廣東省百校聯(lián)考2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

廣東省百校聯(lián)考2024年高考數(shù)學(xué)三模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

ax,x<1

1.已知實(shí)數(shù)。>0,awl,函數(shù)/（力=,4在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

xH----i-6zln%,%>1

、x

A.i<a<2B.a<5C.3<a<5D.2<a<5

2.已知角e的終邊與單位圓/+/=i交于點(diǎn)%），貝！1cos21等于（）

1721

A.—B.----C.——D.-

9933

7

3.已知ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,且A=60。，b=3,AO為邊上的中線，若AD=—,

2

則,ABC的面積為（）

25gA

15/3n35百

c\j?-------------

44-T4

4.已知函數(shù)/（x）=sin[2x+：],則函數(shù)/（X）的圖象的對(duì)稱軸方程為（）

A.x=K7C-----ZB.x-k7i+—.kGZ

44

1,_17C—

C.X--K771.KGZD.X=—k77T+—.1kGZ

224

5.總體由編號(hào)01,,02,…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1

行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

6.已知S〃為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，“5=16,的。4=-32,貝（）8=（）

A.-21B.-24C.85D.-85

7.集合加=[^^=”二^,%￡2｝的真子集的個(gè)數(shù)為（）

A.7B.8C.31D.32

8.若+%（2%-1）+。2（2%一1）2+。3（2%-1）3+。4（2%-1）4+。5（2%-1）5=%5,則%的值為（）

9.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,

曲線C:（必+/）3=16x2y2恰好是四葉玫瑰線.

給出下列結(jié)論：①曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都

不超過(guò)2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于4萬(wàn)；④方程（/+丁2）3=16%2y2（個(gè)（0）表示的曲線。在第二象限和第四

象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.②③④

22

10.若雙曲線E：__工=1（。>03>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為歹（3,0）,過(guò)尸點(diǎn)的直線/與雙曲線E交于A、B兩點(diǎn),

a2~b2

且A3的中點(diǎn)為P（—3,—6）,則E的方程為（）

11.已知3+ai=b-（2a-l）i,則|3。+沅|=（）

A.MB.2A/3c.3D.4

12.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-iz=2+i（i為虛數(shù)單位），貝!Iz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在AABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為。、b、c,若c=l,C=60,則〃的取值范圍是.

14.四面體A—5CD中，AB_L底面BCD,AB=BD=^/2,CB=CD=1,則四面體A—BCD的外接球的表面積為

15.設(shè)復(fù)數(shù)2滿足?+1）=—3+2。則』=.

16.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一2400人、高二2000人、高三〃人中，抽取90人進(jìn)行

問(wèn)卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為36,那么高三被抽取的人數(shù)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖,三棱柱ABC-AgG中，側(cè)面BB&C是菱形,其對(duì)角線的交點(diǎn)為。，且AB=AC1=，4c.

（1）求證：49,平面53。。；

（2）設(shè)/6內(nèi)。=60。，若直線4耳與平面所成的角為45。，求二面角A-Be-5的正弦值.

18.（12分）已知等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列也｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，它們的前〃項(xiàng)和分別為7；,且4=2%=2,

b2s3-54,a2+T2=11.

（1）求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求+々2b2+。3&++%2；

（3）是否存在正整數(shù)機(jī)，使得恰好是數(shù)列｛4｝或｛〃｝中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的根的值；若不

3加十

存在，說(shuō)明理由.

x=2cos6z,

19.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，》軸的正半軸為

y=sina

極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為Q=-2sin仇

（1）求曲線G的普通方程和曲線G的普通方程；

（2）若p,Q分別為曲線a，C?上的動(dòng)點(diǎn)，求IPQI的最大值.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足a.+i=2a“+2用+l(twN*),7=1,等差數(shù)列他,｝滿足d+2〃=2包1+4(〃=2,3,),

(1)分別求出{4},{〃}的通項(xiàng)公式;

{_____41g2_____}

(2)設(shè)數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列'7?-1+S“+J的前"項(xiàng)和為&證明：T<\.

4+1ign

21.(12分)如圖，已知四邊形ABC。的直角梯形，AD//BC,AD1.DC,AD=4,DC=BC=2,G為線段A。

的中點(diǎn)，PG,平面ABC。，PG=2,〃為線段AP上一點(diǎn)(M不與端點(diǎn)重合).

p

A

(1)若=

(i)求證：PC〃平面3MG；

(ii)求平面24。與平面所成的銳二面角的余弦值；

(2)否存在實(shí)數(shù)X滿足AM=2AP，使得直線用與平面3MG所成的角的正弦值為?,若存在，確定的彳值,

5

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(10分)如圖，三棱柱A3C—A3]G中，AABC與AA|3C均為等腰直角三角形，ZBAC=ZBA.C=90°,側(cè)面

844萬(wàn)是菱形.

(1)證明：平面ABC,平面ABC；

(2)求二面角A—BO1—C的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)分2段分析：當(dāng)x<l,/(x)=a',由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得a>1①，當(dāng)

x>l,f(x)=x2+-+alnx,由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得/'(x)=2x—之+W之。，在［L+8)上恒成立，變形

XXX

可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得aWl+4③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.

【詳解】

ax,x<1

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(%)=,4在A上單調(diào)遞增，

XH---F^lnx,x>1

當(dāng)x<l"(x)=a3若/(%)為增函數(shù)，貝！Ja>l①，

74

當(dāng)元21,/(冗)=九H---\-alnx9

x

若“X)為增函數(shù)，必有f(x)=2x-3+在［L+8)上恒成立，

變形可得：a>--2x2,

X

又由可得g(x)=3—2/在口,”)上單調(diào)遞減，則3—2/<0—2=2,

XX1

若a2在［1,+<?)上恒成立，貝！I有a22②，

X

若函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，

則需有aWl+4=5,③

聯(lián)立①②③可得：2WaW5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

2、B

【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出sina,再由二倍角公式可求cos2cr.

【詳解】

解：角a的終邊與單位圓d+y2=l交于點(diǎn)尸］；,為

1

cosa,

3

cos2a=2cos2?-1=2x

故選：B

【點(diǎn)睛】

考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式，是基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

延長(zhǎng)AD到E,使=連接則四邊形A3EC為平行四邊形，根據(jù)余弦定理可求出=5,進(jìn)而可

得ABC的面積.

【詳解】

解：延長(zhǎng)AD到E,使=連接則四邊形AHEC為平行四邊形,

則BE=AC=3,ZABE=180-60=120，AE=2A￡>=7,

在石中，AE2=AB2+BE2-2AB-BEcosZABE

貝!I72=6+32—2xABx3xcosl20,得AB=5,

SABC=-AB-AC-sin60=-x5x3x^=i^.

阪2224

故選：B.

fE

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題.

4、C

【解析】

/(x)=cos2x,將2x看成一個(gè)整體，結(jié)合V=cosx的對(duì)稱性即可得到答案.

【詳解】

由已知，/(x)=cos2x,令2%=左萬(wàn)，左eZ,得x左"，左eZ.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問(wèn)題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般采用整體法，結(jié)合三角函數(shù)cosx的性質(zhì)，是

一道容易題.

5、D

【解析】

從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01.所以第5個(gè)個(gè)體是01,選D.

考點(diǎn)：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機(jī)數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運(yùn)用能力.

6、D

【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得aif=16,-32,通過(guò)解該方程求得它們的值，求首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前"項(xiàng)

和公式解答即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

?.?〃5=16,的。4=-32,

，aiq4=16,“q5=_32,

:?q=-2,則q=1,

8

則S=lx[l-(-2)]=_8g>

81+2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的前"項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

計(jì)算M={2,6,0},再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)得到答案.

【詳解】

M=1y[y=?Z/,xwz}={2,6,o},故真子集個(gè)數(shù)為：23-1=7.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了集合的真子集個(gè)數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

8、C

【解析】

根據(jù)爐=\[(2x-1)+1『，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)?=%[(2%—D+1]。所以二項(xiàng)式[(2x-1)+1]5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：

5rr5r

Tr+l=C；.(2x-l)--l=C；-(2x-l)-,令r=3,所以4=C；-(2x—1產(chǎn)，因此有

故選:c

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

9、B

【解析】

利用基本不等式得必+V<4,可判斷②；/+丁=4和卜2+y2)3=]6%2y2聯(lián)立解得好=2=2可判斷①③；由

圖可判斷④.

【詳解】

/22、2

%+y

=16x2y2<16

2J

解得x2+y2<4(當(dāng)且僅當(dāng)必=丁二？時(shí)取等號(hào))，則②正確；

將/+,2=4和6+力3=?2y2聯(lián)立，解得f=,2=2,

即圓必+V=4與曲線C相切于點(diǎn)(行,行)，(-72,72),(-V2,-V2),(V2,-V2),

則①和③都錯(cuò)誤；由孫<。，得④正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.

10、D

【解析】

求出直線/的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可得。力的方程組,

求得的值，即可得到答案.

【詳解】

由題意，直線/的斜率為左=即尸=#=1,

可得直線/的方程為y=x-3,

22

把直線/的方程代入雙曲線工—與=1,W(b--a2)x2+6a2x-9?2-a2b-=0,

ab

設(shè)4%,%),3(々,為)，則,+%,=6a,,

a-b

由AB的中點(diǎn)為P(—3,—6),可得_^=—6,解答尸=2后,

a-b

又由a?+Z?2=/=9,即a?+2a?=9，解得a=布,b=娓,

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為上-^=1.

36

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中屬于運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)

系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

11、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征，求出3a和沙，再利用復(fù)數(shù)的模公式，即可得出結(jié)果.

【詳解】

b=3

因?yàn)?+a，=b—(2a—l)7,所以｛?，

一(2a—1)—6Z,

4=3,

解得

3。=1,

則13a+bi\=\l+3/|=#+32=M.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可整理得到z,由此得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定所處象限.

【詳解】

2+，_(2+，)(1+，)_1+3，_13.

由Z—反=2+7?得:1-z-(l-z)(l+z)2-221

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為］位于第一象限.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限的求解，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

計(jì)算出角8的取值范圍，結(jié)合正弦定理可求得b的取值范圍.

【詳解】

QC=60°，則0<8<120,所以，0<sinBWl,

b

由正弦定理sin6

因此，〃的取值范圍是。，

故答案為：［0,十］.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

14、4%

【解析】

由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求其對(duì)角線長(zhǎng)，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求.

【詳解】

解：如圖，在四面體A—BCD中，A3,底面BCD,AB=BD=?,CB=CD=1,

可得N3GD=9O。，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1,1,0,

則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為加+p+(、歷了=2，則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為1.

其表面積為4%xF=4%.

故答案為：4%.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題.

15、l-3z.

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出z,再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.

【詳解】

?.?復(fù)數(shù)z滿足i(z+l)=—3+2工

-3+2/

z+1=-------=2+3,，/.z=1+319

i

故而可得1=1—3〃故答案為1—3九

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共輔復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

16、24

【解析】

2400

由分層抽樣的知識(shí)可得…^x90=36,即16。。，所以高三被抽取的人數(shù)為

1600

x90=24應(yīng)填答案24.

2400+2000+1600

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)見(jiàn)解析；(2)35.

5

【解析】

(1)根據(jù)菱形的特征和題中條件得到與平面ABC一結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識(shí)求解即可.

【詳解】

(1)證明：?.?四邊形34GC是菱形，

：*LBC],

AB_LB{C,ABcBC1=B,

.?.與CL平面ABC1

QAOu平面ABC一

BXC±AO

又48=4。]，。是8。1的中點(diǎn)，

AO_LBQ,

又BXCBC1—O

.?.AO,平面331GC

(2)AB//A^

直線A片與平面所成的角等于直線A5與平面所成的角.

AO，平面5B]GC，

???直線A6與平面3與GC所成的角為ZABO,即ZABO=45°.

因?yàn)?振，則在等腰直角三角形ABC1中5G=26，

所以50=6,CO=4。=tan30。=1.

在HjAfiO中，由NABO=45°得49=50=6，

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OBX,Q4為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

則4(0,0,V3),B(&0,0),4(0,1,0),C/-V3,0,0)

所以A4=AB=由,0,Y),BG=(—6,—1,0)

設(shè)平面44G的一個(gè)法向量為％=(蒼又Z),

n-A,B.=^3x-Gz=0l

則廣,可得々=(1,

n-B、C[=-V3x-y=0

取平面BBGC的一個(gè)法向量為%=(0,0,1),

,..%1,5

貝!!cos〈％,〃2〉=-：----=

|弭||%IV55

所以二面角A-B.Q-B的正弦值的大小為F.

(注：?jiǎn)栴}(2)可以轉(zhuǎn)化為求二面角A—3C一片的正弦值，求出49=30=6后，在Rt_OBC中,過(guò)點(diǎn)。作

的垂線，垂足為〃，連接AH,則NA8O就是所求二面角平面角的補(bǔ)角，先求出走，再求出A8=巫，

22

最后在用49〃中求出5也//田0=《君.)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題.

1

18、(1)a,1=2n-l,b?=2-3"；(2)M?=2(n-l)-3"+2；(3)存在，1.

【解析】

(1)利用基本量法直接計(jì)算即可；

(2)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算；

(3)?+勺J：GN",令'"：一：+3；：=eN*可得(L_D(,2_])=(3—乃3"',1＜4,3,討論即可.

m

Sm+Tmm-1+3-l+3''

【詳解】

(i)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列｛2｝的公比為q,

因?yàn)?=2%=2,b2s3—54,%+n=11,

3

「2虱3+3d)=54[q(l+d)=9夕=3q=——

所以7CC-，即V7CC解得或彳2(舍去)?

1+6?+2+2Q—11d+2q=8d—2

d=5

所以%=2n-l,bn=23"T.

2n-1

(2)Mn=afy+a2b2+a3b3+.=1X2+3X2X3+5X2X3+—F(2n-l)x2x3,

2n-1n

3Mn=1X2X3+3X2X3++(2n-3)X2X3+(2n-1)x2x3,

所以一2M“=2+4(3+3?++3"T)—(2〃一I)x2x3",

3(1-3^)

=2+4x-(4n-2)x3〃=—4—(4“一4)?3”

1-3

所以%=2(〃-1>3"+2.

(3)由(1)可得S”="2,北=3"-1,

所以鼠+&-癡一1+3’向

Si療—1+3-

因?yàn)?7鏟是數(shù)列｛a”｝或也｝中的一項(xiàng)，所以2=L,LGN*,

D/n+'利相—1+3

所以(L-D(m2-1)=(3一次,因?yàn)榧?—10,3恒＞0,

所以1＜么,3,又LeN*,則L=2或L=3.

當(dāng)L=2時(shí)，有(毋-1)=3",，即叵二Q=i，令=

\/3m3'"

(m+l)2-lm2-l2加之-2m—3

貝(1/(m+l)-/(m)=

T3“+i

當(dāng)m=1時(shí)，/(1)</(2)；當(dāng)加上2時(shí),/(m+l)-/(m)<0,

即/(1)</(2)>/(3)>/(4)>--.

由/(1)=0,/(2)=?，知叵二Q=i無(wú)整數(shù)解.

3T

2_1.q/n+1

當(dāng)L=3時(shí)，有療一1=o,即存在m=1使得；2］；三=3是數(shù)列｛??｝中的第2項(xiàng),

故存在正整數(shù)帆=1,使得是數(shù)列｛%｝中的項(xiàng).

D/n1m

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前"項(xiàng)和，數(shù)列中的存在性問(wèn)題，是

一道較為綜合的題.

19、(1)—+y2=1,x2+(y+l)2=1；(2)述+1

4-3

【解析】

試題分析：(1)由4112。+(：0520=1消去參數(shù)a，可得G的普通方程，由必+丁2=22,y=Qsin?？傻?。2的普通

方程;

(2)設(shè)P(2cos/sino)為曲線G上一點(diǎn)，點(diǎn)P到曲線的圓心(0,—1)的距離d==-3(sina——I+g'結(jié)合

51￡€［—1,1］可得最值，盧。|的最大值為2+r，從而得解.

試題解析:

尤2

(1)G的普通方程為土+y2=i.

4-

???曲線。2的極坐標(biāo)方程為P=-2sin6>,

...曲線。2的普通方程為V+/=_2y,即+(y+1)2=1.

(2)設(shè)P(2cos/sin。)為曲線G上一點(diǎn),

則點(diǎn)P到曲線。2的圓心(。,—1)的距離

d=J4cos2a+(sina+1)2=V-3sin2a+2sincr+5

[—1,1],.,.當(dāng)sina=g時(shí)，d有最大值上^.

,:sincee

又：p,Q分別為曲線4,曲線。2上動(dòng)點(diǎn)，

...|PQ|的最大值為』+/=理+1.

20、(1)an=n-2"-l,bn=2n(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

n+1n+1

(1)因?yàn)閍n+l=2an+2+1(〃eN*),所以an+l+1=2an+2+2(neN*),

所以丁=與二+1，即年?一耍=1，又因?yàn)閝=i，

所以數(shù)列｛亨｝為等差數(shù)列，且公差為1,首項(xiàng)為L(zhǎng)

則^^=l+("T)xl=〃，即。"=小2"-1.

設(shè)｛々J的公差為d,貝!12_2_]=22_]一2〃+4—々1=bn_x-2,n+4=d,

所以%=2"-4+d(〃=2,3,),則6“=2(”+1)-4+d(〃eN*)，

所以d=—bn_1=[2(〃+1)—4+(7]—(2??—4+<7)=2,因此bn=2(〃+1)—4+2=2〃，

綜上，a?=n-2"-l,bn=2n.

(2)設(shè)數(shù)列｛〃2｝的前〃項(xiàng)和為M“，則=1x2+2x22+3x23+4x2“++nx2n,

Z345,1+1

2Mn=1X2+2X2+3X2+4X2++nx2,

兩式相減得—M,=1X2+1X22+1X23+1X24++1X2n-nX2n+1=(1-n)-2B+1-2,

M?=(n-l)-2,,+1+2,所以S,=(w_l>2向+2—〃,

c=41g24i?2211

設(shè)"b“+Jg〃T+S"+i則-=2(〃+l)lg2"+2=(〃+1)(〃+2)-2(Q-〃+2)'

n

-/I11111、c/II、121

=2x(-+H---------------)=2x(-------)=l--------<l.

2334n+ln+22n+2n+2

21、(1)(i)證明見(jiàn)解析(ii)姮(2)存在，2=-

113

【解析】

(1)(i)連接AC交BG于點(diǎn)。，連接OW,CG,依題意易證四邊形ABCG為平行四邊形，從而有AO=OC,

MOPC,由此能證明PC〃平面3MG

(ii)推導(dǎo)出BGLG。，以G為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-孫z,利用向量法求解;

(2)設(shè)AM=/lAP=/l(0,2,2)=(0,2/l,2/l),/l€(0,l),求出平面3MG的法向量，利用向量法求解.

【詳解】

(l)(i)證明：連接AC交BG于點(diǎn)。，連接31,CG,

因?yàn)镚為線段A￡＞的中點(diǎn)，AD=4

所以AG=：AO=2,

因?yàn)镈C=3C=2,所以AG=3C

因?yàn)锳O〃8C

所以四邊形ABCG為平行四邊形.

所以AO=OC

又因?yàn)?

所以MOPC

又因?yàn)镸Ou平面3MG,「。＜2平面創(chuàng)收，

所以PCP平面3MG.

B=~~>C

(ii)解：如圖，在平行四邊形BCDG中

因?yàn)锽GCD,CDVGD,

所以3GJ_G。

以G為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz

則G(O,O,O),尸(0,0,2),0(0,2,0),

A(0,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),M(O,-1,1)

所以PB=(2,0,—2),GB=(2,0,0),GM=(0,-1,1),BD=(-2,2,0),BM=(-2,-1,1)

平面PAD的法向量為分=(1,0,0)

設(shè)平面BMD的法向量為m=(x,y,z),

m，BD=0—2%+2