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文檔簡介
重慶市重點中學2024-2025年中考幾何專題
1,已知,AABC中,AC=BC,ZACB=90°,D為AB的中點,若E在直線AC上隨意一點,DF
±DE,交直線BC于F點.G為EF的中點,延長CG交AB于點H.
(1)若E在邊AC上.
①試說明DE=DF;
②試說明CG=GH;
(2)若AE=3,CH=5.求邊AC的長.
解:(1)①連接CD,
?.,ZACB=90°,D為AB的中點,AC=BC,
.\CD=AD=BD,
又:AC=BC,
ACD±AB,
.?.ZEDA+ZEDC=90°,ZDCF=ZDAE=45°,
VDFXDE,
ZEDF=ZEDC+ZCDF=90°,
ZADE=ZCDF,
在AADE和ACDF中
'/A=NDCF
?AD=CD
ZADE=ZCDF
.?.△ADE^ACDF,
/.DE=DF.
②連接DG,
VZACB=90°,G為EF的中點,
.\CG=EG=FG,
VZEDF=90o,G為EF的中點,
;.DG=EG=FG,
.?.CG=DG,
.1.ZGCD=ZCDG
XVCDXAB,
ZCDH=90°,
.\ZGHD+ZGCD=90°,ZHDG+ZGDC=90
.\NGHD二NHDG,
.\GH=GD,
ACG=GH.
(2)如圖,當E在線段AC上時,
VCG=GH=EG=GF,
???CH=EF=5,
:△ADE絲△CDF,
.\AE=CF=3,
???在RtaECF中,由勾股定理得:CE=i/EF2-CF2=4?
???AC=AE+EC=3+4=7;
如圖,當E在線段CA延長線時,
AC=EC-AE=4-3=1,
綜合上述AC=7或1.
2、已知:在AABC中,AC=BC,ZACB=90°,點D是AB的中點,點E是AB邊上一點.
(1)如圖①,BF垂直CE于點F,交CD于點G,試說明AE二CG;
(2)如圖②,作AH垂直于CE的延長線,垂足為H,交CD的延長線于點M,則圖中與BE
相等的線段是CM,并說明理由.
(1)證明:???點D是AB中點,AC=BC,ZACB=90°,
ACD±AB,NACD=/BCD=45°,
.'.ZCAD=ZCBD=45°,
.?.ZCAE=ZBCG,
又?.,BF_LCE,
???NCBG+NBCF=90°,
又?.?NACE+NBCF=90°,
ZACE=ZCBG,
'/CAE=NBCG
在△AEC和4CGB中,AC=BC,
ZACE=ZCBG
AAAEC^ACGB(ASA),
.\AE=CG;
(2)答:BE=CM
理由::CD平分NACB,
???NACD=NBCD=45°,
'AC=BC
在ABCD和AACD中,ZACD=ZBCD,
CD=CD
AABCD^AACD(SAS),
.'.ZADC=ZCDB,
VZADC+ZCDB=180°,
.?.ZADC=ZCDB=90°,
AZCBE=45°,
VCH±HM,CD±ED,
AZCMA+ZMCH=90°,ZBEC+ZMCH=90°,
.?.ZCMA=ZBEC,
'NCMA=NBEC
在ABCE和ACAM中,</ACM=NCBE,
AC=BC
AABCE^ACAM(AAS),
.'BE=CM.
故答案為:CM.
3、如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、DC上的兩點,若EF=BE+DF.
(1)求證:ZEAF=45°;
(2)作NEFC的平分線FG交AE的延長線于G,連接CG,如圖2.求證:BC-CF=^CG;
2
(3)若F是DC的中點,AB=4,如圖3,求EG的長.
(1)證明:延長CB至G,使BG=FD,連接AG,如圖1,
:四邊形ABCD為正方形,
;.AB=AD,ZABC=ZD=90°,
'AB=AD
在AABG和4ADF中,./ABG=/D,
BG=DF
/.△ABG^AADF(SAS),
;.AG=AF,ZBAG=ZDAF,
VEF=BE+DF,
;.EF=EG,
'AE=AE
在AAEG和4AEF中,(AG=AF,
EG=EF
.?.△AEG^AAEF(SSS),
.1.ZEAG=ZEAF,
VZBAG=ZDAF,
.?.ZEAF=ZDAF+ZABE,
VZEAF+ZDAF+ZABE=90°,
.?.ZEAF=45°;
(2)證明:過點G作GHLDC于H,如圖2,
由⑴中/AEB=NAEF,
:FG平分NEFC,
,NEFG二NCFG,
VZBEF=ZEFC+ZECF,
.\2ZAEB=2ZEFC+90°,gpZAEB=ZEFC+45°,
而NAEB=NEFG+NEGF,
AZEGF=45°,
VZGAF=45°,
???△FAG為等腰直角三角形,
???FA=FG,NAFG=90°,
AZAFD+ZHFG=90°,
而NAFD+NDAF=90°,
ZDAF=ZHFG,
'ND叱FHG
在AADF和△FHG中,ZDAF=ZHFG,
AF二FG
AAADF^AFHG(AAS),
.\AD=FH,DF=GH,
而AD=DC,
???DC=FH,
.'.DF=CH=GH,
AACGH為等腰直角三角形,
??.CH二返iC,
2_
ADC-CF=DF二CH二亞CG,
_2
ABC-CF=2^CG;
2
(3)解:作GQ_LBC于Q,GH_LDC于H,如圖3,
IF是DC的中點,AB=4,
.?.DF=CF=2,
由⑵得CH=GH=2,
.\CQ=GQ=2,
;.BQ=2,
設BE=x,則EF=BE+DF=x+2,EC=4-x,
在4CEF中,?.,CE2+CF2=EF2,
(4-x)2+22=(x+2)2,
解得x=W,
3
/.EQ=BQ-BE=2-生2,
33_
在RSGQE中,1)2=2^0.
EG=A/GQ2+EQ^22+(
4、在Rt/XABC中,AC=BC,ZACB=90°,D是AC的中點,DG_LAC交AB于點G.
⑴如圖1,E為線段DC上隨意一點,點F在線段DG上,且DE=DF,連接EF與CF,過點F
作FHLFC,交直線AB于點H.
①求證:DG=DC;
②推斷FH與FC的數(shù)量關系并加以證明.
(2)若E為線段DC的延長線上隨意一點,點F在射線DG上,(1)中的其他條件不變,借助圖
2畫出圖形.在你所畫圖形中找出一對全等三角形,并推斷你在(1)中得出的結論是否發(fā)生
變更,(本小題干脆寫出結論,不必證明).
圖1圖2
5、在△ABC中,AC=BC,ZACB=90°,點D為AC的中點.
⑴如圖1,E為線段DC上隨意一點,將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF,連接
CF,過點F作FHLFC,交直線AB于點H.推斷FH與FC的數(shù)量關系并加以證明;
(2)如圖2,若E為線段DC的延長線上隨意一點,(1)中的其他條件不變,你在(1)中得出的
結論是否發(fā)生變更,干脆寫出你的結論,不必證明.
圖1圖2
6、在4ABC中,AC=BC,ZACB=90',,DG為AABC的中位線.如圖,E為線段DC上隨意一點,
將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到DF,連接CF,過點F作FHXFC,交直線AB于點H.求
證:FH=FC.
A
占
cR
7、如圖,在4ABC中,ZACB=90°,CEXAB于點E,點D是AB上一點,且AD=AC,作DG/7BC,
DG交AC于點G,交CE于點F,
求證:⑴AF平分/CAB;
(2)FC=FD.
A
一
B
8、已知:在△ABC中,AC=BC,ZACB=90°,點D是AB的中點,點E是AB邊上一點。
(1)直線BF垂直于直線CE于點F,交CD于點G(如圖1),求證:AE=CG;
(2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點H,交CD的延長線于點M(如圖2),找出圖中與
BE相等的線段,并證明
9、已知△ABC和4ADE是等腰直角三角形,/ACB=/ADE=90°,點F為BE中點,連結DF、
CF.
(1)如圖1,當點D在AB上,點E在AC上,請干脆寫出此時線段DF、CF的數(shù)量關系和位
置關系(不用證明);
(2)如圖2,在(1)的條件下將4ADE繞點A順時針旋轉45°時,請你推斷此時(1)中
的結論是否仍舊成立,并證明你的推斷;
(3)如圖3,在(1)的條件下將4ADE繞點A順時針旋轉90°時,若AD=1,AC=;?,求
此時線段CF的長(干脆寫出結果).
試題分析:(1)依據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF,依據(jù)/DFE=2
ZDCF,ZBFE=2ZBCF,得到/EFD+/EFB=2/DCB=90°,DF±BF;
(2)延長DF交BC于點G,先證明△DEFgZ\GCF,得到DE=CG,DF=FG,依據(jù)AD=DE,AB=BC,
得到BD=BG又因為/ABC=90°,所以DF=CF且DF_LBF;
(3)延長DF交BA于點H,先證明ADEF之△HBF,得到DE=BH,DF=FH,依據(jù)旋轉條件可以
△ADH為直角三角形,由AABC和4ADE是等腰直角三角形,AC=:、P,可以求出AB的值,
進而可以依據(jù)勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF,求出得CF的值.
試題解析:
1
(1)VZACB=ZADE=90",點F為BE中點,.\DF=-BE,CF=-BE.;.DF=CF.
22
「△ABC和4ADE是等腰直角三角形,.-.ZABC=45°.
VBF=DF,.*.ZDBF=ZBDF.
,/ZDFE=ZABE+ZBDF,ZDFE=2ZDBF.
同理得:ZCFE=2ZCBF,
ZEFD+ZEFC=2ZDBF+2ZCBF=2ZABC=900.
;.DF=CF,且DF_LCF.
(2)(1)中的結論仍舊成立.證明如下:
如圖,此時點D落在AC上,延長DF交BC于點G.
VZADE=ZACB=90°,ADE/ZBC./.ZDEF=ZGBF,ZEDF=Z
BGF.
為BE中點,.\EF=BF.AADEF^AGBF..\DE=GB,DF=GF.
VAD=DE,.\AD=GB.
VAC=BC,;.AC-AD="BC-GB.”.,.DC=GC,
VZACB=90°,.?.△DCG是等腰直角三角形.
,/DF=GF,/.DF=CF,DF±CF.
(3)如圖,延長DF交BA于點H,
「△ABC和△ADE是等腰直角三角形,.,.AC=BC,AD=DE.
.,.ZAED=ZABC=45°.
:由旋轉可以得出,ZCAE=ZBAD=90°,
VAE/7BC,ZAEB=ZCBE.ZDEF=ZHBF.
:F是BE的中點,EF="BF."/.ADEF^AHBF.ED=HB.
,:AC=:、R,在RtZkABC中,由勾股定理,得AB=4.
VAD=1,.*.ED=BH=1./.AH=3.
在Rt/XHAD中,由勾股定理,得DH=^^,
VioVio
;.DF=-,;.CF=-.
而
二線段CF的長為丁.
10、已知:如圖(1),在aABC中,ZC=90°,BC=AC,點D、E分別在BC、AC
邊上,且CD=CE,連接AD、BE,點0、M、N分別是AB、AD、BE的中點.易證:
△OMN是等腰直角三角形.
(1)將圖(1)中4CDE圍著點C順時針旋轉90°如圖(2),連接AE、BD,0、
M、N仍為AB、AD、BE中點,則△0MN是等腰直角三角形的結論是否發(fā)生變更?
并說明理由.
(2)若4CDE圍著點C順時針接著旋轉至圖(3)所示位置時,0、M、N仍為AB、
AD、BE中點,試問AOMN是等腰直角三角形的結論是否成立?(干脆寫出結論)
解:(1)AOMN是等腰直角三角形.
理由如下:如圖,連接BD,
;Z\CDE順時針旋轉90。,
/.ZACE=ZACB=90°,
在△BCD和△ACE中,BC=AC
ZACE=ZACB=90°CD=CE
ABCD^AACE(SAS),
,BD=AE,ZCBD=ZCAE,
V0>M、N分別為AB、AD、BE中點,
OM〃BD且0M=-BD,ON〃AE且0N=-AE,
22
/.OM=ON,ZABD=ZAOM,ZBAE=ZBON,
AZM0N=180°-(ZAOM+ZBON)=180°-(ZABD+ZBAE)=180°-
(ZABD+ZCBD+ZBAC)=180°-(ZABC+ZBAC),
VZACB=90°,
ZABC+ZBAC=180°-ZACB=180°-90°=90°,
:.ZM0N=180°-90°=90°,
...AOMN是等腰直角三角形;
(2)△()%是等腰直角三角形的結論仍成立.
如圖,連接BD、AE,證明方法與(1)相同.
11、已知,如圖,AABC中,AC=BC,NACB=90°,D點為AB的中點,過點D作隨意H/ADM7V
NMDN=90°,交AC于點E交,BC于點F求證:AE2+BF2=EF2
(1)如圖,△ABC中,AC=BC,NACB=90°,D點為AB的中點,過點D作隨意火公
MDN=90°,交AC于點E交,BC于點F求證:AE2+BF2=EF2
cc
匕
B
(2)如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、DC上的兩點,連接AE,AF,連接BD且于
AEAF分別交于MN兩點,ACEF的周長是正方形ABCD周長的一半求證:線段BM、MN、DN能
否構成直角三角形
12、如圖,在正方形ABCD中,點E、F分別是BC、DC邊上的兩點,且/EAF=45°,AE、AF
分別交BD于M、N.下列結論:①AB?=BN?DM;②AF平分NDFE;③AM?AE=AN?AF;④
BE-DF=^2AfN,其中正確的結論是()
解:@VZBAN=ZBAM+ZMAN=ZBAM+45°,
ZAMD=ZABM+ZBAM=450+ZBAM,
ZBAN=ZAMD.
又NABN=/ADM=45°,
/.△ABN^AADM,
/.AB:BN=DM:AD.
VAD=AB,
.\AB2=BN?DM.
故①正確;
②
把AABE繞點A逆時針旋轉90°,得到△ADH.
VZBAD=90°,ZEAF=45",
H
ZBAE+ZDAF=45
/.ZEAF=ZHAF.
:AE=AH,AF=AF,
/.△AEF^AAHF,
NAFH=NAFE,即AF平分NDFE.
故②正確;
③:AB〃CD,/DFA=/BAN.
?/ZAFE=ZAFD,ZBAN=ZAMD,
NAFE=NAMN.
又/MAN=NFAE,
.'.△AMN^AAFE.
/.AM:AF=AN:AE,即
AM?AE=AN?AF.
故③正確;
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE.
過A作AO_LBD,作AG_LEF.
貝IJAAFEJgAAMN的相像比就是AG:AO.
易證△ADFS/^AGF(AAS),
則可知AG=AD邛R2A0,從而得證
故④正確.
故選D.
13、如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、DC上的兩點,若EF=BE+DF.
(1)求證:ZEAF=45°;
(2)作NEFC的平分線FG交AE的延長線于G,連結CG,求證:CG=V2DF.
(1)???四邊形ABCD是正方形,
.\AB=AD=CD;ZADC=ZB=90°
???將4ABE逆時針旋轉90°至aADM,如圖1所示
AABE^AADM
?'.AM'AE;BE=DM;NADM=NB二90。;NDAM二NBAE
ZADM+ZADC=180°
AC.D、M在同始終線上
.'.EF=DF+BE=DF+DM=MF,
在4AEF和4AMF中,MF=EFAF=AFAM=AE
AAAEF^AAMF(SSS),
???NAFD=NAFE,ZMAF=ZEAF
XVZMAF+ZEAF=(ZDAM+ZDAF)+ZEAF=(ZBAE+ZDAF)+ZEAF=90°
???ZEAF=ZMAF=45°
(2)如圖2所示,作GNJ_DC的延長線于N,
VZAFD=ZAFE,FG平分NEFC
???NEFG=NCFG,
ZAFE+ZEFG=ZAFD+ZCFG=90°,
/.ZAFG=90°
又NEAF=45°
???△AFG是等腰直角三角形
.\AF=GF
ZFAD+ZAFD=90°
???NDAF=NNFG,
???ZADF=ZGNF=90°
在AADF和4FNG中,AD=FNNDAF=NNFGAF=FG,
AAADF^AFNG(SAS),
.\FN=AD=DC;GN=DF
,CN=FN-CF=DC-CF=DF=GN
...△CGN是等腰直角三角形
,CG=V2CN=V2DF
14、如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、DC上的兩點,若EF=BE+DF.
(1)求證:ZEAF=45°
(2)作NEFC的平分線FG交AE的延長線于G,連結CG,求證:BC-CF=CG
(3)若F是DC的中點,AB=4,則
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