（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 函數(shù)的單調(diào)性與最值

2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)

DT知識梳理

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)尸〃才)的定義域為A,區(qū)間IQA.

如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值不，及

定義當(dāng)X1<用時，都有F(X)3(X2)，那當(dāng)時，都有f(xi)>f(x2),那

么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間/上是單么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間/上是單

調(diào)增函數(shù)調(diào)減函數(shù)

產(chǎn))

圖象描述01^2X

oR~%-x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間/上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I

上具有單調(diào)性，區(qū)間/叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為4如果存在劉G/I,使得

條件對于任意的x￡A,都有/?(x)W/~(xo)對于任意的都有f(x)》/■(加

結(jié)論F(劉)為最大值F(xo)為最小值

【知識拓展】

函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

(1)對及6〃(為#及)，/"-/">0oF(x)在〃上是增函數(shù),/一/〈0

X\—X2X\—Xz

在〃上是減函數(shù).

(2)對勾函數(shù)尸/+。(4〉0)的增區(qū)間為(一8,一5］和［―,+°°),減區(qū)間為［―5,0)和

(3)在區(qū)間。上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).

(4)函數(shù)/1(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J"或"X")

(1)若定義在R上的函數(shù)f(x),有/?(—l)<f(3),則函數(shù)/"(X)在R上為增函數(shù).(X)

(2)函數(shù)y=f(x)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8).(x)

(3)函數(shù)尸%勺單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)u(0,+8).(x)

(4)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(X)

(5)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個函數(shù)在定義域上是增函

數(shù).(X)

(6)閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點取到.(V)

2考點自測

1.(教材改編)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是.(填序號)

①尸%②y=2xT；

③y=l—x；@y—(2A—I)2.

答案②

解析①在(0,2)上為減函數(shù)；

②y=2x—1在(0,2)上為增函數(shù)；

③尸1—x在(0,2)上為減函數(shù)；

④尸(2x—1廠在(一8,g)上為減函數(shù)，在(/，+8)上為增函數(shù).

x,x20,

2.(教材改編)函數(shù)y="的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為

x,X0

答案［0，+8)(—8,0)

解析當(dāng)x20時，y=x為增函數(shù)；當(dāng)x<0時，為減函數(shù).

3.(教材改編)已知函數(shù)/Xx)=x2-2ax—3在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

答案(一8,1］

解析函數(shù)f(x)=V—2ax—3的圖象開口向上，對稱軸為直線x=a,畫出草圖如圖所示.

由圖象可知函數(shù)/Xx）的單調(diào)遞增區(qū)間是[a,+8）,

由[l,2]=[a,+8）,可得aWL

4.（2016?鹽城模擬）函數(shù)尸六+2*-3（入>0）的單調(diào)增區(qū)間為.

答案（0,+8）

解析函數(shù)的對稱軸為x=-l,又x>0,

所以函數(shù)/Xx）的單調(diào)增區(qū)間為（0,+8）.

2

5.（教材改編）已知函數(shù)f（x）=-xG⑵6],則Hx）的最大值為______,最小值為

%—1?

2

答案21

5

2

解析可判斷函數(shù)/.（*）=-7在[2,6]上為減函數(shù)，

X-1

2

所以F（X）nm=f（2）=2,f（x）min=f'（6）=￡.

□

題型分類深度剖析

題型一確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

命題點1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性

例1（1）（2016?連云港模擬）函數(shù)Ax）=log,U2-4）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

2

（2）尸一/+2|3+3的單調(diào)增區(qū)間為.

答案（1）（一8,-2）（2）（—8,-1],[0,1]

解析（1）因為尸log1。，力0在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求

2

函數(shù)￡=/-4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為（-8,-2）.

（2）由題意知，當(dāng)x>0時，y=—V+2x+3=—（x—1尸+4；當(dāng)x<0時，y=—x—2x+'i=—

（x+l”+4,

二次函數(shù)的圖象如圖.

A-2-IO

由圖象可知，函數(shù)y=-f+2|x|+3在(-8,—1],[0,1]上是增函數(shù).

命題點2解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

例2已知函數(shù)/Xx)=瓷y(a〉0),用定義法判斷函數(shù)f(x)在(-1,1)上的單調(diào)性.

解設(shè)一1<XKX2<1,

ax\Jh-ax\—aXix\+axiax-i-Xy小生+1

/一1%2~1x5—1X2~l

?-1,

/.Ai-xi>0,擊用+1>0,(x；—1)(然—1)>0.

又,.,a>0,/.f{xC)—f{x2)>0,

函數(shù)/Xx)在(一1,1)上為減函數(shù).

引申探究

如何用導(dǎo)數(shù)法求解例2?

Va>0,：.f(x)<0在(-1,1)上恒成立,

故函數(shù)/Xx)在(-1,1)上為減函數(shù).

思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的方法

(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；

(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；

(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)代才)=/玄與，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)函數(shù)F(x)=(3—V)e'的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案(1)[3,+8)(2)(-3,1)

解析⑴設(shè)t=x—2x—3,則力》0,即Y—2x—320,

解得后一1或x23.所以函數(shù)的定義域為(-8,-1]U[3,+8).

因為函數(shù)f=?-2x-3的圖象的對稱軸為x=l,

所以函數(shù)t在(-8,-1]上單調(diào)遞減，

在[3,+8)上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[3,+8).

⑵f'(x)=-2x*e"+e"(3—V)=e'(—f—2x+3)=e*[—(x+3)(x—1)].

當(dāng)一3<京1時，f'(x)>0,所以函數(shù)y=(3一力e'的單調(diào)遞增區(qū)間是(一3,1).

題型二函數(shù)的最值

例3(1)函數(shù)F(x)='*的最大值為________.

〔一x+2,

答案2

解析當(dāng)時，函數(shù)/"(;<)=｝為減函數(shù)，所以f(x)在x=l處取得最大值，為《)=1；

當(dāng);K1時，易知函數(shù)/'(x)=-x2+2在x=0處取得最大值，為/"(0)=2.

故函數(shù)Ax)的最大值為2.

(2)已知/■(x)='+2”+a,%￡[11+8),且awi.

X

①當(dāng)a=/時,求函數(shù)f(x)的最小值；

②若對任意xe[l,+8),f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.

解①當(dāng)a=；時，f(x)=x+支+2,

又xG[l,+8),所以/(x)=l—=>0,

即/Xx)在[1,+8)上是增函數(shù)，

17

所以f(x)?=A1)=1+7777+2=o-

miZAiZ

@f(x)=x+~+2,xG[1,+°°).

x

3)當(dāng)且忘0時，f(x)在[1,+8)內(nèi)為增函數(shù).

最小值為f(l)=a+3.

要使/,(x)>0在xG[l,+8)上恒成立，只需a+3>0,

所以一3<aW0.

(ii)當(dāng)0<aWl時,f(x)=1—4,

因為Xd[l,+8),所以/(x)20,即/'(x)在[1,+8)上為增函數(shù)，

所以Ax)min=A1)=a+3,

即a+3>0,a>—3,所以0〈aWl.

綜上所述，F(xiàn)(X)在[1,+8)上恒大于零時，

a的取值范圍是

思維升華求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.

(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求

出最值.

(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值.

(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.

跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)尸x+q不力的最小值為一.

V-4-8

(2)函數(shù)f(x)=_r(x>l)的最小值為

x-1

答案(1)1(2)8

解析(1)易知函數(shù)1在[1,+8)上為增函數(shù)，二*=1時，w“=L(本題也可用

換元法求解)

(2)方法一(基本不等式法)

..x'+8x-1+2x~1+9

f(x)=-------------:-----------

X-1X—1

9/a

=(x—1)+---7+222'/x—\?+2=8,

X-1X-1

9

當(dāng)且僅當(dāng)X—1=---即X=4時，F(xiàn)(X)min=8.

x—1

X—4r—I-2

方法二(導(dǎo)數(shù)法)f'(x)=-------六一，

X—1

令■F(x)=0,得x=4或X=—2(舍去).

當(dāng)"水4時，f(x)<0,

f(x)在(1,4)上是遞減的；

當(dāng)*>4時，f(x)>0,

f(x)在(4,+8)上是遞增的,

所以F(x)在*=4處取到極小值也是最小值，

即/'(x)"i"=f(4)=8.

題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

命題點1比較大小

例4已知函數(shù)/"(X)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng).>用>1時，"(就一

Axi)],(X2—X1)<0恒成立，設(shè)a=F(—g),6=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為

答案b>a>c

解析根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且在(1,+8)上是減函數(shù)，因為

a=/'(一》=/1(m，且2*3,所以b〉a〉c.

命題點2解函數(shù)不等式

例5(2017?蘇州月考)定義在R上的奇函數(shù)尸f(x)在(0,+8)上遞增，且/■$=(),則

滿足Alog?x)>0的x的集合為.

答案或l〈xV3}

O

解析由題意知W)=o,A-1)=o

由F(log]X)〉0,得log】Jr),或一：＜lo嘉＜0,

解得或KX3.

O

命題點3求參數(shù)范圍

例6(1)如果函數(shù)/■(x)=af+2x-3在區(qū)間(一8,4)上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范

圍是.

[2—ax+1,矛〈1,FXi—fX2

(2)已知/Xx)=,、滿足對任意為W如都有一:--------—>0成立,

[a,XL/

那么a的取值范圍是.

17

答案⑴[―；,0]⑵匠,2)

解析(1)當(dāng)a=0時，f(x)=2x—3,在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(一8,4)上單調(diào)遞

增；

當(dāng)aWO時，，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x=一1

a

因為f(x)在(-8,4)上單調(diào)遞增，

所以水0,且一124,解得一水0.

a4

綜上所述，得-；WaW0.

(2)由已知條件得f(x)為增函數(shù),

’2—a>0,

所以上>L

、2—aX1+1W&

33

解得水2,所以a的取值范圍是2).

乙乙

思維升華函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略

(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單

調(diào)性解決.

(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“產(chǎn)符號脫

掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.

(3)利用單調(diào)性求參數(shù).

①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間

比較求參數(shù)；

②需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,6］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；

③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2016?徐州模擬)已知函數(shù)f(x)=x(e—')，若f(汨)＜〃及)，則下面正確

e

的式子為.

①為＞生；②為+應(yīng)=0；

③為＜&④水/

2x+k

⑵(2。16?宿遷模擬)要使函數(shù)尸工與尸1彌(廣2)在(3,+8)上具有相同的單調(diào)性,

則實數(shù)k的取值范圍是.

答案⑴④(2)(-8,-4)

解析(1)P(—X)=—x("—e“)=f(x),

在R上為偶函數(shù)，

f'(X)=6、-^+x(6'+二)，

ee

???當(dāng)x>0時，f(x)>0,???F(x)在［0,+8)上為增函數(shù)，

由f(xi)<f(x2),得XI不I)<f(I*2|),I.|Xl|<㈤,

/.豕忌

(2)由于p=log3(x—2)的定義域為(2,+8),且為增函數(shù)，故函數(shù)p=log3(x—2)在(3,+

8)上是增函數(shù).

2x±k2x-2+4+A4+A

又函數(shù)y===

x—2x~2x-2

因其在（3,+8）上是增函數(shù),

故4+4<0,得k<—4.

答題模板系列

1.解抽象函數(shù)不等式

典例（14分）函數(shù)/'（X）對任意的股，"WR,都有/"（;?+〃）=F（0）+/1（〃）一1,并且x>0時，

恒有/'（x）>L

（1）求證：Mx）在R上是增函數(shù)；

（2）若f（3）=4,解不等式『（才+a—5）<2.

思維點撥（D對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義.應(yīng)該構(gòu)造出/■（%）一/"（外并與0

比較大小.（2）將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號“產(chǎn)運用單調(diào)性“去掉”是本題的切入點.要

構(gòu)造出/I協(xié)"'(A)的形式.

規(guī)范解答

(1)證明設(shè)汨，xzGR且為<生，則加一幣〉0,

,當(dāng)x>0時，f{x}>1,/./(^―Xi)>1.[3分]

fa)=/[(x2—為)+xj=f(x2—%)+f(xi)—1,[5分]

f(Xi)一/'(Xi)=f(Xi-Xi')—l〉0=f(Xi)</(A2),

，f(x)在R上為增函數(shù).[7分]

(2)解,:m,〃GR,不妨設(shè)0="=1,

.?.A1+1)=A1)+A1)-1=>A2)=2AD-1,[9分]

f(3)=4=f(2+l)=4=/'(2)+f(l)-l=4=3f(l)—2=4,

.?.f(l)=2,.*.Aa2+a-5)<2=Al),[11分]

：f(x)在R上為增函數(shù)，

'.aa—5〈1=-3〈a<2,即aC(—3,2).[14分]

解函數(shù)不等式問題的一般步驟

第一步：（定性）確定函數(shù)/Xx）在給定區(qū)間上的單調(diào)性；

第二步：（轉(zhuǎn)化）將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為ft粉<7■（加的形式;

第三步：（去力運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號“尸，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不

等式組：

第四步：（求解）解不等式或不等式組確定解集；

第五步：（反思）反思回顧.查看關(guān)鍵點，易錯點及解題規(guī)范.

課時作業(yè)

1.(2016?南京模擬)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)的是

①——x+1；②；

1-X

③尸—(X—1)1④y=3'r.

答案②

解析①中，函數(shù)在(1,+8)上為減函數(shù)，③中，函數(shù)在(1,+8)上為減函數(shù)，④中，函

數(shù)在(1,十8)上為減函數(shù).

2.(2016?無錫二模)已知函數(shù)/?(x)=|x+a|在(-8,—1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍

是.

答案(一8,1］

解析因為函數(shù)/Xx)在(-8,一a)上是單調(diào)函數(shù)，所以一a2一1,解得aWl.

3.定義新運算：當(dāng)a26時，ab=a；當(dāng)a"時，ab=S,則函數(shù)f(x)=(lx)x-

(2x),不￡［—2,2］的最大值等于.

答案6

解析由已知得，當(dāng)一2〈后1時，f(x)=x—2,

當(dāng)1<啟2時，f{x)—x—2.

：f(x)=x—2,f(x)=x-2在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，

f(x)的最大值為A2)=23—2=6.

(a,x>l,

4.已知F(x)=(a?°-是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

4--x+2,xWl

答案［4,8)

ra>l,

4—色>0

解析由已知可得彳2'解得4WaV8.

心4—f+2,

IN

5.(2016?蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞

增，則滿足f(2x—1)的x的取值范圍是.

答案由1令9

f2x-1^0,

12

解析由己知，得°即5〈水百

2iq,乙O

6.已知函數(shù)尸logKax-l)在(1,2)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案［1,+8)

解析要使y=log2(ax-1)在(1,2)上單調(diào)遞增，貝！Ja>0且a—120,.'.a'L

7.函數(shù)/■(x)=(；)—logz(x+2)在區(qū)間［-1,1］上的最大值為.

答案3

解析由于在R上遞減，y=logz(x+2)在［―1,1］上遞增，所以f(x)在［-1,1］上

單調(diào)遞減，故f(x)在［-1,1］上的最大值為/■(—1)=3.

fa,a2b,

8.(2017?江蘇天一中學(xué)月考)對a,6WR,記max{a,b}=1函數(shù)F(x)=max{|x

[b9Kb,

+11，|r-2|}(xGR)的最小值是

答案2

ri

2—x,JK-,

/?(十)在(一8,3和百+8)上分別為減函數(shù)

解析方法一Hx)=<]

x+1,x2.

和增函數(shù)，

13

方法二作函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖知當(dāng)X=g時，［1(X)］*“=/"(》=*

9.若函數(shù)/?(x)=|2x+a|的單調(diào)遞增區(qū)間是［3,+8),則@=

答案一6

2x+a,

解析f(x)=\2x+a\

a

-2x—a,X-~

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［一宗+8),

a^

??一1=3,Aa=-6.

—2

xf'的最大值為1,

{2+log,x,x>3

則a的取值范圍為.

答案［|，1)

解析f(x)在(-8,3］上是增函數(shù),則/U)皿=1.

在R上的最大值為1,

,,.0<a<L且2+log.3Wl,解得

的取值范圍O是1).

11.(2016?江蘇新海中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)=-4f+4〃入-4a—3(a>0)在區(qū)間［0,1］內(nèi)有

一個最大值一5,則a的值為.

答案I

解析f(x)=—4(x—聲一4a,對稱軸為x=*頂點為號-4a).

①當(dāng)券1,即心2時，f(x)在區(qū)間［0,1］上遞增.

.*.y?ax=/(l)=-4—a2.

令一4一3=—5,.,.a=±l<2(舍去).

②當(dāng)OV^Vl,即0<a<2時，如*=fg=-4a,

令-4a=-5,(0,2).

12.(2016?江蘇泰州中學(xué)月考)已知匕為常數(shù),函數(shù)y=|V-2x-t|在區(qū)間［0,3］上的最大值

為2,貝I」t=