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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：常**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：河北

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2024年西藏林芝市高三數(shù)學(xué)（理）1月一?？荚嚲?/p>

（試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）2024.1

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合/一2Vx<1}1={止1X2},則在腔（）

A.（一21）B.[T/）C.HZD.IN]

2.已知復(fù)數(shù)z滿足；=2+i,貝”的虛部為（）

A.~iB.-2C.iD.2

,2x+—

3.已知%>1,則的最小值是（）

A.3B.4C.6D.7

4.已知單位向量2與單位向量石的夾角為45°,則卜一回卜（）

A.2B.百C.&D.1

5.已知“X）是定義在R上的函數(shù)且/（r）=-/（x）,當(dāng)x>0時(shí)，〃x）=2x（x+l）,則）

A.-4B.0C.4D.8

6.“cosx=l”是“sinx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

7.已知圓的方程為（xT）、/=%過(guò)點(diǎn)（TM）僅有一條直線與圓相切，則。=（）

A.-3B.3C.1D.0

x-y<-l

x+y<3

8.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則z=y-2x的最小值為（）

A.-1B.0C.1D.2

9.將直徑為6的球削成一個(gè)體積最大的正方體，則這個(gè)正方體的表面積為（）

A.3B.6C.3兀D.67t

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的〃的值是（）

A.2B.3C.4D.5

11.已知等差數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若4=2g+%65=5,則使成立的〃的最大值為

()

A.3B.4C.5D.6

/y2

12.已知雙曲線,：/一記=1(",°力>°)的左、右焦點(diǎn)分別為耳巴。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為雙曲線上在第一象

限內(nèi)的一點(diǎn)，|°P|=I尸閶，且△尸。耳的面積為6~ab,則雙曲線的離心率e=()

A.^2B.2A/2c.V3D.2百

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，%/5=4,則%=

14.若函數(shù)/(無(wú))=也(如+1)的圖象在％=°處的切線斜率為1,則。=

15.若動(dòng)點(diǎn)M(x〃)到點(diǎn)-2,0)的距離和動(dòng)點(diǎn)M到直線x=-2的距離相等，則點(diǎn)M的軌跡方程

是

八兀sin2a+1

0<a<———----7-7—=

16.若2,且tana=2,則cosa-sina.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考

生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為合格品和劣質(zhì)品，該企業(yè)計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)

備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取100件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況

(2)根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，從這5件產(chǎn)品中任選

2件，求選出的這2件全是合格品的概率.

K?_n(ad-be)2

附：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中麓=〃+6+c+d.

2

P（K>k0）0.0500.0100.001

2

k。3.8416.63510.828

18.設(shè)“8C的內(nèi)角45,C的對(duì)邊分別為a，4c,且(sinB-sinC)(6+c)HsnL4-VLmC)a.

(1)求8的大小；

⑵若6=收，且“BC的周長(zhǎng)為2+2攻，求“BC的面積.

71

ZABC=-

19.如圖，在四棱錐p-/BCD中，PA=AB=2,四邊形”2⑦為菱形，3,P4_L平面

ABCD,E,F,Q分別是BC,PC,PD的中點(diǎn).

(1)證明：平面EFQ〃平面尸/2；

(2)求二面角“一后尸一。的正弦值.

20.已知函數(shù)〃x)=e'+ax-l("eR).

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)“X)在x=l處取得極值，不等式〃力》隊(duì)-1對(duì)Vxe(0,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(X)在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

V2V2

C——H——=1((2>0,6>0)0八八

21.已知橢圓①b,直線7/：x-Y2y+Y2=°經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線/上是否存在一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線分別切于點(diǎn)A與點(diǎn)8,點(diǎn)尸在以48為直徑的圓

上，若存在，求出點(diǎn)尸坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

3

jX=1+C0S6Z

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C|：x2-y2=l,曲線G的參數(shù)方程為L(zhǎng)=sine(a為參數(shù))，

以坐

標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線G42的極坐標(biāo)方程；

⑵在極坐標(biāo)系中，射線'一％S3°)與曲線分別交于48兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)。),求

選修4-5：不等式選講

23.已知函數(shù)/(可=忖一a"”.

(1)若“=1,求不等式/(x),7的解集；

⑵若Mx"2。+1恒成立，求。的取值范圍.

1.B

【分析】根據(jù)交集的運(yùn)算，求解即可得出答案.

【詳解】根據(jù)交集的運(yùn)算可得，

AI5={x|-2<x<1}I{x|-1<x<2}={x|-1<x<1}

故選:B.

2.D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先求出I,然后利用共輾復(fù)數(shù)定義求出z即可解決問(wèn)題.

【詳解】因?yàn)椤?2+i,

-2+i2i+i2-l+2i

z=------=---------=l-2i

所以ii，i-1

所以z=l+2i,

所以z的虛部為2,

故選：D.

3.C

【分析】利用基本不等式求解.

【詳解】因?yàn)椤?gt;1,所以

22

2x+——=2(x-l)+——+22不2(x7+2=(

所以x—1X—1

當(dāng)且僅當(dāng)即、=2時(shí)，取得等號(hào),

故選:C.

4.D

4

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義將卜一行"平方即可計(jì)算得出其模長(zhǎng).

【詳解】由題意可知同二卜卜1,

則,一回『"-2缶Z+2廬=|同2_2也同干際45。+2麻=1-2+2=1

"d-而|=1

可得??.

故選：D

5.A

【分析】根據(jù)題意可得1（-1）=一/（1）,代入運(yùn)算即可.

【詳解】因?yàn)閒（r）=-/（x）,

令x=l,可得：〃-1）=-〃1）=-［2（1+1）］=~4

故選：A.

6.A

【分析】分別求解“cosx=l”與"sinx=o”的充要條件再判斷即可.

［詳解］易得當(dāng)COSX=］時(shí)，x=2左乃，（后eZ）.當(dāng)sinx=0時(shí)，x=左乃，（左eZ）.

故"cosx=l”是“sinx=O”的充分不必要條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)值求定義域的方法以及充分與必要條件的判定,屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【分析】由過(guò)點(diǎn)（T'"）僅有一條圓的切線，故點(diǎn)在圓上，從而求解.

【詳解】由題意知過(guò)點(diǎn)（T'“）僅有一條直線與圓相切，所以點(diǎn)（T'"）在圓上，

代入得：（-I），+〃=4,解得。=0,故D正確.

故選：D.

8.B

【分析】作出可行域，結(jié)合直線方程的幾何意義分析求解.

【詳解】如圖，作出可行域，

5

聯(lián)立方程1x+>=3,解得［y=l,即4(2,1),

因?yàn)閦=y-2x,即了=2x+z,表示斜率為2,縱截距為z的直線，

當(dāng)直線過(guò)/（利時(shí)，z=y-2x取到最小值2?「2-2'1=0.

故選：B.

9.B

【分析】求出球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)，再求出其表面積即可.

【詳解】依題意，當(dāng)正方體為球的內(nèi)接正方體時(shí)，該正方體的體積最大,

令此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)為。，則由。=6,解得。=1,

所以正方體的表面積為6/=6.

故答案為：B

10.C

【分析】根據(jù)循環(huán)功能一一循環(huán)驗(yàn)證即可.

s=0+—=1<—

【詳解】解：第一次循環(huán)13,此時(shí)〃=2；

cell35

S=0-i—I—=—<—

第二次循環(huán)1223,此時(shí)〃=3；

「八111115

S=0+-+—+-=—>—

第三次循環(huán)12363,止匕時(shí)〃=4,輸出;

故選：C

11.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列｛“"｝的首項(xiàng)及公差，進(jìn)而求出前〃項(xiàng)和即可得解.

ax=2(%+d)+%+3d

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，由%=2%+%,&=5,得5%+10"=5

_一(5—2〃+7)_2久

角牟得=5,d=—2于是％二%+(〃一1)6?——2n+7n2

6

由S“>°,得0<"<6,所以使S〃>°成立的〃的最大值為5.

故選：C

12.B

c

【分析】由可知，點(diǎn)p在線段的垂直平分線上，聯(lián)立一2與雙曲線方程可求得點(diǎn)尸坐標(biāo),

SAPOR=SgoF=-I|,V/>=y[^-cib

由等面積法可得'22^,解關(guān)于e的齊次式方程即可.

【詳解】由題意知，耳（G°）,如圖所示，

因?yàn)閨“卜朋|,

所以點(diǎn)尸在線段°此的垂直平分線”一2上,

又點(diǎn)尸在雙曲線的第一象限上，

片_f=1%￡bg-4叭

所以1/b。,解得于2a

又因?yàn)镮。4HCgl,

a_c_1?"?_cb^lc1-4a1

=■^2al

所以口阿一S^OF2--\OF2\-yp--■一--

422442

整理得cjc?一4a2=48/,c-4ac-32a=0=>e-4e-32=0,

解得e2=8（舍負(fù)），

又e>l,

所以e=2四.

故選：B.

13.2

7

【分析】由正項(xiàng)等比數(shù)列性質(zhì)，有的則&=

【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，“3烏=。：=4,則%=2.

故答案為：2

14.1

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算法則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求得。=1.

【詳解】由/(x)=m(ax+l)可得'(X)—辦+i(水)一辦+i,

/'(0)=—=1

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得axO+1,

解得。=1.

故答案為：1

15./=8x

【分析】結(jié)合拋物線定義即可解題.

【詳解】由拋物線定義知，點(diǎn)”的軌跡是以“(2，°)為焦點(diǎn)，直線丫=-2為準(zhǔn)線的拋物線,

所以點(diǎn)M的軌跡方程為：「=8尤.

故答案為：V=8x.

16.-3

【分析】結(jié)合三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式化簡(jiǎn)原式為齊次式即可求解.

八兀

0<a<一

【詳解】因?yàn)?,tana=2,

所以

sin2cr+12sinacosa+sin*2a+cos2a2sinacosa+sin2a+cos2a

cos4a-sin4a(cos2a-sin26z)(cos2a+sin2a)cos2a-sin2a

2tana+tan2a+14+4+1_

=-----------------------=-----------=—3

1-tan2a1-4

故答案為：-3.

3

17.(1)有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；(2)10

【分析】(1)先計(jì)算出K2的值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想對(duì)照臨界值得結(jié)論；

(2)5件產(chǎn)品中有合格品3件劣質(zhì)品2件，利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算概率即可.

小麒意募IF卷…5

【詳解】(1);

.??有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān).

8

(2)采用分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，則合格品3件，劣質(zhì)品2件，

P=￡i=A

從這5件產(chǎn)品中任選2件，則選出的這2件全是合格品的概率砥10

B=-

18.(1)4(2)1

【分析】(1)根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)三角形公式、結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】⑴根據(jù)正弦定理，由⑸皿^回色+)卜皿-岳m(xù)C>n”c)e+c>=卜志)

=>Z)2_02=Q2-6ca=Z72=Q2+02

222

由余弦定理可知：b=a+c-2cacosBf

DV2兀

所以2,因?yàn)?e(0,n),所以4；

(2)因?yàn)閎=夜，

所以有2=a2+c2~41ca=(a+cj_y[2ac-2ac

而的周長(zhǎng)為2+20,所以a+c=2+VI,

.2=(2+V2)-\[2ac-2ac=>ac=2^2

于是有'',

1.'、66、

—acsvaB=—x2>J2x——=1

所以“3C的面積為222.

19.(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

Vw

⑵5

【分析】(1)根據(jù)中位線和四邊形/BCD為菱形得到線線平行，進(jìn)而得到線面平行，面面平行；

(2)作出輔助線，證明出「4/瓦/。兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，得到法

向量的夾角余弦值，進(jìn)而求出二面角的正弦值.

【詳解】(1)因?yàn)樗倪呅蜰BC。為菱形，所以/3//(力，

又已尸，0分別是“PC,m的中點(diǎn)，所以FQ〃CD,EF〃PB,

故FQHAB,

9

因?yàn)榉?Z平面P/8,PSu平面尸

所以EF//平面同理可得尸0”平面尸N3,

因?yàn)镋FcFQ=F,EF,FQu平面EFQ,

所以平面EFQH平面PAB；

(2)連接/C,

兀

ZABC=-

因?yàn)樗倪呅?BCD為菱形，3,

所以為等邊三角形，BCIIAD

因?yàn)镋分別是8C的中點(diǎn)，所以故

因?yàn)槭?J_平面48cO,u平面48cD,

所以瓦尸/，/。，

故尸4/0兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,八z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

/?

/?

//；：0??一、L.

/八*\/?

J

因?yàn)槭?=AB=2,

4(0,0,0),￡(6,0,0),尸(0,0,21C(@1,O)D(),2,0)F11]Q[,1,1)

所以<>

設(shè)平面NE尸的法向量為行=(無(wú)，％z),

玩?/￡=(X，V，Z)(6,0,0)=y/ix-0

10

解得x=。，令z=l,則尸-2,故前=（0,-2,1）,

設(shè)平面EFQ的法向量為五=（&,%%）,

Y]A1

61+z,

n-EF=(xx,yx,zx).=-萬(wàn)西+2^=n°

k7

鹿1。'

萬(wàn)?。尸=（尤Qi/1）1)=6”產(chǎn)1n=。

則

解得4=0,令西=1得，為=8，故亢山后°）,

【分析】（1）求導(dǎo)，然后分。20和。<°討論函數(shù)“X）的單調(diào)性;

（2）先根據(jù)/⑴=°求出“，再將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

,構(gòu)造函數(shù)

e

h（x\=-----e,xG（0,+oo）

%,求其最小值即；

（3）將函數(shù)“X）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=e，和函數(shù)?"=-依+1的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得答案.

【詳解】（1）由已知/'Oe'+a,

當(dāng)。上°時(shí)，/?。?gt;°恒成立，函數(shù)“X）在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)。<0時(shí)，令得x>ln（-a）,函數(shù)/（x）單調(diào)遞增，

令/'3<0,得x<ln（-a）,函數(shù)/（x）單調(diào)遞減，

綜上：當(dāng)°時(shí)，函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/（X）在011（一°），+8）上單調(diào)遞增，在（r°』n（-a））上單調(diào)遞減；

（2）若函數(shù)"X）在x=l處取得極值，則/<l）=e+a=0,解得a=-e,

11

經(jīng)檢驗(yàn)a=-e符合題意，

所以/（x）=e=ex-1,

則不等式/（x）NbxT恒成立即e-ex-lNbx-l恒成立，

6<e*e

整理得一xe在（0,+8）上恒成立，

h（x）=~--e,xe（0,+oo）

所以I'人叫設(shè)x,

/、（x-l）ex

則X,

令得0<x<l,“X）單調(diào)遞減，令"（x）>°,得X>1,“（X）單調(diào)遞增,

所以，（x）min=Ml）=e-e=0,

所以640;

（3）令f（x）=e*+辦T=°,可得e*=-ox+l,

若函數(shù)/（X）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則函數(shù)g（x）=e、和函數(shù)廠（力=-辦+1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)函數(shù)g（x）=e*和函數(shù)?X）=-G+1的圖象相切時(shí)，

因?yàn)楹瘮?shù)g（x"e、和函數(shù)?）=一亦+1均過(guò)點(diǎn)（°』），則（°』）為切點(diǎn)，

又g'（x）=e',

則切線方程為片e°x+l=x+l,故-Q=l,即。=T

如圖，當(dāng)。=T時(shí)，函數(shù)gG）=e'和函數(shù)乂"=-"+1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),

觀察圖象可得：

12

當(dāng)函數(shù)g（x）=e'和函數(shù)，。）=-辦+1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)有一°>0且pwi,

即a<0且

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為（一°°'T）U（T，。）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒成立問(wèn)題一般通過(guò)參變分離轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，同時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根

的個(gè)數(shù)或者函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.

f2,

——+V-1

21.（1）2

V14-V22+V7-V14-V22-V7

（2）存在點(diǎn)尸，其坐標(biāo)為3'3和33

【分析】（1）由題意，代入兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)易得“力的值，從而橢圓方程即得；

（2）在直線/上設(shè)點(diǎn)尸，設(shè)出切線斜率得直線方程，代入橢圓方程，消元后整理成的一元二次方程，由

判別式為?？傻谩阋黄?+2%%匕-V：+1=0①，同理得到另一式，（2-X；）月+2%%公-了：+1=0②，

通過(guò)同構(gòu)，得出：尢人為方程（2-焉）公+2%%-；+1=°的兩根，由題設(shè)推得其+/=3與直線方程

聯(lián)立即得.

【詳解】（1）由題意，直線八龍-凸+后=°經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一生°）和（°力），解得：a=G,b=\,故橢圓C的

—+/=1

標(biāo)準(zhǔn)方程為：2

如圖，假設(shè)直線/上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P在以為直徑的圓上.

不妨點(diǎn)設(shè)尸（X。，為）,依題意，PA1尸況則兩條切線斜率必存在,

分別設(shè)尸4尸5的斜率為左，后2,則必：>一歹0=左1（%_%0）,lPB-y-y（）=k2（X~Xo\

>一％=左1（%一%）

<2_i，

由2+7一消去V,整理得,（2將+1卜2+的（%一占%））+2（奸工：一2左％0%+"—1）=0

因直線尸4與橢圓相切,

13

故A=16左1（%-左/）-8（2Al之+1）（6￥-2匕%為+就-1）=。

（2-X：）尢"+2%為左一y：+1=0①

整理得:

y-%=a2（工-.）

'無(wú)2_,

-

—Iy~1（2人;+1）工2+4k2（%—k?Xo）%+2（抬%：—2左2%oVo+—1^—0

又由12消去V,可得:

故由八2二16%左2%）-8（2片+1）修片—2左2%%+y；T卜。,整理得.（2-焉）代+2%%左27：+1=0

②

由①②可得：3抬為方程（2_X：）上2+2%為左-y：+1=0的兩根，

左+左—2%%

'2-*一2

岫二^

因"土血,故2-片片0,則A=4x；y；-4（2-川（1-制>0即xo+2y；-2>0,且,2T4

又由尸/1P8可得:

_2±V7

又點(diǎn)尸在直線/上，貝產(chǎn)。一枝"+0=°,即、。=后外一后代入（*）,解得：“一3

2+V7714-^2-V7-VU-A/2

------------%=---------4=--------------

當(dāng)先_3時(shí),3，當(dāng)。3時(shí)，3

V14-V22+S-V14-V22-V7

即存在點(diǎn)—3—'F-）和―3—

經(jīng)檢驗(yàn)它們都滿足裔+2弁-2>0,

V14-V22+V7-V14-V22-V7

故存在點(diǎn)尸使點(diǎn)尸在以為直徑的圓上，點(diǎn)尸坐標(biāo)為’―3—，3）或'—3—3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查的是橢圓的切線方程的處理和對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的處理.

對(duì)于橢圓的切線問(wèn)題一般有兩個(gè)思路，其一設(shè)切點(diǎn)和切線斜率，通過(guò)與橢圓方程聯(lián)立借助于判別式為0

將斜率用切點(diǎn)坐標(biāo)表示得出切線方程；其二是設(shè)直線上點(diǎn)和兩切線斜率，通過(guò)與橢圓方程聯(lián)立借助于判

別式為0得到同構(gòu)方程.

22.⑴曲線￡的極坐標(biāo)方程/cos*-/sin*=