湘豫聯(lián)考2024屆高三年級下冊第二次模擬考試 數(shù)學 含解析

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準考證號.

絕密★啟用前

湘豫名校聯(lián)考

2024屆春季學期高三第二次模擬考試

數(shù)學

注意事項：

1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在

試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上，然后認真核對條形碼

上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.作答非遠擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的

答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={1,3,5},3={2,3,4},則（今A）c5=（）

A.{3}B.{2,4}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6}

1—z

2.若復數(shù)z滿足一^=i,i為虛數(shù)單位，則2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

z—3

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若函數(shù)/（x）=3cos12x+?！猐]（0<e<兀）的圖象關(guān)于y軸對稱，則。=（）

4.已知。=3°4,，=（1083。）3,‘=1083（1083。）,則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

5.某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預備隊.選哪支隊是隨機的，其中選

“初心”隊獲勝的概率為0.8,選“使命”隊荻勝的概率為0.7,單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加

比賽的概率為（）

2287

A.-B.—C.—D.—

951515

6.如圖,平面四邊形ABCD中，AB//CD,AB=2CD=272,AD=1.若AB是橢圓Cx和雙曲線G的

兩個公共焦點，是G與的兩個交點，則G與G的離心率之積為（

A，72B，V3C.2D.3

7.如圖，在，ABC中，8。=248=4,￡>,后分別為8。,4。的中點，F(xiàn)為AD上一點,且滿足

AF=BF，則（）

12

A.-B.1D.-

23

8.已知直線4：y=a+5?€11）與直線/2：X+3-『+4=。"€1<）相交于點尸，且點P到點Q（a,3）的距

離等于1,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.2^2—3,—2^2—1]

B.[-272-3,272-1]

C.b2夜-3,-20-l]u[272+1,272+3]

D.[-2A/2-3,-2拒-l]o[2V2-3,272-1]

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.人均可支配收入和人均消費支出是兩個非常重要的經(jīng)濟和民生指標，常被用于衡量一個地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展水

平和群眾生活水平.下圖為2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費支出統(tǒng)計圖，據(jù)

此進行分析，則（）

2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入

及人均消費支出統(tǒng)計圖

.—城鎮(zhèn)居民人均可支配收入（元）

兀

一城縝居民人均消費支出（元）

4500037482]國428

40000

35000[1^991^93?]

30000

25000|1茜亞037?回同②

20000

15000

10000

5000

0______________

201820192020202120222023年初

A.2018-2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增

B.2018-2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出逐年遞增

C.2018-2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費支出的極差大

D.2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)為21180元

10.已知/（X）是定義在R上不恒為0的函數(shù)，/（x—l）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且函數(shù)y=’的圖

'x-2

象的對稱中心也是了（%）圖象的一個對稱中心，則（）

A.點（—2,0）是〃龍）的圖象的一個對稱中心

B"（x）為周期函數(shù)，且4是〃龍）的一個周期

C.〃4-X）為偶函數(shù)

D./（31）+/（35）=2

11.如圖，在正四面體P—A3C中，A8=18,Q,E,尸分別為側(cè)棱PAP&PC上的點，且

1L

AD=BE=CF=-PD,G為昉的中點，。為四邊形石BCR內(nèi)（含邊界）一動點，AQ=6百,則

A.AG±PB

B.五面體ABC—DE產(chǎn)的體積為342應(yīng)

C.點。的軌跡長度為6兀

D.AQ與平面PBC所成角的正切值為V6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓錐的軸截面S鉆為正三角形，球。2與圓錐Sg的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐SO1的體積、表

面積分別為球。2的體積、表面積分別為％，邑，則*?去=.

13.已知角滿足/7HE,c+/7wE(《wZ),tang+A)cos/7=sin/?+tan(zcosQ,貝i]sina=

14.已知a,。為實數(shù)，若不等式12ax2+(4。+，)％+4。+耳”2忖+1|對任意xe—恒成立，則3a+。

的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

13

設(shè)函數(shù)/(x)=alnx+——-x+l,aeR,曲線y=/(x)在點(2"(2))處的切線與直線5%+8丁=0平

2x2

行.

(1)求。的值；

⑵求了(%)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(本小題滿分15分)

如圖1,放一QDC中，ND=90,A,3分別是線段上的動點，且3=旦g=〃2〉0),將

ADBC

08沿折起至，Q鉆，如圖2,在四棱錐尸―ABCD中，E為尸。的中點，且AE〃平面P3C.

(1)證明：2=1；

171

(2)若PAJ_A￡>,AP=—￡>C=2,M為線段S上一點，若平面？fiM與平面PCD的夾角為一，求直

24

線PC與平面PBM所成角的正弦值.

17.(本小題滿分15分)

除夕吃年夜飯（又稱為團圓飯）是中國人的傳統(tǒng)，年夜飯也是闔家歡聚的盛宴.設(shè)一家〃（“..3）個人圍坐在

圓形餐桌前，每個人面前及餐桌正中央均各擺放一道菜，每人每次只能從中夾一道菜.

（1）當〃=4時，若每人都隨機夾了一道菜，且每道菜最多被夾一次，計算每人夾的菜都不是餐桌正中央

和自己面前的菜的概率；

（2）現(xiàn)規(guī)定每人只能在自己面前或餐桌正中央的兩道菜中隨機夾取一道菜，每個人都各夾過一次菜后，

記被夾取過的菜數(shù)為X”,求滿足E（X“）>5的〃的最小值.

注：若X，C=1,2,，可均為離散型隨機變量，則E[之X,]=fE（Xj.

Ii=\yi=i

18.（本小題滿分17分）

如圖，過點。（1,6）的動直線/交拋物線C:y2=2px（p>0）于兩點.

（1）若。。求。的方程;

（2）當直線/變動時，若/不過坐標原點。，過點分別作（1）中C的切線，且兩條切線相交于點

問：是否存在唯一的直線/,使得=并說明理由.

19.（本小題滿分17分）

已知由加（小.3）個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組4:（弓,如果同一q+]|。=2,3,?，加一1）恒成

立，則稱有序數(shù)組A為“非嚴格差增數(shù)組”.

（1）設(shè)有序數(shù)組尸：（2,3,0,4）,Q:（l,2,3,0,4）,試判斷P,。是否為“非嚴格差增數(shù)組”？并說明理由；

（2）若有序數(shù)組.，尸）?#0）為“非嚴格差增數(shù)組”，求實數(shù)/的取值范圍.

湘豫名校聯(lián)考

2024屆春季學期高三第二次模擬考試

數(shù)學參考答案

題號1234567891011

答案BDBADCBDACDACABD

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.B【解析】因為6&={2,4,6},所以（％4）<^={2,4}.故選8.

1-zl+3i(l+3i)(l-i)4+2i.

2.D【解析】由——=i,得2=/一='￡'—^=2+1,則5=2—i，所以5在復平面

z-31+1(1+1)(1-1)2

內(nèi)對應(yīng)的點為（2,-1）,位于第四象限.故選D.

3.B【解析】由題意/（X）為偶函數(shù)，則夕—1=解得夕=E+,左eZ.又0<。<兀，所以

7T

（P二一.故選B.

3

4.A【解析】因為a=3°4>3°=l/=（log3a）3=（log33°-4y=0.43<0.4°=1,且。43>0,即

04

0<Z?<1,c=log3（log3<2）=log3（log33-）=log30.4<log3l=0,所以a>Z?>c.故選A.

5.D【解析】依題意，記選“初心”隊為事件A，選“使命”隊為事件8,該單位獲勝為事件則

P（A）=P（B）=0.5,P（M|A）=0.8,P（M\8）=0.7.所以

P（B\=Pg）=P（3）P（MB）=Ob。，=

[）P（M）P（A）P（M|A）+P（B）P（M\B）0.5x0.8+0.5x0.715,

6.C【解析】由題意知四邊形ABCD為等腰梯形，如圖，連接3。，過點。作。石，

AB，垂足為E，則AE=￥，所以DE=《AD2—AE2=與.在RjDEB中,

|BD|2=|DEI2+|BEI2=5,所以G與G的離心率之積為

I______|AB||AB|2(2V2)2

=2.故選C.

\BD\+\AD\'\\BD\-\AD\\~^BD\2-|AD|2|5-1

7.B【解析】方法一：設(shè)/E鉆=6,過點F作/G,于點G.^AF^BF，

得AG=工AB=1.所以目==□_.因為BE=80+=30—工A51=|3D|=2,

2IIcos。cosO2

所以/ADB=g,所以AF-8E=

BD--AB\=AF-BD--AF-AB=--—x2xcos^-—x—-—x2xcosd=1.故選B-

2)2cos。2cos。

方法二：如圖，取AB的中點。，連接。/，易知OA5,以。為坐標原點,

以直線A8為x軸，直線。尸為V軸建立平面直角坐標系。町.設(shè)C(2a,2)),a>0S>0,由題意，點方

在線段A5的中垂線即y軸上,設(shè)歹(0,/),又A(—1,0),3(1,0),忸q=4,

所以。—I-+(26)2=16,即

____—____—___0_____________________0_________/I)

4a2+4/=15+4/由AEO三點共線，得0—(-1)一網(wǎng)±,即/=五百?因為

.小善」(.)十善)尿=［等4。,。)=［等辦所以

,4尸族一2a一3|2/_(24—9+4^215+4a—9

=1.故選B.

22a+32(2a+3)2(2a+3)

8.D【解析】設(shè)點P的坐標為（x,y）,y,y=tx+55.x+ty-t+4=0,由y=tx+5,得/=^代

入x+h—/+4=0,并整理得（X+2）2+（y—3）2=8,即為點P的軌跡方程.又點尸（蒼y）到點Q（a,3）的

距離等于1,所以（x—a）2+（y—3）2=1,所以圓（x+2）2+（y—3）2=8與圓5—。）2+（丁—3）2=1有公共

點，所以2&—解/（a+2）2+（3—3）22V2+1）即一2行一1領(lǐng)h+2—20+1或

20—瓚h+22V2+I,解得—2a—3領(lǐng)h—20—1或2夜—3張女2行—1.故選D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出四個的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.ACD【解析】對于A,由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，4正確；對于8,由題中折線圖

知，2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出先增后減再增，8錯誤；對于C,2018~2023年前三

季度全國城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為39428-29599=9829元，人均消費支出的極差為

24315-19014=5301元，C正確；對于，2018~2023年前三季度全國城鎮(zhèn)居民人均消費支出的中位數(shù)

為20379+21981=2n80元,。正確.故選ACD.

2

10.AC【解析】因為函數(shù)/（x—1）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，所以了（尤）的圖象關(guān)于y軸對稱，即

了（無）為偶函數(shù).所以/（-X）="X）.因為y=~的圖象的對稱中心為原點0（0,0）,所以y=’的圖象

的對稱中心為（2,0）,所以〃2+%）+/（2-％）=0.對于A，由“力為偶函數(shù)，知

/（-2+x）+/（-2-x）=/（2-x）+/（2+x）=0,所以點（一2,0）是圖象的一個對稱中心，A正

確；對于B,由/（2+x）+〃2—x）=0,得〃4+x）+/（—x）=0,所以〃4+x）+〃x）=0,則

“x）=―/（x+4）=/（x+8）,所以為周期函數(shù),且8是該函數(shù)的一個周期,B錯誤；對于C,

由〃2+6+/（2-6=0,#/（4-x）+/（x）^0,即/（4—x）=_/（x）,因為為偶函數(shù)，所

以〃4—x）為偶函數(shù)，C正確；對于D，由〃2+x）+/（2-x）=0,得“3）+/⑴=0,所以

/（31）+/（35）=/（8x4-l）+/（8x4+3）=/（-l）+/（3）=/（3）+/（l）=0,D錯誤.故選AC.

11.ABD【解析】對于A，如圖，設(shè)3C的中點為"，連接則由正四面體的性質(zhì)知，PH必

過點G,且尸因為=尸〃u平面Z4H,AHu平面B4H,所以

平面B4H.又AGu平面B4H，所以

LAGWPH=AH=T8x曰=9&PG=aPH=66,GH=；PH=35所以

/ND口2PA6.在PAG中，由余弦定理，得

cos/APH=—----二——

PH3

AG2=PA2+PG2-2PAxPG-cos/APH=182+（6舟—2義18*66義#=216,所以

AG=6a,所以AG2+G82=A//2,所以AGLGW.因為BCCGHMH.BCU平面P8C,HGu平

面尸3C,所以AGL平面P3C,所以AGLPB,A正確.對于A還可以這樣證明，因為

AB=AC=AP,所以點A在平面P3C內(nèi)的射影為MC的外心G,所以

AGL平面P3C,所以AGLP5,對于B，由題意知五面體ABC—DER為正三棱臺.因為

sin/AHG=4^=2叵，所以三棱臺ABC—OEF的高為力=GH-sin/A〃G=2JG,所以該棱臺的

AH3

5

體積為V=?(S.+SDEF+VABCDEF)=1x276x(81^+36^+5473)=342后,B正確.對

V

于B，還可以這樣求解，VwtABC_DEF=-Vp_DEF=Vp_ABC—HP-ABC=ABC

=—x-xf^xl82|xJ182-fl8x—x-^=342，5.對于C,因為

27314J[〔23)

AQ=ylAG2+GQ2=J216+GQ2=6J7，解得GQ=6,過點G作GN〃PC,GM//PB,分別交

BC于點、N,M,則四邊形均是邊長為6的菱形，點。在四邊形￡BCF內(nèi)（含邊界）

的軌跡為以G為圓心、6為半徑的圓被四邊形￡BCF所截的弧FN和弧石M.設(shè)弧FN的長度為I,則

7T

/=耳義6=2兀，所以動點。的軌跡長度為4兀，。錯誤.對于D，連接GQ,A。與平面尸3C所成的角為

AG/—

/AQG,所以tan/AQG===，6,D正確.故選ABD.

R

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.1【解析】不妨設(shè)正三角形S鉆的邊長為2,則圓錐5。的底面半徑為1,高為石，母線長為2,所

22

以K=—7ixlX6=-^-Tl,S=7rxl+7txlx2=37l；易得球。2的半徑為,

i所以

⑹_4百

V2=-nx兀,$2=4兀X

233J27

13.0【解析】方法一：由已知得口211(。+4)—1@11。卜05/=51邛，若cos/?=。，貝Usin尸=。，則

sin2/?+cos2/?=0,這與sin2/?+cos2/=l,所以cos/w。.所以tan(a+p)—tanc=ta",所以

tan(a+⑶一(tana+tan分)=0.所以tan(c+⑶一tan(a+⑶(l—tanatan/?)=0,所以

1311(。+力)1311必311/?=0.因為/?。酎1,。+￡。也,左￡2,所以tana=0,所以sino=0.

sin(cr+/?)sini

方法二：由tan(。+力)cos尸=sin/+tan6zcos/?,得---；-----仁?cos/?=sin分+------cos尸,等式兩

cos(cr+/?Jcosa

邊同時乘以cos(a+4)cosa,得

sin(a+尸)cos尸cosa=sin優(yōu)os(a+/?)cosa+sinacos尸cos(a+尸).所以

cos/[sin(a+/)cosa-sinacos(a+/)]=sin分cos(a+/)cosa,即

cos/sin[(o+/?)-a]=sin〃cos(a+/)cosa,即cosQ=cos(a+4)cosa,即

cos[(a+/?)-a]=cos(a+/)cosa.所以cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina=cos(a+p)cosa,所

以sin(a+/)sina=0.因為a+,即sin(a+#)w0,所以sino=0.

14.6【解析】因為入￡—“1，所以％+le*2，則不等式pax?+(4〃+Z?)x+4〃+。|,,2,+1|等

價于12a(x+l)2+人(i+1)+24,，2,+1],等價于2a(x+l)+-^+6,,2.令.=無+1,貝i|/e-,2,

2a++2.令/(/)=2a,+；]+b.由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得f+2,|-.因為即

(一2系％a+b2/、/、f3=4m+5n,

一2期⑺zx2,所以《，-^3a+b=m(4a+b)+n(5a+b),貝時解得

''-2^a+b2\\/\l=m+n,

ZZ22

<所以3a+3=2(4a+Z?)—(5a+b),,4+2=6,當且僅當a=-4,0=18時取等號，故3a+b的最

大值是6.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

13+1,所以廣(力=色—1__3

15.【解析】(1)因為/(x)=alnx+一-

2x22?2

由題意得了'(2)=—,即-------=—,

82828

解得a=2.

經(jīng)檢驗，a=2符合題意.所以a=2.

13

(2)由(1)可知，/(x)=21nx+-----x+l"(x)的定義域為(0,+功,

2九2

/0)=—G:)廠)

令/'(x)=0,解得玉=；,%=L

當0<x<；時，/(%)<0；當g<x<l時，/(%)>0；當x>l時，/(%)<0,

所以外力在區(qū)間U和(1,+“)上單調(diào)遞減，在區(qū)間，[]上單調(diào)遞增.

所以“X)的極大值為/(I)=o,/(x)的極小值為/[]=2—21n3.

綜上所述，八》)的單調(diào)遞減區(qū)間為U，(l,+"),單調(diào)遞增區(qū)間為的極大值為0,極小值

為2—21n3.

16.【解析】(1)如圖，取PC中點尸，連接跖,87、

因為瓦廠分別為線段尸。PC的中點，所以。為，PCD的中位線,

所以?！–D,且CD=2EF.

5ABQA2

又因為怨=絲=譏所以"〃8'而=謔=而

ADBC

所以訪〃AB，所以AB,QE四點共面.

又因為AE〃平面PBC,AEu平面ABFE,且平面ABFEc平面PBC=BF,

所以AE〃BF，所以四邊形為平行四邊形，

所以AB=EE=^CD,所以2=1.

2

—C

UM

（2）因為B4LAD，所以A3=CD=2.

2+1

由（1）易得A8_LA￡>,A8，P4,所以以A為坐標原點，AD,AB,AP所在直

線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

Jbs

則4（0,0,0）,3（0,2,0）,。（2,4,0）,。（2,0,0）,。（0,0,2）,

因為M是線段8上一點，所以可設(shè)M（2,加,0）（夠弧4)，

所以3M=（2,加一2,O）,CD=（O,—4,0）,PC=（2,4,—2）,

PB=（O,2,-2）.

設(shè)平面PCD的法向量為772=（玉,%,zj,

mCD=0,f一4y=0,

則《.即1

m-PC-0,+4yr—2zx—0,

令X]=l,得平面PCD的一個法向量為加=（1,0,1）.

,、n-PB=0,J%-2z?=0,

設(shè)平面PfiM的法向量為“=（9，%，Z2），貝叫即〈/\

n-BM=0,2X2+^m-2)y2=0,

令Z2=—2,得平面？fiM的一個法向量為“=（加—2,—2,—2）.

亞

依題意得卜OS（m,力卜—,解得m=l,滿足偶弧4.

yflxylm2-4/n+122

所以“=（-1,_2,_2）.

PCn\_6_V6

設(shè)直線PC與平面？fiM所成的角為。，貝!Jsin9=cos〈PC心

PC||n|后x?6

所以直線PC與平面所成角的正弦值為逅.

6

17.【解析】（1）當〃=4時，滿足條件的樣本點總數(shù)為A；=120,

記“每人夾的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”為事件A，

則事件A的結(jié)果數(shù)是4個元素的全錯位排列，記A4表示4個元素的全錯位排列,

可以分步計算4：

第一步，讓1來先夾菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3種選擇；

第二步，若他選擇了左（2張賢4）面前的菜，則讓上來夾，對于左，可以分兩類，

若左選1面前的菜，則其余2人只有1種選擇；若左不選1面前的菜，可有2種選擇，而余下的2人只有

1種選擇，

所以事件A含有的樣本點個數(shù)為3x（l+2）=9,

g3

所以P（A）=2=3

,712040

（2）方法一：將〃+1道菜編號，餐桌正中央的菜編號為0,其余菜編號為1,2,，

1第遁菜未被夾,.

[0,第，道菜被夾，'=''',n.

則P（X=1）=[]，P（K=O）=1-P（毛=1）=1-1?，

所以E&）=0xP（匕=0）+lxP窩=1

因為當1=1,2,，“時，P（Z=l）=g,P（匕=0）=：,

所以碼）=6+。十；.

由題意有=〃+l—（4+乂+，+%）,

所以E（X“）=〃+1-Z，oE（Z）=〃+l-=|+1-Q]-

因為E（X,）E（X,）=等+1一出_會1_（；）=；+0>0.

故數(shù)列｛E（X"）｝單調(diào)遞增.

又E（XJ=：—\]>5,后"8）=5—

<5，所以〃的最小值為9.

方法二：由題意得X”的可能取值為1,2,3,?,?,

n

X.=1表示〃個人都夾取餐桌正中央的菜，p(X“=l)=(g]

x〃=2表示〃個人中有1個人夾取他面前的菜，其余〃-1個人夾取餐桌正中央的菜，P(X?=2)=

心

x“=3表示〃個人中有2個人夾取他面前的菜，其余〃-2個人夾取餐桌正中央的菜，P(X“=3)=

X“=〃-l表示，個人中有〃-2個人夾取了他面前的菜，其余2個人都夾取餐桌正中央的菜,

X”=”表示〃個人中有個人夾取他面前的菜，剩余1個人夾取餐桌正中央的菜，或者〃個人都夾取

-）=c：-1gjc：gj.

他面前的菜p(x“+

所以E（X,）=1X]￡|+2XC（￡|+3XC；、]++（I）xC；2Q+〃?]￡（+nx

+（n-l）C：-2+nC：-1+HC：）

2

令Sn=1+“C：+2C：+3Cj++（?-l）C：-+二廠,

則Sn=l+〃+/C；T+(〃-l)C；2+，+3xC：+2C：.

兩式相加得2s“=2+2〃+(〃+2乂C：+C：++CL+C：i)

=2+2n+(n+2)(2,!-2)=(n+2)2,i-2.

所以邑=5+2)2"——1.

所以E(X.)=t[[(〃+2)2"T-1]=審-1J

設(shè)4=；("+2)—，

則—如3)一出"'.*+2)+/=；+出工0.

所以數(shù)列｛aj為遞增數(shù)列.

因為a8=5_1g]<5旬=?_(；]>5，

所以〃的最小值為9.

18.【解析】(1)因為ODLAB,直線0。的方程為丁=氐，

所以直線A6的方程為y—6=——1)，即％+也>=4.

-

x+A/3y=4-

由<2'消去X，得V+2近py—8p=0.

y=2px,

設(shè)A,B兩點的坐標分別為4(%,%),3(%,%)，則%%=-8p.

因為。1_LOB，所以O(shè)AOB=為x,+yxy2=(1/；)+%%=16-8/?=0>

4P

解得P=2.

所以。的方程為V=4x.

(2)由(1)知拋物線。的方程為/=4x.

/2、(2\

設(shè)直線/的方程為X-l="y-⑹,A%,%,3

I4JI4J

由根與系數(shù)的關(guān)系，得%+%=4〃%%=46加一4.

拋物線。在點A卷,X處的切線方程為%丁=2%+]■①

/2A2

拋物線C在點5號,%處的切線方程為%y=2%+&②

14J2

①-②得（v%）y=KX=（"%）（/f）

因為以/%，所以%?=＞；乃=2m，代入①得0=6根—1,

,所以直線MA,MB,的斜率分別為工,工,平二立

%為13加一2

若存在直線/,使得=貝han/A