浙江省2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)2月月考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期浙江省名校協(xié)作體試題

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科

考生須知：

1.本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)學(xué)校、班級(jí)、姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào).

3.所有答案必須寫(xiě)在答題卷上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.

選擇題部分

一、選擇題：本題8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求.

1.拋物線(xiàn)好=4〉的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）

A.y=-2B.x——2C.y=-lD.x=-l

【答案】C

【解析】

【分析】求出焦參數(shù)2,根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定準(zhǔn)線(xiàn)方程.

【詳解】由題意焦點(diǎn)在y軸正半軸，2P=4,P=2,所以準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-L

故選：C.

2.數(shù)列1,…的通項(xiàng)公式可能是（

32

〃22n-l

D.an

【答案】A

【解析】

【分析】代入即可結(jié)合選項(xiàng)逐一排除.

【詳解】當(dāng)〃=2時(shí)，對(duì)于B中出==—^―,

2'+153

*Q<2x3—155

當(dāng)〃=3時(shí)，對(duì)于C中生==一=-^-，對(duì)于D中生=—^—=-7^-,

32x3-1523-92

四個(gè)選項(xiàng)中只有=2*同時(shí)滿(mǎn)足4=1,%=3，?3=1

〃+132

故選：A

3.己知直線(xiàn)4：mx+y+l=O,l2：3x+（m+2）y+3m=0,若/J4，則根的值為（）

A.1B.—3C.1或一3D.—1或3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線(xiàn)平行得到方程，求出加=-3或1,檢驗(yàn)后得到答案.

【詳解】由題意得加（加+2）—3=0,解得根=一3或1,

當(dāng)〃?=一3時(shí)，直線(xiàn)4：一3無(wú)+y+l=0,/2：3x—y—9=0,兩直線(xiàn)平行，滿(mǎn)足要求.

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，直線(xiàn)4：x+y+l=0,l2：x+y+l=0,兩直線(xiàn)重合，舍去，

故選：B

4.已知兩條直線(xiàn)機(jī)，n,兩個(gè)平面a,夕，則下列命題正確的是（）

A.若《7〃〃且"ua,則根//（/

B.若〃?//tz且〃ua,則mUn

C.若加_La且"ua,則mJ_〃

D若a_L,且根ua,則zn_L〃

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行，線(xiàn)面垂直，面面垂直的判定和性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,若"ua,則加//&或根ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若mlla,"ua,則加〃〃或機(jī)與〃異面，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知C正確；

對(duì)于D,若。，分，根ua,則加可能在夕內(nèi)，可能與夕平行，可能與夕相交，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.已知點(diǎn)P（T,2）和圓Q：（尤―4）2+（y—2）2=16,則以PQ為直徑的圓與圓Q的公共弦長(zhǎng)是（）

A.275B.273C.475D.473

【答案】D

【解析】

【分析】由題可得以尸0為直徑的圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線(xiàn)方程，后由弦長(zhǎng)公式可得答

案.

【詳解】由題可得。（4,2）,則以PQ為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（0,2）,半徑為4,

則P。為直徑的圓的方程為：丁+（丁—2）2=16.將兩圓方程相減可得公共弦方程為：x=2.

則圓。圓心到公共弦方程距離為2,又圓。半徑為4,則公共弦長(zhǎng)為：2716-4=46

故選：D

6,江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線(xiàn)形的石拱橋（如圖），拱頂離水面10米，水面寬AB=20j?米，

若水面上升5米，則水面寬為（）

A.10板米B.15&米C.12有米D.30米

【答案】D

【解析】

22

【分析】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為當(dāng)-?=l（a〉0,y<0）,如圖建立直角坐標(biāo)系，水面上升5米后，設(shè)水面寬為

CD,設(shè)。（尤,-a-5）.由題可得網(wǎng)10君,-"10）,代入方程可得。，后可得x,即可得答案.

22

【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)方程為斗-?=l（a〉0,y<0）,如圖建立直角坐標(biāo)系.

水面上升5米后，設(shè)水面寬為C。，設(shè)。（%,-。一5）,其中x>0.

又由題可得q,-a-10）,代入雙曲線(xiàn)方程可得：

（"1°）絲=ln（a+10）2—500="=。=20,則。（乂-25）.

A。S2

將。點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程可得：吧—工=lnx=15,則。（15,—25）.

又由對(duì)稱(chēng)性可得C（-15,-25）,則水面上升5米，則水面寬為30米.

故選：D

7.在正三棱臺(tái)ABC-A51G中，|44|=|相|=JA@=3,45cA5]=。，則異面直線(xiàn)OC與g所

成角的余弦值是（）

A.1B.立C.BD.2

3333

【答案】B

【解析】

【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求異面直線(xiàn)所成角.

【詳解】取A3中點(diǎn)。一取4耳中點(diǎn)Q,連接。在QQ上，且舊勾=乎,

因?yàn)樵谡馀_(tái)ABC-43cl中，所以QC，A3,QC,1A,%

又=|A^|=5|'|=3,I。。=3A/3,|QC1I=>

在梯形OCGQ中，過(guò)點(diǎn)G作GR，。。，垂足為R,過(guò)點(diǎn)Q作QS，O|C,垂足為s,

Iori\ooS\oj\

過(guò)點(diǎn)。作OTLQC,垂足為T(mén),所以。T//QS,則==3昌，

01必必3|

設(shè)CM=/7,國(guó)。|=x,在Rt..GRC和RtQSO］中,

|81『_陷2=空『=磔「二四2ToM2,即32——

解得x=A/3，h=瓜,

OQAQ1

因moo與相似,所以\局[=曲I=I于

即|OT|=||QS|=半,|。力=||。網(wǎng)=g，

如圖，分別以所在直線(xiàn)為x軸，y軸，過(guò)。月.垂直于平面ABC的直線(xiàn)為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，A3cAg=O,

/

所以3（3,0,0）,。（0,34,0）,6（0,26,"）,00,

3，

0Jo,一皚半］,

BQ=（-3,273,76）

\337

設(shè)異面直線(xiàn)0C與BG所成角為a,

rw7

2GxJ3J

則cos。縣

f64243

j9+12+6xT+V

故選：B.

8.如圖，是由一系列直角三角形拼接而成的幾何圖形，已知。A=44=44=3=4-14=1，記

2024]

o\,。人，…，的長(zhǎng)度構(gòu)成的數(shù)列為｛4｝,則X—的整數(shù)部分是（）

i=lai

A.87B.88C.89D.90

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列、放縮法、裂項(xiàng)求和法等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由題意知，。4=44=44=3=4-14=1，

且△。44,△。443，…，△04T4都是直角三角形，

所以6=1,且d=a,\+l,所以數(shù)列｛片｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

2024I11J

所以屋=1+（〃—==j++-7==>

i=i%1V2，2024

=2,2024-1<2,2025-1=89，

=2-2025—2=88,

即88<—I—產(chǎn)+H—，<89,

1V2V2024

所以所求整數(shù)部分都是88.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定義法：若〃向-%=常數(shù)，則｛aj是等差數(shù)列；等差

中項(xiàng)法：若2a“+i=4+a“+2,則｛%｝是等差數(shù)列.數(shù)列求和的方法可以考慮等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式，也

即公式法，也可以考慮利用裂項(xiàng)求和法.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)和不選的得0分.

9.已知向量a=(—1,2,0),Z?=(-2,4,0),則下列正確的是()

A-allbaLb

c.W=2口D.a在6方向上的投影向量為(—1,2,0)

【答案】ACD

【解析】

【分析】ABC選項(xiàng)，根據(jù)b=2a得到a//b且欠=2”，AC正確，B錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，利用投影向量的求解

公式得到答案.

【詳解】ABC選項(xiàng)，由題意得人=2a，故a//。且慟=2口，AC正確，B錯(cuò)誤；

a-bb(1,-2,0)-(-2,4,0)(-2,4,0),…、

D選項(xiàng)，。在6方向上的投影向量為=-4M6而落=('')'D正確?

故選：ACD

10.若正項(xiàng)數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比為q,其前w項(xiàng)和為S“，則下列正確的是()

A.數(shù)列是等比數(shù)列

B.數(shù)列｛lgaj是等差數(shù)列

C.若｛4｝是遞減數(shù)列，則0<q<l

D.若S“=3"T—乙則廠=1

【答案】ABC

【解析】

【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為外,則通項(xiàng)公式4利用等比、等差數(shù)列的定義可判定A、

B,由4+1—4<0,可求q的范圍，判斷C,由S，求出火,再由正項(xiàng)數(shù)列的條件，得r的范圍，判斷D.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為的,則通項(xiàng)公式4=qq"T,

11

1141a；q2〃1

12，所以

貝JE=1

a”O(jiān)jq)11q

/22(1)

an%q)

所以數(shù)列H是首項(xiàng)為11

,公比為方的等比數(shù)列，A正確;

[an\q

則lg%=(77-l)lg^+lgo1,

所以數(shù)列｛lg4｝是以Igq為首項(xiàng)，以lg夕為公差的等差數(shù)列，故B正確;

若｛4｝是遞減數(shù)列，則an+1-an=anq-an=a?((/-l)<0,

因?yàn)??！ā?,則q〉0,則0<q<l,C正確;

若S“=3"T—廠，貝U%=S]=1—廠〉0,則廠<1,D錯(cuò)誤.

故選：ABC

11.如圖所示，拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R過(guò)焦點(diǎn)廠的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)

A,8作準(zhǔn)線(xiàn)/的垂線(xiàn)，垂足分別為A，B],則()

A.A,8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為常數(shù)

B.在直線(xiàn)/上存在點(diǎn)P,使NAPfi>90°

C.A,0,4三點(diǎn)共線(xiàn)

D.在直線(xiàn)/上存在點(diǎn)P,使得△回的重心在拋物線(xiàn)上

【答案】CD

【解析】

【分析】對(duì)于A：設(shè)出直線(xiàn)方程，與拋物線(xiàn)聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理來(lái)判斷；對(duì)于B：通過(guò)計(jì)算PA.P3的正負(fù)

來(lái)判斷；對(duì)于C：通過(guò)計(jì)算左OA，后烏是否相等來(lái)判斷；對(duì)于D：求出重心，代入拋物線(xiàn)方程，看方程是否有

解來(lái)判斷.

【詳解】對(duì)于A：設(shè)直線(xiàn)AB的方程為大=0+微，，

P

x=ty—c)

聯(lián)立《-2,消去X得20?—/=0,

y2=2px

所以％+%=2pr,不常數(shù)，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：設(shè)尸—多相2

，%+%=2pr，y1y2=~P,

則P4PB=卜+多%—加(%-〃。(%-加)

則NAP3<90，故在直線(xiàn)/上不存在點(diǎn)P,使NAPB>90°,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：由題可得％必A=2=—生

=5k°B，_PP，

2

孫+2%,+券

則“另，2%_。%+2玉%

^OA~“Bi---1----=----------

芯ppx1PXi

0(,+32)+2切乂_2P%-2P「0

PXiP\

所以自4=月4,即AO,用三點(diǎn)共線(xiàn)，C正確;

對(duì)于D：設(shè)

又石+%2=《必+%)+0=2P產(chǎn)+0，

/

P、

X+x---

12?2%+%+—

則△4P6的重心坐標(biāo)為

33

2"+々2pt+m

22pt2+-

即,代入拋物線(xiàn)方程得［2。+加?=2P-；

33

)

整理得m2+4ptm-8p2t2-3/?2=0,

A=16p，2+4(8p2r+3p2)=48p2r+12/>g,

所以在直線(xiàn)/上存在點(diǎn)P,使得△削的重心在拋物線(xiàn)上，D正確.

故選：CD

12.在正三棱錐S—ABC中，S4,S5SC兩兩垂直，AB=2,點(diǎn)/是側(cè)棱SC的中點(diǎn)，AC在平面1

內(nèi)，記直線(xiàn)與平面戊所成角為9,則當(dāng)該三棱錐繞AC旋轉(zhuǎn)時(shí)。的取值可能是（）

A.53°B.600C.75°D.89°

【答案】AB

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線(xiàn)與平面e所成角的正弦，求其范圍，然后比較角的

大小即可.

【詳解】因?yàn)镾AS3,SC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系:

則A（"0,0）,3（0,衣0）,C（0,0,@，M0,0,

則=

設(shè)面a的法向量為〃=(%,y,z),

則a?AC=—岳+任=0，?。?1可得〃

所以sin6=

1

^Ay--=t

233

所以sin'"7r"運(yùn)"碗

又sin60。=走<-1=,

2V10

則當(dāng)該三棱錐繞AC旋轉(zhuǎn)時(shí)e的取值可能是AB.

故選：AB.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于線(xiàn)面角，可通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系將其表示出,

然后求其范圍.

非選擇題部分

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.經(jīng)過(guò)4(0,2),3(—1,0)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方向向量為(1,左)，則左=.

【答案】2

【解析】

【分析】方向向量與班平行，由此可得.

【詳解】由已知24=(1,2),。㈤是直線(xiàn)A3的方向向量，則左=2,

故答案為：2.

14.己知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，q=63,公比q=g,若7；是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積，當(dāng)北取最大值時(shí),

【答案】6

【解析】

421

【分析】先求出｛4｝的通項(xiàng)公式，當(dāng)＜時(shí)，其前“項(xiàng)積(最大，得解.

,且〉

Tn=ax-?2Lana“0,

421

時(shí)，北最大，即《解得n=6.

故答案為：6.

15.已知某圓錐底面直徑與母線(xiàn)長(zhǎng)之比為6:5,其內(nèi)切球半徑為1,則此圓錐的體積等于.

.._3232兀

【rA答案】-71##——

99

【解析】

【分析】畫(huà)出圓錐的軸截面后進(jìn)行分析，注意利用三角形面積公式與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系

S=^a+b+c）r,然后利用圓錐體積公式即得.

【詳解】圓錐軸截面如圖所示：

設(shè)該圓錐的底面直徑為6x,則底面半徑為3x.

因?yàn)榈酌嬷睆脚c母線(xiàn)長(zhǎng)之比為6:5,所以母線(xiàn)長(zhǎng)5x,

所以該圓錐的高丸=J（5x）2—（3x）2=4％,

因?yàn)閮?nèi)切球的半徑為1，

根據(jù)面積相等，可得圓錐軸截面的面積為gx6xx4x=；（5x+5x+6x）＞＜l,

解得x=2，

3

Q

所以圓錐的底面半徑為2,高為一，

3

-IIQ

所以此圓錐的體積V=—S/z=—71X22x9=U.

3339

32

故答案為：—兀.

9

16.已知雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±x,兩頂點(diǎn)為A,B,雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)P滿(mǎn)足|P4|=3|P到，貝u

tanZAPB=.

41

【答案】一##1；

33

【解析】

【分析】先設(shè)P（x,y）,根據(jù)|/科=3戶(hù)同列出方程，得到Y(jié)-g奴+3?+/=0,聯(lián)立橢圓方程得到

P\^a,+^a],作出輔助線(xiàn)，得至UtanNAPD=3,tanZBPD=~,利用正切的差角公式求出答案.

144J3

【詳解】不妨設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為Y—丁=。2（。＞0）,A,8為左右頂點(diǎn).

設(shè)？（九》）,因?yàn)闅w川=3|尸耳，所以（x+a）2+y2=9（x_a）2+9y2,化簡(jiǎn)得：

冗2——ax+y2+(2=0,

「2225

x-y=ax=-a

4,所以p［；Q,士"|a

5解得J

犬2——CIX+,2+/—Q

y-±—a

14

3

不妨設(shè)P在第一象限，作PDLx軸于。，則|尸。|=^。，

lBDl=T-a=7,\AD\=\AB\+\BD\=(^a'

區(qū)a

AD\4BD\J1

故tanNAP￡>=―-至-tanZBPD=——=^-=-

PD\PD\3tz3

4

T

tan/APD-tan/BPD4

tanZAPB=tan(ZAPD-NBPD)=

1+tanZAPD?tan/BPD1+3X13

3

4

故答案為：一

3

四、解答題：共6大題，共70分，其中第17題10分，第18題~第22題每題12分，解答應(yīng)

寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為$7=49,%=9.

⑴求5.；

(2)若邑、Sn-Ss＞其成等比數(shù)列，求)的值.

2

【答案】(1)Sn=n

(2)k=l9

【解析】

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為4,公差為乙依題意得到方程組，解得外、d,即可求出通項(xiàng)公式與

%

(2)由(1)可得/、，1-1、S&的值，再根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出左.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為為,公差為d,

_八S-j=7a、~\-----d=49

由87=49,%=9,所以《712,

4=%+4d—9

解得["=：，所以?！?2”-1,則3=也土也』=".

&=12

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知S3=3?=9,S]]-Sg=57,Sk=k',

又名、Su—項(xiàng)、，成等比數(shù)列，所以（S“—S8）2=S3-S/

即572=9xk2,解得左=19或左=—19（舍去），

=19.

18.已知圓C的圓心在直線(xiàn)y=2x+5上，且過(guò)4（—2,4）,3（2,6）兩點(diǎn).

（1）求圓C的方程；

（2）已知/：（7/Z+1）x+（3m-1）y-5（m+1）=0,若直線(xiàn)/與圓C相切，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【答案】（1）X2+（J-5）2=5（或/+/一ioy+2o=o）

3-

（2）加=§或冽=3

【解析】

【分析】⑴方法一：設(shè)出圓心（。,。），根據(jù)|C4|=|CB|和圓心在直線(xiàn)y=2x+5上得到方程組，求出。=0,

b=5,得到圓心和半徑，得到答案；

方法二：求出的中垂線(xiàn)方程，聯(lián)立y=2x+5得到圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得到半徑，得到圓的方程；

（2）利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑得到方程，求出實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【小問(wèn)1詳解】

方法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（。3），則力=2a+5,

又|C4|=|CB|,則J（a+2y+g4『="」一2）2+（6—6）2,即2^+匕—5=0，

解得a=0,b=5,所以圓C的半徑r=|AC|=若，

所以圓C的方程是/+（丁—5『=5（或x2+/_i0y+20=0）.

方法二：A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0,5）,&?=；，則A3的中垂線(xiàn)方程為丁=—2%+5.

y=2x+5[x=0/、

則__2X+5,解得T—5,所以圓心C的坐標(biāo)為（°，5），

所以圓c的半徑r=|AC|=百，

所以圓C的方程是d+(y—5『=5(或/+/_10丁+20=0).

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)圓心C到直線(xiàn)的距離為d,

|5(3/7?-1)-(5+5/71)1|10m-10|

由題意可得d=

{(1+m)2+(3加—1)~y/lOm"—4m+2

3

平方整理后可得5根2—18%+9=0，解得機(jī)=1或機(jī)=3.

19.如圖，已知斜三棱柱A3C-4與G，底面一ABC是正三角形，A4=A3=2,ZA.AB=ZA.AC,

點(diǎn)N是棱片G的中點(diǎn)，AN=屈.

(1)求證：BCLAA,.

（2）求平面AAN與平面ANB的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵B

4

【解析】

【分析】（1）取的中點(diǎn)M，連接A",\B,AC,A"，即可證明1BC,從而

得到平面相〃，即可得證；

（2）解法一：連接肱V,AN,利用余弦定理求出/AW,在平面NMA4中，過(guò)點(diǎn)M作“

交AN于點(diǎn)。，則Q揚(yáng)LAM,從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；解法二：連接

MN,利用余弦定理求出/AAW,作MRLAN于尸，連接正，即可得到為二面角

3-AN-M的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.

【小問(wèn)1詳解】

取的中點(diǎn)連接AM,AB,AC,A"，

，?,二棱柱ABC-A[B'C]中，AB=BC—CA>***AM_LBC,

又：NAAB=NAAC,△4AB烏△AAC,A]B=AC,...AM_LBC,

又4"AM=M,AM,AMu平面441M,平面的加，

又胡u平面A41M,/.BC

【小問(wèn)2詳解】

方法一：連接收V,AN,在一AAW中，AN=屈，AM=6MN=2,

所以cosNAMN=AM"+MN"-AN。=_立，則/，加亞=150°,

2AM-MN2

顯然MN//BB｝且MN=BB],BBJ/AA,且,

所以MN"44且MN=A4,所以四邊形MWA4為平行四邊形，則MA〃NA「

在平面MWA4中，過(guò)點(diǎn)M作加AN交AN于點(diǎn)￡>,則則N7VMD=60°,所以

DM=ACVsin30°=l,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(、行,0,0),5(0,1,0),^(-73,0,1),

所以朋=(6,—1,0),AN=、2括,0,1),

,、n-BA=A/3X-y=0

設(shè)平面ABN的法向量為〃=(x,y,z),貝"「,

n-AN=-2y/3x+z=0

取〃=(1,62@,

z、..l^-mlJ3

又平面A&N的一個(gè)法向量m二(0,1,0)，,cosn,m==—,

4

所以平面AXAN與平面ANB的夾角的余弦值為昱.

4

方法二：顯然MN//BB,且MN=BBrBBJIAA,且5用=A4,

所以陽(yáng)〃44且阿=A4],所以四邊形凡跖44為平行四邊形,

連接aW,在，AAW中，AN=岳，AM=6，MN=2,

AM2+MN--AN2J3

即cosNAMN=——二3,即ZAMN=150°.

2AM-MN2

作MV,AN于尸，連接g/L

因?yàn)槠矫鍭MN,ANu平面AAW,所以AN_L6C,

又BCMF=M,3C,MFu平面?1屈

所以AN,平面5Fu平面3兒加，所以ANLBF,

所以NM0為二面角B-AN-M的平面角.

在AAW中，-|/UV||W|=-|AM||M7V|sinl5O°,解得RM=叵.

2213

則BF=\JBM2+MF"=—p=,所以cosZBFM=0@-

V13BF4

所以平面AAN與平面ANB的夾角的余弦值為之.

4

20.已知點(diǎn)/為拋物線(xiàn)C：/=2加（0<0<1）的焦點(diǎn)，點(diǎn)4（天』）在拋物線(xiàn)c上，且|A司=：.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）若直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)AM,AN的斜率分別為6，k「且匕%？=一:，求

證：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn).

【答案】（1）/=x

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義與點(diǎn)4（/，1）在拋物線(xiàn)。上列式求解即可；

（2）方法一：分直線(xiàn)斜率存在于不存在兩種情況，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，得出韋達(dá)定理，進(jìn)而表達(dá)匕

再化簡(jiǎn)即可；

方法二：設(shè)N?"），代入匕"=—g化簡(jiǎn)，結(jié)合直線(xiàn)/的方程為>-1=片+卜一；）即可?

【小問(wèn)1詳解】

JQ_|_p1—_5_P=2

由題意得：P24解得『一5或11（舍去）,

2px0=1X。=1

所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為/=x.

【小問(wèn)2詳解】

方法一：①當(dāng)直線(xiàn)/斜率存時(shí),

設(shè)直線(xiàn)/：y=kx+m(k^O),N(x2,y2),

丫2=%

則,消去X,整理得。2—y+加=(),

y=kx+m

m

則A=l-4初7>0,X+%=一，=7，

kk

—LL%TV2T1_____=_________1__________k

"IJ，V1苞T々T(%+1)(%+1)%%+(%+%)+1—根+左+1一~i'

整理得加+3左+1=0,所以機(jī)=—1—3左，

所以直線(xiàn)/：y=kx-l-3k=k(x-3)-l,所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(3,—1).

②當(dāng)直線(xiàn)/斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)/：x=m(m>0,m^l),

則而)，N(m,-而、,則心鼠=血匚.字二1=旦=—L得m=3,

所以直線(xiàn)/：x=3,則點(diǎn)(3,—1)直線(xiàn)/上.

綜上：直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(3,-1).

方法二:設(shè)N?"),

jj4—112—111

貝Uk['k?―~~z*-z=7c-7,

%—1：—1(4+1)(,2+1)2

則“2=—3—(t+幻,直線(xiàn)/的方程為y=搟潦(x—月,

....1草2」一%+

貝Iy=--------x+-LJ-一3一&+幻3)-1，

t2+t[t]It2t2+It2

所以直線(xiàn)/過(guò)定點(diǎn)(3,-1).

=pa“+(_lY(〃eN)

21.己知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=2,“"+—1

an

(1)若2=0,求數(shù)列｛3"q｝的前〃項(xiàng)和S“；

(2)若0=1,設(shè)數(shù)列|工［的前幾項(xiàng)和為7“，求證：-<Tn<l.

MJ2

【答案】(1)"=—生口-3"+1

44

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)由數(shù)列｛4,｝遞推公式可得其通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛3"-4｝的前”項(xiàng)和；

/、111

(2)若。=1,可得%+1—1=%(%—1),從而一=——-------利用裂項(xiàng)相消法推導(dǎo)出前〃項(xiàng)和

'744—1%-1

為T(mén)”，再由7“的單調(diào)性可證明不等式成立.

【小問(wèn)1詳解】

(2—1

當(dāng)p=o時(shí)，則3一=1,得4+1-1=4,所以。用一4=1,

an

所以數(shù)列｛%｝是以q=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.

所以4=2+(〃-1)x1=〃+1,則+

所以=2x3+3x32+4x33++(?+1)-3",

234+1

3Sn=2x3+3X3+4X3++(zz+l)-3",

234,,+1

兩式相減得—2sl=6+3+3+3++3"-(?+1)-3

”…「32n+1.?,1

+所以S”=_/+:—，3?

1-3

【小問(wèn)2詳解】

a—1

當(dāng)夕=1時(shí)，由q—=可一1,得a“+i=a；_%+l,

an

所以4+i-4=a；-2%+1=(a,,—：!)?>0,

所以數(shù)列｛%,｝單調(diào)遞增，因?yàn)椋?2,所以422,

(J—]

又由」^=%T,可得%+「1=%(q—1),

Un

1111111

所以----------,即一=-------------

7=~T~a

4Tna,an-lan+1-l

貝以=工+'+111、’1111

+——二+++

anq—1%—1,%+i01Ta?+i-1

所以。=1——二，易知>——二（為遞增數(shù)列，且g=3，

a"1

11,11

所以7=1-----7<1------7<1,即：-<T?<1.

2?2-1%T2

【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常用方法：

（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；

（2）對(duì)于也2｝型數(shù)列，其中｛4,｝是等差數(shù)列，｛〃｝是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；

（3）對(duì)于｛4+々｝型數(shù)列，利用分組求和法；

（4）對(duì)于型數(shù)列，其中｛4｝是公差為d（dH。）的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.

〔44+1J

萬(wàn)2222

22.已知離心率為的雙曲線(xiàn)C|：T—2T=1.〉0/〉0）過(guò)橢圓。2：土+乙=1的左，右頂點(diǎn)A,

2ab3

B.

（1）求雙曲線(xiàn)Ci的方程；

（2）P（xo，yo乂尤o>°，yo>O）是雙曲線(xiàn)C1上一點(diǎn)，直線(xiàn)AP，3尸與橢圓。2分別交于。，E,設(shè)直線(xiàn)DE

與x軸交于Q（x0,O）,且仆=萬(wàn)/0<%<g,記△5。尸與△相￡）的外接圓的面積分別為3，邑，

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的基本量求解即可；

⑵方法一：設(shè)直線(xiàn)AP：y=」5（x+2）,￡）（4%）,聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，結(jié)合在

44

雙曲線(xiàn)上，化簡(jiǎn)可得看=一，同理％=一,代入演=力天化簡(jiǎn)，結(jié)合雙曲線(xiàn)方程可得

工0%0~

序

pf2,再根據(jù)正弦定理，結(jié)合sinNBDP=sin/ADfi代入化簡(jiǎn)可得

L再根據(jù)0＜丸(工求解范圍即可;

—2

方法二：設(shè)直線(xiàn)x^ty+m,%E(x2,y2),聯(lián)立方程得出韋達(dá)定理，再根據(jù)尸，A,。三點(diǎn)

2—inx—22

共線(xiàn)，p,B,E三點(diǎn)共線(xiàn)，列式化簡(jiǎn)可得三丁丁，進(jìn)而可得結(jié)合雙曲線(xiàn)方程可得

Df213-322、

,再根據(jù)正弦定理，結(jié)合sin/BDP=sin/ADfi代入化簡(jiǎn)可得

再根據(jù)0＜2〈工求解范圍即可.

2

【小問(wèn)1詳解】

a2

由題意得：＜C?=/+〃，解得6=退,

Q=2

22

所以雙曲線(xiàn)G的方程為土-乙=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

方法一：設(shè)直線(xiàn)AP：y=^^(x+2),。(石,乂)，

川卜=]^(x+2)消件L4尤]2劣16y：16y；

3%2+4/=12L(%+2)」(%+2)(%+2)

殂016y-12(%+2)2

得:---仁---，，

3(%+2)+4需

22

又因?yàn)椋?％,%)在雙曲線(xiàn)上，滿(mǎn)足?=1,即4y；=3x；—12,

二8/-6(%+2『6年-24-6(%+2『-24函+2)=-4=±

玉一3(%+2)，4解-3(Xo+2『+3x；—12—6x0(Xo+2)-%'1%

//八/、44

同理設(shè)直線(xiàn)BP：y=—2），區(qū)（々，%），可得%;一，所以為=一.

%-2XQ