2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-客觀題解題技巧

【二輪復(fù)習(xí)一客觀題解題技巧】

客觀題解題技巧

顯

選擇題答翹技巧填空題答題技巧

P1-5P5-10

考向一選擇題答題技巧

【方法儲(chǔ)備】

1.特殊值法

從題干（或選項(xiàng)）出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進(jìn)行

判斷.特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用.特殊情況可能是：特殊值、特殊

點(diǎn)、特殊位置、特殊函數(shù)等.

2.排除法

排除法就是充分運(yùn)用選擇題中單選題的特征，即有且只有一個(gè)正確選擇項(xiàng)這一信息，從選擇項(xiàng)入手，根據(jù)題設(shè)條

件與各選擇項(xiàng)的關(guān)系，通過分析、推理、計(jì)算、判斷，對(duì)選擇項(xiàng)進(jìn)行排除，將其中與題設(shè)矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除，

從而獲得正確結(jié)論的方法.

3.數(shù)形結(jié)合法

根據(jù)命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義，作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，將數(shù)的問題（如解方程、解不等式、判斷單

調(diào)性、求取值范圍等）與某些圖形結(jié)合起來，利用圖象的直觀性，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到

解決，這種方法稱為數(shù)形結(jié)合法.

4.正難則反

正難則反原則是解題學(xué)中的一個(gè)重要的思維方法，就是當(dāng)從問題的正面去思考問題，遇到阻力難于下手時(shí)，可通

過逆向思維，從問題的反面出發(fā)，逆向地應(yīng)用某些知識(shí)去解決問題。

【典例精講】

例1.(2022,新育與2卷)若sin(a+/?)+cos(<r+刀=2V2cos(a+：)sin0,貝!!()

Atan(a“)一B.tan(a+6)=1

C.tan(a—P)=—1D.tan(a—p)=1

解：方法1：設(shè)(3=0則sina+cosa=0,取a=jii,排除B,D

再取a=0則sin0+cos0=2sin0,取0=排除A;故選C.

方法2：由sin(a+0)+cos(a+0)=2sin(a+0+：)=2sin[(a+；)+B]

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=2sin(a+?)cos0+2cos(a+y)sinp,故2sin(a+g)cosB=2cos(a+j)sinp

故sin(a+I)cosPcos(a+J*)sinp=0(即sin(a+_P)=0(

444

-

故sin(a—p+1)==sin(a-0)+:cos(aP)=0,故sin(aP)=cos(ap),故tan(aP)=~1.

422

故選c

【變式訓(xùn)練】

練1-1(2032新高考2卷)若函數(shù)1^)的定義域?yàn)閰^(qū)，且1^+丫)+1^-曠)=1^)1?0),1?(1)1,則

*f&)=()

A3B-2C0D1

解：令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)?f(l)=f(x)nf(x+1)=f(x)-f(x-1)

故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),

消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=-f(x),故f(x)周期為6;

,?x=i，y=+f(l)=f(l).f(0)f(0)=2.

“2)_f(l)f__L“3)一f(2)一”1)=11=2,

f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1,f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1,

f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2,

故叫:f(k)=3[f(l)+f(2)++f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)

=f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(—1)+(-2)+，1)=-3,即靖，(卜)=一3.

故選C.

解：令f(x)=,3x-3-x)cosx,xe卜，，m，

則f(-xi=(3-x-3x)cosi.-x?=-13X-3-xjcosx=-f(x),所以Rx】為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)xG(0‘2時(shí)’中-3-x>°，cosx>0,所以f(x>>0,排除c.

故選/.

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練1-3(2022?全國(guó)甲卷理科)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(幼x+一)在區(qū)間(Oj)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則幼的取值范圍

是()

A-IlT)B,g,為C.健三D.(W|

解：依題意可得幼>0,因?yàn)閤e(0,n),所以幼x+Ee(E,幼TT+2),

要使函數(shù)在區(qū)間0,g恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，

又y=sinx,xG卜，3TI］的圖象如下所示：

練1-4(2023?浙江省?聯(lián)考題)已知向量不，工，7滿足||=1,2大+；；=丁2斤一：|=|一工|，則向量4(±,-石與不

夾角的最大值是()

A.,,B.KC.KD.f

12b?3

解：方法1：不妨設(shè)方=(-1,0),，=(2,0)>7=(x,y),

因?yàn)樯弦恢?；年—引，所以J(x+.+y2=；(x—2)2+y2

即x?+4x+y2=0,則向量4ch的起點(diǎn)為0，終點(diǎn)在以(-2,0)為圓心，以2為半徑的圓上，

如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)圖中向量4ch所在直線與圓相切時(shí)，

向量44一不與小夾角的最大，且最大值是三.

,」」.［：???2p-Z|=P-b|--'-2P-+6-a|=\c-ftl)

&b=-23****2j(?—'S)―3司=p一由.

W4［(?-K)2-6a(2.%)+*=(c-b)2-

即⑷一?)2-83■(4—b)+12=0,即石-(4一分=0二，--

122-1

所以cos<Q,（4一,）>=tr；T-：；=.^-5）-?>I=

Rl|r-S咔-SI-8f-5i

向量4ch一j與五夾角的最大值號(hào).

故選瓦

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【二輪復(fù)習(xí)—客觀題解題技巧】

練1-5（2023?江蘇省?月考試卷）北斗導(dǎo)航系統(tǒng)內(nèi)55顆衛(wèi)星組成，于2020年6月23日完成全球組網(wǎng)部署，

全面投入使用.北斗七星自古是我國(guó)人民辨別方向判斷季節(jié)的重要依據(jù)，北斗七星分別為天樞、天璇、天磯、天

權(quán)、玉衡、開陽、搖光，其中玉衡最亮，天權(quán)最暗.一名天文愛好者從七顆星中隨機(jī)選兩顆進(jìn)行觀測(cè)，則玉衡和

解：從7顆星中任取2顆星，方法總數(shù)為修，其中，玉衡和天權(quán)都沒有選中的方法數(shù)為器，

故玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的方法數(shù)為好-《，

則玉衡和天權(quán)至少一顆被選中的概率為&哲=21"=￡.

得2121

故選B.

練1-6(2023?安徽省?聯(lián)考題)(多選)定義“正對(duì)數(shù)”：ln+x=[°，0<x<l，,下列命題中正確的有

(lnx,x>1

()

A.若a>0,b>0,貝!Jln+[ab=ln+a+ln+b;

B.若a>0,b>0,貝！Jln+ab=bln+a;

C若a>0,b>0,則ln+(二?>ln+a-ln+b;

D.若a>0,b>0,則ln+|a+b<ln+a+ln+b+ln+2.

解：對(duì)于A,當(dāng)a=J,b=2時(shí)，滿足a>0,b>0,

而ln+(ab)=ln+?=0,ln+a+ln+b=ln+1+ln+2=In2,ln+(ab)0ln+a+ln+b,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)OVaVl,b>0時(shí)，有0<ab<l,從而ln+(ab)=0,bln+a=bx0=0,ln+(ab)=bln+a;

當(dāng)a>l,b>0時(shí)，有ab>l,從而ln+(a13)=lnab=blna，bln+a=blna，ln+(ab)=bln+a.

??.當(dāng)a>0,b>0時(shí)，ln+(a，)=bln+a,命題B正確；

對(duì)于C,由“正對(duì)數(shù)”的定義知，當(dāng)x>0時(shí)，ln+x>0.

當(dāng)OVa<l,0<bVl時(shí)，ln+a-ln+b=0—0=0,而1口+(二)>0,貝(Jln+(2)》ln+a-ln+b;

當(dāng)a>l,0<b<l時(shí)，有d>1ln+aln+b=ln+a0=Ina,而ln+0)=In=InaInb,

hhh

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【二輪復(fù)習(xí)一客觀題解題技巧】

Inb<0,則ln+(±)>ln+aln+b；

當(dāng)0<a<1,b>l時(shí)，有0<2<1,ln+a-ln+b=0-ln+b=-lnb<0,

tl

而ln+(」)=0,貝！Jln+(；)》ln+a-ln+b；

當(dāng)a>l,b>l時(shí)，ln+a-ln+b=Ina-Inb=ln±,貝ijln+>ln+a-ln+b

+

??.綜上可知，當(dāng)a>0,b>0時(shí)，ln+/j>lna_ln+b?命題C正確；

對(duì)于D,由“正對(duì)數(shù)”的定義知，當(dāng)X14X2時(shí),有l(wèi)n+xi<ln+x2.

當(dāng)OVaVl,OVb<l時(shí)，有0Va+bV2,

從而ln+(a+b)<ln+2=ln2,ln+a+ln+b+ln+2=0+0+ln2=ln2,

ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln+2;

當(dāng)a>l,0cbV1時(shí)，有a+b>1,從而ln+(a+b)=ln(a+b)<In(a+a)=ln(2a),

ln+a4-ln+b+ln+2=Ina+0+ln2=ln2a,

ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln+2;

當(dāng)0<aVl,b》l時(shí)，有a+b>l,從而ln+(a+b)=ln(a+b)<ln(b+b)=In(2b),

ln+a+ln+b+ln+2=0+Inb+ln2=In(2b),

ln+(a4-b)<ln+a4-ln+b+ln+2;

當(dāng)a>l,b>l時(shí),ln+[a+b)=ln(a+b),ln+a+ln+b+ln+2=Ina+Inb+ln2=ln(2ab],

2ab—(a+b)=ab—a+ab—b=a(b-1)+b(a—l)>0,:.2ab>a4-b,從而ln+ia+b<lm+a+ln+b+ln+2,

綜上可知，當(dāng)a>0,b>0,則ln+(a+b)<ln+a+ln+b+ln+2,即命題D正確.

故選：BCD.

考向二填空題答題技巧

【方法儲(chǔ)備】

1.特例法

當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，

可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù)，特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，

特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論.這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過程.

2.數(shù)形結(jié)合法

對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對(duì)圖形的直觀分析、判

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【二輪復(fù)習(xí)—客觀題解題技巧】

斷，即可快速得出正確結(jié)果.這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析

幾何中兩點(diǎn)間距離等，求解的關(guān)鍵是明確幾何含義，準(zhǔn)確規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形.

3.構(gòu)造法

用構(gòu)造法解填空題的關(guān)鍵是由條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推導(dǎo)與運(yùn)算過程.構(gòu)造法是建立在

觀察聯(lián)想、分析綜合的基礎(chǔ)之上的，首先應(yīng)觀察題目，觀察已知（例如代數(shù)式）形式上的特點(diǎn)，然后積極調(diào)動(dòng)思維，

聯(lián)想、類比己學(xué)過的知識(shí)及各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型，深刻地了解問題及問題的背景（幾何背景、代數(shù)背景），從

而構(gòu)造幾何、函數(shù)、向量等具體的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到快速解題的目的.

【典例精講】

例2（2022新高考1卷）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程

解：方法1：顯然直線的斜率不為0,不妨設(shè)直線方程為x+by+C=0,于是」…=4.

故C2=1+b2①，|3+4b+C|=|4C|,于是3+4b+C=4c或3+4b+C=-4C,

_（b=-?（b=i

再結(jié)合①解得4b二;0或，_1或_

—一7（~~3

所以直線方程有三條，分別為x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.

（41*條即明

2：設(shè)M,-+y2=1的圓心。(0,0),半徑為L(zhǎng)=1,圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心C(3,4),半徑12=4,

則I。C|=5=T）+12,因此兩圓外切，

由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然x+1=0符合題意；

又由方程（x-3y+（y-4）2=16和x2+y2=1相減可得方程3x+4y-5=0,

即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，

又易知兩圓圓心所在直線。C的方程為4x-3y=0,

直線。C與直線x+1=0的交點(diǎn)為（-1_，），

1

設(shè)過該點(diǎn)的直線為y+：=k（x+D，則達(dá)卜，解得k=]

從而該切線的方程為7x-24y-25=0.（填一條即可）

【變式訓(xùn)練】

練2-1(2022浙江卷)已知多項(xiàng)式(x+2)(x-=a。+a1x+a2x2+asx3+a4x4+asx5,則a?=,

a1+a2+。3+a4+a5=.

解：設(shè)(X_1J的通項(xiàng)—C]x4-T(-1)T,

當(dāng)T二3時(shí)?T4-Cjx-(-11=-4x，

當(dāng)T一2時(shí)，T3=C；x2(-1.-i,X2,所以a2二一4x1+6x2=8；

當(dāng)X=1時(shí)，a0.3]+(J4><2-=0.

家2=2!視23沖琮的%把盾)區(qū)知函激f&V到例4x-2在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

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【二輪復(fù)習(xí)—客觀題解題技巧】

解：f(x)=*_a=1-ax.

1*

⑴若前8l/(x)在區(qū)間(1)，川法增，則f(x)20在(1,2)上恒成立,

叫0恒成立，得“vjjn①

XX

因?yàn)閄6(1,2),

所以;e《，l),由①可知，a<1

一不，、/(x)在區(qū)何(12，甲"遞減1/,t<0，(1,2)上恒成立，

-10.得a>[1.結(jié)合(1「，」，a>1

XX

綜上，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為aW；或a21.

所以若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,1).

故答案為(±,1).

練2-3(2023?遼寧省?模擬題)如圖，在aABC所在平面內(nèi)，分別以AB,BC為邊向外作正方形ABEF和正方形BCHG.

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為S.已知S=匕且asinA+csinC=4asinCsinB,則FH=_______.

4

解：因?yàn)?，在△ABC中有asinA+csinC=4asinCsinB,

所以，由正弦定理得a?+c2=4acsinB,

由S=工，得LacsinB=』，即acsinB=則a2+c2=4x)=6,

由題意得FB=2c,HB=2a,

如右圖：

在^FBH中，ZFBH=360°-90°-ZABC,

則FH2=FB2+HB2-2FBHBcoszFBH

22

=(2c)+i2a|-2i2ci-(2a)cos(360°-90°-zABC)

=2c2+2a2+4acsinzABC=2x6+4x—J8

2=

得FH=32.

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【二輪復(fù)習(xí)—客觀題解題技巧】

練2-4(2023.福建省?模擬題)數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，

公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美.平面直角坐標(biāo)系中，曲線C：x2+y2=

2刈+2訓(xùn)。x2+y2片0)就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：

①曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸和直線y=±x均對(duì)稱；

②曲線C恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；

③曲線C圍成的圖形的面積是4+4n;

④曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過4；

⑤若Rm,n)是曲線C上任意一點(diǎn)，則|m+n-6的最小值是2|.

其中正確的結(jié)論序號(hào)是.

解：由于x2+y2=2|x|+2|y|,則

當(dāng)x20,y30時(shí)，曲線C的方程可化為x2+y2=2x+2y,

化簡(jiǎn)得(x-I)?+(y-1)2=2,表示圓心為(1,1)，半徑為2的半圓；/---X.

當(dāng)x20,y<0時(shí)，曲線C的方程可化為x2+y2=2x-2y,(,/11I

化簡(jiǎn)得(x-I)?+(y+I>=2,表示圓心為(1,一1)，半徑為2的半圓；-----1O-------i~x

當(dāng)x<0,y20時(shí)，曲線C的方程可化為X?+y2=-2x+2y,(J

化簡(jiǎn)得(x+I)2+(y-I)2=2,表示圓心為(—1,1),半徑為2的半圓；

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，曲線C的方程可化為X?+y2=-2x-2y,

化簡(jiǎn)得(x+I)2+(y+I)?=2,表示圓心為(一1,一1),半徑為2的半圓.

作出曲線C:x2+y2=2|x|+2|y|如圖所示：曲線C是四個(gè)半徑為2的半圓圍成的圖形，

由圖易知曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸和直線y=±x均對(duì)稱，故①正確；

曲線C恰好經(jīng)過8個(gè)整點(diǎn)(一2,0),(2,0),9,-2"02,(2,2),(2,-2：,,1-2,21,1-2,-2),故②錯(cuò)誤；

曲線C所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長(zhǎng)為22的正方形的面積之和，從而曲線C所圍成圖形的面積為4X

>x(2)2+(22)2=8+4TT,故③錯(cuò)誤；

由圖可知，曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長(zhǎng)之和，即2x2+22=42,

故④錯(cuò)誤；

因?yàn)镻(mn)到直線x+y-6=0的距離為d=㈣：n-=嚴(yán)±「-4所以1m+n-6,=2d,

當(dāng)d最小時(shí)，易知P(m,n)在曲線C的第一象限內(nèi)的圖象上，

因?yàn)榍€C的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為(1,1)，半徑為r=2的半圓，

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_______________________________________【二輪復(fù)習(xí)一客觀副制a技巧】

圓心(1,1)到x+y—6=0的距離由=#；-：=3=22,

從而dmm=dj—r=2,即|m+n—6|min=2x2=2,故⑤正確.

故答案均①⑤.

練2-5(2022全國(guó)乙卷理科)已知x=X］和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a*1)的極小值點(diǎn)和極大

值點(diǎn)，7；x?<小，則。的

解；f'(X)-2Ina-pxir.,；2有兩個(gè)零點(diǎn)x=x［和x=x2,

構(gòu)造函數(shù)hx()=fix)=2(axlna-ex),對(duì)其求導(dǎo),h'tx)=2ax(lna］2—2e,

(i)Ka>l.則“x在R上單調(diào)財(cái)曾，此時(shí)K￥(?<,)=0.

則廣(X)在(一9二0)上單調(diào)遞減，在(L+與I中盟鵬用，

此時(shí)若有x=X1和x=X2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a*1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

則X］>x2,不符合題意，

2)若OVa<I|A'x在R上*調(diào)遞減,..時(shí)若"(%)=0,

U”X)在(-8X01單調(diào)遞增,在(xo.+8)上單調(diào)理H，

e

ro=

令"(*0)=0'則ax()Mp.

此時(shí).{fx-XI和x=x?分別是函數(shù)f(x)=2ax_ex2(a>0且aR1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且x1<x2,

x11

則需滿足f(x0)>0,即f,Xoi=2(a°lnaex0I=2；/__ex0>0,x0<xolna>1,

故］nax。=In->1,所以a