第5章二元一次方程組（知識歸納題型突破）（原卷版）（北師大版）

第5章二元一次方程組（知識歸納+題型突破）1.了解二元一次方程（組）的有關(guān)概念，會解簡單的（數(shù)字系數(shù)）；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡單的實際問題，并能檢驗解的合理性.2.二元一次方程組的圖像解法，初步體會方程與函數(shù)的關(guān)系.3.了解解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問題為簡單問題的劃歸思想.一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.要點：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.要點：二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點：（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個.二、二元一次方程組的解法2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點：(1)用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；(3)要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點：當方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過程：①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式．

②在直角坐標系中畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并標出交點．③交點坐標就是方程組的解．要點：二元一次方程組無解<=>一次函數(shù)的圖像平行（無交點）二元一次方程組有一解<=>一次函數(shù)的圖像相交（有一個交點）二元一次方程組有無數(shù)個解<=>一次函數(shù)的圖像重合（有無數(shù)個交點）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點坐標可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對應(yīng)的函數(shù)表達式聯(lián)立的二元一次方程組的解.三、實際問題與二元一次方程組要點：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)（1）任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數(shù)，所以每個二元一次方程都對應(yīng)一個一次函數(shù).（2）我們知道每個二元一次方程都有無數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標的點（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y＝的圖像上，反過來，在一次函數(shù)的圖像上任取一點，它的坐標也適合方程.要點：1.以二元一次方程的解為坐標的點都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點的坐標都適合相應(yīng)的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同.2.二元一次方程組與一次函數(shù)每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達式，再根據(jù)所給的條件確定表達式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數(shù)解析式.

2.根據(jù)所給條件,列出一組含有待定系數(shù)的方程.

3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決.五、三元一次方程組1．定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.要點：理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；（5）將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．要點：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(或三個)未知數(shù)；（2）找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案(包括單位名稱)．要點：(1)解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．題型一二元一次方程（組）及其有關(guān)概念【例1】下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．已知方程是二元一次方程，則（

）A．4 B． C．2 D．2．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（

）A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥3．方程組（1），（2），（3），（4）中，屬于二元一次方程組有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．若方程是二元一次方程，則，．5．已知，用含的代數(shù)式表示，則．題型二解二元一次方程組【例2】用代入法解方程組時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（

）A． B．C． D．鞏固訓練：1．解二元一次方程組，下列能消元的是（

）A．①+②×2 B．①②×2 C．①×2+② D．①×2②2．若是關(guān)于，的二元一次方程的解，則的值為（）A． B． C． D．3．解下列方程組．(1)(2)4．解下列方程組：(1)；(2)．5．若是關(guān)于、的方程組的解，則、的值是（

）A． B． C． D．6．已知方程組和方程組的解相同，求m的值．7．小明解二元一次方程組的過程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請在小明解法的前兩步后面的括號內(nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認為正確，請代入原方程組檢驗；如果你認為不正確，請指出他解題過程中最早在哪一步出現(xiàn)錯誤，并求出該方程組的正確解．題型三抄錯、遮住等問題【例3】兩位同學在解方程組時，甲同學正確地解出，乙同學因把c抄錯了解得，則a、b、c正確的值應(yīng)為（）A． B．C． D．鞏固訓練：1.解方程組的解為，由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了■和★兩個數(shù)和，則這兩個數(shù)分別為（）A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和題型四二元一次方程組與一次函數(shù)【例4】．已知直線：與直線：交于點，則方程組的解是（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．己知直線：經(jīng)過點，．(1)求直線的解析式；(2)若點在直線上，求的值．2．已知直線和直線，(1)當時，與相交于一點，這個點的坐標是；(2)當時，，此時方程組的解的情況是；(3)當時，與重合，此時方程組的解的情況是．3．已知：如圖一次函數(shù)與的圖象相交于點A．(1)求點A的坐標．(2)若一次函數(shù)與的圖象與x軸分別交于點B、C，求的面積．(3)結(jié)合圖象，直接寫出時的取值范圍．題型五三元一次方程組及其應(yīng)用【例5】．解方程組.鞏固訓練：1．解方程組：．2．已知滿足，求的值3．如圖是一個正方體的平面展開圖，如果正方體相對的兩個面上的式子的值相等，求，，的值．4．A、B、C、D四人干一項工作，若A、B、C三人合干，10天可完工；若A，C，D三人合干，8天可完工，若B與D合干，20天可完工，問若D一人獨干，需多少天完工？題型六二元一次方程組的應(yīng)用【例6】．我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有一道題，大致意思是：“用一根繩子對折去量一根木條，繩子剩余尺：將繩子三折再量木條，木條剩余尺問繩子、木條各長多少尺？”請你解答．鞏固訓練：1．眼鏡廠共有工人48人，每位工人每天能生產(chǎn)鏡片40片或鏡架28副．怎樣分配工人能使一天生產(chǎn)的鏡片和鏡架配套？2．庚子鼠年，疫情肆慮，口罩成為生活必需品．甲、乙兩廠分別有4條和5條口罩生產(chǎn)線，兩廠計劃用3天時間趕制1000箱口罩支援疫情．若甲廠啟用1條乙廠啟用2條生產(chǎn)線，