《高等數(shù)學(xué)下冊 第2版》 課件 D11-2一階微分方程

一階微分方程第二節(jié)一、可分離變量的微分方程二、齊次方程三、一階線性微分方程第十一章機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束兩邊積分可分離變量方程的形式及解法：

如果可以寫成則目的：dx

與dy

拆開，且保證dx

前面是一個dy前面是一個僅與y僅與x有關(guān)的函數(shù)，有關(guān)的函數(shù)實現(xiàn)兩個變量的分離機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束一、可分離變量的微分方程例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例4:解：

分離變量即(C<0

)(C

為任意常數(shù))機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束二、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

積分得故有得

(拋物線)機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束三、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為線性非齊次方程

.方程的特點：稱為線性齊次方程

;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于未知函數(shù)的部分、都是一次方、冪的形式如：是不是1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)C任取常數(shù)時，函數(shù)只能是齊次方程的解，要想得到非齊次方程的解，設(shè)想將常數(shù)C換成x的函數(shù)C(x)而成為非齊次方程的解目的是確定函數(shù)C(x)的具體形式對應(yīng)齊次方程通解2.解非齊次方程常數(shù)變易法則故原方程的通解即設(shè)兩端積分得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束是非齊次方程的解，這種將齊次方程通解中的常數(shù)C換成x的函數(shù)而求得非齊次方程通解的方法稱為由非齊次方程通解的公式：齊次方程通解非齊次方程特解即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束記作：例1.解方程

解:故原方程通解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求方程

解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束的特解由得，特解：例3.求方程的通解.解:所求通解為這是以x為未知函數(shù)，y為自變量的一階線性非齊次方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束即例4.

判別下列方程類型:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可分離變量方程的求解方法:分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束2.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式思考與練習(xí)求下列方程的通解:提示:(1)分離變量(2)方程變形為機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P1681(3),(4),(5)；4；

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