高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)二輪專項(xiàng)練習(xí) 過(guò)關(guān)檢測(cè) 數(shù)列

過(guò)關(guān)檢測(cè)三數(shù)列

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（2021?內(nèi)蒙古包頭一模）在數(shù)歹!J｛斯｝中,防二2,斯+i斯2=0,貝!J〃5+〃6+…+〃14=（）

A.180B.190C.160D.120

2.（2021?北京朝陽(yáng)期末）已知等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且的=9,則

10g3〃l+10g3〃2+10g3Q3+10g3〃4+10g3〃5=（）

55

ABcOD5

2-3-

3.（2021.湖北荊州中學(xué)月考）設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和為S”,若咨=則厚=（）

A11D3

2-3-4-

4.（2021?北京師大附屬中學(xué)模擬）我國(guó)明代著名樂(lè)律學(xué)家明宗室王子朱載埴在《律學(xué)新說(shuō)》中提出十

二平均律，即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個(gè)八度音程從一個(gè)c鍵到下一個(gè)ci鍵的8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵

（如圖），從左至右依次為:c,#Gd,#d,e工沏g,#g,a,#4,b,ci的音頻恰成一個(gè)公比為1德的等比數(shù)列的原理，也

即高音ci的頻率正好是中音c的2倍.已知標(biāo)準(zhǔn)音a的頻率為440Hz,則頻率為220五Hz的音名是

（）

A.dB/C.eD.#d

5.（2021.四川成都二診）已知數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和a=層,設(shè)數(shù)列｛鼠七｝的前見(jiàn)項(xiàng)和為則八o的值為

（）

A至B也

A.39039

C型D竺

4141

6.（2021?河南新鄉(xiāng)二模）一百零八塔位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是

中國(guó)現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名,塔群隨山勢(shì)鑿石分階

而建，由下而上逐層增高，依山勢(shì)自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,…，該數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始成等

差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為（）

A.39B.45

C.48D.51

7.（2021.陜西西安鐵一中月考）在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2"（〃eN*）的整數(shù)，則其余整

數(shù)的和是（）

A.3928B.4024C.4920D.4924

（九2九為奇數(shù)

8.已知函數(shù)式〃）=｛:,中二且斯=75）+/（〃+1）,則41+〃2+俏+…+4100等于（）

（-九2,九為偶數(shù)，

A.OB.1OOC.1OOD.10200

二、選擇題:本題共4小題海小題5分洪20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2021?遼寧沈陽(yáng)三模）已知等比數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和5〃二平由,則（）

A.首項(xiàng)a\不確定B.公比4=4

C.〃2=3D."

10.（2021?山東臨沂模擬）已知等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為公差d=l.若。1+3%=57,則下列結(jié)論一定

正確的是（）

A.%=1B5的最小值為S3

CS=S6DS”存在最大值

11.己知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，其前30項(xiàng)和為390,0=5'=2%對(duì)于數(shù)列｛斯｝,｛勿｝,下列選項(xiàng)正確的是

（）

A.d0=8為B.｛勿｝是等比數(shù)列

C.a必30=105D。3+。5+。7_209

。2+。4+。6193

12.（2021?廣東廣州一模）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列:在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩

項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1

次得到數(shù)列1,3,2;第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2;……第〃（〃GN*）次得到數(shù)列1眼,如心，…加2.記

a”=l+xi+x2+…+x*+2,數(shù)歹1」｛斯｝的前n項(xiàng)和為斗,貝1k）

A.A+1=2"B.a“+i=3a”3

C.a?4（n2+3n）D.5?4（3n+1+2n-3）

L4

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（2021?山西太原檢測(cè)）在等差數(shù)列｛a”｝中，若。2,。2020為方程/101+16=0的兩根，則a\+a\011+^2021

等于.

14.（2021.江蘇如東檢測(cè)）已知數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”,且S"=2a“2,則數(shù)列｛log2斯｝的前n項(xiàng)和

Tn=.

15.將數(shù)列｛2"1｝與｛3"2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛a“｝,則｛a,｝的前〃項(xiàng)和為.

16.（2021?新高考/,16）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)

折.規(guī)格為20dmxl2dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖

形，它們的面積之和Si=240dnf,對(duì)折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)

格的圖形，它們的面積之和$2=180dn?,以此類推.則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)

n

為；如果對(duì)折〃次，那么XSk=dm2.

k=l

四、解答題:本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

1

17.（10分）（2021.海南?？谀M）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛如｝,°4=白,。5。7=256.

1O

（1）求數(shù)列｛。"｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛|log2a〃|｝的前〃項(xiàng)和.

18.（12分）（2021.全國(guó)甲，理18）已知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記5“為｛斯｝的前幾項(xiàng)和，從下面⑦②③中

選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

（W列｛斯｝是等差數(shù)列;戮列｛仄｝是等差數(shù)列;③fe=3ai.

19.（12分X2021?山東濟(jì)寧二模）已知數(shù)列｛詼｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足俏是2內(nèi),3a2的等差中項(xiàng),"4=16.

（1）求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

⑵若為=⑴"log2a2.+1,求數(shù)列｛3｝的前"項(xiàng)和Tn.

20.（12分X2021?山東臨沂一模）在⑦手=歲，②^+1斯=25,③^+詼=2當(dāng)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題.

已知正項(xiàng)數(shù)列｛詼｝的前"項(xiàng)和為S”,41=1,且滿足.

⑴求an,

⑵若《=3”+1>2。％求數(shù)列｛瓦｝的前〃項(xiàng)和Tn.

21.（12分）（2021.山東泰安一中月考）為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計(jì)劃用若干年

更換1萬(wàn)輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車,更換的新車為電力型車和混合動(dòng)力型車.

今年年初投入了電力型公交車128輛，混合動(dòng)力型公交車400輛,計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比

上一年增加50%,混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛.

（1）求經(jīng)過(guò)〃年，該市被更換的公交車總數(shù)F（ri）;

（2）若該市計(jì)劃用7年的時(shí)間完成全部更換，求a的最小值.

22.（12分X2021?廣東廣州檢測(cè)）已知數(shù)列｛為｝滿足可=5,且當(dāng)時(shí),可痣…斯i=—2.

3an

⑴求證:數(shù)列｛占｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式；

⑵記Tn=-a\ar--an,Sn=T^+管+…+第,求證:當(dāng)九￡N*時(shí)

過(guò)關(guān)檢測(cè)三數(shù)列

1.B解析因?yàn)閦+iz=2,ai=2,所以數(shù)列｛z｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)歹山所以

=2+（〃1）x2=2n.

設(shè)｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S%貝1]幾）工層十九

所以〃5+〃6+--F6/14=51454=190.

2.C解析因?yàn)榈缺葦?shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且。3=9,所以

10g34Zl+10g3Q2+10g343+10g3Q4+10g3Q5=log3（aia2〃3O4〃5）=10g3（慮）=10g3（95）=10g3（310）=10.

3.D解析由題意可知S5,SioS5,Si5Sio成等比數(shù)列.

黑=1?：設(shè)S5=2k,Sio=k,k^O,

*.O1O05=K,..315010=-,?-015=—,

c3kc

.^15.T_2

_1_/1\1。-4

4.D解析因?yàn)?。的音頻是數(shù)列的第10項(xiàng),440=220/>22=220魚(yú)*(2通)，所以頻

率為220/Hz是該數(shù)列的第4項(xiàng)，其音名是#d.

5.C解析當(dāng)n=l時(shí),ai=Si=l;當(dāng)〃三2時(shí),?！?5,￡1=層(〃1)2=2〃1.

而<21=1也符合服=2咒1,所以an=2〃l.所以---=—~”=:(至三-王士彳)，

anan+1(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+17

所以〃=乂1]+屋+一+六一生?)=捫鼻)=月?所以T20=T-fJJ—=

2\335zn-l2n+1722n+lzn+l2x20+141

6.D解析設(shè)該數(shù)列為｛斯｝,依題意，可知。5,。6,…成等差數(shù)列，且公差為2,05=5.

設(shè)塔群共有〃層，則1+3+3+5+5(〃4)+竺與@x2=108,解得“=12.

故最下面三層的塔數(shù)之和為aio+au+ai2=3an=3x(5+2x6)=51.

7.D解析由2喧[1,100],代N*,可得〃=123,4,5,6,

所以21+22+23+24+25+26=^^=126.

1-Z

100x101

又

1+2+3+…+100=2=5050,

所以在1到100的整數(shù)中,除去所有可以表示為2〃(〃金N*)的整數(shù)，其余整數(shù)的和為5

050126=4924.

8.B解析由已知得當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),〃〃二層(〃+1)2=2〃1,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)M〃=〃2+(〃+I)2=2〃+1.

所以m+。2+〃3+…+〃100=3+57+…+201=(3+5)+(7+9)+…+(199+201)=2x50=100.

9.BCD解析當(dāng)n=l時(shí)⑷=Si=l+。當(dāng)〃22時(shí)乩=SBd=(2+1)(4〃2+/)=3x4〃2.

由數(shù)列｛〃”｝為等比數(shù)列，可知Qi必定符合?！?3x4叱

所以1+晝,即t=l

q住

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為。〃=3*4叱〃2=3,

數(shù)列｛斯｝的公比q=4.故選BCD.

10.AC解析由已知得〃1+3（〃1+4義1）=7〃1+^^xl,解得ai=3.

對(duì)于選項(xiàng)A,〃5=3+4x1=1,故A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B,Q〃=3+〃1=〃4,因?yàn)?1=3<0,。2=2<0,。3=1<0,44=0,45=1>0,所以的最小

值為S3或S4,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C,S6sl="2+。3+。4+。5+。6=5。4,又因?yàn)椤?=0,所以S6sl=0,即S1=S6,故C正

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)镾"=3〃+%尹=W，所以S,無(wú)最大值，故D錯(cuò)誤.

11.BD解析設(shè)｛或｝的公差為d,

由已知得30x5+迎產(chǎn)=390,解得d=3.

..z,16n+129

..an=a\+(nl)d=———

2an+l

:③=2%處=a

=2n+l-?n=2^9

bn2an

故數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列,B選項(xiàng)正確.

:5d=5x=

???鐵=(2。)5=25年23,,：ZnoW8b5,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

：3o=ai+29d=5+16=21，?:aiZ?3o=5x22i>lO5,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

193一廠416

S*a4=^i+3^=5+3x票=—,(25=ai+4(y=5+4x—209.叼+犯+劭_3a5_。5

29'一。2+。4+。63a4a4

穩(wěn),D選項(xiàng)正確.

12.ABD解析由題意，可知第1次得到數(shù)列1,3,2,此時(shí)左=1,

第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2,此時(shí)k=3,

第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此時(shí)k=7,

第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此時(shí)左=15,

第〃次得到數(shù)列1,孫12用,…,麻,2,此時(shí)左二2"1,所以上+1=2”,故A項(xiàng)正確.

當(dāng)n=l時(shí),ai=l+3+2=6,當(dāng)n=2時(shí)/2=QI+2QI3=3QI3,當(dāng)n=3

時(shí),。3=。2+2以3=3ai3,...

所以。〃+1=3?！?,故B項(xiàng)正確.

由。"+1=3或3,得?！?1|=3（冊(cè)-分

又?if=?所以,高是首項(xiàng)為沁比為3的等比數(shù)歹人所以*=Ix3"=》,即

”+12

以=丁+去故C項(xiàng)錯(cuò)誤.

S廣仔+0+修+0+…+（歲+1）=*"+1+2〃3）,故D項(xiàng)正確.

\LLJ\LLJ\LLJ4

13.15解析因?yàn)镼2,42020為方程以。氏+16二0的兩根，

所以ai+ai020=10.

又｛。力為等差數(shù)列，所以+。2021=。2+。2020=241011=10,即<21011=5.

所以ai+ai011+4/202i=3ai011=15.

14.專立解析因?yàn)镾〃=2a“2,所以當(dāng)心2時(shí)$1=2斯2兩式相減，得痣=2即2磯即

n

當(dāng)n=l時(shí)，可得m=2,所以數(shù)列｛詼｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，所以an=2.

所以log2a〃=〃,所以4=也守2

15.3層2〃解析數(shù)列｛2附1｝的項(xiàng)均為奇數(shù)，數(shù)列｛3附2｝的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù)，所有偶數(shù)項(xiàng)

均為偶數(shù)，并且顯然｛3〃2｝中的所有奇數(shù)均能在｛2〃1｝中找到，所以｛2〃1｝與｛3〃2｝的所有公

共項(xiàng)就是｛3附2｝的所有奇數(shù)項(xiàng)，這些項(xiàng)從小到大排列得到的新數(shù)列｛斯｝是以1為首項(xiàng)，以6

為公差的等差數(shù)列.

n12

所以｛。〃｝的前〃項(xiàng)和為Sn=nxl+^^x6=3n2n.

16.5240（3-竽）解析對(duì)折3次共可以得到|dmxl2dm,5dmx6dm,10dmx3dm,20

dmx|dm四種規(guī)格的圖形，面積之和53=4x30=120dm2;

對(duì)折4次共可以得到|dmxl2dm,|dmx6dm,5dmx3dm,10dmx|dm,20dmx|dm

五種規(guī)格的圖形,S4=5X15=75dm2.

可以歸納對(duì)折〃次可得n+1種規(guī)格的圖形$=（〃+1）

n

則S=SI+S2+-S〃=2409+A/“*).

k=l

、口.2,3,4n+1

記刀尸方+京+齊+…+于-，

ZZZ乙

則扣=奈+奈+…+式+蘇詈②

①與②式相減，得瑁。=如=提"+去+玄+…+,一云*=I一/空

故〃=3賢.故1S『2407”=240（3-賢）

k=1

17.解（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的公比為狗>0）.

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5a7=可=256,因?yàn)閍〃>0,所以（26=16.

所以「="=256,即q=16.

。4

n6n6n5

所以an=a6q=16x16=16.

(2)由⑴可知Iog2〃〃=log216〃5=4〃20,

設(shè)為二|10820〃|=|4〃20|,數(shù)歹]｛瓦｝的前〃項(xiàng)和為Tn.

①當(dāng)〃W5,且neN*^,T?=-(16+1°-4n)=18/?2n2;

;:22

②當(dāng)“三6,且neN*0i,L!=75+^^f^^=18x52x5+(2n8)(H5)=2?18n+8O.

18n-2n2,n<5,且nGN*,

綜上所述,〃=

2n2-18n+80,n>6,且n?N*.

18.證明若選①②n③，

設(shè)數(shù)列｛服｝的公差為由,數(shù)列｛、腐｝的公差為di.

:?當(dāng).WN*時(shí),板>0,."1>0,龍>0.

nn)d2

.".Sn=na\+^'^l=y-n+^a1-y^?.

火器n=同+(〃1)必，

.：Sn=ai+d弘〃1)2+27d2(〃1)=d枷2+(2A^力2或)〃+或2+ai,

???9==2V?i<^22^2,d^ly[a[d2+a\=Q,-'-“=9,d2=V^L即di=2ai,.".

a2=ai+di=3ai.

若選①③今②，

設(shè)等差數(shù)列｛z｝的公差為d.

因?yàn)椤?=3。1,所以ai+d=3ai,則d=2ai,

12

所以Sn=na\+^-^-d=nai+n(nl)ai=nai,所以店—房;二幾7Q](ZZ\)yjQ]=7Q].

所以｛店｝是首項(xiàng)為圾，公差為圾的等差數(shù)列.

若選②③今①，

設(shè)數(shù)歹I｛店｝的公差為d,則我一6=4

即+Q2-V—d.

S*4Z2=36ZI,AJ4al—y[a[=d^?d-y[a[,

???yf'S^=

即Sn=n2ai,

當(dāng)時(shí),Q“=S〃S〃I=〃2QI(〃1)2QI=(2〃1)QI,

當(dāng)n=l時(shí)⑷符合式子an=(2nl)a\,

?：a〃=(2〃l)〃i,〃￡N*,?：〃〃+IQ〃=2QI,

即數(shù)列｛z｝是等差數(shù)列.

19.解(1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛所｝的公比為幽>0).

因?yàn)椤?是2QI,3〃2的等差中項(xiàng)，所以2Q3=2QI+3〃2,即2〃應(yīng)2=2〃1+3〃原因?yàn)棰侵?所以

1

2q-3q2=0,解得q=2或q=](舍去).

nln

所以a4=aiq3=8ai=16,解得ai=2.所以aw=2x2=2.

(2)由⑴可知如+i=22〃+\

所以bn=(l)/!10g2?2n+1=(1)nlog222n+1=(1)n(2/J+1),

所以^(I)1x3+(l)2x5+(l)3x7+-+(l)n(2n+l),

4=(l)2x3+(l)3x5+(l)4x7+…+(l)/i?2〃+l),

所以24=3+2[(1)2+(1>+…+(1再(l)"+i(2〃+D=3+2x

1士;)1)”(2〃+1)=3+1⑴疝+(1)"(2〃+1)=2+(2咒+2)(1)",

所以G=(〃+l)⑴叮.

20.解⑴若選①，則2Sn=nan+i.

當(dāng)n=l時(shí),2SI=<72,又Si=ai=l,所以42=2.

當(dāng)〃三2時(shí),25"1=(〃1)外,所以2an=nan+i(nl)an,

即(〃+1)?！?"?！?1,所以=手(">2).

又等=1,所以當(dāng)n與2時(shí)3=1,即an-n.

又a\-\符合上式，所以an-n.

若選②，則當(dāng)n-1時(shí),251=。2。1,可得。2=2.

當(dāng)時(shí)可得2an=anan+ianani.

由田>0,得an+iani=2.

又m=〃2=2,所以｛如｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,｛或九｝是首項(xiàng)為1,公差為2

的等差數(shù)列，所以z二九

若選③,因?yàn)槌?z=2S〃，

所以當(dāng)時(shí),QMI+ZI=2S〃I,兩式相減得碓+〃〃就_1斯1=2甌即(o〃+a〃i)(a〃aml)=0.

由一＞0,得“Mil1=0,即-1=1,所以｛“〃｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，所以

an=n.

(2)由⑴知仇=(〃+1)2,

所以4=2x2+3x22+4X23+???+(〃+1)?2”,

24=2x22+3x23+4X24+???+(〃+1>2叫

兩式相減，得

Tk=4+22+23H----卜2"(〃