上海市2023-2024學(xué)年高二年級下冊3月月考數(shù)學(xué)試卷

上海市中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知集合4=卜|三:40卜集合3=｛—2,—1,0,1,2｝,則A=.

2.已知cos]]+ej=-5,貝[Jcos29=.

3.函數(shù)/（x）=x1n2x的導(dǎo)函數(shù)/'（力=.

4.已知直線4:x+y+l=0和4：2x+my+l=0,若〃4，貝1」機(jī)=.

+00

5.已知｛4｝為無窮等比數(shù)列，出=3,±6=-4,則｛%｝的公比為.

Z=1

6.6知向量2、%滿足同=5,W=4,a與b的夾角為120,若（fav-26）_L（a+6）,

貝|]左=.

7.已知事件A與事件B互斥，如果P（A）=0.3,P（3）=0.5,那么尸.

3兀

8.在，ABC中，其內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,若2=一,b=6,

4

a2+c2=2y/2ac，則ABC的面積為.

9.若連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別是加，"，則點P（九〃）在直線尤+y=8上的概率

是.

22

10.已知分別是雙曲線C卞-方=l（a>0,6>0）的左、右焦點，過點F?且垂直x軸的

直線與C交于A3兩點，且tan/A耳耳=當(dāng)，若圓原-2y+^=4與C的一條漸近線

交于兩點，則|MN卜.

11.已知圓C:（尤-4『+/=5,點P在拋物線T：y=4x上運動，過點尸引圓C的切線，

切點分別為A,B,貝的取值范圍為.

12.棱長為10cm的密閉正四面體容器內(nèi)裝有體積為18j5cm3的水，翻轉(zhuǎn)容器，使得水

面至少與2條棱平行，且水面是三角形，不考慮容器厚度及其它因素影響，則水面面積

的最小值為cm2.

二、單選題

13.已知復(fù)數(shù)z滿足zi+l=復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為N,則5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

14.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，d6是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一

定能推出的是()

A.a//￡,且"uaB.mlln,且相_L￡

C.m±n,且機(jī)upD.m±n,且

15.己知函數(shù)y=/(x)與它的導(dǎo)函數(shù)y=r(x)的定義域均為R,現(xiàn)有下述兩個命題：

①“，=/(%)為嚴(yán)格增函數(shù)”是“y=/'(%)為嚴(yán)格增函數(shù)”的必要非充分條件.

②"、=/(%)為奇函數(shù)”是“y=/'(》)為偶函數(shù)”的充分非必要條件；

則說法正確的選項是()

A.命題①和②均為真命題B.命題①為真命題，命題②為假命題

C.命題①為假命題，命題②為真命題D.命題①和②均為假命題

16.設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，若對任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)加，使得S"=,，

下列正確的命題是()

①｛%｝可能為等差數(shù)列；

②｛%｝可能為等比數(shù)列；

③生(92)均能寫成｛%｝的兩項之差；

④對任意〃eN,”21,總存在他eN,21,使得an=Sm.

A.①③B.①④C.②③D.②④

三、解答題

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知上4,底面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB.

試卷第2頁，共4頁

p

（1）求證：直線BO工平面PAC；

（2）求直線PC與平面PBD所成的角的大小.

18.己知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛%｝滿足q=1,2/9-1，%+1成等比數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項公式;

⑵若…分別是等比數(shù)列也｝的第1項和第2項，求使數(shù)列二的前〃項和北〈罷的

b?300

最大正整數(shù)

19.圖①是高橋中學(xué)的校門，它由上部屋頂，和下部兩根立柱組成，如圖②，屋頂由四

坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面的石和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面及LD

和b3c是全等的三角形.點F在平面ABCD和BC上的射影分別為H、M,已知=2m,

BC=2m,梯形相莊的面積是.FBC面積的4倍，設(shè)

（1）求屋頂面積S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為％（左為正的常數(shù)），下部兩根立

柱的總造價與其單根的高度成正比，比例系數(shù)為崩，假設(shè)校門的總高度為3m,試問,

當(dāng)。為何值時，校門的總造價（上部屋頂和下部兩根立柱）最低？

1-2

20.已知橢圓C:產(chǎn)+/=1?>1）的左、右焦點分別為耳F2,直線/:>=尿+根（機(jī)工0）與

橢圓C交于M、N兩點，（點M在點N的上方），與y軸交于點E

⑴當(dāng)f=2時，點A為橢圓C上除頂點外任一點，求△4K鳥的周長；

⑵當(dāng)f=3且直線/過點。（一1,0）時，l^EM=ADM,EN=^iDN,求證：幾+〃為定值,

并求出該值;

(3)若橢圓C離心率為立，當(dāng)％為何值時，|OM『+|ON|2恒為定值，并求此時三角形

2

面積的最大值.

21.已知/(x)=x+alnx-1,其中acR.

⑴若曲線y=〃x)在點(2,/(2))處的切線與直線x+2y+3=0垂直，求。的值；

⑵設(shè)g(x)=〃x)+：,函數(shù)y=g(x)在x=M時取到最小值g(xo),求。關(guān)于％的表達(dá)

式，并求g(x0)的最大值；

(3)當(dāng)<2=-1時，設(shè)T(x)=〃x)+2石-X,數(shù)列滿足q且

%+1=T(%)，證明：4+1+4+3>2a什2(?eN,n>l).

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.{051}

【分析】

解分式不等式化簡集合A,再利用集合的交集運算即可得解.

【詳解】

,[\2x-3<o|=1x-1<X<-1

因為

又2={-2,-1,0,1,2},所以A3={0,1}.

故答案為：{0,1}.

2.--

2

【分析】

利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求得正確答案.

【詳解】：已知cos[至+e]=-sine=-^,sine=3,

<2)22

31

貝ljcos28=1-2sin28=1-2x—二——,

42

故答案為：-萬

3.In2x+1

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的四則運算，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)即可得解.

【詳解】

因為/(%)=%?In2%,

2

所以—(%)=In2x+x--=ln2x+l.

故答案為：ln2x+l.

4.2

【分析】根據(jù)兩直線平行，則兩直線斜率相等，得到-上=7,解出即可.

m

【詳解】直線4：x+y+i=o的斜率為-1,"4，

答案第1頁，共17頁

7

I.直線12：2%+沖+1=。的斜率—=一1,即m=2,

m

經(jīng)檢驗，m=2滿足題意.

故答案為：2.

5.—/—0.5

2

【分析】

由題意知，再利用無窮等比數(shù)列和的公式求解即可.

+8Z7

【詳解】因為無窮等比數(shù)列{4},貝||夕|<1,「=一4,

M1-9

「。23

又％=—=一,

Qq

313

所以^一-=-4,解得"-彳或”9（舍）.

（1-W22

故答案為：-;.

4

6.—/0.8

5

【分析】

運用平面向量數(shù)量積公式計算即可.

【詳解】因為忖=5,忖=4,.與人的夾角為120,

所以〃WWcosl20=5x4x]—；[=—10.

因為（左〃一2b）_L（a+Z?）,

所以（左a—2〃）?（a+〃）=左2『+（左一2）〃力二25左一2x16—10（左一2）=15左一12=0,

4

解得左=亍

、4

故答案為：—.

7.0.2/-

5

【分析】

根據(jù)互斥事件與對立事件的概率公式計算.

【詳解】由題意尸(AB)=l-P(AiB)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.3+0.5)=0.2.

故答案為：02

8.3

答案第2頁，共17頁

【分析】根據(jù)2=亍，b=6,a2+c2=2y/2ac，利用余弦定理求得改=6忘，再利用三角

形面積公式求解.

37r

【詳解】解：在ABC中，B=—,b=6,a2+c2=2y/2ac，

由余弦定理得：b1=a2+c2-2accosB,

=2-/2ac—laccos—=3y/2ac,

4

解得ac=6\/2>

所以SABC=gacsinB=Jx6應(yīng)x=3,

故答案為：3

9.A

36

【分析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解.

【詳解】

連續(xù)拋兩次骰子得到的點數(shù)分別是加，”，

基本事件(m,n)總數(shù)為6x6=36,

其中點P(孫〃)在直線x+y=8上包含的基本事件有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共

5個，

則點Pg,")在直線尤+y=8上的概率是「=工

36

故答案為：-

36

10.逑、

55

【分析】

由題意可求出雙曲線漸近線，利用直線與圓相交的弦長公式即可求.

答案第3頁，共17頁

巴=旦上=咨

2C2ac5

解得￡=正，所以2=2,

aa

所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2x,

由雙曲線的對稱性，不妨取y=2x,

又（x-2）2+V=4的圓心為（2,0）,半徑為廠=2,

4

所以圓心（2,0）到直線的距離為1=次,

所以弦長=2介一/=2^4-y=?

故答案為：孚

11.警,2小

3>

【分析】

設(shè)尸（七,%）,將表示為只含%的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得|AB|的取值范圍.

【詳解】依題意，圓C:（尤-4）。丁=5的圓心為C（4,0）,半徑廠=6,

拋物線T：/=4x的焦點為歹（1,0）,畫出圓和拋物線的圖象如下圖所示,

設(shè)尸（飛，%），則北=4%,

附小一盯+北,切線長|尸山=|尸「=J|PC:一產(chǎn)=J5一q+y；一5,

答案第4頁，共17頁

ADAC..|PA|xr

由RtZXADCRtZVMC得不-二&T，則叫=

PA|PC|'

21PAixr

PC垂直平分弦AB,則網(wǎng)=2叫=」

-

..2\/5-J(xQ4)-+Vg-5i-I5

即48=——‘°'"—=2布?1------二——=2A/5.

J(x0-4『+y；VU-4)+北

又加NO,貝M%—2)2+12^12，即。＜(尤_2)2+124石,

則:41一1一;)2+12”'則牛

即半。行［＜26

所以g目的取值范圍是萼~,2下.

故答案為：半,2百

【點睛】求解直線和圓相切有關(guān)問題，可以考慮圓的幾何性質(zhì)來進(jìn)行求解，如本題中，PA,PB

是切線，則連心線尸C垂直平分AB,△P4CAPBC是直角三角形等等.要求弦長的取值范圍，

可先求得弦長的表達(dá)式，然后根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，考慮二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式的知識

求得求得最值.

12.96

【分析】

首先分水面平行于一組對棱和水面平行于正四面體的一個面兩種情況，舍去前一種情況，結(jié)

答案第5頁，共17頁

合正四面體幾何特征求出其體積，根據(jù)相似關(guān)系得到棱長比，進(jìn)而求出面積即可.

【詳解】若水面至少與2條棱平行，且這兩條棱不共面，即兩條棱為對棱時，

如圖所示，若水面平行與AS,3C,不妨取特殊情況討論，

記AB,AC,SB,SC中點分別為N,M,P,Q,

蛆PQIIBCIIMN,PQ=；BC=MN,則四邊形跖VP0為平行四邊形，

即水面形狀為平行四邊形，不符合題意；

則水面至少平行的2條棱相交共面，不妨設(shè)水面為QEF,

下求正四面體體積，

如圖所示，即A2中點為G,連接CG,設(shè)SO平面ABC,則。是CG三等分點,

因為正四面體棱長為io,所以O(shè)C=2CG=2X5G=3亙，

333

S*=3X10X56=256,

則so=yjsc2-oc2=I100--=坦也,

V33

麗、"_1cs」10#2500

所以匕.ABC=1SO=]x25j3x——=---，

如下圖所示，正四面體容器倒放時，棱錐S-O跖部分為水體部分,

答案第6頁，共17頁

AC

B

設(shè)SD=SE=SF=a,

則^^=鼻，則/=180=2500*1000=216,貝!Ja=6,

VS-ABC1°3

|xS板=225a9G

所以水面面積SDEF

如下圖所示，正四面體容器正放時，棱臺ABC-DEF部分為水體部分,

設(shè)SD=SE=SF=b,

則匕節(jié)-"則〃=784>216,水面面積更大，不符合.

^S-ABC1U

綜上，水面面積的最小值為9j§cm2.

故答案為：9石

【點睛】

方法點睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：

(1)定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；

(2)空間向量法，運用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解;

(3)轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.

13.C

【分析】

答案第7頁，共17頁

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算、共輾復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義判定選項即可.

【詳解】因為Zi+1=￡,所以?+法i)T=TT，

_2_lj13

所以一55_13所以"

i55

所以2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為位于第三象限.

故選:C.

14.B

【分析】根據(jù)線面與面面的位置關(guān)系逐一判斷即可

【詳解】對于A：all/3,且"ua,則〃〃力，故A錯誤；

對于B：一條直線垂直于平面，則與這條直線平行的直線也垂直于這個平面，易知B正確；

對于C：mLn,且則或〃///或〃與夕相交均有可能，故C錯誤；

對于D：mLn,且山//尸，則則〃u#或〃〃夕或“與夕相交均有可能，故D錯誤；

故選：B

15.C

【分析】

可舉例說明①中“y="X)為嚴(yán)格增函數(shù)”和“y=/'(x)為嚴(yán)格增函數(shù)”之間的邏輯關(guān)系，即可

判斷其真假；結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)以及y=/(x)為奇函數(shù)可判斷“y=/(x)為奇函數(shù)”和

“、=尸(可為偶函數(shù)”之間的邏輯關(guān)系，即可判斷②的真假，即得答案.

【詳解】對于①，不妨取=/為R上嚴(yán)格增函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)/'(x)=3f在R上不是單

調(diào)函數(shù)，

即“y="X)為嚴(yán)格增函數(shù)”推不出“y=f'(x)為嚴(yán)格增函數(shù)，”

取/("=f，其導(dǎo)函數(shù)/'(x)=2x為R上嚴(yán)格增函數(shù)，但/(x)=f不是單調(diào)函數(shù)，

故"y=尸(X)為嚴(yán)格增函數(shù)”推不出"y=/⑺為嚴(yán)格增函數(shù)”，

因此“y=f(x)為嚴(yán)格增函數(shù)”是“y=f\x)為嚴(yán)格增函數(shù)”的既不充分也不必要條件，

故①為假命題；

對于②，y=/(x)為奇函數(shù)，貝1J/(-%)=-/⑺，

答案第8頁，共17頁

故--（f）f（%）,BPr（-x）=r（x）,即y=/'（。為偶函數(shù);

當(dāng)y=f'（x）為偶函數(shù)時,不妨取了（耳=酒+1,其導(dǎo)函數(shù)尸（x）=3f為偶函數(shù)，

但“力=丁+1不是奇函數(shù)，

故“y=/（x）為奇函數(shù)”是“y=/'（X）為偶函數(shù)”的充分非必要條件，②為真命題，

故選：c

16.A

【分析】對于①，取4=77,可知①正確；對于②，當(dāng)｛4｝的公比4=1,心2時，

Sn=nax=namam.當(dāng)4*1時,Sn=am,而l+q+.+4"二=4二無有理數(shù)根,可知②錯誤；

對于③，根據(jù)%=S“-S“T（〃22）,可知③正確；對于④取數(shù)列4=〃，顯然不存在機(jī)，使

得%=%=2,故④不正確.

【詳解】對于①，取%=",則3=四/，顯然存在加=%］，使S.=（,所以①正

確，

對于②，若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為9,顯然4=1不滿足要求，

s

考慮qw1的情況，依題意有，n+i=a呵,S2n+2=a也，

即l+g+q2++q"=qm'?,l+q+q2++q2n+1=（1+q+q2++q"）Q+qB=q%②,

兩式相除，得到1+q用=q吩叫，

若0>1,則取〃為奇數(shù)，那么。陽>0,所以

所以l=q"飛一4日習(xí)一q“+i

當(dāng)“足夠大時，顯然不成立；

若@<1,則|產(chǎn)［；,+<?）,因為|同<1（后,

所以當(dāng)"足夠大時，可以使1+q向Q,故也不成立.從而知②錯誤，

Im）

對于選項③，取〃=2,則%+%=冊，所以

當(dāng)2時，%=S“—S〃T=〃仍一〃嗎，故③正確，

答案第9頁，共17頁

對于選項④，取數(shù)列%=〃，顯然不存在機(jī)，使得黑=%=2,故④錯誤,

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于第②選項，根據(jù)條件得到S用從而

得到1+4向=4也飛，再對q進(jìn)行討論，從而解決問題.

17.(1)證明見解析

小、

(2)arcsi.n—1

【分析】(1)由線面垂直的判定定理即可證明；

(2)以A為坐標(biāo)原點，分別以為xy、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.分別求出直線PC

的方向向量與平面PBD的法向量，由線面角的向量公式代入即可求解.

【詳解】(1)因為PA_L平面A5CD,且BDu平面A5CD,

所以

在正方形ABCD中，ACJ.BD.

而FAAC=A,PA,ACu平面PAC,

故3。1平面PAC.

(2)以A為坐標(biāo)原點，分別以為乂乂z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=1,則8(1,0,0),0(0,1,0),尸(0,0,1),C。,1,0),

從而尸3=(1,0,-1),PD=(0,1,-1),PC=

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),

PB.〃=()[x-z=0{x=z

PDn=0[y-z=01y=z

令z=l,則〃=(1,1』).

設(shè)直線PC與平面依。所成的角為e,

\PC-n\i

則sin。=|cosPC,n\=J-------T=—,

\PC[\n\3

答案第10頁，共17頁

故PC與夾面PBD的所成角大小為arcsinj.

18.(l)a?=2/1-1；

(2)5.

【分析】

（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求公差，即可寫出｛%｝的通項公式;

（2）由題設(shè)確定抄“｝的通項公式，應(yīng)用等比數(shù)列前"項和公式求出數(shù)列的前〃項和,

結(jié)合7；<急29求9〃的范圍.

【詳解】（1）由題設(shè)（%-1）2=2ai（a4+l）na；-2a3+l=2a4+2,若公差為d>0,

所以(1+2d)?—2(1+2d)+1=2(1+3d)+2,即2d?—3d—2=(2d+1)(1-2)=0,

所以d=2,故=q+(〃-l)d=2〃-l.

（2）由（1）知：偽=%=3也=%=9,故數(shù)列也｝的首項、公比為3,

221112a”1299

所以祀二下’貝…+三)=,><；=1一下<300'

3

所以白=3"<300且“eN*,而35=243<300<36=729,

所以“W5,故最大正整數(shù)”為5.

*.⑴S=E(0<"：)

(2)9=arcsin(

答案第11頁，共17頁

【分析】

(1)用。表示出尸M,得出三角形fBC的面積關(guān)于(9的式子，從而可得屋頂面積S關(guān)于。的

函數(shù)；

(2)求出屋頂高度FH,得出造價y關(guān)于。的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，再計算最

小值及對應(yīng)的e的值.

【詳解】(1)

由題意平面ABC。，F(xiàn)M±BC,

又因為胸u平面ABC。，得FH_LHM.

2

在中，HM=2,ZFMH=0,所以——.

COS，

117?

因止匕FBC^^-BC-FM=-X2X―-

22cos8cos0

220

從而屋頂面積S=2S+2S=2S+2x4S=10S=10x-=.

FBCmABFEFBCFBCFgccosJcos夕

所以s關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式為s=m(o<e<9.

cos34

(2)

在中，F(xiàn)H=2tand,所以柱子高度為〃=3-2tan6.

20

所以校門總造價為y=kS+h,2k=-----Z:+(3—2tan0)-2k

cos"

20k-sin3..,5—sin。、一

-------------+6%=4女?(------)+6人,

cos3cos3cos0

、-1型八、5—sinS八八71

記/(。)=----—,Q<0<-,

cos6*4

所以廣(。)=交絲J

COS0

ITT1

令/'(6)=。，得sin6=—,又0<6<一,所以e=arcsin-.

545

列表:

.1

e(0,arcsin：)arcsin-(arcsin-,—)

554

m—0+

f(e)最小值

所以當(dāng)9=arcsin(時，f(<9)有最小值.

答案第12頁，共17頁

20.⑴4+2g

9

(2)證明見解析，-

4

(3)左=±[,最大值為1

【分析】

(1)根據(jù)橢圓定義求解三角形周長；

(2)聯(lián)立，:、=履+砥根。0)與C:土+y2=1,得到兩根之和兩根之積，由

9

￡711=2。加,硒=〃。"得至1」幾+〃=一^7+上7，結(jié)合兩根之和，兩根之積求出答案；

(3)先由離心率得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出

\OM[+\ON[=2+—'J9------結(jié)合|OM『+|ON『為定值得到左=±彳，并求

(4r+1)2

出止匕時\MN\,和點。到直線/的距離d,利用基本不等式得到V1.

【詳解】(1)仁2時，橢圓方程為C:工+y2=l,故q=2且c=6，

4

由橢圓定義可得，△△耳耳的周長為2a+2c=4+26；

22

(2)r=3時，橢圓方程為C:二+y2=i,故聯(lián)立/：丫=依+項"0)與c：二+y2=l可得，

9-9'

2

(9々2+1)/+18/尤+%-9=0

答案第13頁，共17頁

設(shè)"（XQ1）仆（%2，%），則%+%2=9.+]=.2+1

因為EM二九DM,EN=jLtDN,

所以玉=丸（玉+1）,工2=4（W+1）

T8.+2

4+〃=玉+%=2___項+%+2_______9.2+1_______=2+-=-

2

再+1x2+1x{x2+Xj+x2+19k-9-18/44

%2+l+%2+l+

（3）由題意得

y=kx+m

橢圓方程聯(lián)立

x2+4y2=4

2

消元得（4左2+1）%2+Shvx+4m—4=0,

當(dāng)A=64入川二上（4」+1）（￡_1）>0,即4__療+1>o時,

-8km4m2-4

則石+%=

Ei'再4k2+1

貝”O(jiān)M「+3|2=%；+1—F￥+1—亍

22

24女2瓶2-6m+24k+66叫4左2—1）+6（4左2+1）

-4（片+*）=2+=2+

當(dāng)|OM「+|ON「為定值時，即與蘇無關(guān)，故4/_1=0,得人士;，

此時\MN\=J左2+1'（%+七1_4$%=4代+ix":+；/_=75x也一病,

答案第14頁，共17頁

,Iml2|m|

又點0到直線I的距離d=-jU==,

yll+k2V5

2m

所以SAMON=；x4x|AftV|=|m|-yjl—m<——=1,

當(dāng)且僅當(dāng)阿=，2-療,即加=±1時，等號成立,

經(jīng)檢驗，此時A>0成立，所以△MON面積的最大值為1.

【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法:

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù),

再求這個函數(shù)的最值或范圍.

21.(1)2

(2)a=-----^)(x0>0),i

(3)證明見解析

【分析】

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)曲線切線的關(guān)系，結(jié)合直線垂直斜率的關(guān)系，可得答案；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用換元法，建立新函數(shù)，可得答案；

(3)利用綜合法，整理不等式，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求最值.

【詳解】(1)

由〃x)=x+alnx-l,貝"(x)=l+?,由直線比+2y+3=0,則其斜率為

由切線與上述直線垂直，貝U1+^=2,解得a=2.

(2)

解法一：

x+ax

由g(x)=/(無)+'=x+aln無-1+',貝i]g'(x)=l+4--L=-^,

xxxxx

當(dāng)x=0時，顯然x?+ax-l=T<0,則無2+ax-l=0有兩異號實根，設(shè)不為其正根,

則在(0,飛)上g'(x)<0,在5,+<?)上g'(x)>0,

即在(0,不)上g(x)為嚴(yán)格減函數(shù)，在(如+<?)上g(無)為嚴(yán)格增函數(shù)，

答案第15頁，共17頁

故〃=入0(入0>。)，g(%)的最小值g(%o)=%()+—+1---/]]nx