2024屆遂寧高三一診文科數(shù)學(xué)試題含答案

秘密★啟用前

遂寧市高2024屆第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)（文科）

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時,選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本

試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

1.已知集合A={H|—3VH<2},B={zd+4z-5&0},則ApB=

A.0B.(-3,1]C.[-1.2)D.(—3,2)

2.復(fù)數(shù)之=/+貝=

1——1

A.1B.#C.2D.4

3.已知向量。=(l,3),b=(—2,—"1),則(a+b)?(2a—6)=

A.10B.18C.(-7,8)D.(-4,14)

4.已知命題p-.LteR,2工22x十1,則力為

A.mhWR,2工<2H+1B.三,<21+1

C.R,2"<2^+1D.VxGR,2,V2i+1

5.甲、乙兩人進(jìn)行了10輪的投籃練習(xí)，每輪各投10個，現(xiàn)將兩人每輪投中的個數(shù)制成如下折線圖:

下列說法正確的是

A.甲投中個數(shù)的平均數(shù)比乙投中個數(shù)的平均數(shù)小

B.甲投中個數(shù)的中位數(shù)比乙投中個數(shù)的中位數(shù)小

C.甲投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小

D.甲投中個數(shù)的極差比乙投中個數(shù)的極差大

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的工值為2023,則輸出的y值為ED

I

/輸入x/

7.已知數(shù)列3”｝是等差數(shù)歹!)，數(shù)列｛勾｝是等比數(shù)歹(J,若田十。5+。9=9,

仇仇仇=34，則=

1十仇仇

A.2B.V3

C.1-D.”

乙?J

8.已知B，B為雙曲線C：4一*=l(a>0,6>0)的左、右焦點，點A在C上,若|BA|=2|B4，

ab

NAKF2=3O°,4ABF2的面積為6西，則C的方程為

A丁D工2—丁―]

A?豆豆—1B-yd—1D-TT-1

9,若直線、=自力與曲線、=ln尤相切，則k=

A.BC.-D.-

-iee

；),將該函數(shù)的圖象向右平移

10.函數(shù)/(x)sii:n(s+w)(3〉0,|卯|<5)的圖象經(jīng)過點(0,

?個單位長度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則s的最小值是

A.y5B.y8C.3D.I7

11.在正方體ABCD-A.B.C.D.中，下列結(jié)論正確的是

A.A3與4G所成的角為60°B.DBj與4G所成的角為60°

C.ABx與A］。所成的角為45°D.DBi與所成的角為45°

12.已知O為坐標(biāo)原點，是橢圓。：4+［=1(&>6>0)的左、右焦點,人,口分別為。的左、

右頂點.P為c上一點，且FF2±X軸，直線AP與'軸交于點M,直線與PE交于點Q，

直線BQ與了軸交于點N.若|ON|=：1OM|，則C的離心率為

A.-B.-C.-D.—

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(J?)=(a—1)j;2+asinJC為偶函數(shù)，則a=.

—尤，

14.已知實數(shù)x.y滿足］、+2>0,則2z+3)的最大值為.

15.在正四棱臺ABCD—內(nèi)有一個球與該四棱臺的每個面都相切，若A1B1=2,AB=4,

則該四棱臺的高是.

16.《九章算術(shù)》有這樣一個問題:今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前

兩日所織尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子,從第2天開始，每

天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所

織布尺數(shù)的積.問第10天織布尺數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答。第22.23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。

（一）必考題：共60分。

17.（12分）

某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計并試運(yùn)行了甲、乙兩條生產(chǎn)線.現(xiàn)對這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)

品進(jìn)行評估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測評，并將測評結(jié)果

（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：

良優(yōu)合計

甲生產(chǎn)線4080120

乙生產(chǎn)線80100180

合計120180300

（1）通過計算判斷，是否有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？

（2）現(xiàn)對產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析,在測評結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取

了6件產(chǎn)品.若在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)

線的概率.

附表及公式：

P（K2〉嬴）0.150.100.050.0250.010

瓦2.0722.7063.8415.0246.635

甘由=__________Mad—be)21_______

'(a+6)(c+Q)(Q+C)(b+d)'

18.(12分)

記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,6,c,若△ABC為銳角三角形，A，求

△ABC面積的取值范圍.

從①a=2而;②6=2這兩個條件中任選一個,補(bǔ)充在上面問題中并作答.

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

19.(12分)

已知。為坐標(biāo)原點，過點P(2,0)的動直線/與拋物線C：丁=47相交于A,B兩點.

⑴求d?OB；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在不同于點P的定點Q,使得NAQP=/BQP恒成

立？若存在，求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

20.（12分）

如圖，在三棱柱ABC—AiBiG中，直線平面ABC,平面AAiGC,平面BBxGC.

(1)求證:

(2)若AC=BC=BQ=2,在棱上是否存在一點P,使得四棱

錐P—BCG3的體積為:？若存在，指出點P的位置;若不存

在,請說明理由.

21.(12分)

已矢口函數(shù)/(1)+2sin￡—JTCOSx.

(1)若。=0,判斷/(G在(一5,身上的單調(diào)性，并說明理由;

乙乙/

⑵當(dāng)a>0,探究“Z)在(0,n)上的極值點個數(shù).

(二)選考題：共10分。請考生在第22.23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

記分。

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

fX/cos(X，

在直角坐標(biāo)系中，已知曲線|8+八其中v〉o),曲線GJ.&為

［y=tsina

［x=一方sina,/\

參數(shù),00),曲線C2：<卜為參數(shù),/>0,0<a7r<以坐標(biāo)原點O為極點，工軸的

［y=/cosa'4'

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求C的極坐標(biāo)方程；

(2)若曲線C與Ci,。2分別交于A,B兩點，求△OAB面積的最大值.

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-2|+U+2|.

(1)解不等式—2］；

(2)令/(G的最小值為T,正數(shù)a,6滿足a2+"+26=T,證明：a+1.

文科數(shù)學(xué)參考答案

1.B2.C3.A4.D5.C6.D7.C8.B9.C10.A11.A12.B

13.014.1115.2#16.21

2

”士匚、八、4M_300X(40X100-80X80)_1000“，八

17.［解析］(1)由w,K，-i9nviQnvi9nviQn-777°4〉2?7°61........................4分

IZUAloU1ZUAloU乙/

因此，有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系...............................5分

(2)記這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的有2件，記為A-Az,產(chǎn)自于乙生產(chǎn)線的有4件，記為

Bi,用，B3,B4.

從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有基本事件有：(A1,A2),(A1,3),(A】，&),(A］，風(fēng))，

(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),

(3,瓦)，(4，64),共15個.

其中，至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的基本事件有9個.

QQ

所以，抽取的2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的概率為得即得.............12分

1b5

18?【解析】若選①，由正弦定理得希=熹=品=吟=4,.........................................2分

sin—

所以6=4sinB,c=4sinC,............................................................................................................3分

)竽

c=4sinC=4sin—B=4(sincosB-cos^sinB)=2V3-cosB+2sinB,5分

所以S^ABC=；6csinA=；X4sinB?(273-cosB+2sinB)?g

=6sinBcosB+27^sin2B...........................................................................................................7分

=3sin2B+73(1—cos28)

—3sin2B—V3~cos2B+V3-

=2^/3sin(2B-y)+73,............................................................................................................9分

因為△ABC為銳角三角形，所以0<C=等—且

所以廣3日,

所以強(qiáng)V2B一￡<醇Jvsin(2B一冬)<1,......................................................................11分

b66/\6/

所以2西<2①sin(2B-J)+V3<373,

故銳角AABC面積的取值范圍為(2乃,3有1.......................................................................12分

若選②，由正弦定理得仁=4=果......................................2分

sinCsinDsmD

2sin(3+B)_^~cosB+sin_B_如

2sinC_2sin(A+B)

所以C1,.............6...分...

sinBsinBsinBsinBtanB

因為AABC為銳角三角形，所以0<。=專一BV今且OVB<手,

所以"VB<與，..............................................................8分

b/

所以tanB〉岑，+.........................................10分

3tanB

所以S/^ABC=^-6csinA=^y-cG

故銳角AABC面積的取值范圍為(斗，29)?......................................................................12分

19.【解析】(1)由題知，直線/與'軸不垂直，

故可設(shè)直線I的方程為了=〃<y+2,A(?,,y^,BCx2,y2).

[Y=4z,

由，My2-4：my—8=O............................................................................................2分

[x=my-\-2

顯然，△=16??2+32>0,

于是'1+y2=4"2,>"2=-8,處了2=表必必=4...................................................................4分

所以示?麗=皿⑥+，1，2=—4............................................................................................5分

(2)當(dāng)直線軸時，Z：￡=2,A(2,2V^),B(2,—27^),

故當(dāng)NAQP=/BQP時，點QC了軸............................................6分

當(dāng)直線I與了軸不垂直時.由拋物線的對稱性知，滿足條件的點QGi軸.設(shè)Q(〃,0),

由NAQP=/BQP得心Q+上版=0,即^^+^^=0,.................................................8分

—n久2一%

整理得)1(12—九)+”(11—%)=0,即

一yi(m)2+2一〃)+、2(MNI+2一%)=0,

所以2根y1”+(2—")(y1+y2)=0.…10分

故一16??+4(2―〃)%=0,解得〃=—2.

綜上，存在定點Q（—2,0）滿足條件.12分

20.【解析】（1）在平面BBiGC中作BHLCG于H,

因為平面AA1CC平面BB.C.C,

且平面AA1GCA平面BBGC=CG,

所以平面AAiGC,從而..............2分

在三棱柱ABC—AiBiG中，GB，平面ABC,ACU平面ABC,

所以AC±C1B.

又因為BQCBH=B，所以AC,平面BBiGC,

因此.................................................................5分

（2）假設(shè)點P存在，在平面AIBJG中，作PM〃AG交3G于M,

則PM〃AC,因為AC,平面BBJGC,故PM,平面BBiGC..........................................7分

在平行四邊形BCGB1中，因為GBLBC,且BC=BC1=2.

所以SNCJB]=BC.GB=2X2=4........................................9分4

所以VP-BCC=VS°BCCB-FM=4.PM=[\

1B1……11…?……:……-W1

因AC=2,所以號W7/

故符合條件的點P存在，為的中點.12分

21.【解析】⑴當(dāng)a=0時"⑴在（一號，號）上是單調(diào)遞增函數(shù)，......................1分

理由如下：

思路1：依題意，/（了）=2sinz—xcos2"'（z）=,eosx+jcsinx,.............................................2分

當(dāng)HG]O,告）時,F（Z）=COSz+zsinz〉0;

當(dāng)xG(一5，。)時，cos%>0,isin力〉0,則ff(x)—cosj:+j:sinJC>0,

故iG(一■^■，告)時(1)〉。，

所以/⑺在（一冷冷）上是單調(diào)遞增函數(shù)........................................4分

思路2:依題意"（無）—2sinjc―1cos1"'（久）=cosi+Ksin久，.......................2分

由于/（一￡）=―/⑴，則/⑺為奇函數(shù)，故可先判斷”了）在［0號）上單調(diào)性.

當(dāng)a；G］。，"!■，時,/'（工）=cos＜r+jcsinj;＞0,此時“力單調(diào)遞增，

由于了⑺為奇函數(shù)，所以"了）在（一方4）上是單調(diào)遞增函數(shù)...................4分

（2）由=aj?+2sinj:一①cos%,得了'（%）=3QJ?+cosz+zsinz,

依題意，只需探究—（式）=3。12+cos￡+￡sini在（0,兀）上的零點個數(shù)即可.

令〃（2）=/'（1）=3a圮2+（：05比+15由1,貝!!u（JT）=6aj:+jrcosJC=JC（6（2+COSJC）,

（I）當(dāng)6Q＞1,即時，6Q+COS久＞0,此時？/（久）》0在［0,兀）恒成立，

6

則〃（力）即/（］）單調(diào)遞增，故刑（1））即（0）=1,

此時/（G在（0,兀）上無零點，則/（尤）在（0,冗）上的極值點個數(shù)為0..................6分

（H）當(dāng)0V6QV1,即0VaV±時，三ioG（0,兀），使得xQ（6Q+COS1O）=0,即cosi。=—6Q,

6

可知OViVio時，〃'（力）〉0；々＜迎＜兀時，/（z）＜0,

所以〃（i）即//（久）在（0,￡（））上單調(diào)遞增，在（久。,式）上單調(diào)遞減，....................8分

由于/（0）=lj'（7t）=3aY—1,

①若/'（n）=3.2—1＞0,即工＜。＜《時"'（久）在（0.K）上沒有零點，

37ro

所以"（7）在（0,“）上的極值點個數(shù)為0..........................................10分

②若/'（n）=3an2—1V0,即0＜aV工時，/'（H）在（0,“）上有1個零點，

O7t

所以，/（了）在（0,“）上的極值點個數(shù)為1.

綜上所述：當(dāng)裊時，了（了）在（0,n）上的極值點個數(shù)為0；0＜々＜工時，/（7）在（0,無）上的

3兀-37r

極值點個數(shù)為1................................................................12分

22.【解析】（1）因為R=pcos0,j/=psin6,

由比2+62=111+）,得02=ipcosj］+psin。..................................2分

由V〉。知，p=〉。，且2）兀〈6〈2后》+兀,

故p=|cosj|+sinj,2上式〈?！?6兀+兀,左GZ........................................4分

（范圍寫成0＜6＜/不扣分）