2024年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試（九省聯(lián)考）數(shù)學試卷含解析

2024年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試（九省聯(lián)考）

數(shù)學試題

注意事項：

].答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

2.橢圓f+/=1（?！?）的禺心率為彳，則。=（）

a

A.述B.V2C.V3

D.2

3

3.記等差數(shù)列｛a.｝的前”項和為母,。3+。7=6,4=1,則$=（）

A.120B.140C.160D.180

4.設。，尸是兩個平面，機,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a加〃a,/〃/，則加_!_/B.若mua,lu/3,m〃I,則a〃g

C.若aCB=m,l〃B,則加〃/D.若加_1_夕,加〃/,則

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）

A.20種B.16種C.12種D.8種

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動點，點尸滿足存=（1,—3）,記尸的軌跡為E，則（）

A.E是一個半徑為右的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點到/的距離均為逐D.E是兩條平行直線

7.已知e￡(3T兀，7i),tan29=_4tan(6+(),則1+SU12。

----?----:-----()

42cos~0+sin2。

133

A.-B.-C.1D.

442

22

8.設雙曲線C:___匕=15>0/〉0)的左、右焦點分別為片,耳，過坐標原點的直線與。交于46兩點,

a2b2

產(chǎn)向=2歸川，曰.所=4/，則。的離心率為()

A.V2B.2C.75D.g

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+午)+cos(2x+?1,貝?。?)

(兀、

A.函數(shù)fx一一為偶函數(shù)

I4J

B.曲線y=/(x)的對稱軸為X=ZJI,AGZ

(ITjr\

c./(x)在區(qū)間H，5單調遞增

D./(x)的最小值為一2

10.已知復數(shù)z,w均不為0,則()

A.z2=|z|2

C.z-w=z-w

w|w|

11.已知函數(shù)/(X)的定義域為R,且#0,^f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,則()

C.函數(shù)/(x—g)是偶函數(shù)D.函數(shù)/{x+Jl是減函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合〃={—2,0,2,4},6={刈》一3區(qū)加},若4nB=4,則〃2的最小值為

13.已知軸截面為正三角形的圓錐W的高與球。的直徑相等，則圓錐的體積與球O的體積的比值

是,圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

14.以maxAf表示數(shù)集M中最大的數(shù).設0<a<b<c<l,已知b22a或a+bWl,則

max{b-a,c-b,l-c}的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(》)=10：<:+工2+如+2在點(2,/(2))處的切線與直線28+3^=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(x)的單調區(qū)間和極值.

16.盒中有標記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).

17.如圖，平行六面體48CD-中，底面是邊長為2的正方形，0為ZC與6。的交點，

AA}=2,ZC,CS=NGCD/GCO=45°.

____________7t

/'、、/?

_、、^Z：\

(1)證明：G。1■平面488；

(2)求二面角6-/4一。的正弦值.

18.已知拋物線C:「=4x的焦點為尸，過戶的直線/交。于48兩點，過/與/垂直的直線交C于

兩點，其中民。在x軸上方，",N分別為46,。七的中點.

(1)證明：直線過定點；

(2)設G為直線/E與直線3。的交點，求AGMN面積的最小值.

19.離散對數(shù)在密碼學中有重要的應用.設P是素數(shù)，集合X={1,2,…,2-1},若〃，veeN,記〃九v

為“V除以"的余數(shù)，升?為小除以P的余數(shù)；設aeX,1,a,/?,…，.啟,?兩兩不同，若

"=b(〃e{0,lL、p—2}),則稱〃是以。為底b的離散對數(shù)，記為〃=bg(P)?.

(1)若p=ll,a=2,求

(2)對加2e{O,l,…，p-2},記明十加2為叫+m2除以。一1的余數(shù)(當加1+m2能被〃一1整除時，

叫十嗎=0).證明：log(p)a(6(8)c)=log(p)/十log(p)?c,其中b,cwX；

(3)已知n=log(p).b.對xeX,%e{1,2,…,p-2},令乂=,%=x<8)A?.證明：x=%③.

2024年1月普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試適應性測試(九省聯(lián)考)

數(shù)學試題

注意事項：

I.答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為()

A.14B.16C.18D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.橢圓彳+r=1(4>1)的離心率為5，則。=()

A.B.J2C.6D.2

3

【答案】A

【解析】

【分析】由橢圓的離心率公式即可求解.

【詳解】由題意得6=近二=',解得叵，

a23

故選：A.

3.記等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為5“,%+%=6,%2=17,則46=()

A.120B.140C.160D.180

【答案】C

【解析】

【分析】利用下標和性質先求出%+%2的值，然后根據(jù)前〃項和公式結合下標和性質求解出&6的值.

【詳解】因為見+%=2%=6，所以%=3,所以%+62=3+17=20,

(a,+tz,,)x16/、

所以九=—~Y——=8(%+%2)=160，

故選：C.

4.設a,￡是兩個平面，加,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是()

A.若aJ_￡，加〃a,/〃/，則"?_!_/B.若mua,lu0,m〃l,則a〃/?

C.若aCB=m,l〃a,l〃B,則加〃7D,若m_La,/_L△他〃/,則a_L/?

【答案】C

【解析】

【分析】由線面平行性質判斷真命題，舉反例判定假命題即可.

【詳解】對于A,m,/可能平行，相交或異面，故A錯誤，對于B,以夕可能相交或平行，故B錯誤，對

于D,%力可能相交或平行，故D錯誤，由線面平行性質得C正確，

故選：C

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有()

A.20種B.16種C.12種D.8種

【答案】B

【解析】

【分析】分類討論：乙丙及中間2人占據(jù)首四位、乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理

求得結果.

【詳解】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A：種排法，

所以有人氏人上人；=8種方法；

②當乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有￡種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有人狂人；,人：=8種方法；

由分類加法計數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

故選：B.

6.已知。為直線，：x+2y+l=0上的動點，點滿足/=（1,一3）,記尸的軌跡為E，則（）

A.E是一個半徑為6的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點到/的距離均為J?D.￡是兩條平行直線

【答案】C

【解析】

【分析】設P（x,y）,由0A=。,-3）可得。點坐標，由。在直線上，故可將點代入坐標，即可得產(chǎn)軌跡E,

結合選項即可得出正確答案.

【詳解】設P（xj）,由爐=（1,-3）,則0（x-l,y+3）,

由0在直線/：x+2y+l=0上，故x-l+2（y+3）+l=0,

化簡得x+2y+6=0,即P的軌跡為￡為直線且與直線/平行，

E上的點到/的距離d=/空1=石，故A、B、D錯誤，C正確.

Vl2+22

故選：C.

l+sin26_（

7.已知=+則）

2cos2e+sin26

133

A.—B.—C.1D.-

442

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦、余弦、正切二倍角公式，將——”_三齊次化即可得出答案.

2cos26>+sin2e

【詳解】由題6G17~,兀)，tan26=_4tan(6+1

/曰2tan6

得------廠一4(3。+1)2=2tan0,

1-tan2^

則(2tan。+l)(tan6+2)=0=tan6=_2或tan6=-；,

因為6w］手T，tan6w(-L0),所以tan6=-；,

l+sin2。_sin+cos20+2sin^cos6_tan2^4-l+2tan0

2cos2^+sin202cos2^+2sin^cos02+2tan。

-2+（-l）-4

故選：A

Y22

8.設雙曲線C:\-與V=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為G，B，過坐標原點的直線與。交于48兩點，

ab

I大用=2|大4可.質=4/，則。的離心率為（）

A.72B.2C.V5D.V7

【答案】D

【解析】

【分析】由雙曲線的對稱性可得|￡力|=|月卻、|耳目=|名旬且四邊形〃片6月為平行四邊形，由題意可得

出/88片，結合余弦定理表示出與a、C有關齊次式即可得離心率.

由雙曲線的對稱性可知陽/|=舊/，|耳邳=內(nèi)4有四邊形/耳圈為平行四邊形,

令陽H=優(yōu)創(chuàng)=加，則出同=|月4=2加,

由雙曲線定義可知區(qū))|一|耳/|二2a，故有2m—m=2a,即m=2a,

即陽4|=|瑪目=m=2%閨邳=向4=4*

2

F2AF2B=同COS4G3=2ax4acos/AF?B=4af

I2兀

則cosN傷8=5，即/和8=號，故4F[BF\=3,

則有cos但BF『閨呼:內(nèi)方一|：閭2=—+（25）2=.1（

1

22\F}B\-\F2B\2x4ax2a2

.20a~—4c~1204e~1.,.

即Hr-------——=一一，R即n--------=一一，則e2=7，由e>1故e=V7.

16a2216162

故選：D.

【點睛】關鍵點睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關鍵是找到關于“、6、。之間的等量關系，本題中結

合題意與雙曲線的定義得出出力|、區(qū)可與a的具體關系及2與8片的大小，借助余弦定理表示出與。、。有

關齊次式，即可得解.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+?)+cos［2x+?),貝ij()

A.函數(shù)為偶函數(shù)

B,曲線y=/'(x)的對稱軸為x=E,左eZ

C./(x)在區(qū)間單調遞增

D.7(x)的最小值為一2

【答案】AC

【解析】

［分析］利用輔助角公式化簡/(x)=sin［2x+,)+cos(2x+,］，再根據(jù)三角函數(shù)的性質逐項判斷即

可.

.3兀、K37兀1

【詳解】/(X)sin2,xH----+cos2xH------

44

sin2xcos—+sin-cos2x+cos2xcos--sin2xsin—

4444

-也sm2x+農(nóng)cos2x-也cos2x-也sin2x=

-V2sin2x，

2222

即f(x)=-V2sin2x,

對于A,/(x-：)=-J5sin(2x-|J=J5cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確；

對于B,/(x)=-J5sin2x對稱軸為2x=5+攵兀，左■，左eZ,故B錯誤;

對于C,X2xe(g,兀J,y=sin2x單調遞減，貝ij

/(x)=-J5sin2x單調遞增，故C正確；

對于D,/(x)=-V2sin2x,則sin2xe[―1,1],所以/(x)e,友,JI],故D錯誤；

故選：AC

10.已知復數(shù)z,w均不為0,則()

2

A.z2=|z『B,矢寺

__Z_z

C.-w=z-wD.-二

zWW

【答案】BCD

【解析】

【分析】設出Z=4+為、W=C+di,結合復數(shù)的運算、共規(guī)復數(shù)定義及復數(shù)的模的性質逐個計算即可得.

【詳解】設2=°+括(a,beR)、w=c+"i(c,deR)；

對A：設z=a+bieR),則z?=(4+砌？=/+2abi-〃=/一〃+2abi,

|z|2=pa2+/)2^^a2+h2,故A錯誤；

22

對B：2=又z?z=|z「，即有==J,故B正確；

zz-zZ|z|

對C：z-w=a+bi-c-di=Q-C+(6-d)i,則z-w=Q-C-(b-d)i,

z=ci—bi9'w—c—d\f則z—w=a—6i—c+di=Q—c—(6—d)i,

即有z—w=z—w，故C正確；

IzI|o+bi|(o+6i)(c-di)ac+bd-(ad-bc)i

\w||c+di|+4i)(c-di)—c2+d2

y

c+丫Jad-be2_la2c2+2abcd+b2d2+Q2a

2+d2)'[c2+d2)Xi+/)

【詳解】令X=Ly=0,則有了/(%(。)=/出口+/(。)]=。，

20+

又/《10,故1+〃0)=0,即/(0)=-1,

令X=；、y=—g，則有/1_14x-x

2222

=一1,由/(O)=T,可得/(g)/

即40)+/0,

又故/0,故A正確;

令》=一;，則有/(x

+/(x)/=4xx

即/X-；

-2x,故函數(shù)/是奇函數(shù),

1

有小+1J=—2(x+1)=—2x-2,即/X4---———2x—2,

2

即函數(shù)

/(x+g是減函數(shù),

令x=l,有-2xl=-2,

故B正確、C錯誤、D正確.

故選：ABD.

【點睛】關鍵點睛：本題關鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到/(0),再重新

賦值，得到了=0,再得到了x-1=—2x.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合/={—2,0,2,4},8={x||x—3]?加},若=則加的最小值為.

【答案】5

【解析】

【分析】由"n8=Z可得/=解出集合B后結合集合的關系計算即可得.

【詳解】由Zn8=Z，故2=8,

由k一3|?機，得一根+34x4加+3,

4</M+3fm>1

故有<、.，即《.即加25,

-2>-m+3>5

即〃?的最小值為5.

故答案為：5.

13.已知軸截面為正三角形的圓錐腦0'的高與球。的直徑相等，則圓錐W的體積與球0的體積的比值

是,圓錐W的表面積與球。的表面積的比值是.

【答案】①.。2②.1

【解析】

【分析】設圓錐的底面圓半徑，?以及球的半徑A,用，?表示出圓錐的高人和母線/以及球的半徑R,然后根

據(jù)體積公式求出體積比，根據(jù)表面積公式求得表面積之比.

【詳解】設圓錐的底面半徑為『，球的半徑為R,

因為圓錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高//=#r，母線/=2r,

由題可知：h=2R,所以球的半徑R=E廠

2

所以圓錐的體積為匕=；x(7tx廠2)x兀/③,

球的體積匕=3?1/?3=fjtX(3=^-W3,

23312J2

V33

所以TZ九=--學-兀廠一=2O；

匕033

-71F

2

圓錐的表面積S]=71/7+兀/2-3兀r2,

球的表面積$2=4成2=47tx(*/j=3"2,

廣廣,S]3兀產(chǎn)

所以C=C2=1，

S23a2

2

故答案為：1.

14.以maxM表示數(shù)集〃中最大的數(shù).設0<a<b<c<l,已知622a或a+,則

max{b-a,c-h,\-c}的最小值為.

【答案】-##0.2

5

【解析】

h=1-77-p

【分析】利用換元法可得《?,進而根據(jù)不等式的性質，分情況討論求解.

a—\—m-n-p

【詳解】令b-a=m,c-b=n,l-c=p,其中

b=\-n-p

所以《

a=p

若則b=l—〃一〃22（1一加一〃一p）,故2加+〃+p21,

令M=max{Z7_Q,c_b,l_c}=max{m,n,p],

2M>2m

，故〃則工，

因此<M>n4M>2m++221,Af2

4

M>p

若Q+bWl,則1一〃一夕+1一加一〃一夕<1,即〃?+2〃+2221,

jW=max{h-a,c-Z),1-c)=max{加,〃，/7},

M>m

則<2M>2n，故5M2加+2〃+2221,則A/2工，

2M>2p

當〃z=2〃=2P時，等號成立，

綜上可知max{6-a,c—b,l-c}的最小值為:，

故答案為：-

5

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用換元法，在622a和a+bWl前提下進行合理分類討論，根據(jù)題意

得到相對應的不等式組，注意題目的條件關鍵詞是“或”.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(8)=1四+%2+以+2在點(2,/(2))處的切線與直線2》+3歹=0垂直.

(1)求。；

(2)求/(x)的單調區(qū)間和極值.

【答案】(1)a=-3

(2)單調遞增區(qū)間為(0,；)、(L+8),單調遞減區(qū)間為極大值j—ln2,極小值0

【解析】

【分析】(1)結合導數(shù)的幾何意義及直線垂直的性質計算即可得：

(2)借助導數(shù)可討論單調性，即可得極值.

【小問1詳解】

11a

,(x)=—+2x+a,則/z(2)=—+2x2+a=—,

由題意可得+=—1,解得a=-3；

【小問2詳解】

由。=一3,故/(x)=lnx+x2-3x+2,

mil,，/\1cc2x2-3x4-1(2x-l)(x-l)

則/<x)=-+2x-3=----------=-----A----L,x>0,

XXX

故當0<x<g時，f^x)>0,當：<x<l時，/'(x)<0,當x>l時，f^x)>0,

故/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,；)、。,+8),/(x)的單調遞減區(qū)間為(；1)，

故/(x)有極大值=+-3xl-+2=1-ln2，

有極小值/(l)=lnl+12-3xl+2=0.

16.盒中有標記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個，隨機一次取出3個小球.

(1)求取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同的概率;

(2)記取出的3個小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).

4

【答案】(1)-

7

(2)分布列見解析，/(丫)=T

【解析】

【分析】（1）先確定3個不同數(shù)字的小球，然后再從確定的每種小球中取1個，通過計算可求符合要求的取

法數(shù)，再除以總的取法數(shù)可得結果；

（2）先確定X的可取值為L2,3,然后計算出不同取值的概率，注意X的每種取值對應兩種情況，由此可

求分布列和期望￡（X）.

【小問1詳解】

記“取出的3個小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件M,

先確定3個不同數(shù)字的小球，有C：種方法，

然后每種小球各取1個，有C；xC；xC；種取法,

C：xC；xC；xC；_4

所以P（M）=

7

【小問2詳解】

由題意可知，X的可取值為1,2,3,

當X=1時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為1的小球、有兩個數(shù)字為1的小球,

C；C+C；C：_9

所以尸(X=l)=

14

當X=2時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為2的小球、有兩個數(shù)字為2的小球,

C?+C；C；,_2

所以P（X=2）=

-7

當X=3時，分為兩種情況：只有一個數(shù)字為3的小球、有兩個數(shù)字為3的小球,

C；C；+C；C；_1

所以尸（X=3）

14

所以X的分布列為:

X123

921

p

14714

o7110

所以E(X)=lx—+2x—+3又一=、

'/147147

17.如圖，平行六面體力BCD-44G〃中，底面458是邊長為2的正方形，O為4c與BD的交點,

AA,=2/3CB=ZC}CD,ZC}CO=45°.

（1）證明：G。，平面NBC。：

（2）求二面角8一力4—。的正弦值.

【答案】（1）證明見解析：

⑵迫

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明即可.

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的正弦值.

【小問1詳解】

連接8G，0G，

因為底面N8CQ是邊長為2的正方形，所以8C=OC,

又因為ZC,C5=AC,CD,eq=CC,,

所以gCBRCICD,所以=DC,,

點。為線段8。中點，所以GO_L6。，

在△GCO中，CC1=2,CO=；AC=e,ZC,CO=45°,

五CC2+OC2-CO2R

所以cos/C,CO=—=---}-----------------t---=>C.O=y/2,

22xCCxOC

則C,C2=OC2+C,O2nC.01OC,

又OCCBD=O,OCu平面Z8C。，BDu平面4BCD,

所以G。，平面ABCD.

【小問2詳解】

由題知正方形NBC。中/C48。，G。，平面4BC。，所以建系如圖所示,

則川0,&,0),0(0,-在0)/(衣O,O),C/6O,O}G(O,O,￡),

貝尼=G=(VI,o,@,

AB=(-V2,V2,0),AD=(-72,-^,0),

設面8/4的法向量為加=(X］，M，ZJ,面。441的法向量為〃=,，2，Z2)，

AB-ffi=O[―V2Xj+y/2y]—0

AA,-n=0fy/2x2+&z?=0、

」=21-1-1，

ADm^O[—缶2一歷2=0

設二面角8—力4一。大小為。，

|/M|-|?|A/3X-X/3

所以二面角8—Z4-0的正弦值為逑.

3

18.已知拋物線C:/=4x的焦點為尸，過尸的直線/交C于48兩點，過尸與/垂直的直線交C于。,E

兩點，其中瓦。在x軸上方，",N分別為的中點.

(1)證明：直線過定點;

（2）設G為直線，E與直線8。的交點，求AGMN面積的最小值.

【答案】（1）證明見解析

（2）8

【解析】

【分析】（1）設出直線與直線的方程，聯(lián)立曲線后得到與縱坐標有關韋達定理，結合題意，表示

出直線后即可得定點坐標；

（2）設出直線ZE與直線6。的方程，聯(lián)立兩直線后結合第一問中韋達定理得出點G的橫坐標恒為-1,再

結合面積公式及基本不等式即可得.

【小問1詳解】

由C:/=4x,故尸（1,0）,由直線48與直線垂直，

故兩只直線斜率都存在且不為0,

設直線48、CD分別為》=叫了+1、x=m2y+\,有肛/?2=-1，

，（不，必）、8（々,必）、E（x3,y3）yD（x4,y4）,

—4x

聯(lián)立C：V=而與直線48,即有廣一，

x=m}y-￥\

消去x可得y?-4加|^一4=0,A=16加;+16>0,

故必+%=4叫、y{y2=-4,

則$+%=叫弘+1+叫％+1=叫（必+多）+2=4m；+2,

故衛(wèi)玉=2"+1,匕墳=2町，

2121

即M（2加：+1,2網(wǎng)）,同理可得N（2m；+1,2m2）,

當2加;+1w2m；+1時，

則以：,=調筌湍包（、一2喈7）+2叫，

!c2,\cx2〃?：+12m,（m,+m.）

即V=T——L（x—2優(yōu)；—1）+2加]=-------------!—+“2_2Z

論一喈'叫+m\m2+m\m2+m\

x2機；+1—2機2-2加;—x1-2mm

~二}2，

m2+加?m2+m]m2+加?m2+vnx

x1+21/

由町加，=—1,即y=---------------------=----------（x—3）,

m,+ZM,w,+m]m2+mt

故x=3時，有丁=（3-3）=0,

m2+m]

此時MN過定點，且該定點為（3,0）,

當2加：+1=2m；+1時,即加：=欣時，由㈣〃4=-1，即㈣=±1時,

有/材N:x=2+l=3,亦過定點（3,0）,

故直線過定點，且該定點為（3,0）；

1/

【小問詳解】

92

o/X\

g

由Z（x”y）、B（x2,y2）、七（%3,為）、。（5,乂），

7

則如：J=3?（xX|）+%,由"=4%、yl=4X2,

七一芭

（工療]

KJ,v_以/，K+V|V_4x,%丁

故"火御"+%一13-1

%+必％+凹為+凹％+必y3+yt

44

4x?+」式」，聯(lián)立兩直線，即＜%+”,

同理可得Oo-y=

%+必乂+%4xy2y4

y~1

乂+歹2乂+%

4x4x?%居

有------+

%+%%%+為y4+y2

即4x（歹4+%）+乂％（%+）=4x（乃+必）+y2y4（乃+凹）,

有丫：夕2乂（％+凹）一m%（乂+%）

14（%+%一8-凹）由弘y2=—4，同理為居=-4,

故X=%乂（%+必）-凹%（=4+%）=夕2%/+必必乂一必必居一凹93

4（為+%一%一乂）4（”+%一為一凹）

-4（8+乂-乂-％）

4（居

故XG=-1，

過點G作G0〃X軸，交直線MN于點、Q,則SAGMV=；|乂*_乂丫卜卜0_%卜

由〃（2〃?；+1,2加?）、N（2相+1,2加2），

故>“一Xv|=27M,-2m2=2w,+—>2J21nlx2=4,

當且僅當町=±1時，等號成立，

下證卜一%24：

由拋物線的對稱性，不妨設m