福建省寧德市福安第六中學2025屆高一下數(shù)學期末綜合測試試題含解析

福建省寧德市福安第六中學2025屆高一下數(shù)學期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大致圖象為（）A． B． C． D．2．函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上所有的點（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度3．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，且，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．最大角為銳角的等腰三角形 D．最大角為鈍角的等腰三角形4．已知直線l過點且與直線垂直，則l的方程是（）A． B．C． D．5．已知的頂點坐標為，，，則邊上的中線的長為（）A． B． C． D．6．在空間中，可以確定一個平面的條件是（）A．一條直線B．不共線的三個點C．任意的三個點D．兩條直線7．如圖所示，向量，則（）A． B． C． D．8．已知向量、滿足，且，則為（）A． B．6 C．3 D．9．設x、y滿足約束條件，則z＝2x﹣y的最大值為（）A．0 B．0.5 C．1 D．210．若關于x，y的方程組無解，則（）A． B． C．2 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關于函數(shù)，下列命題：①若存在，有時，成立；②在區(qū)間上是單調遞增；③函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖象；④將函數(shù)的圖象向左平移個單位后將與的圖象重合．其中正確的命題序號__________12．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側面積為_____．13．在中,,且,則．14．已知向量，，若，則__________．15．△ABC中，，，則=_____．16．已知數(shù)列滿足，（），則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測站，1小時后在處測得與海輪的距離為30海里，且處對兩艘海輪，的視角為30°．（1）求觀測站到港口的距離；（2）求海輪的航行速度．18．設和是兩個等差數(shù)列，記（），其中表示，，這個數(shù)中最大的數(shù).已知為數(shù)列的前項和，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求，，的值，并求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列前項和.19．為了了解高一學生的體能狀況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小長方形的面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組頻數(shù)為12.（1）求第二小組的頻率；（2）求樣本容量；（3）若次數(shù)在110以上為達標，試估計全體高一學生的達標率為多少？20．如圖，在梯形中，，，，.（1）在中，求的長；（2）若的面積等于，求的長.21．如圖，已知等腰梯形中，是的中點，，將沿著翻折成，使平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在線段上是否存在點P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】令，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，又令，所以有兩個零點，因為，，所以，且當時，，，當時，，，當時，，，選項C滿足條件.故選C.點睛：本題考查函數(shù)的解析式和圖象的關系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；已知函數(shù)的解析式識別函數(shù)圖象是高考常見題型，往往從定義域、奇偶性（對稱性）、單調性、最值及特殊點的符號進行驗證，逐一驗證進行排除.2、D【解析】

由圖象求得函數(shù)解析式的參數(shù)，再利用誘導公式將異名函數(shù)化為同名函數(shù)根據(jù)圖象間平移方法求解.【詳解】由圖象可知，又，所以，又因為，所以，所以，又因為，又，所以所以又因為故選D.【點睛】本題考查由圖象確定函數(shù)的解析式和正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象之間的平移，關鍵在于將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，屬于中檔題.3、D【解析】

先由余弦定理，結合題中條件，求出，再由，求出，進而可得出三角形的形狀.【詳解】因為，所以，，所以.又，所以，則的形狀為最大角為鈍角的等腰三角形.故選D【點睛】本題主要考查三角形的形狀的判定，熟記余弦定理即可，屬于常考題型.4、A【解析】

直線2x–3y+1=0的斜率為則直線l的斜率為所以直線l的方程為故選A5、D【解析】

利用中點坐標公式求得，再利用兩點間距離公式求得結果.【詳解】由，可得中點又本題正確選項：【點睛】本題考查兩點間距離公式的應用，關鍵是能夠利用中點坐標公式求得中點坐標.6、B【解析】試題分析：根據(jù)平面的基本性質及推論，即確定平面的幾何條件，即可知道答案．解：對于A．過一條直線可以有無數(shù)個平面，故錯；對于C．過共線的三個點可以有無數(shù)個平面，故錯；對于D．過異面的兩條直線不能確定平面，故錯；由平面的基本性質及推論知B正確．故選B．考點：平面的基本性質及推論．7、A【解析】

根據(jù)平面向量的加法的幾何意義、平面向量的基本定理、平面向量數(shù)乘運算的性質，結合進行求解即可.【詳解】.故選：A【點睛】本題考查了平面向量基本定理及加法運算的幾何意義，考查了平面向量數(shù)乘運算的性質，屬于基礎題.8、A【解析】

先由可得,即可求得,再對平方處理,進而求解【詳解】因為,所以,則,所以,則,故選:A【點睛】本題考查向量的模,考查向量垂直的數(shù)量積表示,考查運算能力9、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，3），化目標函數(shù)z＝2x﹣y為y＝2x﹣z，由圖可知，當直線y＝2x﹣z過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為2×2﹣3＝1．故選：C．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．10、A【解析】

由題可知直線與平行,再根據(jù)平行公式求解即可.【詳解】由題,直線與平行,故.故選：A【點睛】本題主要考查了二元一次方程組與直線間的位置關系,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③【解析】

根據(jù)題意，由于，根據(jù)函數(shù)周期為,可知①、若存在，有時，成立；正確，對于②、在區(qū)間上是單調遞減；因此錯誤，對于③、，函數(shù)的圖象關于點成中心對稱圖象，成立．對于④、將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到，與的圖象重合錯誤，故答案為①③考點：命題的真假點評：主要是考查了三角函數(shù)的性質的運用，屬于基礎題．12、【解析】

由已知求得母線長，代入圓錐側面積公式求解．【詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長l=,∴圓錐的側面積S=πrl=2π．故答案為：2π．【點睛】本題考查圓錐側面積的求法,側面積公式S=πrl.13、【解析】

∵在△ABC中，∠ABC＝60°，且AB＝5，AC＝7，

∴由余弦定理，可得：，

∴整理可得：，解得：BC＝8或?3（舍去）．考點：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形內角和定理及兩角和的余弦公式．14、1【解析】由,得.即.解得.15、【解析】試題分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A為銳角，由得，因此考點：正余弦定理16、31【解析】

根據(jù)數(shù)列的首項及遞推公式依次求出、、……即可.【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查利用遞推公式求出數(shù)列的項，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）海里；（2）速度為海里/小時【解析】

（1）由已知可知,所以在中，運用余弦定理易得OA的長．（2）因為C航行1小時到達C，所以知道OC的長即可，即求BC的長．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【詳解】（1）因為海倫的速度為20海里/小時，所以1小時后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：解得：中，，，所以所以在中，由正弦定理知：，解得：所以答：船的速度為海里/小時【點睛】三角形中一般已知三個條件可求其他條件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．18、（1）；（2），，，；（3）【解析】

（1）根據(jù)題意，化簡得，運用已知求公式，即可求解通項公式；（2）根據(jù)題意，寫出通項，根據(jù)定義，令，可求解，，的值，再判斷單調遞減，可求數(shù)列的通項公式；（3）由（1）（2）的數(shù)列、的通項公式，代入數(shù)列中，運用錯位相減法求和.【詳解】（1）∵，∴，當時，，化簡得，∴，當時，，，∵，∴，∴是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴.（2），，，當時，，∴單調遞減，所以.（3）作差，得【點睛】本題考查（1）已知求公式；（2）數(shù)列的單調性；（3）錯位相減法求和；考查計算能力，考查分析問題解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度.19、（1）;（2）；（3）%【解析】

(1)由于每個長方形的面積即為本組的頻率,設第二小組的頻率為4,則解得第二小組的頻率為(2)設樣本容量為,則(3)由(1)和直方圖可知,次數(shù)在110以上的頻率為由此估計全體高一學生的達標率為%20、（1）；（2）【解析】

（1）首先利用同角三角函數(shù)的基本關系求出，再利用正弦定理求解即可．（2）求出梯形的高，再利用三角形的面積求解即可．【詳解】解：（1）在梯形中，，，，．可得，由正弦定理可得：．（2）過作，交的延長線于則即梯形的高為，因為的面積等于，，，，【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，三角形面積公式的應用，屬于中檔題．21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）存在點P，使得平面，且．【解析】

試題分析：（I）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，需證明垂直平面內的兩條相交直線．由題意易得四邊形是菱形，所以，從而，即，進而證得平面．（Ⅱ）由（I）可知，、、兩兩互相垂直，故可以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求得二面角的余弦值．（Ⅲ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理，只要能找到一點P使得PM平行平面內的一條直線即可．由于，故可取線段中點P，中點Q，連結．則，且．由此即可得四邊形是平行四邊形，從而問題得證．試題解析：（I）由題意可知四邊形是平行四邊形，所以，故．又因為，M為AE的中點所以，即又因為，所以四邊形是平行四邊形．所以故．因為平面平面，平面平面，平面所以平面．因為平面，所以．因為，、平面，所以平面．（Ⅱ）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，，，．平面的法向量為．設平面