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文檔簡介
2024年普通高等學校招生“圓夢杯”統(tǒng)一模擬考試(四)
數(shù)學
注意事項:
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂
黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在
答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只
有一項是符合題目要求的。
1.已知集合M={x|f-2x<3},N={y\y=2-x},則=
A.(-1,1)B.(0,+oo)C.[0,3]D.(0,3]
2.在復平面內(nèi),(l-i)(2+3i)對應(yīng)的點位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.已知直線/=x+?">0)與(DC:(x-l)2+/=2交于/,B兩點,若|/8|=2,
則m=
A-1B.V2C.V2-1D.V3-1
4.已知命題p:"tana=2",命題q:"cos2a=-,則命題?是命題q的
A.充分必要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
3
5.已知a=log23,b=log35,c,貝!J
A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a
6.已知函數(shù)/(x)=」一的圖象關(guān)于點(1,/⑴)對稱,則。=
e+a
A.1B.2C.eD.e2
數(shù)學試題第1頁(共4頁)
2222
7.已知橢圓C]:二+4=1(a>6>0)與雙曲線。2:=切>0)有公共焦點,記
abmb
G與。2在X軸上方的兩個交點為/,B,過G的右焦點作X軸的垂線交。2于M,
N兩點,若|/a=理|肱¥|,則C]的離心率為
324
A.-B.-C.-
735
8.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+9)(@>0,|如<5),如圖,A,
8,C是曲線>=/(%)與坐標軸的三個交點,直線5c交
曲線y=/(x)于點若直線9的斜率分別為
3
—,3,則o=
7
71
A.—B.7iC.2兀
2
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項
符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。
9.在某市高三年級舉行的一次數(shù)學期末考試中,為了
解考生的成績情況,隨機抽取了50名考生的成績,
作出的頻率分布直方圖如圖.成績排在前10%的學
生將獲得“優(yōu)秀學生”稱號,則
A.估計該市考生的成績低于60分的比例為16%
B.估計該市考生成績的眾數(shù)為60
C.估計該市考生成績的平均數(shù)為70.6
D.估計該市82分以上的考生將獲得“優(yōu)秀學生”稱號
10.記函數(shù)工(X)的導函數(shù)為九+10),已知力(幻=%2-,若數(shù)列{4},{6"}滿足
2x
fn(x)={x+anx+bn~)Q,則
A.{%}為等差數(shù)列B.{〃,}為等比數(shù)列
50-I48
y-=D.86,W2%
49
數(shù)學試題第2頁(共4頁)
11.已知拋物線名:好二%,O為坐標原點,過/(1,0)作x軸的垂線交直線了=履于點8,
點C滿足/=2而,過3作x軸的平行線交E于點尸(尸在3的右側(cè)),若
NOPC=3/OBA,貝IJ
A.\BC\=\CP\B.\BP\=\CP\
C.sin/C。尸=<D.△OPC的面積為正
46
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知向量a,b的夾角為三,若傳|=2,|a+b|=2V7,則|a|=.
13.已知三棱錐P-4BC的各頂點均在半徑為2的球。表面上,ZAOB^ZAOC=6Q°,
OBLOC,則三棱錐。-48c的內(nèi)切球半徑為;若AP=2冊,則三棱錐
O-PBC體積的最大值為.
14.已知數(shù)列{4}滿足%+i=eM,函數(shù)/(刈=電上的極值點為與,若Xo(a2+l)=ln%,
x+1?
貝I1%+-?
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(13分)
如圖,在三棱柱4BC-451G中,AAX1AXBX,ABLBC,四邊形3。。聲是菱形?
(1)證明:AQ1BXC;
(2)若AB=8C=^3]C,求二面角4
的正弦值.
16.(15分)
已知數(shù)列{%}的各項均為正數(shù),%=1,冊+2%巳片+「
(1)若%=3,證明:%23"T;
(2)若。io=512,證明:當久取得最大值時,—+—+—<2.
為a2an
數(shù)學試題第3頁(共4頁)
17.(15分)
已知函數(shù)f(x)=xa-x(X>0,4N1).
(1)討論/(X)的單調(diào)性;
(2)若/(X)存在極值點與,證明:與隨著。的增大而增大.
18.(17分)
某游戲設(shè)計者設(shè)計了一款游戲:玩家在一局游戲內(nèi),每點擊一次屏幕可以獲得一張
卡片,共有“A”和“B”兩種卡片.每位玩家的初始分數(shù)為0,每獲得一張“A"加1
分,每獲得一張“B”減1分.已知某位玩家在一局游戲內(nèi)共點擊屏幕z?次,設(shè)該玩家
獲得“A”的次數(shù)為X,,最終分數(shù)為
(1)若玩家每次點擊屏幕時,獲得“A”和“B”的概率均為;,求X3的分布列
與數(shù)學期望,并直接寫出項乜)的值;一
(2)若該游戲系統(tǒng)通過一個計數(shù)器來控制玩家獲得“A”和“B”的概率.計數(shù)器
會記錄玩家已經(jīng)點擊屏幕的次數(shù)〃(初始值為0),若”為偶數(shù),則玩家下一次點擊屏
幕時,獲得“A”和“B”的概率均為工,若〃為奇數(shù),則玩家下一次點擊屏幕時,獲得
2
21
“A”的概率為三,獲得“B”的概率為2.求。底).
附:若隨機變量及和X2的取值是相互獨立的,則。(X1+X2)=。(X1)+D(X2)-
19.(17分)
2
已知雙曲線G:-—與=1與曲線。2:2(%-加)2+(了_”)2=6有4個交點4,B,C,
D(按逆時針排列).
(1)當加=〃=0時,判斷四邊形的形狀;
(2)設(shè)O為坐標原點,證明:|。川2+|。02+|。?!?|。02為定值;
(3)求四邊形48co面積的最大值.
附:若方程+b%2+cx+d=0有4個實根西,x2,x3,x4,貝!J
xx+x2+x3+x4=-a,xxx2+xxx3+xxx4+x2x3+x2x4+x3x4=b-
數(shù)學試題第4頁(共4頁)
2024年普通高等學校招生“圓夢杯”統(tǒng)一模擬考試(四)
數(shù)學
注意事項:
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂
黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在
答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只
有一項是符合題目要求的。
1.已知集合M={x|f-2x<3},N={y\y=2-x},則=
A.(-1,1)B.(0,+oo)C.[0,3]D.(0,3]
2.在復平面內(nèi),(l-i)(2+3i)對應(yīng)的點位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3.已知直線/=x+?">0)與(DC:(x-l)2+/=2交于/,B兩點,若|/8|=2,
則m=
A-1B.V2C.V2-1D.V3-1
4.已知命題p:"tana=2",命題q:"cos2a=-,則命題?是命題q的
A.充分必要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
3
5.已知a=log23,b=log35,c,貝!J
A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a
6.已知函數(shù)/(x)=」一的圖象關(guān)于點(1,/⑴)對稱,則。=
e+a
A.1B.2C.eD.e2
數(shù)學試題第1頁(共5頁)
7.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+9)(刃>0,|°|<2),如圖,A,
B,C是曲線>=/(%)與坐標軸的三個交點,直線BC交
曲線>=/(%)于點若直線4",的斜率分別為
3
—,3,則o=
7
71
A.—B.71C.2兀
2
8.已知三棱錐尸-43C的各頂點均在半徑為2的球。表面上,ZAOB=ZAOC=60°,
OBLOC,若AP=26,則三棱錐。-尸3C體積的最大值為
A.立B.旦C.旦D.近
6433
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項
符合題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。
9.已知正四棱錐尸-/3CD的表面積為12,48=2,則
A.APLBD
B.APLCP
C.點C到平面48尸的距離為行
D.直線。尸與平面48尸所成角的正弦值為二
5
10.在某市高三年級舉行的一次數(shù)學期末考試中,為了
解考生的成績情況,隨機抽取了50名考生的成績,
作出的頻率分布直方圖如圖.成績排在前10%的學
生將獲得“優(yōu)秀學生”稱號,則
A.估計該市考生的成績低于60分的比例為16%
B.估計該市考生成績的眾數(shù)為60
C.估計該市考生成績的平均數(shù)為70.6
D.估計該市82分以上的考生將獲得“優(yōu)秀學生”稱號
數(shù)學試題第2頁(共5頁)
11.記函數(shù)/,(x)的導函數(shù)為,+i(x),已知力(xhfe"若數(shù)列{a“},也}滿足
2x
fn(x)^(x+anx+bn)e,則
A.{%}為等差數(shù)列B.{〃}為等比數(shù)列
C.”=竺
D.8b02%
—b4927ti
n=3un什
12.已知拋物線£:必=%,O為坐標原點,過/(1,0)作x軸的垂線交直線了=履于點3,
點C滿足方=2就,過8作x軸的平行線交E于點尸(尸在3的右側(cè)),若
ZOPC=3AOBA,貝!J
A.\BC\=\CP\B.\BP\^\CP\
D.△OFC的面積為叵
C.sinZCOP=-
4
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.在(2i+x+l)4的展開式中,/的系數(shù)為(用數(shù)字作答).
14.已知向量”,b,c滿足a+A+c=0,若〈4,方〉=三,傳|=2,|c|=277,則
COS〈〃,C〉=.
2222
15.已知橢圓。1:\+彳=1(a>6>0)與雙曲線C,:J-二=1(加>0)有公共焦點,記
abmb
G與C2在x軸上方的兩個交點為/,B,過C]的右焦點作x軸的垂線交。2于M,
N兩點,若|48|=亡]〃乂|,則G的離心率為.
16.設(shè)函數(shù)/(x)=—的極值點為兩,則xf(x)=;數(shù)列{%}滿足am=e%,
X+1oo
若x0(?2+1)=In%,貝!J佝+和=,
四、解答題:本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(10分)
記△45C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知acosC+(41b+c)cosA=0.
(1)求工;
(2)設(shè)的面積為S,^a2=105,求2.
c
數(shù)學試題第3頁(共5頁)
18.(12分)
如圖,在三棱柱/3C-481G中,AAX±AXBX,ABLBC,四邊形5。。內(nèi)是菱形.
(1)證明:
J3
(2)若/8=8。=彳-坊。,求二面角3-/q-CAi
的正弦值.
19.(12分)
已知數(shù)列{%}的各項均為正數(shù),%=1,片+「
(1)若。2=3,證明:a“23"T;
(2)若°10=512,證明:當%取得最大值時,—+—+—<2.
%?2%
20.(12分)
已知函數(shù)f(x)=xa-x(x>0,。片1).
(1)討論/(x)的單調(diào)性;
(2)若/(x)存在極值點與,證明:/隨著。的增大而增大.
21.(12分)
某游戲設(shè)計者設(shè)計了一款游戲:玩家在一局游戲內(nèi),每點擊一次屏幕可以獲得一張
卡片,共有“A”和“
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