAB=∠BAE,推導(dǎo)出∠DAE=∠AEB,∠FAH=∠GAE+∠FAE=45°,于是得∠GAE=∠FEA=∠FEB,∠FAH=∠AFH=45°,由AG∥FE,得∠DEF=∠AGD=90°,再證明△AGE≌△DEF,得GE=EF=ED,設(shè)DF交AE于點(diǎn)L,可證明DF⊥AE,所以=tan∠FEA=tan∠EDF===,則DL=4FL,求得=4,于是得到問(wèn)題的答案.【解析】解:作AG⊥DE于點(diǎn)G,作FH⊥AG于點(diǎn)H,則∠AHF=∠AGE=90°,∴FH∥ED,由翻折得AE=AD=DF,∴EG=DG,∠GAE=∠GAD=∠DAE,∵點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心,∴∠FEA=∠FEB=∠AEB,∠FAE=∠FAB=∠BAE,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠BAD=∠C=90°,∴∠DAE=∠AEB,∠FAH=∠GAE+∠FAE=(∠DAE+∠BAE)=∠BAD=45°,∴∠GAE=∠FEA=∠FEB,∠FAH=∠AFH=45°,∴AG∥FE,∴∠DEF=∠AGD=90°,∵∠DAF=∠DFA,∴∠DAF﹣∠FAH=∠DFA﹣∠AFH,∴∠GAE=∠GAD=∠DFH=∠EDF,∵∠AGE=∠DEF=90°,AE=DF,∴△AGE≌△DEF(AAS),∴GE=EF=ED,設(shè)DF交AE于點(diǎn)L,∵∠GAE=∠FEA=∠EDF,∴∠ELF=∠AED+∠EDF=∠AED+∠FEA=∠DEF=90°,∴DF⊥AE,∴∠DLE=90°,∴=tan∠FEA=tan∠EDF===,∴DL=2EL,EL=2FL,∴DL=2×2FL=4FL,∴===4,故答案為:4.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形、三角形的面積公式等知識(shí),正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.8.如圖,正方形ABCD的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)E,且CE=4AE,點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上,連接EF,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接GF并延長(zhǎng),交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,若AB=5,CF=2,則線段EP的長(zhǎng)是.【思路點(diǎn)撥】如圖,作FH⊥PE于H.利用勾股定理求出EF,再證明△CEF∽△FEP,可得EF2=EC?EP,由此即可解決問(wèn)題.【解析】解:如圖,作FH⊥PE于H.∵四邊形ABCD是正方形,AB=5,∴AC=5,∠ACD=∠FCH=45°,∵∠FHC=90°,CF=2,∴CH=HF=,∵CE=4AE,∴EC=4,AE=,∴EH=5,在Rt△EFH中,EF2=EH2+FH2=(5)2+()2=52,∵∠GEF=∠GCF=90°,∴E,G,F(xiàn),C四點(diǎn)共圓,∴∠EFG=∠ECG=45°,∴∠ECF=∠EFP=135°,∵∠CEF=∠FEP,∴△CEF∽△FEP,∴=,∴EF2=EC?EP,∴EP==.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題,屬于中考填空題中的壓軸題.押題方向三:特殊四邊形綜合問(wèn)題2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年臺(tái)州卷、紹興卷第14題、湖州卷第16題特殊四邊形的性質(zhì)從近幾年浙江各地中考來(lái)看,尺規(guī)作圖與幾何性質(zhì)綜合主要以作圖為背景(作已知角、角平分線、中垂線等)結(jié)合特殊三角形(四邊形)的性質(zhì)與運(yùn)算工具(相似、勾股定理等)一起考查,試題以填空題形式呈現(xiàn),難度中上;預(yù)計(jì)2024年成都卷必考尺規(guī)作圖與幾何性質(zhì)綜合運(yùn)用(求角度、長(zhǎng)度、比值等)。1.(2023?臺(tái)州)如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在邊AD上取一點(diǎn)E,使BE=BC,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE,垂足為點(diǎn)F,則BF的長(zhǎng)為.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠AEB=∠FBC,結(jié)合已知BE=BC,利用AAS證得△ABE和△FCB全等,得出FC=AB=4,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=AD=6,從而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的長(zhǎng).【解析】解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°,∴∠AEB=∠FBC,∵CF⊥BE,∴∠CFB=90°,∴∠CFB=∠A,在△ABE和△FCB中,,∴△ABE≌△FCB(AAS),∴FC=AB=4,∵四邊形ABCD是矩形,∴BC=AD=6,在Rt△FCB中,由勾股定理得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì),三角形全等的性質(zhì)與判定,勾股定理,熟知矩形的對(duì)邊平行且相等,四個(gè)角都是直角.2.(2023?紹興)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,連接AC,以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑作弧,交直線AD于點(diǎn)E,連接CE,則∠AEC的度數(shù)是10°或80°.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAC=20°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC的度數(shù).【解析】解:以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑作弧,交直線AD于點(diǎn)E和E′,如圖所示,在菱形ABCD中,∠DAC=∠BAC,∵∠DAB=40°,∴∠DAC=20°,∵AC=AE,∴∠AEC=(180°﹣20°)÷2=80°,∵AE′=AC,∴∠AE′C=∠ACE′=10°,綜上所述,∠AEC的度數(shù)是10°或80°,故答案為:10°或80°.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.(2023?湖州)如圖,標(biāo)號(hào)為①,②,③,④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號(hào)為⑤的正方形恰好拼成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形ABCD,相鄰圖形之間互不重疊也無(wú)縫隙,①和②分別是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF,③和④分別是Rt△CDG和Rt△DAH,⑤是正方形EFGH,直角頂點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別在邊BF,CG,DH,AE上.(1)若EF=3cm,AE+FC=11cm,則BE的長(zhǎng)是4cm.(2)若,則tan∠DAH的值是3.【思路點(diǎn)撥】(1)將AE和FC用BE表示出來(lái),再代入AE+FC=11cm,即可求出BE的長(zhǎng);(2)由已知條件可以證明∠DAH=∠CDG,從而得到tan∠DAH=tan∠CDG,設(shè)AH=x,DG=5k,GH=4k,用x和k的式子表示出CG,再利用tan∠DAH=tan∠CDG列方程,解出x,從而求出tan∠DAH的值.【解析】解:(1)∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∵AE+FC=11cm,∴BE+BF=11cm,即BE+BE+EF=11cm,即2BE+EF=11cm,∵EF=3cm,∴2BE+3cm=11cm,∴BE=4cm,故答案為:4;(2)設(shè)AH=x,∵,∴可設(shè)DG=5k,GH=4k,∵四邊形EFGH是正方形,∴HE=EF=FG=GH=4k,∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形,∴AE=BE,BF=CF,∠ABE=∠CBF=45°,∴CG=CF+GF=BF+4k=BE+8k=AH+12k=x+12k,∠ABC=∠ABE+∠CBF=45°+45°=90°,∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ),∴∠ADC=90°,∴∠ADH+∠CDG=90°,∵四邊形EFGH是正方形,∴∠AHD=∠CGD=90°,∴∠ADH+∠DAH=90°,∴∠DAH=∠CDG,∴tan∠DAH=tan∠CDG,∴,即,整理得:x2+12kx﹣45k2=0,解得x1=3k,x2=﹣15k(舍去),∴tan∠DAH===3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),三角函數(shù)定義,一元二次方程的解法等,弄清圖中線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.1.平行四邊形的性質(zhì):(1)兩組對(duì)邊平行且相等;(2)對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ);(3)對(duì)角線互相平分;(4)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,但不是軸對(duì)稱圖形。2.矩形的性質(zhì):(1)矩形兩組對(duì)邊平行且相等;(2)矩形的四個(gè)角都是直角;(3)對(duì)角線互相平分且相等;(4)矩形既是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形。(5)在直角三角形中斜邊的中線,等于斜邊的一半。3.菱形的性質(zhì):1)具有平行四邊形的所有性質(zhì);2)四條邊都相等;3)兩條對(duì)角線互相垂直,且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;4)菱形既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形。4.正方形的性質(zhì):(1)正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì);(2)正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;(3)正方形對(duì)邊平行且相等;(4)正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;(5)正方形既是中心對(duì)稱圖形,也是軸對(duì)稱圖形。1.如圖,四邊形ABCD為矩形,AB>AD.將矩形沿著過(guò)點(diǎn)C的直線l翻折,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F.已知AB=5,AD=3,若直線l與射線BA交于點(diǎn)E,且△CFD是直角三角形時(shí),則BE的長(zhǎng)為1或9.【思路點(diǎn)撥】分兩種情況討論:①直線l與邊BA交于點(diǎn)E,點(diǎn)F落在矩形ABCD內(nèi)部,△CFD是直角三角形時(shí),如圖1,②直線l與射線BA交于點(diǎn)E,點(diǎn)F落在矩形ABCD外部,△CFD是直角三角形時(shí),如圖2,然后利用折疊的性質(zhì)和勾股定理即可解決問(wèn)題.【解析】解:分兩種情況:①直線l與邊BA交于點(diǎn)E,點(diǎn)F落在矩形ABCD內(nèi)部,△CFD是直角三角形時(shí),如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=5,BC=AD=3,∠A=∠B=90°,設(shè)BE=x,由折疊可知:EF=EB=x,CF=CB=3,∠CFE=∠B=90°,∴∠CFD=90°,DF===4,∴DE=DF+EF=4+x,AE=AB﹣BE=5﹣x,在Rt△ADE中,根據(jù)勾股定理得:AD2+AE2=DE2,∴32+(5﹣x)2=(4+x)2,∴x=1,∴BE=1;②直線l與射線BA交于點(diǎn)E,點(diǎn)F落在矩形ABCD外部,△CFD是直角三角形時(shí),如圖2,由折疊可知:∠FEC=∠BEC,∵四邊形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠DCE=∠BEC,∴∠DCE=∠FEC,∴DE=DC=5,∴AE===4,∴BE=AE+AB=4+5=9,綜上所述:BE的長(zhǎng)為1或9,故答案為:1或9.【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問(wèn)題,勾股定理,矩形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是利用分類討論思想.2.如圖,點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合),AB=6,AD=8,將△ABE沿AE對(duì)折得到△AFE,其中點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部.若點(diǎn)F到邊AD和BC的距離相等,則sin∠BAE=.【思路點(diǎn)撥】過(guò)F作GH⊥AD,則GH⊥BC,連接BF,判定△ABF是等邊三角形,即可得到∠BAE=30°,進(jìn)而得出sin∠BAE=.【解析】解:如圖所示,過(guò)F作GH⊥AD,則GH⊥BC,連接BF,∵點(diǎn)F到邊AD和BC的距離相等,∴GF=HF,又∵AG=BH,∠AGF=∠BHF,∴△AGF≌△BHF(SAS),∴AF=BF,由折疊可得,AB=AF,∴AB=AF=BF,∴△ABF是等邊三角形,∴∠BAF=60°,又∵∠BAE=∠FAE,∴∠BAE=30°,∴sin∠BAE=.故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì),折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.小江同學(xué)在學(xué)習(xí)勾股定理后,用兩對(duì)全等的直角三角形(Rt△DHC≌Rt△BFA,Rt△ADE≌Rt△CBG)和正方形EFGH拼成如圖所示的?ABCD(無(wú)重疊也無(wú)縫隙),其中,AD=4,AB=5.記Rt△ADE,Rt△BFA的面積分別為S1,S2.則S1﹣S2=,若,則正方形EFGH的面積=.【思路點(diǎn)撥】如圖,由題意知Rt△DHC≌Rt△BFA,Rt△ADE≌Rt△CBG,四邊形HEFG為正方形,則DH=BF,DE=BG,HC=AF,GC=AE,HE=EF=FG=HG,設(shè)DH=BF=x,GC=AE=y(tǒng),正方形邊長(zhǎng)HE=a,則DH2+HC2=DC2=52,DE2+AE2=AD2=42,則x2+(a+y)2=25①,y2+(x+a)2=16②,推出ay﹣ax=,根據(jù)b2+a2+2ab+x2+x2+a2+2ab+b2﹣2ab﹣2bx﹣2a2﹣2ax﹣2bx=6,得出2b2+2x2﹣4bx=6,則b﹣x=,根據(jù)a(b﹣x)=,得出a,進(jìn)而計(jì)算即可.【解析】解:如圖,由題意知Rt△DHC≌Rt△BFA,Rt△ADE≌Rt△CBG,四邊形HEFG為正方形,∴DH=BF,DE=BG,HC=AF,GC=AE,HE=EF=FG=HG,設(shè)DH=BF=x,GC=AE=y(tǒng),正方形邊長(zhǎng)HE=a,∴DH2+HC2=DC2=52,DE2+AE2=AD2=42,∴x2+(a+y)2=25①,y2+(x+a)2=16②,∴①﹣②得2(ax﹣ay)=﹣9,即ay﹣ax=,∵====,∵b2+a2+2ab+x2+x2+a2+2ab+b2﹣2ab﹣2bx﹣2a2﹣2ax﹣2bx=6,∴2b2+2x2﹣4bx=6,∴(b﹣x)2=3,b﹣x=,∵a(b﹣x)=,∴a==,∴S正方形HEFG=故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定,正方形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用.4.如圖,某興趣小組運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)徽標(biāo),將邊長(zhǎng)為的正方形分割成的七巧板拼成了一個(gè)軸對(duì)稱圖形,取名為“火箭”,并過(guò)該圖形的A,B,C三個(gè)頂點(diǎn)作圓,則該圓的半徑長(zhǎng)是.【思路點(diǎn)撥】先求得AD=10,AB=6,利用垂徑定理求得BD=3,在Rt△OBD中,由勾股定理求解即可.【解析】解:∵將邊長(zhǎng)為的正方形分割成的七巧板拼成了一個(gè)軸對(duì)稱圖形,如圖,連接OB,∴AD=2+4+2+2=10,BC=2+2+2=6,∴.設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)是x,則OB=x,OD=10﹣x,在Rt△OBD中,由勾股定理得x2=(10﹣x)2+32,解得.∴該圓的半徑長(zhǎng)是,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了七巧板,正方形的性質(zhì),確定圓的條件以及三角形的外接圓與外心,解答本題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造直角三角形.5.如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC=8,BD=4,BE⊥AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,則S△AEF=.【思路點(diǎn)撥】由菱形的性質(zhì)推出AC⊥BD,OA=AC,OB=BD,AD=AB,由勾股定理求出AB==2,由菱形ABCD的面積=AD?EB=AC?BD,求出BE=,由勾股定理求出AE==,求出△AOD的面積=OA?OD=4,由△AEF∽△AOD,推出==,即可求出S△AEF=.【解析】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=AC,OB=BD,AD=AB,∵AC=8,BD=4,∴OA=4,OB=2,∴AB==2,∵BE⊥AD,∴菱形ABCD的面積=AD?EB=AC?BD,∴2BE=×8×4,∴BE=,∴AE==,∵∠AOD=90°,OA=4,OB=2,∴△AOD的面積=OA?OD=4,∵∠AEF=∠AOD=90°,∵∠EAF=∠OAD,∴△AEF∽△AOD,∴==,∴S△AEF=.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì),三角形的面積,關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì),勾股定理求出BE的長(zhǎng),由△AEF∽△AOD,推出==.6.如圖,矩形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上,連接BE、OE,OE與BC交于點(diǎn)F,若∠CEB=45°,BE=DE,下列三個(gè)結(jié)論:①OE⊥BD;②EF=AC;③BF=2CF;④.其中正確的結(jié)論是①②④.【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)矩形的性質(zhì)得OD=OD,AC=BD,AB=CD,∠ABC=∠BCD=90°,再根據(jù)

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