第5章二元一次方程組（知識(shí)歸納題型突破）（原卷版）（北師大版）

第5章二元一次方程組（知識(shí)歸納+題型突破）1.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念，會(huì)解簡(jiǎn)單的（數(shù)字系數(shù)）；能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，并能檢驗(yàn)解的合理性.2.二元一次方程組的圖像解法，初步體會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系.3.了解解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題的劃歸思想.一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.要點(diǎn)：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.要點(diǎn)：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點(diǎn)：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）．（2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來(lái)共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組．（3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè).二、二元一次方程組的解法2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點(diǎn)：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點(diǎn)：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式．

②在直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn)．③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．要點(diǎn)：二元一次方程組無(wú)解<=>一次函數(shù)的圖像平行（無(wú)交點(diǎn)）二元一次方程組有一解<=>一次函數(shù)的圖像相交（有一個(gè)交點(diǎn)）二元一次方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解<=>一次函數(shù)的圖像重合（有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立的二元一次方程組的解.三、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組要點(diǎn)：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)（1）任何一個(gè)二元一次方程都可以變形為即為一個(gè)一次函數(shù)，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù).（2）我們知道每個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y＝的圖像上，反過(guò)來(lái)，在一次函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)也適合方程.要點(diǎn)：1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同.2.二元一次方程組與一次函數(shù)每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題的步驟：1.確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)解析式.

2.根據(jù)所給條件,列出一組含有待定系數(shù)的方程.

3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決.五、三元一次方程組1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.要點(diǎn)：理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．要點(diǎn)：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法．（2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；（2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．要點(diǎn)：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．題型一二元一次方程（組）及其有關(guān)概念【例1】下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．已知方程是二元一次方程，則（

）A．4 B． C．2 D．2．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（

）A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥3．方程組（1），（2），（3），（4）中，屬于二元一次方程組有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．若方程是二元一次方程，則，．5．已知，用含的代數(shù)式表示，則．題型二解二元一次方程組【例2】用代入法解方程組時(shí)，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練：1．解二元一次方程組，下列能消元的是（

）A．①+②×2 B．①②×2 C．①×2+② D．①×2②2．若是關(guān)于，的二元一次方程的解，則的值為（）A． B． C． D．3．解下列方程組．(1)(2)4．解下列方程組：(1)；(2)．5．若是關(guān)于、的方程組的解，則、的值是（

）A． B． C． D．6．已知方程組和方程組的解相同，求m的值．7．小明解二元一次方程組的過(guò)程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請(qǐng)?jiān)谛∶鹘夥ǖ那皟刹胶竺娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請(qǐng)代入原方程組檢驗(yàn)；如果你認(rèn)為不正確，請(qǐng)指出他解題過(guò)程中最早在哪一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，并求出該方程組的正確解．題型三抄錯(cuò)、遮住等問(wèn)題【例3】?jī)晌煌瑢W(xué)在解方程組時(shí)，甲同學(xué)正確地解出，乙同學(xué)因把c抄錯(cuò)了解得，則a、b、c正確的值應(yīng)為（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練：1.解方程組的解為，由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了■和★兩個(gè)數(shù)和，則這兩個(gè)數(shù)分別為（）A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和題型四二元一次方程組與一次函數(shù)【例4】．已知直線：與直線：交于點(diǎn)，則方程組的解是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．己知直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)在直線上，求的值．2．已知直線和直線，(1)當(dāng)時(shí)，與相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組的解的情況是；(3)當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)方程組的解的情況是．3．已知：如圖一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)A．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)若一次函數(shù)與的圖象與x軸分別交于點(diǎn)B、C，求的面積．(3)結(jié)合圖象，直接寫出時(shí)的取值范圍．題型五三元一次方程組及其應(yīng)用【例5】．解方程組.鞏固訓(xùn)練：1．解方程組：．2．已知滿足，求的值3．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，如果正方體相對(duì)的兩個(gè)面上的式子的值相等，求，，的值．4．A、B、C、D四人干一項(xiàng)工作，若A、B、C三人合干，10天可完工；若A，C，D三人合干，8天可完工，若B與D合干，20天可完工，問(wèn)若D一人獨(dú)干，需多少天完工？題型六二元一次方程組的應(yīng)用【例6】．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題，大致意思是：“用一根繩子對(duì)折去量一根木條，繩子剩余尺：將繩子三折再量木條，木條剩余尺問(wèn)繩子、木條各長(zhǎng)多少尺？”請(qǐng)你解答．鞏固訓(xùn)練：1．眼鏡廠共有工人48人，每位工人每天能生產(chǎn)鏡片40片或鏡架28副．怎樣分配工人能使一天生產(chǎn)的鏡片和鏡架配套？2．庚子鼠年，疫情肆慮，口罩成為生活必需品．甲、乙兩廠分別有4條和5條口罩生產(chǎn)線，兩廠計(jì)劃用3天時(shí)間趕制1000箱口罩支援疫情．若甲廠啟用1條乙廠啟用2條生產(chǎn)線，