專題08三角形（共24題）-2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編 （江蘇專用）（解析版）

2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（江蘇專用）專題08三角形一、單選題1．（2022·江蘇淮安·中考真題）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】A.∵3+3=6，∴長(zhǎng)度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B.∵3+5<10，∴長(zhǎng)度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；C.∵4+6>9，6?4<9，∴長(zhǎng)度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；D.∵4+5=9，∴長(zhǎng)度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB=10，則DE的長(zhǎng)是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進(jìn)行求解即可．【詳解】∵AB=AC=10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE=1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇南通·中考真題）用一根小木棒與兩根長(zhǎng)分別為3cm,6cmA．1cm B．2cm C．3cm【答案】D【分析】設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)為xcm，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出x取值范圍即可．【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長(zhǎng)為xcm，則6?3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊．4．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，a∥b,∠3=80°,∠1?∠2=20°，則∠1的度數(shù)是（

）A．30° B．40° C．50° D．80°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可得∠1＋∠2＝80°，結(jié)合∠1?∠2=20°，兩式相加即可求出∠1．【詳解】解：如圖，∵a//∴∠4＝∠1，∴∠3＝∠4＋∠2＝∠1＋∠2＝80°，∵∠1?∠2=20°，∴2∠1=100°，∴∠1=50°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，求出∠1＋∠2＝80°是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，AD與BC相交于點(diǎn)O，小正方形的邊長(zhǎng)為1，則AO的長(zhǎng)等于（

）A．2 B．73 C．625【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算AD的長(zhǎng)，再根據(jù)△AOB∽△DOC，對(duì)應(yīng)邊成比例，從而求出AO的長(zhǎng)．【詳解】解：AD=32+42=5∵AB∥DC，∴△AOB∽△DOC，∴AOOD∴設(shè)AO=2x，則OD=3x，∵AO+OD=AD，∴2x+3x=5．解得：x=1，∴AO=2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．6．（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為3＋3＋5＝11（cm），當(dāng)5是腰時(shí)，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為ΔABC，提供了下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（

A．AB,BC,CA B．AB,BC,∠B C．AB,AC,∠B D．∠A,∠B,BC【答案】C【分析】根據(jù)SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．【詳解】A.AB,BC,CA．根據(jù)SSS一定符合要求；B.AB,BC,∠B．根據(jù)SAS一定符合要求；C.AB,AC,∠B．不一定符合要求；D.∠A,∠B,BC．根據(jù)ASA一定符合要求．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三個(gè)判定定理．8．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在ΔABC中，AB<AC，將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①△AFE～△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF=∠BAD，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵將△ABC以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，∴△ADE≌△ABC，∴∠E=∠C，∵∠AFE=∠DFC，∴△AFE～△DFC，故①正確；∵△ADE≌△ABC，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ADE=∠ABC，∴∠ADB=∠ADE，∴DA平分∠BDE，故②正確；∵△ADE≌△ABC，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵△AFE～△DFC，∴∠CAE=∠CDF，∴∠CDF=∠BAD，故③正確故選D【點(diǎn)睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇宿遷·中考真題）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=2xx>0的圖像上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB=90°，AO=AB，則線段OBA．1 B．2 C．22 【答案】C【分析】如圖，過A作AM∥x軸，交y軸于M，過B作BD⊥x軸，垂足為D，交MA于H，則∠OMA=∠AHB=90°,證明△AOM≌△BAH,可得OM=AH,AM=BH,設(shè)Am,2m【詳解】解：如圖，過A作AM∥x軸，交y軸于M，過B作BD⊥x軸，垂足為D，交MA于H，則∴∠MOA+∠MAO=90°,∵AO=AB,AO⊥AB,∴∠MAO+∠BAH=90°,∴∠MOA=∠BAH,∴△AOM≌△BAH,∴OM=AH,AM=BH,設(shè)Am,2m∴Bm+∴OB=m+∵m>0,而當(dāng)a>0,b>0時(shí)，則a+b≥2ab∴2m∴2m∴OB的最小值是8=2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式的變形應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，掌握“a210．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,2，點(diǎn)B是x軸正半軸上的一點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC．若點(diǎn)C的坐標(biāo)為m,3，則m的值為（

）A．433 B．2213 C．【答案】C【分析】過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，根據(jù)將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，可得△ABC是等邊三角形，又A（0，2），C（m，3），即得AC=m2+1=BC=AB，可得BD=BC2【詳解】解：過C作CD⊥x軸于D，CE⊥y軸于E，如圖所示：∵CD⊥x軸，CE⊥y軸，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四邊形EODC是矩形，∵將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE?OA＝CD?OA＝1，∴AC=A在Rt△BCD中，BD=B在Rt△AOB中，OB=A∵OB＋BD＝OD＝m，∴m2化簡(jiǎn)變形得：3m4?22m2?25＝0，解得：m=533∴m=5故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理，用含m的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．11．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，在?ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA=60°，則A．23 B．12 C．32【答案】D【分析】過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，由平行四邊形性質(zhì)求得∠A=75°，從而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，則△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，設(shè)BF=EF=x，則BD=2x，DF=3x，DE=DF-EF=（3-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-3）x，繼而求得AB2=AF2+BF2=（2-3）2x2+X2=（8-43）x2，從而求得DEAB=22【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，∵?ABCD，∴CD=AB，CD∥AB，∴∠ADC+∠BAD=180°，∵∠ADC=∴∠A=75°，∵∠ABE=60°，∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，∵BF⊥AD，∴∠BFD=90°，∴∠EBF=∠AEB=45°，∴BF=FE，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=75°，∴∠ADB=30°，設(shè)BF=EF=x，則BD=2x，由勾股定理，得DF=3x∴DE=DF-EF=（3-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-3）x，由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-3）2x2+x2=（8-43）x2，∴D∴DEAB∵AB=CD，∴DECD故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，過點(diǎn)B作BF⊥AD于F，構(gòu)建直角三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）一副三角板如圖放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，則∠1=_________【答案】105【分析】根據(jù)平行性的性質(zhì)可得∠2=45°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵DE∥∴∠2=∠A=45°，∵∠E=30°，∠F=90°，∴∠D=60°，∴∠1=∠2+∠D=45°+60°=105°，故答案為：105．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，則sin∠ABD=【答案】6【分析】過點(diǎn)D作BC的垂線交于E，證明出四邊形ABED為矩形，△BCD為等腰三角形，由勾股定理算出DE=5，BD=【詳解】解：過點(diǎn)D作BC的垂線交于E，∴∠DEB=90°∵∠A=∠ABC=90°，∴四邊形ABED為矩形，∴DE//AB,AD=BE=1，∴∠ABD=∠BDE，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∵AD//BE，∴∠ADB=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD∴CD=CB=3，∵AD=BE=1，∴CE=2，∴DE=D∴BD=∴sin∴sin故答案為：66【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形求解．14．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在△ABC和△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，若DE=1，則FG=_________．【答案】1【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AB=2DE，再由三角形中位線的性質(zhì)可得FG的長(zhǎng)；【詳解】解：∵Rt△ABC中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，DE=1，∴AB=2DE=2，∵點(diǎn)F、G分別是AC、BC中點(diǎn)，∴FG=1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．【答案】43##【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設(shè)BE=EF=x，則AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴DF=C所以AF=AD?DF=5?4=1，所以BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:AE∴3?x2解得x=5∴AE=3?5故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運(yùn)用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．16．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在?ABCD中，CA⊥AB，若∠B=50°，則∠CAD的度數(shù)是______．【答案】40°##40度【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得AD∥BC，利用平行線的性質(zhì)可得∠CAD=∠ACB，因此利用直角三角形兩個(gè)銳角互余求出【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∴∠CAD=∠ACB，∵CA⊥AB，∴∠BAC=90°，∵∠B=50°，∴∠ACB=90°?∠B=40°，∴∠CAD=∠ACB=40°，故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)．17．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF∥AB，交BC于點(diǎn)F，作∠BAC的平分線交DF于點(diǎn)E，連接BE．若△ABE的面積是2，則DE【答案】3【分析】先根據(jù)勾股定理得出AB=5，根據(jù)△ABE的面積是2，求出點(diǎn)E到AB的距離為45，根據(jù)Rt△ABC的面積，求出點(diǎn)C到AB的距離為AC?BCAB=125，即可得出點(diǎn)C到DF的距離為85，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出CDCA=【詳解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=5∵△ABE的面積是2，∴點(diǎn)E到AB的距離為45在Rt△ABC中，點(diǎn)C到AB的距離為AC?BC∴點(diǎn)C到DF的距離為85∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，∴CDCA∴CD=2，DF=10∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=∠CAE，∵DF∥AB，∴∠AED=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴DA=DE=1，∴EF=DF?DE=10∴DEEF故答案為：37【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計(jì)算，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)E到AB的距離為45，點(diǎn)C到DF的距離為8三、解答題18．（2022·江蘇淮安·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求證：∠B=∠E．【答案】見解析【分析】根據(jù)SAS證明△ABC≌【詳解】證明：∵AD=CF，∴AD+CD=CF+CD，∴AC=DF，∵在△ABC和△DEF中AB=DE∠A=∠EDF∴△ABC≌∴∠B=∠E．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵．19．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，點(diǎn)A在射線OX上，OA=a．如果OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°(0<n≤360)到OA′，那么點(diǎn)A′(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，則點(diǎn)A′(2)在（1）的條件下，已知點(diǎn)B的位置用3,74°表示，連接A′A、A′【答案】(1)(3,37°)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的位置定義，即可得出答案；（2）畫出圖形，證明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，得A′(a,n°)，∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案為：(3,37°)；（2）證明：如圖，∵A′3,37°，∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA=OB=3，∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，∵OA′=OA′，∴△AOA′≌△BOA′（SAS），∴A′A=A′B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2022·江蘇常州·中考真題）在四邊形ABCD中，O是邊BC上的一點(diǎn)．若△OAB≌△OCD，則點(diǎn)O叫做該四邊形的“等形點(diǎn)”．(1)正方形_______“等形點(diǎn)”（填“存在”或“不存在”）；(2)如圖，在四邊形ABCD中，邊BC上的點(diǎn)O是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”．已知CD=42，OA=5，BC=12，連接AC，求AC(3)在四邊形EFGH中，EH//FG．若邊FG上的點(diǎn)O是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，求OFOG【答案】(1)不存在，理由見詳解(2)4(3)1【分析】（1）根據(jù)“等形點(diǎn)”的概念，采用反證法即可判斷；（2）過A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，則在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC（3）根據(jù)“等形點(diǎn)”的性質(zhì)可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根據(jù)EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，進(jìn)而有OE=OH，可得OF=（1）不存在，理由如下：假設(shè)正方形ABCD存在“等形點(diǎn)”點(diǎn)O，即存在△OAB≌△OCD，∵在正方形ABCD中，點(diǎn)O在邊BC上，∴∠ABO=90°，∵△OAB≌△OCD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∴CD⊥DO，∵CD⊥BC，∴DO∥∵O點(diǎn)在BC上，∴DO與BC交于點(diǎn)O，∴假設(shè)不成立，故正方形不存在“等形點(diǎn)”；（2）如圖，過A點(diǎn)作AM⊥BC于點(diǎn)M，如圖，∵O點(diǎn)是四邊形ABCD的“等形點(diǎn)”，∴△OAB≌△OCD，∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∵CD=42，OA=5，BC∴AB=CD=42，OA=OC∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，∵AM⊥BC，∴∠AMO=90°=∠AMB，∴設(shè)MO=a，則BM=BO-MO=7-a，∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM∴AB2?B解得：a=3，即MO=3，∴MC=MO+OC=3+5=8，AM=∴在Rt△AMC中，AC=A即AC的長(zhǎng)為45（3）如圖，∵O點(diǎn)是四邊形EFGH的“等形點(diǎn)”，∴△OEF≌△OGH，∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，∵EH∥∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，∴根據(jù)∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，∴OE=OH，∵OF=OH，OE=OG，∴OF=OG，∴OFOG【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識(shí)，充分利用全等三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，點(diǎn)P在邊AB上，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)，連接DE．過點(diǎn)E作BC的垂線，與BC、AC分別交于F、G兩點(diǎn)．連接DG，交PC于點(diǎn)H．(1)∠EDC的度數(shù)為；(2)連接PG，求△APG的面積的最大值；(3)PE與DG存在怎樣的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；(4)求CHCE【答案】(1)45°(2)9(3)PE=DG，理由見解析(4)2【分析】（1）先說明∠B=45°，再說明DE是△CBP的中位線可得DE∥BP，然后由平行線的性質(zhì)即可解答；（2）先說明△EDF和△GFC是等腰直角三角形可得DF=EF=22DE、GF=CF=22CG；設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE，然后通過三角形中位線、勾股定理、線段的和差用（3）先證明△GFD≌△CFE，可得DG=CE，進(jìn)而可得PE=DG；由△GFD≌△CFE可得∠ECF=∠DGF，進(jìn)而得到∠GHE=∠CFE=90°，即可說明DG、PE的位置關(guān)系；（4）先說明△CEF∽△CDH得到CECD=CFCH，進(jìn)而得到CHCE=CF?CD【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12∴∠B=∠ACB=45°∵，D、E分別為BC、PC的中點(diǎn)∴DE∥BP，DE=12∴∠EDC=∠B=45°．（2）解：如圖：連接PG∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形∴DF=EF=22DE，GF=CF=設(shè)AP=x，則BP=12-x，BP=12-x=2DE∴DE=12?x2，EF=12?x∵Rt△APC，∴PC=AP∴CE=12∵Rt△EFC∴FC=FG=CE∴CG=2CF=12+x∴AG=12-CG=12-12+x2=∴S△APG=12所以當(dāng)x=6時(shí)，S△APG有最大值9．（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF∴△GFD≌△CFE(SAS)∴DG=CE∵E是PC的中點(diǎn)∴PE=CE∴PE=DG；∵△GFD≌△CFE∴∠ECF=∠DGF∵∠CEF=∠PEG∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．（4）解：∵△GFD≌△CFE∴∠CEF=∠CDH又∵∠ECF=∠DCH∴△CEF∽△CDH∴CECD=CF∴CH∵FC=12+x22，CE=12x2∴CHCE=≤∴CHCE的最大值為2【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線、平行線的性質(zhì)、二次函數(shù)求最值、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．22．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠B=60°，AB=2，BC=3，則四邊形ABCD的面積為【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作CD⊥AD，即可找出點(diǎn)D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長(zhǎng)，求出梯形的面積即可．（1）解：如圖，∴點(diǎn)D為所求點(diǎn)．（2）解：過點(diǎn)A作AE垂直于BC，垂足為E，∵∠B=60°，∠AEB=90°，∴∠BAE=90°?60°=30°，∵AB=2，∴BE=12AB=1∴AE=A∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，四邊形ABCD是梯形，∴∠D=∠ECD=90°，∴四邊形AECD是矩形，∴CE=AD=2，∴四邊形ABCD的面積為12故答案為：53【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長(zhǎng)，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．23．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖1，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠C=60°，點(diǎn)D在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)D作DE⊥AD，交射線AB于點(diǎn)E(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上且BE=BD；②點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED．(2)若AB=6．①當(dāng)DEAD=3②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段AE長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)①AE=2BE②AE=2BE(2)①215【分析】（1）①算出△ABD各個(gè)內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出；②算出△ADE各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，得到一線三垂直的相似，即△EGD∽△DHA，設(shè)DE=3a，AD=2a，利用30°直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出ED，AD，EG，②分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G，H，證明△EHD∽△DGA可得AGDH=DG【詳解】（1）①∵在ΔABC中，∠BAC=90°，∴∠ABC=30°∵BE=BD∴∠BDE=12在△ABD中，∠BAD=180°?∠ABD?∠BDA=180°?30°?75°=75°∴∠BAD=∠BDA=75°∴AB=BD=BE∴AE=2BE；②如圖：∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=30°，∠AED=60°∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°∴AE=2ED∴AE=2BE；（2）①分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)H，G，則∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴△EGD∽設(shè)DE=3a，AD=2a，則AE=D在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=6則AC=AB3在Rt△BEG中，∠EBG=30°，BE=6?則EG=在Rt△AHC中，∠C=60°，AC=2∴AH=∴DH=由△EGD∽△DHA得即3解得：a1=3故AE=7②分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G，H，則∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴△EHD∽∴AGDH∴AG·EH=DH·DG，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴AG=∴DH·DG=3EH，∴AE2=A∵D∴AE∴AE∵AE＞∴AE≥3+EH，∵EH=1∴AE≥3+1∴AE≥4，故AE的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一線三垂直相似模型，垂線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，一線三垂直模型，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．24．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30