2024年中考數學模擬考試試卷-含答案(北師大版)

2024年中考數學模擬考試試卷-含答案（北師大版）

（滿分：150分；考試時間：120分鐘）

學校:班級：姓名：考號：

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.2023年長沙國際馬拉松在芙蓉中路起跑，來自國內外的26000名跑友匯成一片紅色的海洋

馳騁在長馬賽道上，他們用腳步丈量星城，感受一江兩岸，山水洲城的魅力，圖1是此次全

程馬拉松男子頒獎現場模擬圖，圖2是領獎臺的示意圖，則此領獎臺從正面看到的平面圖是

2.2023年10月18日，第三屆"一帶一路"國際合作高峰論壇在北京開幕.自2013年以來，中

國已同152個國家和30多個國際組織簽署共建"一帶一路"合作文件.2013~2022年，中國與

"一帶一路"國家進出口貿易總額累計19.1萬億美元，年均增長6.4%.數據19.1萬億用科學

記數法表示為（）

A.1.91X1012B.19.1X1012C.191X1011D.1.91X1013

3.如圖，AD_LCE于點A,CD//AB,Zl=30°,則ND的度數為（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

4.如果有理數a,b在數軸上的位置如圖所示，那么下列式子中成立的是（）

II____________III

a-10b1

A.a+b>0B.|a|<|-b\C.(b-l)(a+l)<0D.￡!>0

5.數學世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對象之一，下列數學曲線既是軸對稱圖形,

又是中心對稱圖形的是（）

6.下列運算結果正確的是（）

A.x3?x3=x9B.2x3+3x3=5x6C.（3x2y4）2=6x4y6D.（2+3x）（2-3x）=4-9x2

7.從1,2,3這三個數中任取兩個不同的數，分別記為m,n,那么點（m,n）在反比例函

數y=g的圖象上的概率為（）

第1頁共18頁

8.在反比例函數y=q的圖象上有三個點A(xi,y“，B(x2,y2)?C(x3,y3),若丫2<0<山<丫3,則下

列結論正確的是()

A.X2<O<X1<X3B.XI<X3<0<X2C.X3<X1<O<X2D.X2<O<X3<X1

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=8,ZABC=120°.按以下步驟作圖：①以點B

為圓心，以適當長為半徑作弧，交AB、BC于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，以大于共F

的長為半徑作弧，兩弧相交于點H,作射線BH交AC于點0,交邊AD于點P,則0C的長度

為()

A8V7_2V7_4V5_4V3

A.D.C.D?

3333

10.拋物線y=-x2+2mx-m2+2與y軸交于點C,過點C作直線I垂直于y軸，將拋物線在y軸右

側的部分沿直線I翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點⑷，N(m+1,y?)為圖

形G上兩點，若yi<y2,則m的取值范圍是()

A.m<-1或m>0B.--<m<-C.0^m<V2D.-l<m<l

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.因式分解：a2-4ab=.

12.小林給弟弟買了一些糖果，放到一個不透明的袋子里，這些糖果除了口味和外包裝的顏色

外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數量統計如圖所示.他讓弟弟從袋子里隨機摸出一顆

糖果，則弟弟恰好摸到橘子味糖果的概率為.

14.如圖，已知圓O的內接正六邊形的邊長為4,H是AF的中點，則圖中陰影部分的面積

為o

小

AH

第2頁共18頁

15.甲無人機從地面起飛，乙無人機從距離地面20m高的樓頂起飛，兩架無人機同時勻速上

升10s.甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y（單位：m）與無人機上升的時間x

（單位：s）之間的關系如圖所示.10s時，兩架無人機的高度差為m.

16.如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處,

折痕分別與邊AB,AD交于點E,F.當點M的位置變化時，DF長的最大值為。

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(6分)計算：|值一1|+(j)-1-(n-3.14)°+V9

3x+6>5（x-2）①

18.（6分）解不等式組辭-冷〃②'并求出最小整數解與最大整數解的和?

19.（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,線段EF分別交AD、AC、BC于點E、O、F,OA=OC.求

證：BF=DE.

第3頁共18頁

20.(8分)某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了

一個簡易測角儀，如圖1所示.

(1)如圖2,在點P觀察所測物體最高點C,當量角器零刻度線上A,B兩點均在視線PC上時，

測得視線與鉛垂線所夾的銳角為a,設仰角為B,請直接用含a的代數式表示B;

(2)如圖3,為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點B,C

處分別測得氣球A的仰角NABD為37。，NACD為45。，地面上點B,C,D在同一水平直

線上，BC=26米，求氣球A離地面的高度AD.(參考數據：sin37°=0.60,cos37°七0.80,

tan37°七0.75)

21.(8分)為了解學生手機使用情況，某學校開展了"手機伴我健康行"主題活動，他們隨機抽

取部分學生進行"使用手機的目的"和"每周使用手機的時間"的問卷調查，并繪制成如圖所示

的統計圖，已知"查資料"的人數為40.

使用手機的目的扇形統計圖每周使用手機的時間條形統計圖

(0~1表示大于0同時小于1,以此類推)

請你根據以上信息解答下列問題：

(1)本次隨機抽取的學生共有人；

(2)在扇形統計圖中，"玩游戲"對應的百分比為，圓心角度數為度；

⑶補全條形統計圖；

(4)該校一共約有學生2100人，估計每周使用手機時間在2小時以上(不含2小時)的人數.

第4頁共18頁

22.(8分)如圖，?0的直徑AB與其弦CD相交于點E,過點A的切線交CD的延長線于點F,

且NAED=NEAD.

(1)求證：AD=FD;

(2)若cosNAEF=|,AE=6,求。0半徑的長。

23.(10分)信陽毛尖又稱豫毛峰，屬綠茶類，是中國十大名茶之一，也是河南省著名特產之一，

其主要產地在信陽市源河區(qū)、平橋區(qū)和羅山縣，由漢族茶農創(chuàng)制.某茶葉店經營信陽毛尖，

據了解，市場上A種茶的價格比B種茶貴50元，用600元在市場上購進的A種茶比購進的

B種茶少2盒.

(1)求購進的A、B兩種茶每盒的價格；

(2)該茶葉店決定在茶葉廠家購買A、B兩種茶共100盒，且A種茶的盒數不低于B種茶盒數

的去茶葉廠家為開拓市場，對A、B兩種茶的進價均提供九折優(yōu)惠.求茶葉店本次購進茶

葉的最少花費.

第5頁共18頁

24.(10分)如圖，已知一次函數y=x+b分別與x軸和反比例函數y=3x>0)交于點B(2,0),A(a,

2).

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；

⑵反比例函數圖象上是否存在點P,使得4PBA的面積與AOBA的面積相等，若存在，請求

出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

⑶把一次函數y=x+b的圖象繞點A旋轉一定角度交反比例函數y=3x>0)的圖象于另一點N,

交y軸于點M,當煞=3時，求直線MN的函數表達式.

備用圖

25.(12分)如圖1,拋物線y=ax2+bx-3(a20)與x軸交于點A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點

C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖2,點P,Q為直線BC下方拋物線上的兩點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1,過

點P作PM〃y軸交BC于點M,過點Q作QN〃y軸交BC于點N,求PM+QN的最大值及此

時點Q的坐標；

⑶如圖3,將拋物線先向右平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度得到新的拋物線y',

在y'的對稱軸上有一點D,坐標平面內有一點E,使得以點B,C,D,E為頂點的四邊形是矩

形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標.

圖1圖2圖3

第6頁共18頁

26.(12分)數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)

律，再結合其他數學知識的內在聯系，最終可以獲得寶貴的數學經驗，并將其運用到更廣闊

的數學天地.

(1)發(fā)現問題：如圖1,在aABC和4AEF中，AB=AC,AE=AF,ZBAC=ZEAF=30°,連接BE,

CF,延長BE交CF于點D,則BE與CF的數量關系：,ZBDC=.

⑵類比探究：如圖2,在^ABC和4AEF中，AB=AC米，AE=AF,ZBAC=ZEAF=120°,連接

BE、CF,延長BE,FC交于點D.請猜想BE與CF的數量關系及aBDC的度數，并說明理由；

⑶拓展延伸：如圖3,AABC和4AEF均是等腰直角三角形，ZBAC=ZEAF=90°；連接BE、

CF,且點B,E,F在一條直線上，過點A作AM_LBF,垂足為M,則BF,CF,AM之間的數

量關系為O

(4)實踐應用：如圖4,在正方形ABCD中，AB=2,若平面內存在點P滿足NBPD=90°,PD=1,

則SAABP=,

圖3圖4

第7頁共18頁

答案

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.2023年長沙國際馬拉松在芙蓉中路起跑，來自國內外的26000名跑友匯成一片紅色的海洋

馳騁在長馬賽道上，他們用腳步丈量星城，感受一江兩岸，山水洲城的魅力，圖1是此次全

程馬拉松男子頒獎現場模擬圖，圖2是領獎臺的示意圖，則此領獎臺從正面看到的平面圖是

（A）

2.2023年10月18日，第三屆"一帶一路"國際合作高峰論壇在北京開幕.自2013年以來，中

國已同152個國家和30多個國際組織簽署共建"一帶一路"合作文件.2013~2022年，中國與

"一帶一路"國家進出口貿易總額累計19.1萬億美元，年均增長6.4%.數據19.1萬億用科學

記數法表示為（D）

A.1.91X1012B.19.1X1012C.191X1011D.1.91X1013

3.如圖，AD_LCE于點A,CD/7AB,Zl=30°,則ND的度數為(A)

A.60°B.50°C.40°D.30°

4.如果有理數a,b在數軸上的位置如圖所示，那么下列式子中成立的是（D）

II________________III

a-10b1

A.a+b>0B.|a|<|-b\C.(b-l)(a+l)<0D.^>0

5.數學世界奇妙無窮，其中曲線是微分幾何的研究對象之一，下列數學曲線既是軸對稱圖形,

又是中心對稱圖形的是（C）

6.下列運算結果正確的是（D）

A.x3?x3=x9B.2x3+3x3=5x6C.（3x2y4）2=6x4y6D.（2+3x）（2-3x）=4-9x2

7.從1,2,3這三個數中任取兩個不同的數，分別記為m,n,那么點（m,n）在反比例函

數y=：的圖象上的概率為（B）

8.在反比例函數y=T的圖象上有三個點A(xi,y“,B(x2,y2)>C(x3,ys),若y2<0<yi<y3,則下

列結論正確的是(B)

A.X2<O<X1<X3B.X1<X3<O<X2C.X3<XI<0<X2D.X2<O<X3<X1

第8頁共18頁

9.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=8,ZABC=120°.按以下步驟作圖：①以點B

為圓心，以適當長為半徑作弧，交AB、BC于E、F兩點；②分別以點E、F為圓心，以大于共F

的長為半徑作弧，兩弧相交于點H,作射線BH交AC于點0,交邊AD于點P,則0C的長度

為(A)

10.拋物線y=-x2+2mx-m2+2與y軸交于點C,過點C作直線I垂直于y軸，將拋物線在y軸右

側的部分沿直線I翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點yi),N(m+1,y?)為圖

形G上兩點，若y?y2,則m的取值范圍是(D)

A.m<-1或m>0B.--<m<-C.0^m<V2D.-l<m<l

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.

11.因式分解：a2-4ab=a(a—4b)

12.小林給弟弟買了一些糖果，放到一個不透明的袋子里,這些糖果除了口味和外包裝的顏色

外其余都相同，袋子里各種口味糖果的數量統計如圖所示.他讓弟弟從袋子里隨機摸出一顆

糖果，則弟弟恰好摸到橘子味糖果的概率為3.

顆數

5

4

訂

萄萄味草莓味橘子味蘋果味類型

13.關于x的一元二次方程x2+mx+n=0有兩個相等的實數根，則m2-2(1012+2n)=-2024.

14.如圖，已知圓O的內接正六邊形的邊長為4,H是AF的中點，則圖中陰影部分的面積為

37+4'\/^o

15.甲無人機從地面起飛，乙無人機從距離地面20m高的樓頂起飛，兩架無人機同時勻速上

升10s.甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y(單位：m)與無人機上升的時間x

第9頁共18頁

（單位：s）之間的關系如圖所示.10s時，兩架無人機的高度差為20m.

16.如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=6.折疊該菱形，使點A落在邊BC上的點M處,

折痕分別與邊AB.AD交于點E,F.當點M的位置變化時,DF長的最大值為6-36。

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（6分）計算：|值一1|+（j）-1-（n-3.14）°+V9

=73-1+2-1+3

=V3+3

3x+6>5（x-2）①

18.（6分）解不等式組x-54x-3…，并求出最小整數解與最大整數解的和?

（V_寧VI②

解不等式①，得X<8.''

解不等式②，得x>-3.

...不等式組的解集為-3<x/8.

...不等式組的最小整數解為-2,最大整數解為8.

???最小整數解與最大整數解的和為6.

19.（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,線段EF分別交AD、AC、BC于點E、O、F,OA=OC.求

證：BF=DE.

BC

第10頁共18頁

證明：四邊形ABCD是平行四邊形

AAD/ZBC,AD=BC

:.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO

.\ZAEO=ZCFO

在AAOE和△COF中

(ZAEO=ZCFO

JZEAO=ZFCO

(OA=OC

.?.AAOE^ACOF(AAS)

.\AE=CF

又TAD=BC

:.BC-CF=AD—AE

BF=DE

20.（8分）某綜合實踐研究小組為了測量觀察目標時的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了

一個簡易測角儀，如圖1所示.

⑴如圖2,在點P觀察所測物體最高點C,當量角器零刻度線上A,B兩點均在視線PC上時，

測得視線與鉛垂線所夾的銳角為a,設仰角為B,請直接用含a的代數式表示B;

（2）如圖3,為了測量廣場上空氣球A離地面的高度，該小組利用自制簡易測角儀在點B,C

處分別測得氣球A的仰角NABD為37。，NACD為45。，地面上點B,C,D在同一水平直

線上，BC=26米，求氣球A離地面的高度AD.（參考數據:sin37°~0.60,cos37°~0.80,

tan37°七0.75）

解：⑴根據題意,得B=90°-a.

(2)設AD=x米

VZACD=45°,ZADB=90°

.\CD=AD=xX

VBC=26米

:.BD=(26+x)米

在RtZ\ABD中，tanNABD=^^,HR0.75=^—

26+%26+%

解得x=78.

經檢驗，x=78是分式方程的根，且符合題意

第11頁共18頁

21.（8分）為了解學生手機使用情況，某學校開展了"手機伴我健康行"主題活動，他們隨機抽

取部分學生進行"使用手機的目的"和"每周使用手機的時間"的問卷調查，并繪制成如圖所示

的統計圖，已知"查資料"的人數為40.

使用手機的目的扇形統計圖每周使用手機的時間條形統計圖

（0~1表示大于。同時小于1,以此類推）

請你根據以上信息解答下列問題：

⑴本次隨機抽取的學生共有人；

⑵在扇形統計圖中，"玩游戲"對應的百分比為，圓心角度數為度；

⑶補全條形統計圖；

（4）該校一共約有學生2100人，估計每周使用手機時間在2小時以上（不含2小時）的人數.

解：（1）404-40%=100（人）

即本次隨機抽取的學生共有100人.故答案為100.

（2）在扇形統計圖中，"玩游戲"所對應的百分比為

1-40%-18%-7%=35%,360x35%=126°

故答案為35%,126.

（3）"3小時以上,'的人數為100-2-16-18-32=32.

補全條形統計圖如下：

每周使用手機的時間條形統計圖

(4)2100x^-=1344(人).

答：估計每周使用手機時間在2小時以上（不含2小時）的人數為1344.

22.（8分）如圖，。0的直徑AB與其弦CD相交于點E,過點A的切線交CD的延長線于點F,

且NAED=NEAD.

（1）求證：AD=FD;

第12頁共18頁

(2)若cosNAEF=|,AE=6,求。O半徑的長。

A

JX

CQDF

(1)證明：AF與圓相切于點A

,直徑AB±AF

ZFAD+ZEAD=ZF+ZAED=Z90°

VZAED=ZEAD

.\ZF=ZFAD

.,.AD=FD

VZEAF=90°

/.cosZAEF=—=|

EF5

VAE=6

:.EF=1O

VZAED=ZEAD

.\AD=ED

AAD=-EF=5

2

「AB是(DO的直徑

ZADB=90°

VZAED=ZEAD

.,.cosZEAD=cosZAEF=-

AD3

???-一一

AB5

工。0半徑的長為臺

o

第13頁共18頁

23.(10分)信陽毛尖又稱豫毛峰，屬綠茶類，是中國十大名茶之一，也是河南省著名特產之一，

其主要產地在信陽市源河區(qū)、平橋區(qū)和羅山縣，由漢族茶農創(chuàng)制.某茶葉店經營信陽毛尖，

據了解，市場上A種茶的價格比B種茶貴50元，用600元在市場上購進的A種茶比購進的

B種茶少2盒.

(1)求購進的A、B兩種茶每盒的價格；

(2)該茶葉店決定在茶葉廠家購買A、B兩種茶共100盒，且A種茶的盒數不低于B種茶盒數

的去茶葉廠家為開拓市場，對A、B兩種茶的進價均提供九折優(yōu)惠.求茶葉店本次購進茶

葉的最少花費.

解：⑴設購進的A種茶每盒的價格為x元，則B種茶每盒的價格為(x-50)元.

根據題意，得好=飛一2

解得x=150.

經檢驗，x=150是原方程的解，且符合題意.

.,.x-50=150-50=100.

答：購進的A種茶每盒的價格為150元，B種茶每盒的價格為100元.

⑵設購買A種茶葉m盒，則購買B種茶葉(100-m)盒

根據題意，得m2：(100—m)

設本次購買花費w元.

根據題意，得w=150x0.9m+100x0.9(100-m)=45m+9000.

V45>0

，w隨m的增大而增大.

Am的最小值為34

.,.當m=34時，w取得最小值，最小值=45x34+9000=10530.

答：茶葉店本次購買茶葉的最少花費為10530元

24.(10分)如圖，已知一次函數y=x+b分別與x軸和反比例函數丫=矢>0)交于點B(2,0),A(a,

2).

(1)求反比例函數和一次函數的表達式；

(2)反比例函數圖象上是否存在點P,使得4PBA的面積與AOBA的面積相等，若存在，請求

出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

⑶把一次函數y=x+b的圖象繞點A旋轉一定角度交反比例函數y=：(x>0)的圖象于另一點N,

交y軸于點M,當皆=3時，求直線MN的函數表達式.

第14頁共18頁

y八

備用圖

解：⑴將點B(2,0)代入一次函數y=x+b

得0=2+b,解得b=-2

，一次函數的表達式為y=x-2

將點A(a,2)代人y=x-2,得2=a-2,解得a=4

.,.A(4,2)

將點A(4,2)代入反比例函數y=^(x>0)

得k=4x2=8

...反比例函數的表達式為y=；(x>0)

⑵存在點P

如圖1所示，過點O作OP〃AB交反比例函數于點P

則SAPRA=SAOBA

?.?直線AB的函數表達式為y=x-2

直線OP的函數表達式為y=x

令X、，解得XI=2M,XZ=-2V2(舍去)

X

：.P(2V2,2V2)

?..直線AB交y軸于點D

/.D(0,-2)

把直線AB向下平移2個單位長度

則直線P'E的函數表達式為y=x-4

第15頁共18頁

令X-4=A解得X3=2+2g,X4=2-26(舍去)

X

：.P'(2+2V3,2V3-2).

，存在點P,坐標為(2V2,2V2)或(2+2V3,2V3-2).

(3)y=-3+5或y=_

40L

25.(12分)如圖1,拋物線y=ax2+bx-3(a00)與x軸交于點A(-l,0),B(3,0),與y軸交于點

C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖2,點P,Q為直線BC下方拋物線上的兩點，點Q的橫坐標比點P的橫坐標大1,過

點P作PM〃y軸交BC于點M,過點Q作QN〃y軸交BC于點N,求PM+QN的最大值及此

時點Q的坐標；

⑶如圖3,將拋物線先向右平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度得到新的拋物線y',

在丁的對稱軸上有一點D,坐標平面內有一點E,使得以點B,C,D,E為頂點的四邊形是矩

形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標.

圖1圖2圖3

(1)把A(-l,0)和B(3,0)代入y=ax2+bx-3(a^0)

a—b—3=0

9a+3b—3=0

，拋物線的表達式為y=x2-2x-3

⑵拋物線y=x2-2x-3與y軸交于點C

令x=0,則y=-3.

...點C的坐標為(0,-3)

設直線BC的表達式為y=kx+b'.

把B(3,0),C(0,-3)代入

回直線BC的表達式為y=x-3.

第16頁共18頁

點P,Q為直線BC下方拋物線上的兩點

設P(t,t2-2t-3),則Q(t+1,12-4)

回M(t,t-3)、N(t+1,t-2)

回PM=-t2+3t>QN=-t2+t+2

回P