押浙江卷第15-16題（反比例函數(shù)、相似三角形、四邊形）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押題（浙江專用）（全解全析）

第第頁(yè)押浙江卷第15-16題（反比例函數(shù)、相似三角形、四邊形）押題方向一：反比例函數(shù)2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年溫州卷第15題反比例函數(shù)的應(yīng)用從近幾年浙江各地中考來(lái)看，反比例函數(shù)在填空題中主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用與反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，屬于稍難題，有時(shí)候作為填空題的壓軸題考查；預(yù)計(jì)2024年浙江卷還將繼續(xù)重視反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。2023年衢州卷、紹興卷第15題、寧波卷第16題反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義1．（2023?溫州）在溫度不變的條件下，通過(guò)一次又一次地對(duì)汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對(duì)汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了20mL．【思路點(diǎn)撥】設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為V＝，求得V＝，當(dāng)p＝75kPa時(shí)，求得V＝＝80，當(dāng)p＝100kPa時(shí)求得，V＝＝60于是得到結(jié)論．【解析】解：設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為V＝，∵V＝100ml時(shí)，p＝60kpa，∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，∴V＝，當(dāng)p＝75kPa時(shí)，V＝＝80，當(dāng)p＝100kPa時(shí)，V＝＝60，∴80﹣60＝20（mL），∴氣體體積壓縮了20mL，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，得出反比例函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．2．（2023?紹興）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)（k為大于0的常數(shù)，x＞0）圖象上的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），滿足x2＝2x1，△ABC的邊AC∥x軸，邊BC∥y軸，若△OAB的面積為6，則△ABC的面積是2．【思路點(diǎn)撥】證明出點(diǎn)A、B為矩形邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形OAB的面積求出矩形面積，再求出三角形ABC面積即可．【解析】解：如圖，延長(zhǎng)CA交y軸于E，延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)F，∴CE⊥y軸，CF⊥x軸，∴四邊形OECF為矩形，∵x2＝2x1，∴點(diǎn)A為CE的中點(diǎn)，由幾何意義得，S△OAE＝S△OBF，∴點(diǎn)B為CF的中點(diǎn)，∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，∴S矩形OECF＝16，∴S△ABC＝×16＝2．故答案為：2．2【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，幾何意義的應(yīng)用及矩形特性是解題關(guān)鍵．3．（2023?衢州）如圖，點(diǎn)A，B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點(diǎn)P，Q．作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．若OA＝2AB，Q為BE的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則k的值為24．【思路點(diǎn)撥】設(shè)OA＝4a，因?yàn)镺A＝2AB，所以AB＝2a，則A（4a，0），B（6a，0），由于正方形OACD，ABEF，則C（4a，4a），因?yàn)镃D⊥y軸，P在CD上，所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a，則P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x＝k4a，由于Q為BE中點(diǎn)，切BE⊥x軸，所以BQ＝AB＝a，則Q（6a，a），由于Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，所以k＝6a2，根據(jù)已知陰影為矩形，長(zhǎng)為，寬為：a，面積為6，所以可得12×k4a×a＝6，即可解決．【解析】解：設(shè)OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，則B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q為BE中點(diǎn)，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四邊形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a，∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N，∴四邊形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，則k＝24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和長(zhǎng)方形的面積公式，讀懂題意，靈活運(yùn)用說(shuō)學(xué)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023?寧波）如圖，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為12，a的值為9．【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，設(shè)A（m，），再由AE∥x軸，BD∥y軸，AC＝2BC，可得B（﹣2m，﹣），D（﹣2m，﹣），E（，），再結(jié)合△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，即可得解．【解析】解：設(shè)A（m，），∵AE∥x軸，且點(diǎn)E在函數(shù)y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且點(diǎn)B在函數(shù)y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y軸，點(diǎn)D在函數(shù)y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面積為9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m??＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，∴S△BDE＝DB?（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）??（）?m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案為：12，9．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)需要熟練掌握并能靈活運(yùn)用方程思想是關(guān)鍵．1.2.1．如圖，在△OAB中，邊OA在y軸上．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與邊AB交于點(diǎn)C．若BC＝3AC，S△OAB＝10．則k的值為4．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)BC＝3AC，S△OAB＝10可得S△COB＝，再根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義列出方程求出k即可．【解析】解：∵BC＝3AC，S△OAB＝10．∴S△COB＝＝，設(shè)點(diǎn)C（m，），則B（4m，），∵S△COB＝S梯形BCDE＝，∴，解得：k＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)k值的幾何意義是關(guān)鍵．2．如圖，直角坐標(biāo)系中，?AOBC的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，A，C在第一象限．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)D，AE⊥x軸于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，連結(jié)BF，則△BDF的面積為．【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)F作FK⊥x軸于K，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，設(shè)點(diǎn)E（m，0），則m＞0，OE＝m，點(diǎn)A，AE＝，由此得直線OA的表達(dá)式為，解方程組，得點(diǎn)F，則FK＝，再求出直線EF的表達(dá)式為，解方程組，得點(diǎn)D，則OH＝3m，DH＝25/3m，證△AOE∽△DBH可得BH＝，則BE＝，然后分別求出S△FBE＝，S△BED＝，據(jù)此可得△BDF的面積．【解析】解：過(guò)點(diǎn)F作FK⊥x軸于K，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥x軸于H，如下圖所示：設(shè)點(diǎn)E（m，0），則m＞0，OE＝m，∵AE⊥x軸，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，∴點(diǎn)A，AE＝，設(shè)直線OA的表達(dá)式為：y＝k1x，∴，解得：，∴直線OA的表達(dá)式為：，解方程組，得，，∵點(diǎn)F在第三象限，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則FK＝，設(shè)直線EF的表達(dá)式為y＝kx+b，將點(diǎn)E（m，0），F(xiàn)代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直線EF的表達(dá)式為：，解方程組組，得，，∵點(diǎn)D在第一象限，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴OH＝3m，DH＝，∵AE⊥x軸，DH⊥x軸，∴∠AEO＝∠DHB＝90°，∵四邊形AOBC為平行四邊形，∴AO∥BC，∴∠AOE＝∠DBH，∴△AOE∽△DBH，∴AE：DH＝OE：BH，即，∴BH＝，∴BE＝OH﹣OE﹣BH＝3m﹣m﹣＝，∴S△FBE＝BE?FK＝＝，S△BED＝BE?DH＝＝，∴S△BDF＝S△FBE+S△BED＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，理解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足反比例函數(shù)的表達(dá)式，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，及相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)B，C在x軸上，對(duì)角線AC的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)E，連接BE，若△BCE的面積是2，則k的值為﹣4．【思路點(diǎn)撥】先設(shè)D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根據(jù)△BCE的面積是6，得出BC×OE＝12，最后根據(jù)AB∥OE，得出＝，即BC?EO＝AB?CO，求得ab的值即可．【解析】解：設(shè)D（a，b），則CO＝﹣a，CD＝AB＝b，∵矩形ABCD的頂點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，∴k＝ab，∵△BCE的面積是2，∴×BC×OE＝2，即BC×OE＝4，∵AB∥OE，∴＝，即BC?EO＝AB?CO，∴4＝b×（﹣a），即ab＝﹣4，∴k＝﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的綜合應(yīng)用，能很好地考核學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．解題的關(guān)鍵是將△BCE的面積與點(diǎn)D的坐標(biāo)聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．4．如圖，Rt△ABC頂點(diǎn)A落在y軸上，斜邊上的中線CD⊥x軸于點(diǎn)D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)直角頂點(diǎn)C，若△BCD的面積為5，則k的值為10．【思路點(diǎn)撥】連接OC，依題意得S△ACD＝S△BCD＝5，再根據(jù)△OCD和△ACD的公共邊CD上的高相等得S△OCD＝S△ACD＝5，再根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得S△OCD＝1/2|k|，據(jù)此可得k的值．【解析】解：連接OC，如下圖所示：∵在Rt△ABC中，斜邊上的中線CD⊥x軸于點(diǎn)D，△BCD的面積為5，∴S△ACD＝S△BCD＝5，CD∥y軸，∴△OCD和△ACD的公共邊CD上的高相等，∴S△OCD＝S△ACD＝5，∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)直角頂點(diǎn)C，∴根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得：S△OCD＝|k|，∴|k|＝2S△OCD＝10，∵反比例函數(shù)的圖象在第一象限，∴k＝10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，直角三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．如圖，AB平行于x軸，點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，BC∥AO，若四邊形AOBC的面積為，則實(shí)數(shù)k的值為﹣3．【思路點(diǎn)撥】設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（，m），然后根據(jù)已知條件求出點(diǎn)A坐標(biāo)，用待定那個(gè)系數(shù)法求直線OA的解析式，再根據(jù)BC∥OA設(shè)出直線BC解析式，求出點(diǎn)OC，然后由四邊形AOBC的面積為，求出k的值．【解析】解：設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（，m）（m＞0），∵AB平行于x軸，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（，m），∴AB＝﹣＝，∴OA所在直線的解析式為y＝x，∵BC∥AO，∴設(shè)直線BC的解析式為y＝x+c，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入y＝x+c得，m＝×+c，解得，c＝，∴OC＝，∴四邊形AOBC的面積＝OC?AB＝××＝，解得k＝7或k＝﹣3，∵k＜0，∴k＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．6．如圖，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y＝（x＞0）上一點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交反比例函數(shù)y＝（x＜0）于點(diǎn)B，且k2＝9k1.點(diǎn)C在y軸正半軸上，連結(jié)CA并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，連結(jié)BC交x軸于點(diǎn)F，若＝4，S△COB＝10，則△COF的面積為．【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得，再由k2＝9k1，得＝，證△AON和△BOM相似得＝，則＝，可設(shè)AN＝a，BM＝3a，再證△ANE和△COE相似得AN：OC＝AE：CE＝1：5，則OC＝5AN＝5a，證△BMF和△COF相似得BM：CO＝BF：CF＝3：5，則S△BOF：S△COF＝BF：CF＝3：5，由此可得△COF的面積．【解析】解：過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于N，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥x軸于M，如圖所示：∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義得：S△AON＝|k1|，S△BOM＝|k2|，∴，∵k2＝9k1，∴，∴＝，∵AN⊥x軸，BM⊥x軸，∴AN∥BM，∴△AON∽△BOM，∴＝，∴＝，∴＝，設(shè)AN＝a，則BM＝3a，∵＝4，∴AC＝4AE，∴CE＝AC+AE＝5AE，即：CE：AE＝1：5，∵AN⊥x軸，∴AN∥OC，∴△ANE∽△COE，∴AN：OC＝AE：CE＝1：5，∴OC＝5AN＝5a，∵BN⊥x軸，∴BM∥OC，∴△BMF∽△COF，∴BM：CO＝BF：CF，即3a：5a＝BF：CF，∴BF：CF＝3：5，∴S△BOF：S△COF＝BF：CF＝3：5，∴可設(shè)S△BOF＝3m，S△COF＝5m，∵S△COB＝S△BOF+S△COF＝10，∴3m+5m＝10，解得：m＝，∴S△COF＝5m＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，連接AC，BC，且AC∥x軸，BC∥y軸，AC＝BC．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則k的值為36．【思路點(diǎn)撥】先確定A（2，6），則可設(shè)C（，6），再表示出B（，），利用CA＝CB得到﹣2＝6﹣，然后解方程得到k的值．【解析】解：當(dāng)x＝2時(shí)，y＝＝6，則A（2，6），∵AC∥x軸，∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，設(shè)C（，6），∵BC∥y軸，∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴B（，），∵CA＝CB，∴﹣2＝6﹣，整理得k2﹣48k+432＝0，解得k1＝36，k2＝12，經(jīng)檢驗(yàn)k1＝36，k2＝12都為原方程的解，∴k＝36．故答案為36．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy＝k．8．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，AB∥x軸，AB＝2．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，2），則a+b的值是﹣2．（2）若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，CD∥AB，CD＝3，AB與CD之間的距離為1，則a﹣b的值是6．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得a、b的值，進(jìn)而求得a+b的值；（2）設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，由題意可知C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n﹣1，根據(jù)AB∥x軸，AB＝2得出﹣＝2，得到a﹣b＝2n，根據(jù)CD∥AB，CD＝3，得出﹣＝3，得到a﹣b＝3n﹣3，即可得出2n＝3n﹣3，解得n＝3，即可求得a﹣b＝6．【解析】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，2），AB∥x軸，AB＝2，∴B（﹣，2），∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，∴a＝＝1，b＝﹣＝﹣3，∴a+b＝﹣2．故答案為：﹣2；（2）設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n﹣1，∵AB∥x軸，AB＝2，∴A（，n），B（，n），∴﹣＝2，∴a﹣b＝2n，∵CD∥AB，CD＝3，∴C（，n﹣1），D（，n﹣1），∴﹣＝3，∴a﹣b＝3n﹣3，∴2n＝3n﹣3，∴n＝3，∴a﹣b＝2n＝6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確表示點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，直線AB與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，連結(jié)CD和AD，AD交y軸于點(diǎn)E，且AC＝AE，若，△CDE的面積為6，則k的值為．【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為F，G，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于H，設(shè)AB交x軸于P，則OC∥AF∥BG，由此得＝，設(shè)OF＝3a，F(xiàn)G＝a，則OG＝OF+FG＝7a，從而得點(diǎn)A，點(diǎn)B，證△PBG和△PAF相似從而得PG＝3a，證∠CPD＝∠ADP得AD＝AP，則DF＝FP，從而得OD＝4a，再證△AHC和△PGB全等得CH＝BG＝，則CE＝2CH＝，然后根據(jù)△CDE的面積為6可求出k的值．【解析】解：過(guò)點(diǎn)A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為F，G，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥y軸于H，設(shè)AB交x軸于P，如圖所示：∴OC∥AF∥BG，∴＝，∴可設(shè)OF＝3a，F(xiàn)G＝a，則OG＝OF+FG＝7a，∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，∴點(diǎn)A，點(diǎn)B，∵BG∥AF，∴△PBG∽△PAF，∴PG：PF＝BG：AF，即：PG：（PG+4a）＝：，∴PG＝3a，∵AH⊥y軸，∴∠CAH＝∠CPD，∠HAE＝∠ADP，∵AC＝AG，AH⊥y軸，∴∠CAH＝∠HAE，CE＝2CH，∴∠CPD＝∠ADP，∴AD＝AP，∴DF＝FP，即OD+OF＝FG+PG，∴OD+3a＝4a+3a，∴OD＝4a，∵AH⊥y軸，AF⊥x軸，∠HOF＝90°，∴四邊形HOFA為矩形，∴AH＝OF＝3a＝PG，在△AHC和△PGB中，，∴△AHC≌△PGB（AAS），∴CH＝BG＝，∴CE＝2CH＝，∵△CDE的面積為6，∴CE?OD＝6，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足反比例函數(shù)的表達(dá)式，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．押題方向二：相似三角形2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年湖州卷第15題相似三角形的應(yīng)用從近幾年浙江各地中考來(lái)看，對(duì)相似三角形的應(yīng)用及相似三角形的綜合考查經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在填空題的壓軸題，整體稍有難度；預(yù)計(jì)2024年浙江卷在填空題中還將繼續(xù)重視相似三角形的綜合的考查。2023年衢州卷、杭州卷第16題相似三角形的判定與性質(zhì)1．（2023?湖州）某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點(diǎn)E處，然后沿著直線BF后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測(cè)量BF，DF，EF，觀測(cè)者目高（CD）的長(zhǎng)，利用測(cè)得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點(diǎn)D，EF⊥BD于點(diǎn)F，AB⊥BD于點(diǎn)B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長(zhǎng)）是4.1米．【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△CHE∽△AGE，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．【解析】解：過(guò)點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，如圖，∵DB是水平線，CD，EF，AB都是鉛垂線，∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），又根據(jù)題意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，∴△CHE∽△AGE，∴，即，解得：AG＝3.6米，∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．故答案為：4.1．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形，并利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)＝k，若AD＝DF，則＝（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）．【答案】．【思路點(diǎn)撥】方法一：先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC＝k?AB，通過(guò)證明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2?AB，即可求出的值．方法二：證明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，設(shè)AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，則AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解析】解：方法一：∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB，∵AD＝DF，∴∠A＝∠DFA，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠BDE＝∠FDE，∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，∴∠FDE＝∠DFA，∴DE∥AC，∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠DEB＝∠DEF，∴∠C＝∠EFC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠ACB＝∠EFC，∴△ABC∽△ECF，∴＝，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝＝，∴EC＝BC，∵＝k，∴BC＝k?AB，∴EC＝k?AB，∴＝，∴CF＝k2?AB，∴＝＝＝＝．方法二：如圖，連接BF，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DB＝DF，∵AD＝DF，∴AD＝DB＝DF，∴BF⊥AC，設(shè)AB＝AC＝1，則BC＝k，設(shè)CF＝x，則AF＝1﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，∴x＝，∴AF＝1﹣x＝，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明△ABC∽△ECF．3．（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過(guò)點(diǎn)C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個(gè)方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為9．（2）若，則＝．【思路點(diǎn)撥】（1）在圖1中，過(guò)C作CM⊥AB于M，由cos∠ABC＝，可得CT＝BC，CM＝AC，故CT?CM＝BC?AC＝BC?AC，而△ABC的面積為16，即可得紙片Ⅲ的面積為CT?BT＝CT?CM＝9；（2）標(biāo)識(shí)字母如圖，設(shè)NT＝19t，證明△BFN≌△CBW（ASA），可得BN＝CW＝34t，由△BCT∽△WBT，有CT?WT＝BT2，即CT?（34t﹣CT）＝（15t）2，可得CT＝9t或CT＝25t，而BK＝CT，AK＝WT，即可得到答案．【解析】解：（1）在圖1中，過(guò)C作CM⊥AB于M，如圖：∵CT∥AB，∴∠ABC＝∠BCT，∵cos∠ABC＝，∴cos∠BCT＝，即＝，∴CT＝BC，∵∠ACM＝90°﹣∠BCM＝∠ABC，∴cos∠ACM＝cos∠ABC＝，即＝，∴CM＝AC，∴CT?CM＝BC?AC＝BC?AC，∵△ABC的面積為16，∴BC?AC＝16，∴BC?AC＝32，∴CT?CM＝18，∴紙片Ⅲ的面積為CT?BT＝CT?CM＝9；故答案為：9；（2）如圖：∵＝，∴＝，設(shè)NT＝19t，則BT＝15t，BN＝34t，∵∠FBN＝90°﹣∠CBN＝∠BCW，BF＝BC，∠BFN＝∠CBW＝90°，∴△BFN≌△CBW（ASA），∴BN＝CW＝34t，∵∠BCT＝∠WBT，∠BTC＝∠WTB＝90°，∴△BCT∽△WBT，∴＝，∴CT?WT＝BT2，∴CT?（34t﹣CT）＝（15t）2，解得CT＝9t或CT＝25t，當(dāng)CT＝9t時(shí)，WT＝25t，這情況不符合題意，舍去；當(dāng)CT＝25t時(shí)，WT＝9t，而BK＝CT，AK＝WT，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，涉及正方形性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定定理．1、相似圖形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。2、相似圖形的應(yīng)用：通過(guò)測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例求出高度、寬度、長(zhǎng)度等。1．如圖，在△ABC中，AD為∠CAB的平分線，DE∥AB，若DE＝3，CE＝4，則AB的值．【思路點(diǎn)撥】由角平分線的性質(zhì)得出∠BAD＝∠EAD，由平行線的性質(zhì)得出∠EDA＝∠BAD，進(jìn)而得出∠EAD＝∠EDA，得出EA＝ED＝3，由DE∥AB，證明△CED∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)即可求出AB的長(zhǎng)度．【解析】解：∵AD為∠CAB的平分線，∴∠BAD＝∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∵DE＝3，∴EA＝3，∵DE∥AB，∴∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，∴△CED∽△CAB，∴，∵DE＝3，CE＝4，EA＝3，∴CA＝CE+EA＝4+3＝7，∴，∴AB＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE∥BC，與邊AC交于點(diǎn)E，連接BE．記△ADE，△BCE的面積分別為S1，S2．（1）若DE是△ABC的中位線，則S1：S2＝1：2；（2）若S1＝S2，CE＝4，則線段AE的長(zhǎng)為．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)中位線定理得出DE＝BC，DE∥BC，于是證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方即可得出△ADE與△ABC面積之間的關(guān)系，再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得出△BCE與△ABC面積之間的關(guān)系，從而得出△ADE與△BCE面積之間的關(guān)系；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，由DE∥BC證得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，由S1＝S2可以求出m的值，再由相似三角形的性質(zhì)得出，從而求出AE的長(zhǎng)．【解析】解：（1）∵DE是△ABC的中位線，∵DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴，∴S1：S2＝1：2，故答案為：1：2；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵DE∥BC，∴AF⊥DE，∴FG＝EH，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，設(shè)，即DE＝mBC，∴，∴，即AF＝，∵S1＝S2，∴，∴mBC?＝BC?EH，∴，整理得m2+m﹣1＝0，解得，（舍去），∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，∵CE＝4，∴AE＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AE⊥CD于F，交BC于E，連接BF，若∠BFE＝45°，則的值為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定解答即可．【解析】解：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，∴△BFG為等腰直角三角形，設(shè)BG＝FG＝a，∵AG⊥DF，AG⊥BG，D為AB邊上的中點(diǎn)，∴DF為△AGB的中位線，∴DF＝a，AG＝2a，∴AB＝a，在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，∴CD＝a，∴CF＝a，∵CF∥GB，∴△CFE∽△BGE，∴＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)已知條件作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．4．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC和邊BC上，沿直線EF將△CEF翻折，使點(diǎn)C落于△ABC所在平面內(nèi)，記為點(diǎn)D．直線CD交AB于點(diǎn)G．（1）若CF落在邊AB上，則＝；（2）若，則tan∠CEF＝（用含的代數(shù)式表示）．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得BG＝BC，CE＝GE，設(shè)BC＝a，則BG＝a，由勾股定理得，，從而可求值；（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，由，設(shè)GB＝x，則AG＝λx，AB＝λx+x，，，進(jìn)一步可求出答案．【解析】解：（1）如圖1，由折疊得，CE＝GE，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，則BG＝BC，設(shè)BC＝a，則BG＝a，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，則AB＝a，∴AG＝AB﹣BG＝（﹣1）a，∴＝＝﹣1；（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，∴∠CEF+∠CGH＝90°，∵∠CEF+∠ECG＝90°，∴∠CEF＝∠CGH，由＝λ，設(shè)GB＝x，則AG＝λx，∴AB＝AG+BG＝λx+x，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，則AC＝AB，AH＝AG，∴CH＝AC﹣AH＝（AB﹣AG），又由作圖得△GHB為等腰直角三角形，∴GH＝AG，∴tan∠CGH＝＝＝，∴tan∠CEF＝＝＝，故答案為：﹣1，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），等腰直角三角形，解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理以及角的正切值．5．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，將△ABE沿AE折疊得到△AGE，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，AG與CD相交于點(diǎn)F．若，則tanB的值為．【思路點(diǎn)撥】設(shè)FG＝k，AF＝3k，則AG＝4k＝AD＝BC，依據(jù)△ADF∽△GCF，即可得到CG＝AD＝k；由折疊可得，BE＝BG＝k．在Rt△ABE中，依據(jù)勾股定理即可得到AE＝＝k，進(jìn)而得出tanB的值．【解析】解：設(shè)FG＝k，AF＝3k，則AG＝4k＝AD＝BC，∵AD∥CG，∴△ADF∽△GCF，∴＝＝3，∴CG＝AD＝k，∴BG＝4k+k＝k，由折疊可得，BE＝BG＝k，∠AEB＝∠AEG＝90°，∴Rt△ABE中，AE＝＝k，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及折疊變換，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．6．如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，將△BCE沿CE折疊至△FCE．若EF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，CF平分∠ACB，BE＝1，則的值為，AB的長(zhǎng)為．【思路點(diǎn)撥】取AB中點(diǎn)H，連接DH，版DH是△ABC的中位線，DH＝BC，折疊的性質(zhì)可得BC＝FC，BE＝EF＝1，依據(jù)S△ADE＝S△CDE，得到AE?DH＝DE?CF，進(jìn)而求得的值；倍長(zhǎng)ED至點(diǎn)T，連結(jié)AT，設(shè)DF＝x，則DT＝DF＝x，AT＝CF＝y(tǒng)，∠DAT＝∠DCF；推導(dǎo)出△TAD∽△TEA，得到＝，得到y(tǒng)2＝2x2+x，在Rt△ATE中，由勾股定理得y2+（x+x+1）2＝（2x+2）2，解得＝\frac{9+\sqrt{33}}{2}$．【解析】解：如圖1，取AB中點(diǎn)H，連接DH，∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴DH是△ABC的中位線，∴DH＝BC，DH∥BC，∵AB⊥BC，∴DH⊥AB，由折疊的性質(zhì)可得BC＝FC，BE＝EF＝1，∠DFC＝∠B＝90°，∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴S△ADE＝S△CDE，∴AE?DH＝DE?CF，即AE?BC＝DE?BC，∴＝；設(shè)DF＝x，BC＝CF＝y(tǒng)，則DE＝DF+EF＝x+1，∴AE＝2DE＝2x+2，∴AB＝AE+BE＝2x+3，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥ED交ED延長(zhǎng)線于T，∴∠T＝∠CFD＝90°，又∵AD＝CD，∠ADT＝∠CDF，∴△ADT≌△CDF（AAS），∴DT＝DF＝x，AT＝CF＝y(tǒng)，∠DAT＝∠DCF；∵CF平分∠BCA，∴∠BCA＝2∠DCF，∵∠CAB+∠ACB＝90°∴∠BCA+2∠DCF＝90°，∵∠CAB+∠TAD+∠AET＝90°，∴∠CAB+∠DCF+∠AET＝90°，∴∠AET＝∠TAD，又∵∠T＝∠T，∴△TAD∽△TEA，∴＝，即＝，∴y2＝2x2+x，在Rt△ATE中，由勾股定理得AT2+ET2＝AE2，∴y2+（x+x+1）2＝（2x+2）2，∴2x2+x+4x2+4x+1＝4x2+8x+4，∴2x2﹣3x﹣3＝0，解得（舍去），∴AB＝2x+3＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）以及直角三角形斜邊上的中線，作出輔助線得到中位線是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，將矩形ABCD的邊AD翻折到AE，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在邊BC上，再將邊AD翻折到DF，且點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心，則＝4．【思路點(diǎn)撥】作AG⊥DE于點(diǎn)G，作FH⊥AG于點(diǎn)H，則FH∥ED，由翻折得AE＝AD＝DF，所以EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，由點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心，得∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，推導(dǎo)出∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝45°，于是得∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，由AG∥FE，得∠DEF＝∠AGD＝90°，再證明△AGE≌△DEF，得GE＝EF＝ED，設(shè)DF交AE于點(diǎn)L，可證明DF⊥AE，所以＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，則DL＝4FL，求得＝4，于是得到問(wèn)題的答案．【解析】解：作AG⊥DE于點(diǎn)G，作FH⊥AG于點(diǎn)H，則∠AHF＝∠AGE＝90°，∴FH∥ED，由翻折得AE＝AD＝DF，∴EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，∵點(diǎn)F為△ABE的內(nèi)心，∴∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠C＝90°，∴∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，∴∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，∴AG∥FE，∴∠DEF＝∠AGD＝90°，∵∠DAF＝∠DFA，∴∠DAF﹣∠FAH＝∠DFA﹣∠AFH，∴∠GAE＝∠GAD＝∠DFH＝∠EDF，∵∠AGE＝∠DEF＝90°，AE＝DF，∴△AGE≌△DEF（AAS），∴GE＝EF＝ED，設(shè)DF交AE于點(diǎn)L，∵∠GAE＝∠FEA＝∠EDF，∴∠ELF＝∠AED+∠EDF＝∠AED+∠FEA＝∠DEF＝90°，∴DF⊥AE，∴∠DLE＝90°，∴＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，∴DL＝2EL，EL＝2FL，∴DL＝2×2FL＝4FL，∴＝＝＝4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形、三角形的面積公式等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)E，且CE＝4AE，點(diǎn)F在DC的延長(zhǎng)線上，連接EF，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥EF，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接GF并延長(zhǎng)，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若AB＝5，CF＝2，則線段EP的長(zhǎng)是．【思路點(diǎn)撥】如圖，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再證明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC?EP，由此即可解決問(wèn)題．【解析】解：如圖，作FH⊥PE于H．∵四邊形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF＝，∵CE＝4AE，∴EC＝4，AE＝，∴EH＝5，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，∴∠EFG＝∠ECG＝45°，∴∠ECF＝∠EFP＝135°，∵∠CEF＝∠FEP，∴△CEF∽△FEP，∴＝，∴EF2＝EC?EP，∴EP＝＝．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．押題方向三：特殊四邊形綜合問(wèn)題2023年浙江真題考點(diǎn)命題趨勢(shì)2023年臺(tái)州卷、紹興卷第14題、湖州卷第16題特殊四邊形的性質(zhì)從近幾年浙江各地中考來(lái)看，尺規(guī)作圖與幾何性質(zhì)綜合主要以作圖為背景（作已知角、角平分線、中垂線等）結(jié)合特殊三角形（四邊形）的性質(zhì)與運(yùn)算工具（相似、勾股定理等）一起考查，試題以填空題形式呈現(xiàn)，難度中上；預(yù)計(jì)2024年成都卷必考尺規(guī)作圖與幾何性質(zhì)綜合運(yùn)用（求角度、長(zhǎng)度、比值等）。1．（2023?臺(tái)州）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在邊AD上取一點(diǎn)E，使BE＝BC，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠AEB＝∠FBC，結(jié)合已知BE＝BC，利用AAS證得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC＝AD＝6，從而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A，在△ABE和△FCB中，，∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△FCB中，由勾股定理得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟知矩形的對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角．2．（2023?紹興）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交直線AD于點(diǎn)E，連接CE，則∠AEC的度數(shù)是10°或80°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAC＝20°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEC的度數(shù)．【解析】解：以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作弧，交直線AD于點(diǎn)E和E′，如圖所示，在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∵∠DAB＝40°，∴∠DAC＝20°，∵AC＝AE，∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，∵AE′＝AC，∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，綜上所述，∠AEC的度數(shù)是10°或80°，故答案為：10°或80°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?湖州）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)直角三角形和標(biāo)號(hào)為⑤的正方形恰好拼成對(duì)角互補(bǔ)的四邊形ABCD，相鄰圖形之間互不重疊也無(wú)縫隙，①和②分別是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分別是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊BF，CG，DH，AE上．（1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，則BE的長(zhǎng)是4cm．（2）若，則tan∠DAH的值是3．【思路點(diǎn)撥】（1）將AE和FC用BE表示出來(lái)，再代入AE+FC＝11cm，即可求出BE的長(zhǎng)；（2）由已知條件可以證明∠DAH＝∠CDG，從而得到tan∠DAH＝tan∠CDG，設(shè)AH＝x，DG＝5k，GH＝4k，用x和k的式子表示出CG，再利用tan∠DAH＝tan∠CDG列方程，解出x，從而求出tan∠DAH的值．【解析】解：（1）∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∵AE+FC＝11cm，∴BE+BF＝11cm，即BE+BE+EF＝11cm，即2BE+EF＝11cm，∵EF＝3cm，∴2BE+3cm＝11cm，∴BE＝4cm，故答案為：4；（2）設(shè)AH＝x，∵，∴可設(shè)DG＝5k，GH＝4k，∵四邊形EFGH是正方形，∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k，∵Rt△ABE和Rt△BCF都是等腰直角三角形，∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°，∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k，∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°，∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠CDG＝90°，∵四邊形EFGH是正方形，∴∠AHD＝∠CGD＝90°，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠CDG，∴tan∠DAH＝tan∠CDG，∴，即，整理得：x2+12kx﹣45k2＝0，解得x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去），∴tan∠DAH＝＝＝3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)定義，一元二次方程的解法等，弄清圖中線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．1.平行四邊形的性質(zhì)：（1）兩組對(duì)邊平行且相等；（2）對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)；（3）對(duì)角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形。2.矩形的性質(zhì)：（1）矩形兩組對(duì)邊平行且相等；（2）矩形的四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；（4）矩形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。（5）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。3.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；4）菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形。4.正方形的性質(zhì)：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；（2）正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形對(duì)邊平行且相等；（4）正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；（5）正方形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。1．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＞AD．將矩形沿著過(guò)點(diǎn)C的直線l翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．已知AB＝5，AD＝3，若直線l與射線BA交于點(diǎn)E，且△CFD是直角三角形時(shí)，則BE的長(zhǎng)為1或9．【思路點(diǎn)撥】分兩種情況討論：①直線l與邊BA交于點(diǎn)E，點(diǎn)F落在矩形ABCD內(nèi)部，△CFD是直角三角形時(shí)，如圖1，②直線l與射線BA交于點(diǎn)E，點(diǎn)F落在矩形ABCD外部，△CFD是直角三角形時(shí)，如圖2，然后利用折疊的性質(zhì)和勾股定理即可解決問(wèn)題．【解析】解：分兩種情況：①直線l與邊BA交于點(diǎn)E，點(diǎn)F落在矩形ABCD內(nèi)部，△CFD是直角三角形時(shí)，如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠A＝∠B＝90°，設(shè)BE＝x，由折疊可知：EF＝EB＝x，CF＝CB＝3，∠CFE＝∠B＝90°，∴∠CFD＝90°，DF＝＝＝4，∴DE＝DF+EF＝4+x，AE＝AB﹣BE＝5﹣x，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴32+（5﹣x）2＝（4+x）2，∴x＝1，∴BE＝1；②直線l與射線BA交于點(diǎn)E，點(diǎn)F落在矩形ABCD外部，△CFD是直角三角形時(shí)，如圖2，由折疊可知：∠FEC＝∠BEC，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC，∴∠DCE＝∠FEC，∴DE＝DC＝5，∴AE＝＝＝4，∴BE＝AE+AB＝4+5＝9，綜上所述：BE的長(zhǎng)為1或9，故答案為：1或9．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊問(wèn)題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用分類討論思想．2．如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），AB＝6，AD＝8，將△ABE沿AE對(duì)折得到△AFE，其中點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部．若點(diǎn)F到邊AD和BC的距離相等，則sin∠BAE＝．【思路點(diǎn)撥】過(guò)F作GH⊥AD，則GH⊥BC，連接BF，判定△ABF是等邊三角形，即可得到∠BAE＝30°，進(jìn)而得出sin∠BAE＝．【解析】解：如圖所示，過(guò)F作GH⊥AD，則GH⊥BC，連接BF，∵點(diǎn)F到邊AD和BC的距離相等，∴GF＝HF，又∵AG＝BH，∠AGF＝∠BHF，∴△AGF≌△BHF（SAS），∴AF＝BF，由折疊可得，AB＝AF，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等邊三角形，∴∠BAF＝60°，又∵∠BAE＝∠FAE，∴∠BAE＝30°，∴sin∠BAE＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．熟練掌握折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．小江同學(xué)在學(xué)習(xí)勾股定理后，用兩對(duì)全等的直角三角形（Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG）和正方形EFGH拼成如圖所示的?ABCD（無(wú)重疊也無(wú)縫隙），其中，AD＝4，AB＝5．記Rt△ADE，Rt△BFA的面積分別為S1，S2.則S1﹣S2＝，若，則正方形EFGH的面積＝．【思路點(diǎn)撥】如圖，由題意知Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG，四邊形HEFG為正方形，則DH＝BF，DE＝BG，HC＝AF，GC＝AE，HE＝EF＝FG＝HG，設(shè)DH＝BF＝x，GC＝AE＝y(tǒng)，正方形邊長(zhǎng)HE＝a，則DH2+HC2＝DC2＝52，DE2+AE2＝AD2＝42，則x2+（a+y）2＝25①，y2+（x+a）2＝16②，推出ay﹣ax＝，根據(jù)b2+a2+2ab+x2+x2+a2+2ab+b2﹣2ab﹣2bx﹣2a2﹣2ax﹣2bx＝6，得出2b2+2x2﹣4bx＝6，則b﹣x＝，根據(jù)a（b﹣x）＝，得出a，進(jìn)而計(jì)算即可．【解析】解：如圖，由題意知Rt△DHC≌Rt△BFA，Rt△ADE≌Rt△CBG，四邊形HEFG為正方形，∴DH＝BF，DE＝BG，HC＝AF，GC＝AE，HE＝EF＝FG＝HG，設(shè)DH＝BF＝x，GC＝AE＝y(tǒng)，正方形邊長(zhǎng)HE＝a，∴DH2+HC2＝DC2＝52，DE2+AE2＝AD2＝42，∴x2+（a+y）2＝25①，y2+（x+a）2＝16②，∴①﹣②得2（ax﹣ay）＝﹣9，即ay﹣ax＝，∵＝＝＝＝，∵b2+a2+2ab+x2+x2+a2+2ab+b2﹣2ab﹣2bx﹣2a2﹣2ax﹣2bx＝6，∴2b2+2x2﹣4bx＝6，∴（b﹣x）2＝3，b﹣x＝，∵a（b﹣x）＝，∴a＝＝，∴S正方形HEFG＝故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用．4．如圖，某興趣小組運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)徽標(biāo)，將邊長(zhǎng)為的正方形分割成的七巧板拼成了一個(gè)軸對(duì)稱圖形，取名為“火箭”，并過(guò)該圖形的A，B，C三個(gè)頂點(diǎn)作圓，則該圓的半徑長(zhǎng)是．【思路點(diǎn)撥】先求得AD＝10，AB＝6，利用垂徑定理求得BD＝3，在Rt△OBD中，由勾股定理求解即可．【解析】解：∵將邊長(zhǎng)為的正方形分割成的七巧板拼成了一個(gè)軸對(duì)稱圖形，如圖，連接OB，∴AD＝2+4+2+2＝10，BC＝2+2+2＝6，∴．設(shè)該圓的半徑長(zhǎng)是x，則OB＝x，OD＝10﹣x，在Rt△OBD中，由勾股定理得x2＝（10﹣x）2+32，解得．∴該圓的半徑長(zhǎng)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了七巧板，正方形的性質(zhì)，確定圓的條件以及三角形的外接圓與外心，解答本題的關(guān)鍵是作出適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形．5．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC＝8，BD＝4，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，則S△AEF＝．【思路點(diǎn)撥】由菱形的性質(zhì)推出AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AD＝AB，由勾股定理求出AB＝＝2，由菱形ABCD的面積＝AD?EB＝AC?BD，求出BE＝，由勾股定理求出AE＝＝，求出△AOD的面積＝OA?OD＝4，由△AEF∽△AOD，推出＝＝，即可求出S△AEF＝．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，AD＝AB，∵AC＝8，BD＝4，∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝2，∵BE⊥AD，∴菱形ABCD的面積＝AD?EB＝AC?BD，∴2BE＝×8×4，∴BE＝，∴AE＝＝，∵∠AOD＝90°，OA＝4，OB＝2，∴△AOD的面積＝OA?OD＝4，∵∠AEF＝∠AOD＝90°，∵∠EAF＝∠OAD，∴△AEF∽△AOD，∴＝＝，∴S△AEF＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì)，勾股定理求出BE的長(zhǎng)，由△AEF∽△AOD，推出＝＝．6．如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上，連接BE、OE，OE與BC交于點(diǎn)F，若∠CEB＝45°，BE＝DE，下列三個(gè)結(jié)論：①OE⊥BD；②EF＝AC；③BF＝2CF；④．其中正確的結(jié)論是①②④．【思路點(diǎn)撥】①根據(jù)矩形的性質(zhì)得OD＝OD，AC＝BD，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，再根據(jù)