專題13 二次函數(shù)-費馬點求最小值（原卷版）

第十三講二次函數(shù)--費馬點最值知識導航知識導航必備知識點費馬點：三角形內的點到三個頂點距離之和最小的點【結論】如圖，點M為銳角△ABC內任意一點，連接AM、BM、CM，當M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小【證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小．此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．費馬點作法費馬點作法分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABC的費馬點。加權費馬點加權費馬點點P為銳角△ABC內任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值解決辦法：第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖所示，B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。例：點P為銳角△ABC內任意一點，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，連接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP的最小值【分析】將△APC繞C點順時針轉90°到△A1P1C，過P2作P1A1的平行線，交CA1于點A2，且滿足A2P2：P1A1=3：4.在Rt△PCP2中，設PC=a，由△CA2P2∽△CA1P1得CP2=3a/4，則PP2=5a/4?！?AP+4BP+5CP=∴B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。接觸BA2長度即可。方法點撥一、題型特征：PA+PB+PC（P為動點）①一動點，三定點②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點與已知三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為費馬點。③同時線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權費馬點二、模型本質：兩點之間，線段最短。例題演練1．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx+（k≠0）經過點A，與拋物線交于另一點R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求拋物線與直線的解析式；（2）如圖1，若點P是x軸下方拋物線上一點，過點P做PH⊥AR于點H，過點P做PQ∥x軸交拋物線于點Q，過點P做PH′⊥x軸于點H′，K為直線PH′上一點，且PK＝2PQ，點I為第四象限內一點，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當l取得最大值時，求出點P的坐標，并求出此時m的最小值．（3）如圖2，將點A沿直線AR方向平移13個長度單位到點M，過點M做MN⊥x軸，交拋物線于點N，動點D為x軸上一點，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′（點M、N、D、N′在同一平面內），連接AN、AN′、NN′，當△ANN′為等腰三角形時，請直接寫出點D的坐標．2．已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對稱軸為x＝1，與y交于點A，與x軸負半軸交于點C，作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．（1）求拋物線的解析式和點A、C的坐標；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長；（3）若點P為△AOC內一點，直接寫出PA+PC+PO的最小值（結果可以不化簡）以及直線CP的解析式．3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（0，2），點D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線與x軸相交于A、F兩點（A在F的左側）．（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；（3）點P為△ABO內的一個動點，設m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長．4．如圖，拋物線y＝ax2+bx+過點A（1，0），B（5，0），與y軸相交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）定義：平面上的任一點到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標相同的點的距離，稱為點到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點O到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段OC的長．已知點E為拋物線對稱軸上的一點，且在x軸上方，點F為平面內一點，當以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是邊長為4的菱形時，請求出點F到二次函數(shù)圖象的垂直距離．（3）在（2）中，當點F到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時，在以A，B，E，F(xiàn)為頂點的菱形內部是否存在點Q，使得AQ，BQ，F(xiàn)Q之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．5．如圖，已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸交于點C，經過點A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標為2，則拋物線的函數(shù)關系式為．（2）若在第三象限內的拋物線上有一點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標．（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上一點（不含端點），連接BE，一動點