2023年初中升學(xué)考試真題模擬卷廣東省中考數(shù)學(xué)試卷

2023年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中.如果把收入5

元記作+5元，那么支出5元記作（）

A.-5元B.0元C.+5元D.+10元

3.（3分）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功.C919

可儲(chǔ)存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186X105B.1.86X105C.18.6X104D.186X103

4.（3分）如圖，街道A3與平行，拐角/ABC=137°,則拐角（)

D.137°

5.（3分）計(jì)算■的結(jié)果為（）

aa

A.AB.旦C.5D.6

aa2aa

6.（3分）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法

應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

7.（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動(dòng)教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪""陶藝”“木工”4

門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選中“烹飪”的

概率為（）

A.AB.Ac.AD.A

8642

8.（3分）一元一次不等式組的解集為（）

x<4

A.-l<x<4B.x<4C.x<3D.3cx<4

9.（3分）如圖，A3是。。的直徑，NBAC=50°,則NO=（）

C

D

A.20°B.40°C.50°D.80°

10.（3分）如圖,拋物線y=〃/+c經(jīng)過正方形048。的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)區(qū)在y軸上,

則ac的值為（)

A.-1B.-2C.-3D.-4

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

n.（3分）因式分解：1

12.（3分）計(jì)算：V3xV12=.

13.（3分）某蓄電池的電壓為48V,使用此蓄電池時(shí)，電流/（單位：A）與電阻R（單位:

。）的函數(shù)表達(dá)式為I嗤.當(dāng)R=12C時(shí)，/的值為A.

14.（3分）某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%,

則最多可打折.

15.（3分）邊長分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如

圖），則圖中陰影部分的面積為.

三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分.

16.（10分）（1）計(jì)算：病+|-5|+（-1）2023.

（2）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）與點(diǎn)（2,5）,求該一次函數(shù)的表達(dá)

式.

17.（7分）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12切7,甲、乙兩同學(xué)騎自行車

同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10加〃，求乙同學(xué)騎自行車的

速度.

18.（7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)

駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC=

BC=l0m,兩臂夾角/ACB=100°時(shí)，求A,B兩點(diǎn)間的距離.（結(jié)果精確到0.1加，參

考數(shù)據(jù)：sin50°20.766,cos50°?0.643,tan50°"1.192)

19.（9分）如圖，在口ABC。中，ZDAB=30°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)。作邊上的高DE；（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求的長.

20.（9分）綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒.

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角

上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：（1）直接寫出紙板上NABC與紙盒上的大小關(guān)系；

（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

圖1圖2

21.（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用時(shí)間，小紅做

了試驗(yàn)，第一周（5個(gè)工作日）選擇A線路，第二周（5個(gè)工作日）選擇8線路，每天在

固定時(shí)間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時(shí)間.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（單位：加譏）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

實(shí)驗(yàn)序12345678910

號

A線路15321516341821143520

所用時(shí)

間

8線路25292325272631283024

所用時(shí)

間

根據(jù)以上信息解答下列問題:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時(shí)間22a1563.2

8線路所用時(shí)間b26.5C6.36

（1）填空：a=；b=：

（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖

五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.（12分）綜合探究

如圖1,在矩形ABC。中（AB>AD）,對角線AC,3。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)A關(guān)于BD的對

稱點(diǎn)為A'.連接44'交BD于點(diǎn)E,連接C4'.

（1）求證：AA'±CA\

（2）以點(diǎn)。為圓心，為半徑作圓.

①如圖2,與C。相切，求證：AA'=?CA'；

②如圖3,。。與CV相切，/W=l,求。。的面積.

A，A'*

AB

圖1圖2圖3

23.（12分）綜合運(yùn)用

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在無軸的正半軸上.如圖2,將正

方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角為a（0°<a<45°）,AB交直線y=x于點(diǎn)E,

BC交y軸于點(diǎn)F.

（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角/COP為多少度時(shí)，OE=OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）

(2)若點(diǎn)A(4,3),求尸C的長;

(3)如圖3,對角線AC交y軸于點(diǎn)M,交直線y=x于點(diǎn)N,連接WV.將△。硒與^

OCF的面積分別記為Si與S2.設(shè)S=Si-S2,AN=n,求S關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)

式.

2023年廣東省中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（3分）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中.如果把收入5

元記作+5元，那么支出5元記作（）

A.-5元B.0元C.+5元D.+10JC

【分析】本題考查負(fù)數(shù)的概念問題，負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一

對具有相反意義的量，進(jìn)而作答.

【解答】解：把收入5元記作+5元，

根據(jù)收入和支出是一對具有相反意義的量，

支出5元就記作-5元.

故答案為A.

【點(diǎn)評】本題考查負(fù)數(shù)和正數(shù)是具有相反意義的量，收入和支出是一對具有相反意義的

量，解題的關(guān)鍵是理解相反意義的含義，進(jìn)而作答.

2.（3分）下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的為（）

A.B.

【分析】利用軸對稱圖形的定義進(jìn)行分析即可.

【解答】解：選項(xiàng)SC,D中的圖形都不能確定一條直線，使圖形沿這條直線對折，直

線兩旁的部分能夠完全重合，不是軸對稱圖形，選項(xiàng)A中的圖形沿某條直線對折后兩部

分能完全重合，是軸對稱圖形，

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

3.（3分）2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功.C919

可儲(chǔ)存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.186X105B.1.86X105C.18.6X104D.186X103

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aXIO"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,n為整數(shù).確定n

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時(shí)，,是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值<1時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【解答】解：將186000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.86X105.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10”的形式，其

中l(wèi)W|a|<10,“為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及“的值.

4.（3分）如圖，街道A3與CD平行，拐角/ABC=137°,則拐角N3CD=（）

【分析】由平行線的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：

AZABC=ZBCD=13T3,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)解解題關(guān)鍵.

5.（3分）計(jì)算3」■的結(jié)果為（）

aa

A.AB.旦C.5D.A

2

aaaa

【分析】本題考查同分母分式的加減法，分母不變，分子相加減.

【解答】解：3」.

aa

；3+2

a

=_5

a

故本題選：C.

【點(diǎn)評】本題考查同分母分式相加減，分母不變，分子相加減.解題的關(guān)鍵是類比同分

母分?jǐn)?shù)的相加減進(jìn)行計(jì)算即可.

6.（3分）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618法

應(yīng)用了（）

A.黃金分割數(shù)B.平均數(shù)C.眾數(shù)D.中位數(shù)

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，即可解答.

【解答】解：我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn).優(yōu)選法中有一種0.618

法應(yīng)用了黃金分割數(shù)，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割，算術(shù)平均數(shù)，中位線，眾數(shù)，統(tǒng)計(jì)量的選擇，熟練掌握

這些數(shù)學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）某學(xué)校開設(shè)了勞動(dòng)教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4

門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等.小明恰好選中“烹飪”的

概率為（）

A.AB.Ac.AD.A

8642

【分析】直接利用概率公式可得答案.

【解答】解：?.?共有“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門興趣課程，

...明恰好選中“烹飪”的概率為工.

4

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了概率公式：隨機(jī)事件A的概率尸（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除

以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

8.（3分）一元一次不等式組的解集為（）

x<4

A.-l<x<4B.x<4C.x<3D.3cx<4

【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，再求出其公共解集即可.

（-2>1

【解答】解：*x乙1，

x<4

由不等式尤-2>1得：x>3,

.??不等式的解集為3cx<4.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是熟知解集的規(guī)律.

9.（3分）如圖，A3是。。的直徑，ZBAC=5Q°,則（）

A.20°B.40°C.50°D.80°

【分析】由A3是O。的直徑，得NACB=90°,而/A4C=50°,即得NABC=40°,

故Nr>=NABC=40°,

【解答】解：是。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZBAC+ZABC=90°,

'：ZBAC=50°,

：.ZABC=40°,

VAC=AC-

：.ZD=ZABC=40a,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直徑所對的圓周角是直角和同

弧所對的圓周角相等.

10.（3分）如圖，拋物線y=o?+c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,點(diǎn)2在y軸上,

則ac的值為（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【分析】過A作AH，％軸于“，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NAO5=45°,得到

利用待定系數(shù)法求得。、c的值，即可求得結(jié)論.

【解答】解：過A作軸于

???四邊形A5C0是正方形，

AZAOB=45°,

ZAOH=45°,

:.AH=OH,

設(shè)A(m,m),則3(0,2m),

f2

m=am+c,

,2m=c

MMam=-1,m=—,

2

/.ac的值為-2,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)圖象得出拋物線經(jīng)過的點(diǎn)的

坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.

11.（3分）因式分解：W-1=（x+1）（x-1）.

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解:原式=（x+1）（X-1）.

故答案為：（x+1）（尤-1）.

【點(diǎn)評】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

12.（3分）計(jì)算：V3X^=6.

【分析】本題考查二次根式的乘法計(jì)算，根據(jù)4*五=/而和匠=4（?>0）進(jìn)行

計(jì)算，

【解答】解：方法一：

73X^12

=田義2近

=2X3

=6.

方法二：

M乂瓜i

=/3X12

=屬

=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評】本題考查二次根式的計(jì)算，考查的關(guān)鍵是準(zhǔn)確運(yùn)用=怎和#

（4>0）進(jìn)計(jì)算.

13.（3分）某蓄電池的電壓為48V,使用此蓄電池時(shí)，電流/（單位：A）與電阻E（單位:

。）的函數(shù)表達(dá)式為I啜.當(dāng)R=12C時(shí)，/的值為4A.

【分析】直接將R=12代入/=電■中可得/的值.

R

【解答】解：當(dāng)R=12C時(shí)，/=至=4（A）.

12

故答案為：4.

【點(diǎn)評】此題考查的是反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的點(diǎn)的坐標(biāo)是解決此題的關(guān)

鍵.

14.（3分）某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于10%,

則最多可打8.8折.

【分析】利潤率不能少于10%,意思是利潤率大于或等于10%,相應(yīng)的關(guān)系式為：（打折

后的銷售價(jià)-進(jìn)價(jià)）+進(jìn)價(jià)210%,把相關(guān)數(shù)值代入即可求解.

【解答】解：設(shè)這種商品最多可以按x折銷售，

則售價(jià)為5X0.lx,那么利潤為5X0.lx-4,

所以相應(yīng)的關(guān)系式為5義0.我-4^4X10%,

解得：龍》8.8.

答：該商品最多可以&8折，

故答案為：8.8.

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到利潤率的相關(guān)

關(guān)系式，注意“不能低于”用數(shù)學(xué)符號表示為利潤率是利潤與進(jìn)價(jià)的比值.

15.（3分）邊長分別為10,6,4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如

圖），則圖中陰影部分的面積為15.

10

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算

即可.

【解答】解：如圖,

?；BF〃DE,

：.△ABFS^ADE,

AAB=BF；

"ADDE'

'：AB=4,AD=4+6+10=20,DE=10,

.4=BF

"20Io，

：.BF=2,

：.GF=6-2=4,

CK//DE,

：./\ACK^/\ADE,

?AC=CK

"ADDE"

VAC=4+6=10,AD=20,DE=10,

.10=CK

"20lo,

；.CK=5,

：.HK=6-5=1,

陰影梯形的面積=工（HK+GF”GH

2

=J-X（1+4）X6

2

=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的

對應(yīng)邊成比例.

三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分.

16.（10分）（1）計(jì)算：病+|-5|+（-1）2023.

（2）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,1）與點(diǎn)（2,5）,求該一次函數(shù)的表達(dá)

式.

【分析】（1）利用立方根的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)以及負(fù)數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)進(jìn)行化簡計(jì)算即

可.

（2）將（0,1）與（2,5）代入y=fcc+b解方程組即可.

【解答】（1）解：原式=2+5-1=6.

（2）解：將（0,1）與（2,5）代入y=fcv+b得：

（b=l

\2k+b=5

解得：1=2,

lb=l

.?.一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x+l.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式，正確化簡各數(shù)，將點(diǎn)

的坐標(biāo)代入后能正確解方程組是解題的關(guān)鍵.

17.（7分）某學(xué)校開展了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校126〃，甲、乙兩同學(xué)騎自行車

同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的L2倍，結(jié)果甲比乙早到10/位"，求乙同學(xué)騎自行車的

速度.

【分析】設(shè)乙步行的速度為Mm/分，則甲騎自行車的速度為1.2x5;/分，根據(jù)題意列方程

即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)乙步行的速度為Mm/分，則甲騎自行車的速度為分，

根據(jù)題意得衛(wèi)-工=」^,

x61.2x

解得x=12.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=12是原分式方程的解，

答：乙騎自行車的速度為12粒/〃.

【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

18.（7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)

駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC=

BC=10m,兩臂夾角/ACB=100°時(shí)，求A,B兩點(diǎn)間的距離.（結(jié)果精確到0.L",參

考數(shù)據(jù)：sin50°=0.766,cos50°—0.643,tan50°—1.192）

【分析】連接A3,取A3中點(diǎn)。，連接CD,根據(jù)AC=BC,點(diǎn)。為A3中點(diǎn)，可得NACD

=ZBCD=1ZACB=5O°，在RtZXACD中，sin50°=迫，解得AO=10Xsin50°心7.66

210

Cm）,故ABuZ4D-lSJ（m）.

【解答】解：連接A3,取中點(diǎn)。，連接C。，如圖,

c

中線CD為等腰三角形的角平分線（三線合一），AD^BD^lAB,

2

AZACD=ZBCD=1ZACB=5O",

2

在RtAACD中,

sinZACD—AD

AC

AD

.".sin50°=1O

A￡）=10Xsin50°^7.66（m）,

???A3=2AO=2><7.66=15.32仁15.3（m）,

答：A、B的距離大約是15.3m.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義.

四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分.

19.（9分）如圖，在口ABCD中，ZDAB=30°.

（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)。作A2邊上的高。E；（保留作圖痕跡，不要求寫

作法）

（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，AD=4,AB=6,求BE的長.

（2）由銳角的余弦求出AE的長，即可得到2E的長.

【解答】解：（1）如圖E即為所求作的點(diǎn);

(2)'：cosZDAB=^,

AD

：.AE=AD-cos300=4X返=2如,

2

【點(diǎn)評】本題考查基本作圖，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是掌握基本作圖,

由銳角的余弦求出AE的長.

20.（9分）綜合與實(shí)踐

主題：制作無蓋正方體形紙盒.

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角

上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒.

猜想與證明：（1）直接寫出紙板上NABC與紙盒上NAbBCi的大小關(guān)系；

（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解;

（2）根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：⑴ZABC=ZAiBiCi；

（2）；4Ci為正方形對角線,

AZAiBiCi=45°,

設(shè)每個(gè)方格的邊長為1,

22=

則AB=yj^+3V10?

AC=BC=yl^+22=

"：AC2+BC2=AB1,

...由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，

AZABC=45°,

：.ZABC=ZAiBiCi.

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的

判定與性質(zhì)，得到△ABC是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（9分）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用時(shí)間，小紅做

了試驗(yàn)，第一周（5個(gè)工作日）選擇A線路，第二周（5個(gè)工作日）選擇8線路，每天在

固定時(shí)間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時(shí)間.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（單位：機(jī)位）

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表

實(shí)驗(yàn)序12345678910

號

A線路15321516341821143520

所用時(shí)

間

2線路25292325272631283024

所用時(shí)

間

根據(jù)以上信息解答下列問題:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

A線路所用時(shí)間22a1563.2

8線路所用時(shí)間b26.5C6.36

(1)填空：a=19；b—26.8；c=25

(2)應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖

【分析】本題考查數(shù)據(jù)的分析，數(shù)據(jù)的集中和波動(dòng)問題，

(1)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的計(jì)算.

(2)方差的實(shí)際應(yīng)用.

【解答】解：(1)求中位數(shù)。首先要先排序，

從小到大順序?yàn)椋?4,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10個(gè)數(shù),

中位數(shù)在第5和6個(gè)數(shù)為18和20,

所以中位數(shù)為基坨=19,

2

求平均數(shù)b=25+29+23+25+27+26+31+28+30+24=268,

10

眾數(shù)。=25,

故答案為：19,26.8,25.

(2)小紅統(tǒng)計(jì)的選擇A線路平均數(shù)為22,選擇2線路平均數(shù)為26.8,用時(shí)差不太多.而

方差63.2>6.36,相比較8路線的波動(dòng)性更小，所以選擇2路線更優(yōu).

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)據(jù)的波動(dòng)與集中程度，解題的關(guān)鍵是能夠平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)進(jìn)

行準(zhǔn)確的計(jì)算，理解方差的意義，并進(jìn)行作答.

五、解答題(三)：本大題共2小題，每小題12分，共24分.

22.(12分)綜合探究

如圖1,在矩形ABC。中對角線AC,相交于點(diǎn)0,點(diǎn)A關(guān)于BD的對

稱點(diǎn)為A'.連接AA'交BD于點(diǎn)E,連接C4'.

(1)求證：A4'±CA';

(2)以點(diǎn)。為圓心，0E為半徑作圓.

①如圖2,。。與CD相切，求證：AA'=?CA'；

②如圖3,。。與CA'相切，AD=1,求。。的面積.

【分析】(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得E,AA'±BD,根據(jù)四邊形ABC。是矩形,

得出。4=0C,從而0E〃A'C,從而得出AA'±CA'；

(2)①設(shè)C。。。與CD切于點(diǎn)R連接0R并延長交A2于點(diǎn)G,可證得0G=0尸=

0E,從而得出/E4O=NGAO=NG2。，進(jìn)而得出N￡AO=30°,從而AA'=%CA';

②設(shè)OO切CA'于點(diǎn)”，連接0H,可推出A4'=20H,CA'=20E,從而A4'=CA

進(jìn)而得出/A'AC=ZA'CA=45°,ZAOE=ZACA'=45°,從而得出OD

=OA=42AE,設(shè)OA=OE=x,貝UOO=OA=歷x，在RtAWE中，由勾股定理得出

x2+[(V2-l)x]2=b從而求得了=2吟，進(jìn)而得出0°的面積?

【解答】(1)證明：???點(diǎn)A關(guān)于2。的對稱點(diǎn)為A',

.\AE=A'E,AA'1BD,

?.?四邊形A3CZ)是矩形，

：.OA^OC,

J.OE//A'C,

：.AA'±CA'；

(2)①證明：如圖2,

設(shè)050。與CD切于點(diǎn)E連接。尸，并延長交于點(diǎn)G,

J.OFLCD,0F=0E,

:四邊形ABC。是矩形，

/.OB=OD=^-BD,AB//CD,AC=BD,OA=^AC,

22

A0G±AB,ZFD0=ZB0G,0A=0B,

：.ZGA0=ZGB0,

ZD0F=ZBOG,

(ASA),

OG=OF,

：.OG=OE,

由(1)知：AA'±BD,

：.ZEAO=ZGAO,

VZEAB+ZGBO^9Q°,

AZEAO+ZGAO+ZGBO=90°,

...3NEAO=90°,

：.ZEAO=30°,

由（1）知：AA'±CA',

；.tanNEAO=’A',

M"

；.tan30°=@—,

AA，

???AA'=V3CAy；

②解：如圖3,

設(shè)O。切CA'于點(diǎn)H,連接。/,

：.OH±CA',

由（1）知：A4,±CA',AA'_LCA',OA=OC,

J.OH//AA',OE//CA',

：./\COH^/\CAA',△AOE^AACA,,

.OH=OC=1OE=OA=1

?'AA，=ACECA'_ACW'

AA4,=2OH,CA'=2OE,

：.AA'=CA',

：.ZA'AC=ZA'CA=45°,

AZAOE=ZACA'=45°,

：.AE=OE,OD=OA=y/2AE,

設(shè)AE=OE=尤，貝IJOZ）=ft4=&x，

：.DE=OD-OE=（V2-1）x，

在中，由勾股定理得,

22=b

x+[(V2-l)X]

【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角

形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

23.（12分）綜合運(yùn)用

如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形。43c的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上