2024年2月“圓夢(mèng)杯”模擬考試（四）（AB卷）

2024年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)一模擬考試（四）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在

答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合M={x|f-2x<3},N={y\y=2-x},則=

A.(-1,1)B.(0,+oo)C.[0,3]D.(0,3]

2.在復(fù)平面內(nèi)，(l-i)(2+3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知直線/=x+?">0)與(DC:(x-l)2+/=2交于/,B兩點(diǎn),若|/8|=2,

則m=

A-1B.V2C.V2-1D.V3-1

4.已知命題p:"tana=2",命題q:"cos2a=-，則命題?是命題q的

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3

5.已知a=log23,b=log35,c,貝!J

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

6.已知函數(shù)/(x)=」一的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,/⑴)對(duì)稱，則。=

e+a

A.1B.2C.eD.e2

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共4頁(yè)）

2222

7.已知橢圓C］：二+4=1(a>6>0)與雙曲線。2：=切>0)有公共焦點(diǎn)，記

abmb

G與。2在X軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)為/，B,過(guò)G的右焦點(diǎn)作X軸的垂線交。2于M，

N兩點(diǎn)，若|/a=理|肱￥|,則C］的離心率為

324

A.-B.-C.-

735

8.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+9)(@>0,|如<5),如圖，A,

8,C是曲線>=/(%)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，直線5c交

曲線y=/(x)于點(diǎn)若直線9的斜率分別為

3

—,3,則o=

7

71

A.—B.7iC.2兀

2

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.在某市高三年級(jí)舉行的一次數(shù)學(xué)期末考試中，為了

解考生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了50名考生的成績(jī),

作出的頻率分布直方圖如圖.成績(jī)排在前10%的學(xué)

生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則

A.估計(jì)該市考生的成績(jī)低于60分的比例為16%

B.估計(jì)該市考生成績(jī)的眾數(shù)為60

C.估計(jì)該市考生成績(jī)的平均數(shù)為70.6

D.估計(jì)該市82分以上的考生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)

10.記函數(shù)工(X)的導(dǎo)函數(shù)為九+10),已知力(幻=%2-,若數(shù)列{4},{6"}滿足

2x

fn(x)={x+anx+bn~)Q,則

A.{%}為等差數(shù)列B.{〃,}為等比數(shù)列

50-I48

y-=D.86,W2%

49

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

11.已知拋物線名:好二％,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)/(1,0)作x軸的垂線交直線了=履于點(diǎn)8,

點(diǎn)C滿足/=2而，過(guò)3作x軸的平行線交E于點(diǎn)尸(尸在3的右側(cè))，若

NOPC=3/OBA,貝IJ

A.\BC\=\CP\B.\BP\=\CP\

C.sin/C。尸=<D.△OPC的面積為正

46

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量a,b的夾角為三，若傳|=2,|a+b|=2V7,則|a|=.

13.已知三棱錐P-4BC的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球。表面上，ZAOB^ZAOC=6Q°,

OBLOC,則三棱錐。-48c的內(nèi)切球半徑為；若AP=2冊(cè),則三棱錐

O-PBC體積的最大值為.

14.已知數(shù)列｛4｝滿足%+i=eM,函數(shù)/(刈=電上的極值點(diǎn)為與，若Xo(a2+l)=ln%，

x+1?

貝I1%+-?

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)

如圖，在三棱柱4BC-451G中，AAX1AXBX,ABLBC,四邊形3。。聲是菱形?

(1)證明：AQ1BXC；

(2)若AB=8C=^3]C,求二面角4

的正弦值.

16.（15分）

已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，%=1,冊(cè)+2%巳片+「

(1)若%=3,證明:%23"T；

(2)若。io=512,證明：當(dāng)久取得最大值時(shí)，—+—+—<2.

為a2an

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))

17.（15分）

已知函數(shù)f(x)=xa-x(X>0,4N1).

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若/(X)存在極值點(diǎn)與，證明：與隨著。的增大而增大.

18.(17分)

某游戲設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)了一款游戲：玩家在一局游戲內(nèi)，每點(diǎn)擊一次屏幕可以獲得一張

卡片，共有“A”和“B”兩種卡片.每位玩家的初始分?jǐn)?shù)為0,每獲得一張“A"加1

分，每獲得一張“B”減1分.已知某位玩家在一局游戲內(nèi)共點(diǎn)擊屏幕z?次，設(shè)該玩家

獲得“A”的次數(shù)為X,,最終分?jǐn)?shù)為

(1)若玩家每次點(diǎn)擊屏幕時(shí)，獲得“A”和“B”的概率均為;，求X3的分布列

與數(shù)學(xué)期望，并直接寫(xiě)出項(xiàng)乜)的值；一

(2)若該游戲系統(tǒng)通過(guò)一個(gè)計(jì)數(shù)器來(lái)控制玩家獲得“A”和“B”的概率.計(jì)數(shù)器

會(huì)記錄玩家已經(jīng)點(diǎn)擊屏幕的次數(shù)〃(初始值為0),若”為偶數(shù)，則玩家下一次點(diǎn)擊屏

幕時(shí)，獲得“A”和“B”的概率均為工，若〃為奇數(shù)，則玩家下一次點(diǎn)擊屏幕時(shí)，獲得

2

21

“A”的概率為三，獲得“B”的概率為2.求。底).

附：若隨機(jī)變量及和X2的取值是相互獨(dú)立的，則。(X1+X2)=。(X1)+D(X2)-

19.(17分)

2

已知雙曲線G：-—與=1與曲線。2：2(%-加)2+(了_”)2=6有4個(gè)交點(diǎn)4,B,C,

D(按逆時(shí)針排列).

(1)當(dāng)加=〃=0時(shí)，判斷四邊形的形狀；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：|。川2+|。02+|。?！?|。02為定值；

(3)求四邊形48co面積的最大值.

附：若方程+b%2+cx+d=0有4個(gè)實(shí)根西，x2,x3,x4,貝!J

xx+x2+x3+x4=-a,xxx2+xxx3+xxx4+x2x3+x2x4+x3x4=b-

數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

2024年普通高等學(xué)校招生“圓夢(mèng)杯”統(tǒng)一模擬考試（四）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在

答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合M={x|f-2x<3},N={y\y=2-x},則=

A.(-1,1)B.(0,+oo)C.[0,3]D.(0,3]

2.在復(fù)平面內(nèi)，(l-i)(2+3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知直線/=x+?">0)與(DC:(x-l)2+/=2交于/,B兩點(diǎn),若|/8|=2,

則m=

A-1B.V2C.V2-1D.V3-1

4.已知命題p:"tana=2",命題q:"cos2a=-，則命題?是命題q的

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3

5.已知a=log23,b=log35,c,貝!J

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

6.已知函數(shù)/(x)=」一的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,/⑴)對(duì)稱，則。=

e+a

A.1B.2C.eD.e2

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)（共5頁(yè)）

7.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+9)(刃＞0,|°|＜2),如圖，A,

B,C是曲線＞=/(%)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)，直線BC交

曲線＞=/(%)于點(diǎn)若直線4",的斜率分別為

3

—,3,則o=

7

71

A.—B.71C.2兀

2

8.已知三棱錐尸-43C的各頂點(diǎn)均在半徑為2的球。表面上,ZAOB=ZAOC=60°,

OBLOC,若AP=26,則三棱錐。-尸3C體積的最大值為

A.立B.旦C.旦D.近

6433

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知正四棱錐尸-/3CD的表面積為12,48=2,則

A.APLBD

B.APLCP

C.點(diǎn)C到平面48尸的距離為行

D.直線。尸與平面48尸所成角的正弦值為二

5

10.在某市高三年級(jí)舉行的一次數(shù)學(xué)期末考試中，為了

解考生的成績(jī)情況，隨機(jī)抽取了50名考生的成績(jī)，

作出的頻率分布直方圖如圖.成績(jī)排在前10%的學(xué)

生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)，則

A.估計(jì)該市考生的成績(jī)低于60分的比例為16%

B.估計(jì)該市考生成績(jī)的眾數(shù)為60

C.估計(jì)該市考生成績(jī)的平均數(shù)為70.6

D.估計(jì)該市82分以上的考生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號(hào)

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共5頁(yè))

11.記函數(shù)/,(x)的導(dǎo)函數(shù)為，+i(x),已知力(xhfe"若數(shù)列｛a“｝,也｝滿足

2x

fn(x)^(x+anx+bn)e,則

A.｛%｝為等差數(shù)列B.{〃}為等比數(shù)列

C.”=竺

D.8b02%

—b4927ti

n=3un什

12.已知拋物線￡:必=%,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)/(1,0)作x軸的垂線交直線了=履于點(diǎn)3,

點(diǎn)C滿足方=2就，過(guò)8作x軸的平行線交E于點(diǎn)尸(尸在3的右側(cè))，若

ZOPC=3AOBA,貝！J

A.\BC\=\CP\B.\BP\^\CP\

D.△OFC的面積為叵

C.sinZCOP=-

4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在(2i+x+l)4的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

14.已知向量”，b,c滿足a+A+c=0,若〈4,方〉=三，傳|=2,|c|=277，則

COS〈〃,C〉=.

2222

15.已知橢圓。1：\+彳=1(a>6>0)與雙曲線C,:J-二=1(加>0)有公共焦點(diǎn)，記

abmb

G與C2在x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)為/,B,過(guò)C］的右焦點(diǎn)作x軸的垂線交。2于M,

N兩點(diǎn)，若|48|=亡］〃乂|,則G的離心率為.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=—的極值點(diǎn)為兩,則xf(x)=；數(shù)列｛%｝滿足am=e%，

X+1oo

若x0(?2+1)=In%,貝！J佝+和=,

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)

記△45C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知acosC+(41b+c)cosA=0.

(1)求工；

(2)設(shè)的面積為S,^a2=105,求2.

c

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共5頁(yè))

18.（12分）

如圖，在三棱柱/3C-481G中，AAX±AXBX,ABLBC,四邊形5。。內(nèi)是菱形.

(1)證明：

J3

(2)若/8=8。=彳-坊。，求二面角3-/q-CAi

的正弦值.

19.（12分）

已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，%=1,片+「

(1)若。2=3，證明：a“23"T；

(2)若°10=512,證明：當(dāng)％取得最大值時(shí)，—+—+—<2.

%?2%

20.(12分)

已知函數(shù)f(x)=xa-x(x>0,。片1).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)存在極值點(diǎn)與，證明：/隨著。的增大而增大.

21.(12分)

某游戲設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)了一款游戲：玩家在一局游戲內(nèi)，每點(diǎn)擊一次屏幕可以獲得一張

卡片，共有“A”和“