《高等數(shù)學(xué)上冊 第2版》 課件 D2-1導(dǎo)數(shù)的概念

第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度導(dǎo)數(shù)與微分英國數(shù)學(xué)家Newton機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系六、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二章機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束三、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式七、導(dǎo)數(shù)定義的變形6/3/2024一、引例1.變速直線運動的速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動，求時刻的瞬時速度機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/20242.曲線的切線斜率曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當(dāng)時)割線MN

的斜率切線MT的斜率機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度線密度是速度增量與時間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.

設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限值為記作:即則稱函數(shù)如果的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點（對變量x）的導(dǎo)數(shù).機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024運動質(zhì)點的位置函數(shù)在時刻的瞬時速度曲線在M

點處的切線斜率若上述極限不存在,在點不可導(dǎo).若也稱在就說函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為無窮大.機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例1.

設(shè)函數(shù)解:，求（1）（2）（3）機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024若函數(shù)在開區(qū)間

I

內(nèi)每點都可導(dǎo),此時導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:注意:就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).例2.求函數(shù)(C

為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例3.

求函數(shù)解:說明：對一般冪函數(shù)(為常數(shù))導(dǎo)數(shù)。在x=a處的機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例如，機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:則即類似可證得機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例5.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即或機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024三、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點的切線斜率為若切線與x軸平行,稱駐點;若切線與

x軸垂直.切線方程:法線方程:機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例6.問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應(yīng)則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有垂直切線機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.注意:

函數(shù)在點x連續(xù)未必可導(dǎo).在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).在點x

處連續(xù)例7.證明函數(shù)證:不存在,機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024在點的某個右六、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在

x=0處有定義2.

設(shè)函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)有定義,存在,機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024定理2.函數(shù)在點且存在簡寫為若函數(shù)與都存在,則稱顯然:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo),在閉區(qū)間

上可導(dǎo).可導(dǎo)的是且充分必要條件機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例8.設(shè)函數(shù)求機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束解：6/3/2024七、導(dǎo)數(shù)定義的變形與極限無關(guān)的點兩部分相同機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例9.

設(shè)存在,則例10.

已知則機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024原式是否可按下述方法作:例11.

設(shè)存在,求極限解:

原式機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024例12.

設(shè)機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

因為存在,且求所以6/3/2024內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.基本求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024P524,5,7(1,2),9,11作業(yè)

第二節(jié)

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024牛頓Newton(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù)，并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束6/3/2024萊布尼茲Leibniz(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微